【考點題型十一二】分數類形討結論合思想

t考點題型十】整體思想

【考點題型九】方案決策問題

【考點題型八】分段計費問題

專題05次方程（考點清單，5個考點清單+12種題型解讀）

【【考清點單題01型】六一】元銷一售次問方題程的概念

［【清單02】等式的基本性質

ah考點清單’【清單03】一元一次方程的解法

《【清單04】一元一次方程的應用

\【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型

【考點題型五】工程問題

【考點題型一】一元一次方程及其解

1考點題型二】等式的性質

一元一次方程【考點題型三】解一元一次方程

【考點題型四】配套問題

點儕單

____________1.等式的兩邊加（或減）同T數（或擊子），結果仍相等

等式的性質k2.等式的兩邊I乘樂—或除以同』不為0的數結果仍相

\等

只含有一個未知數（無），且含有君瞰的式子都是整式，未

堿的次數都是1的方程

（1.去分母:方程兩邊都乘各分母的最小公倍數

_元一次方程,（2.卻舌號:碘雌

一\解法，3.移項:移鰻變導一

元

合并同類項:依據合并同類項法則

次；4.

方

\5.系數化為1:方程兩邊都除以未知數的系數

程

1.審題2.找相等關系

一」直接設未知數

3設.未知數

-----------\間接設未知數

一元一次方程的應用4列.方程5廨方程

.s人（1）是否符A元一次方程

6.檢驗/~

-----------<（2）是否符合實際

7寫.答

【清單01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定義：只含有一個未知數，未知數的次數都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方

程。

細節剖析：

判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：

①只含有一個未知數,未知數的次數為丘_

②未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數.

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清單02】等式的基本性質

等式的性質1等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數或式，所得結果仍是等式。

字母表達式為：如果那么a±c=6±c.

等式的性質2等式的兩邊都乘或都除以同一個數或式(除數不能為零)，所得結果仍是等式。

字母表達式為：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(cwO).

CC

細節剖析：

等式的傳遞性如果a=6、b-c,那么a=c。

【清單03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數.

(2)去括號：依據乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數的項移到方程一邊，常數項移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數的項及常數項,把方程化為ax=b(a=0)的形式.

(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數得到方程的解x=±b(aWO).

a

(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解;若方程左右兩邊的值不相等，

則不是方程的解.

【清單04】一元一次方程的應用

首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為X,然后用含

尤的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、歹！J、解、答.

一元一次方程應用題解題一般步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數量之間關系

②設：設未知數（一般求什么，就設什么為X）

③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系

④列：根據這個相等關系列出需要的代數式，進而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數的值

⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型

（1）探索規律型問題；

（2）數字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=今照X100%）；

進價

（4）工程問題（①工作量=人均效率X人數X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作

量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度X時間）；速度義時間=路程；相遇問題：S甲+SjS總；追及問題：S快-S慢

二s相晅；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

題型需單

【考點題型一】一元一次方程及其解

【例1】（2023秋?咸安區期末）【閱讀材料】規定：若關于x的一元一次方程依=6的解為x=b+a,則稱

該方程為“和諧方程”.

例如：方程2x=T的解為彳=-2,

而一2=T+2,

所以方程2x=T為“和諧方程”.

請根據上述規定解答下列問題：

（1）下列關于x的一元一次方程是“和諧方程”的有—；（填寫序號）

①4x=-2；

②-3x」；

4

?-%=--

22

（2）已知關于x的一元一次方程6x=:%是“和諧方程”，求加的值;

（3）已知關于x的一元一次方程4x=m+〃是"和諧方程”，并且它的解是x=〃，求機，”的值.

【分析】（1）分別求出三個方程的解，再由“和諧方程”的定義判斷即可；

（2）由“和諧方程”的定義解答即可；

（3）由“和諧方程”的定義及方程的解的定義解答即可.

【解答】解：（1）①方程4x=—2的解是》=一2，—2+4=2,即一工力一2+4,所以方程4x=—2不是'‘和諧

22

方程”；

②方程-3x=?的解是尤=-』，-+（-3）=--,即-之=2+（-3）,所以方程-3x=2是“和諧方程”；

4444444

③方程!彳=一工的解是x=-l,--+-=0,即一12一工+工，所以方程工尤■不是“和諧方程”；

22222222

故答案為：②；

（2）若關于x的一元一次方程6x=機是“和諧方程”，

貝U生二機+6,

6

解得m=——；

5

（3）若關于x的一元一次方程以=相+〃是"和諧方程”,

貝U-------=m+n+4，

4

它的解是x=〃,

m+n

-------=n，

4

.\m=3n,

3n+n

=3〃+〃+4,

4

解得n=——

3?

【點評】本題考查了新定義，一元一次方程的解，理解“和諧方程”的定義是解題的關鍵.

【變式1-1］（2023秋?涪城區期末）下列各式中，屬于方程的是（）

2

A.6+（-2）=4B.—x-2C.7x>5D.2x—1=5

【分析】根據方程的定義對各選項進行逐一分析即可.

【解答】解：A、6+（-2）=4不含未知數，不是方程，不符合題意；

B,2尤一2不是等式，故不是方程，不符合題意；

5

C、7x>5不是等式，故不是方程，不符合題意；

D、2x-1=5是含有未知數的等式，是方程，符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查的是方程的定義，熟知含有未知數的等式叫方程是解題的關鍵.

【變式1-2］（2023秋?固始縣期末）若方程2x-fct+l=5x-2的解為-1,則%的值為（）

A.10B.-4C.-6D.-8

【分析】把x=-l代入已知方程，列出關于女的新方程，通過解新方程來求左的值.

【解答】解：依題意，得

2x（-l）-（-l）-fc+l=5x（-l）-2,即一1+左=-7,

解得，k=-6.

故選：C.

【點評】本題考查了方程的解的定義.無論是給出方程的解求其中字母系數，還有判斷某數是否為方程的

解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方法.

【變式1-3］（2023秋?昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x~—4x=3B.lx=0C.x+2y=1D.x—l=—

x

【分析】只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次）的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是

ax+b—O（a,6是常數且aw0）.

【解答】解：A、是一元二次方程，故A錯誤；

B、是一元一次方程，故3正確；

C、是二元一次方程，故C錯誤；

D、是分式方程，故D錯誤；

故選：B.

【點評】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數，且未知數的指數是1,一次項系數

不是0,這是這類題目考查的重點.

【變式1-4］（2023秋?成安縣期末）已知（利-3）鏟卜2=18是關于x的一元一次方程，貝4（）

A.m—2B.m=-3C.m—±3D.m—1

【分析】若一個整式方程經過化簡變形后，只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1,系數不為0,則

這個方程是一元一次方程.所以m-3-0,|加|-2=1,解方程和不等式即可.

【解答】解：已知("?-3)/卜2=豬是關于x的一元一次方程，

則|加|-2=1,

解得：加=±3,

又.系數不為0,

7〃片3,則7找=一3.

故選：B.

【點評】解題的關鍵是根據一元一次方程的未知數x的次數是1這個條件，此類題目可嚴格按照定義解答.

【變式1-5](2023秋?西安期末)小芳同學在解關于尤的一元一次方程土￡-1=5時，誤將抄成

23

x+a,求得方程的解為x=2,請幫小芳求出原方程正確的解.

【分析】依題意得方程*-1=四的解為x=2,根據一元一次方程根的定義可求出。=2,進而得原方

23

程為三2_1=山，然后再解原方程求出x即可.

23

【解答】解：依題意得：方程*-1=3的解為x=2,

23

2+。2+1

---------1=------，

23

2+a.

/.------=2,

2

/.2+々=4，

a=2,

原方程為二-1=山，

23

去分母，方程兩邊同時乘以6,得：3(x-2)-6=2(x+l),

去括號，得：3x-6-6=2x+2,

移項，得：3x-2x=2+6+6,

合并同類項，得：x=14.

【點評】此題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟練掌握解一元一

次方程的方法是解決問題的關鍵.

【變式1-6](2023秋?東臺市期末)定義：關于尤的方程<zt->=0與方程6x-a=0(a、6均為不等于0的

常數)稱互為“伴生方程”，例如：方程2x-1=0與方程x-2=0互為“伴生方程”.

Cl)若關于X的方程2x-3=0與方程3x-c=0互為“伴生方程”，則。=—;

(2)若關于x的方程4x+3〃z+l=0與方程5x-"+2=0互為"伴生方程”，求加、”的值；

(3)若關于x的方程5x-b=0與其“伴生方程”的解都是整數，求整數6的值.

【分析】(1)根據“錯位方程”的定義直接可得答案；

(2)將“錯位方程”組成方程組求解可得答案；

(3)根據“錯位方程"2x-6=0與樂-2=0的解均為整數，可得2與2都為整數，由此可得答案.

2b

【解答】解：(1)2x—3=0與方程3x—c=0互為“錯位方程”，

.'.c=2.

故答案為：2；

(2)將4%+3帆+1=0寫成4%—(一3加—1)=0的形式，

將5x—〃+2=0寫成5%—(〃-2)=0的形式，

4%+3切+1=0與方程5%-幾+2=0互為“錯位方程”，

J-3m-l=5

"[n-2=4，

[m=-2

[n=6'

，加、〃的值分別是-2,6；

⑶5%-。=0的“錯位方程”為"-5=03力0),

b

由5x—b=0得，%=—,

5

當法-5=0,得％

b

5x-〃=0與陵-5=0的解均為整數，

「.2與*都為整數，

5b

Z?也為整數，

h5

.?.當)=5時，-=1,-=1,都為整數，

5b

h5

當b=_5時，-=-1,-=-1,都為整數，

5b

「2的值為±5.

【點評】此題考查的是新定義，一元一次方程的應用，以及解二元一次方程組，能夠正確理解概念是解決此

題關鍵.

【考點題型二】等式的性質

7?33

【例2】(2023秋?尋烏縣期末)觀察下列兩個等式：1-4=2*1--1,2-士=2x2x3-l給出定義如下:

3355

我們稱使等式。-》=2仍-1成立的一對有理數。,。為“同心有理數對”，記為(。,6),如：數對(1,1)，(2,|),

都是“同心有理數對”.

(1)數對(-2,1),(3,[)是“同心有理數對”的是.

(2)若33)是“同心有理數對”,求。的值；

(3)若(加力是“同心有理數對”，則(-〃，-加)—“同心有理數對"(填“是”或“不是”)，說明理由.

【分析】(1)根據：使等式a-6=2H-1成立的一對有理數*6為“同心有理數對”，判斷出數對(-2,1),

(3,。是“同心有理數對”的是哪個即可.

(2)根據(a,3)是“同心有理數對"，可得：a-3=6a-l,據此求出。的值是多少即可.

(3)根據⑴,〃)是“同心有理數對”，可得：據此判斷出(-〃,-加)是不是同心有理數對即可.

【解答】解：(1)--2-l=-3,2x(-2)xl-l=-5,-3W-5,

，數對(-2,1)不是“同心有理數對”；

c417cc4,17

3—=—，2x3x--1=—，

7777

44

.-.3——=2x3x——1,

77

.?.(3,3)是“同心有理數對”，

(2)-3,3)是“同心有理數對”.

ci—3—6Q—1,

2

I.Q=--.

5

(3)(八口是“同心有理數對”,

.\m—n=2nm—l?

—n—(―m)=—n+m=m—n=2mn—1,

㈤是“同心有理數對

故答案為：(3,*)；是.

【點評】此題主要考查了等式的性質，以及同心有理數對的含義和判斷，要熟練掌握.

【變式2-1]（2023秋?懷仁市期末）下列各式進行的變形中，不正確的是（）

A.若3a=2b,貝U3a+2=?+2B.若3a=26,貝i]9a=46

C.若3a=2b,貝!13。-5=2。一5D.若3a=2b,貝40=2

23

【分析】根據等式的性質逐個判斷即可.

【解答】解：A.3a=26,

:.3a+2=2b+2,故本選項不符合題意；

B.3a=2b，

9a=6b^4b故本選項符合題意；

C.?3a=2b

:.3a-5=2b-5,故本選項不符合題意；

C.3a=2b,

1=1（等式兩邊都除以6）,故本選項不符合題意；

D.當a=O時，由儲=6〃不能推出。=6,故本選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了等式的性質，能熟記等式的性質是解此題的關鍵，注意：①等式的性質1、等式的兩邊

都加（或減）同一個數（或式子），等式仍成立；②等式的性質2、等式的兩邊都乘同一個數，等式仍成立，

等式的兩邊都除以同一個不等于0的數，等式仍成立.

【變式2-2]（2023秋?乳山市期末）等式依-3x=3中，若x是正整數，則整數a的取值是—.

【分析】先解方程，得到一個含有字母”的解，然后用完全歸納法解出。的值.

【解答】解：由關于尤的方程3x=3,得

3

x=----.

CL—3

X是正整數，。是整數，

，正整數解相應為：x=l、x=3,

的值是：6或4.

故答案為：6或4.

【點評】本題考查了一元一次方程的解.解答此題難點是對。值進行完全歸納，注意不要漏解.

【變式2-3]（2023秋?曲陽縣期末）已知8m+3〃+2=4久+7〃,利用等式的性質比較加與〃的大小關系：

mn（填）.

【分析】把等式變形為機減〃等于多少的形式，從而可得結論.注意：兩個數的差大于0,被減數大于減數;

兩個數的差等于0,被減數和減數相等；兩個數的差小于0,被減數小于減數.

【解答】角星：8HZ+3〃+2=4"Z+7〃，

移項得：8m—4m—7n+3n=—2,

合并同類項得：4冽-4〃=-2,

提取公因數得：4（m-n）=-2,

化簡：m—n=——J

2

——<0,

2

:.m—n<G,

:.m<nf

故答案為：＜.

【點評】本題考查了等式的性質，解題的關鍵是掌握等式的性質.

【變式2-4］（2023秋?皇姑區期末）如圖，標有相同字母的物體的質量相同，若A的質量為15克，則當5

的質量為—克時，天平處于平衡狀態.

、司回國/、同同同陶/

【分析】設3的質量為X克，則根據圖形得出2xl5+x=15+3x,再根據等式的性質求出方程的解即可.

【解答】解：設3的質量為x克，

則根據圖形可知：2xl5+x=15+3x,

解得:x=7.5,

即當3的質量是7.5克時，天平處于平衡狀態.

故答案為：7.5.

【點評】本題考查了等式的性質，能根據題意得出方程2xl5+x=15+3x是解此題的關鍵.

【變式2-5］（2023秋?渝中區期末）如果那么—」=—也成立時c應滿足的條件是.

c-1c-1

【分析】根據等式的性質：等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式.得到C-1x0,即

可求出C的滿足條件.

【解答】解：c—IwO,

二.CW1.

故答案為：cwl.

【點評】本題考查了等式的性質，解題的關鍵是根據等式的性質得到C-1W0,再求出答案.

【考點題型三】解一元一次方程

[例3](2023秋?雨湖區期末)七3班數學老師在批改小紅的作業時發現，小紅在解方程四一1=〃+三

24

時，把“2-x”抄成了“x-2”，解得x=8,而且處的數字也模糊不清了.

(1)請你幫小紅求出處的數字.

(2)請你正確地解出原方程.

【分析】(1)將x=8代入四-1=。+3中，進而求出“a"處的數字；

24

(2)將(1)中a的值代入原方程，求解即可.

【解答】解：(1)根據題意將x=8代入山-1=”+二中，

24

日口93

即—l=a+一，

22

解得a=2,

廠.“a”處的數字為2；

(2)將a=2代入原方程得，--1=2+—,

24

去分母得，2(x+l)-4=8+(2-x),

去括號得，2x+2-4=8+2-x,

移項合并得，3x=12,

系數化為1得，x=4.

【點評】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解本題

的關鍵.

【變式3-1](2023秋?關嶺縣期末)解方程：

Y-I-1Y

(1)3x+7=-l-2x；(2)2+——=-.

35

【分析】(1)移項、合并同類項、系數化為1，據此求出方程的解即可；

(2)去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,據此求出方程的解即可.

【解答】解：(1)移項，可得：3x+2x=-l-7,

合并同類項，可得：5%=-8,

系數化為1,可得：x=-1.6.

(2)去分母，可得：30+5(x+1)=3x,

去括號，可得：30+5x+5=3x,

移項，可得：5x-3x=-30-5,

合并同類項，可得：2%=-35,

系數化為1,可得：x=-17.5.

【點評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要明確解一元一次方程的一般步驟，去括號要注意括號前

面的符號，移項時要改變符號是關鍵.

【變式3-2](2023秋?成安縣期末)解下列方程：

(1)4(2x-1)-3(5x+2)=3(2-x)；(2)1-^-^=^^.

32

【分析】(1)先去括號，再移項，合并同類項，把未知數的系數化“1”，從而可得答案；

(2)先去括號，再去括號，移項，合并同類項，把未知數的系數化“1”，從而可得答案.

【解答】解：(1)4(2x-1)-3(5%+2)=3(2-x),

去括號得：8x-4-15x-6=6-3x,

整理得：-4x=16,

解得：x=T；

,c、3-5x3x—?5

\2,)1----------=--------，

32

去分母得：6-2(3-5期=3(3%-5),

去括號得：6-6+10x=9x-15,

解得：x=-15.

【點評】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步驟”是解本題的關鍵.

【變式3-3](2023秋?泗洪縣期末)--—=3.

0.20.5

【分析】本題方程兩邊都含有分數系數，如果直接通分，有一定的難度，但對每一個式子先進行化簡、整理

為整數形式，難度就會降低.

【解答】解：去分母，得

5(x-2)-2(x+l)=3,

去括號，得

5x—10—2%—2=3,

合并同類項，得

3x=15,

方程的兩邊同時除以3,得

x=5.

【點評】本題主要考查了一元一次方程的解法.本題易在去分母、去括號和移項中出現錯誤，還可能會在解

題前產生害怕心理.因為看到小數、分數比較多，學生往往不知如何尋找公分母，怎樣合并同類項，怎

樣化簡.

【變式3-4］（2023秋?通州區期末）已知代數式8x-7的值與代數式6-2x的值互為相反數，求x的值.

【分析】根據題意，先列出方程，再求方程的解.

【解答】解：8%-7的值與代數式6-2%的值互為相反數，

8x—7+6—2x=0.

/.6x—1=0.

1

x——?

6

【點評】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步驟是解決本題的關鍵.

【變式3-5］（2023秋?沂南縣期末）若式子主匚的值比空里的值小2,求x的值.

23

【分析】先根據題意得出方程，再去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化成1即可.

【解答】解：由題意，得主三=①1一2,

23

去分母，得3（3x-2）=2（5x+l）-12,

去括號，得9x-6=10x+2-12,

移項，得9x—10x=2—12+6,

合并同類項，得-x=Y,

系數化成1,得x=4.

【點評】本題考查了解一元一次方程，能正確根據等式的性質進行變形是解此題的關鍵.

【變式3-6］（2023秋?明水縣期末）關于x的方程》-2m=-3x+4與2-m=x的解互為相反數.

（1）求加的值；

（2）求這兩個方程的解.

【分析】（1）先求出第一個方程的解，然后根據互為相反數的和等于0列式得到關于〃，的方程，再根據一

元一次方程的解法求解即可；

（2）把機的值代入兩個方程的解計算即可.

【解答】解：（1）由％-27"=-3》+4得：x=—m+\,

2

思、:—/w+1+2—m=0,

2

解得：m-6；

（2）由m=6,

解得方程％—2m=—31+4的解為％=」x6+l=3+l=4,

2

解得方程2-7“=x的解為x=2—6=-4.

【點評】本題考查了同解方程的問題，先求出兩個方程的解的表達式，然后根據互為相反數的和等于0列式

求出機的值是解題的關鍵.

【變式3-7］（2023秋?潮南區期末）閱讀理解題：

你知道為什么任何無限循環小數都可以寫成分數形式嗎？下面的解答過程會告訴你原因和方法.

閱讀下列材料：

問題：利用一元一次方程將0.7化成分數.

設0.7=尤，

由0.7=0.777...,可知10x0.7=7.777...=7+0.7,

即7+x=lOx.（請你體會將方程兩邊都乘以10起到的作用）

77

可解得「，gp0.7=-.

99

（1）填空：將0.4直接寫成分數形式為-.

一9一

（2）請仿照上述方法把小數0.25化成分數，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程.

【分析】（1）按照例題的解題思路進行計算，即可解答；

（2）按照例題的解題思路進行計算，即可解答.

【解答】解：（1）設0.4=x,

由0.4=0.444…，可知10x0.4=4.444.=4+0.4,

即4+%=10尤，

44

解得：x=—9即0.4=—,

99

故答案為：—；

9

（2）設0.25=%,

由0.25=0.252525可知100x0.25=25.2525...=25+0.252525

即25+尤=100尤，

解得：尤="，

99

25

即0.25=—.

99

【點評】本題考查了解一元一次方程，等式的性質，理解例題的解題思路是解題的關鍵.

【變式3-8］（2023秋?桂平市期末）本學期學習了一元一次方程的解法，下面是小蒙同學的解題過程：

解方程：￡±1_^±Z=3

24

解：方程兩邊同時乘以4,得：±±1x4-至二x4=3x4…①

24

去分母，得：2（x+l）-3x+2=12...@

去括號，得：2x+2-3x+2=12…③

移項，得：2x-3x=12-2-2...@

合并同類項，得：-x=10…⑤

系數化1,得：x=10...@

（1）以上求解步驟中，第一步的依據是.

（2）上述小蒙的解題過程從第一步開始出現錯誤，錯誤的原因是.

（3）請幫小蒙改正錯誤，寫出完整的解題過程.

【分析】檢查小蒙同學的解題過程，找出出錯的步驟，以及錯誤的原因，寫出正確的解題過程即可.

【解答】解：（1）第一步的依據是：等式的基本性質；

（2）第②步開始出現錯誤，錯誤的原因是去分母沒有加括號；

故答案為：等式的基本性質；②；去分母沒有加括號.

（3）解：方程兩邊同時乘以4,得：土里x4-亙望x4=3x4,

24

去分母，得：2（x+l）-（3x+2）=12,

去括號，得：2x+2-3x-2=12,

移項，得：2x-3x=12-2+2,

合并同類項，得：r=12,

系數化1,得：x=-12.

【點評】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關鍵.

【考點題型四】配套問題

【例4】（2023秋?東港區期末）2023年8月8日，是全國第15個全民健身日，近年來，日照始終秉持“以

人民為中心”的展思想，不斷擴大城市體育服務供給量，打造“體育生活圈”，某工廠現需生產一批太空漫

步器（如圖），每套設備各由一個架子和兩套腳踏板組裝而成；工廠現共有45名工人，每人每天平均生產支

架60個或腳踏板96套，應如何分配工人才能使每天的生產的架子和腳踏板配套？每天生產多少套太空漫

步器？

【分析】設分配無名工人生產架子，（45-幻名工人生產腳踏板，根據題意得腳踏板的數量是架子的數量的

2倍，列出方程，即可求解問題.

【解答】解：設分配無名工人生產架子，（45-幻名工人生產腳踏板，

由題意得，2?60%=96（45-尤），

解得x=20,

則生產腳踏板的人數為45-20=25（人），

每天生產太空漫步機的數量為60x20=1200（套），

答：分配20名工人生產架子，25名工人生產腳踏板，才能使每天的生產的架子和腳踏板配套，每天生產太

空漫步器1200套.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，配套問題，本題的關鍵是理解題意得到腳踏板的數量是架子的數

量的2倍進而列出方程解題.

【變式4-11（2023秋?黔南州期末）如圖是學校手工藝社團編織的手工花朵，一朵花由1個花心和8個花瓣

構成，已知手工藝社團有30人，據統計，每個學生一節課可以編織5個花心或20個花瓣.安排多少人編織

花心，多少人編織花瓣，才能使一節課編織出來的花心和花瓣剛好配套？

學生手工藝花朵

【分析】設安排x人編織花心，貝U（30-x）人編織花瓣，根據一朵花由1個花心和8個花瓣構成列出方程求

解即可.

【解答】解:設安排無人編織花心，則（30-尤）人編織花瓣，

根據題意得，5xx8=20（30-尤），

解得x=10,

止匕時3O—x=3O—10=20（人）,

答：安排10人編織花心，則20人編織花瓣，才能使一節課編織出來的花心和花瓣剛好配套.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，弄清題意，正確列出方程是解題的關鍵.

【變式4-2］（2023秋?九龍坡區期末）某車間有80名工人，負責加工某轎車甲、乙兩種零件的生產任務.每

個工人每天能加工20個甲種零件或加工15個乙種零件，每輛轎車需要4個甲種零件和3個乙種零件.該

車間每天生產的零件正好滿足轎車的配套需求.

（1）每天應安排多少工人加工甲種零件？

（2）每天生產該轎車總加工費為15200元.已知加工一件甲種零件的費用比加工一件乙種零件的費用少2

元，求加工一件乙種零件的費用為多少元？

【分析】（1）設每天應安排x名工人加工甲種零件，則應安排（80-尤）名工人加工乙種零件，根據該車間每

天生產的零件正好滿足轎車的配套需求，可列出關于x的一元一次方程，解之可得出應安排加工甲種零件的

人數，再將其代入（80-尤）中，即可求出應安排加工乙種零件的人數；

（2）設加工一件乙種零件的費用為y元，則加工一件甲種零件的費用為（y-2）元，根據每天生產該轎車總

加工費為15200元，可列出關于y的一元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：（1）設每天應安排x名工人加工甲種零件，則應安排（80-尤）名工人加工乙種零件，

根據題意得：&="（807）,

43

解得：x=40,

.".80-x=80-40=40（名）.

答：每天應安排40名工人加工甲種零件，40名工人加工乙種零件；

（2）設加工一件乙種零件的費用為y元，則加工一件甲種零件的費用為（y-2）元，

根據題意得：20x40（y—2）+15x40y=15200,

解得：y=12.

答：加工一件乙種零件的費用為12元.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

【變式4-3］（2023秋?榆陽區期末）在社會與實踐的課堂上，劉老師組織七（1）班的全體學生用硬紙板制

作圓柱體（圖1）.七（1）班共有學生50人，其中男生人數比女生人數少2人，并且每名學生每小時剪20

個圓柱側面（圖2）或剪10個圓柱底面（圖3）.

圖1圖2圖3

(1)七(1)班有男生、女生各多少人？

(2)原計劃男生負責剪圓柱側面，女生負責剪圓柱底面，要求一個圓柱側面配兩個圓柱底面，那么每小時

剪出的筒身與筒底能配套嗎？如果不配套，那么男生應向女生支援多少人時，才能使每小時內剪出的側面與

底面配套.

【分析】(1)設該班有男生x人，則女生有(50-刈人，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果；

(2)先判斷每小時剪出的筒身與桶底不配套，然后設男生向女生支援y人，剪出的筒身與桶底正好配套，

根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果.

【解答】解：(1)設該班有男生x人，則女生有(50-尤)人，

由題意，得50-x=x+2,

解得x=24,

答：該班有男生24人，女生26人；

(2)因為男生一小時剪筒身24x20=480,

需要960個筒底，而26x10=260,

所以每小時剪出的筒身與筒底不配套，

設男生向女生支援y人，剪出的筒身與筒底正好配套，

由題意，得2x20x(24-y)=10x(26+y),

即960-40y=260+10〉，

解得：y=14,

則男生向女生支援14人，剪出的筒身與筒底正好配套.

【點評】此題考查了一元一次方程的應用，弄清題意是解本題的關鍵.

【變式4-4](2023秋?信州區期末)某工廠現有15〃木料，準備制作各種尺寸的圓桌和方桌，如果用部分

木料制作桌面，其余木料制作桌腿.

(1)已知一張圓桌由一個桌面和一條桌腿組成，如果1加木料可制作40個桌面，或制作20條桌腿.要使

制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接寫出制作桌面的木料為多少

(2)已知一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成.根據所給條件，解答下列問題：

①如果1加3木料可制作50個桌面，或制作300條桌腿，應怎樣計劃用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？

②如果3m3木料可制作20個桌面，或制作320條桌腿，應怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子？

【分析】(1)設用x疝木料制作桌面，則用(15-x)立方米木料制作桌腿恰好配套，根據條件的數量關系建

立方程求出其解即可.

(2)①設用G7?木料制作桌面，則用(15-0立方米木料制作桌腿恰好配套，由題意建立方程求出其解即

可.②設用y射木料制作桌面，則用(15-y)加木料制作桌腿恰好配套，由題意建立方程求出其解即可.

【解答】解：(1)設用x疝木料制作桌面，則用(15-尤)立方米木料制作桌腿恰好配套，由題意得

40x=20(15-x),

解得：x=5,

答：制作桌面的木料為5疝.

(2)①設用。"木料制作桌面，則用(15-0立方米木料制作桌腿恰好配套，由題意得

4x50a=300(15-d),

解得：a=9,

制作桌腿的木料為：15-9=6(M).

答：用9川木料制作桌面，用6疝木料制作桌腿恰好配套.

②設用y加木料制作桌面，則用(15-,)加木料制作桌腿能制作盡可能多的桌子，由題意得

4x20x^-=320x^^,

33

解得y=12,

.?.15-12=3帚，

答：用12加木料制作桌面，用3方木料制作桌腿能制作盡可能多的桌子.

【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，尋找配套問題的等量關系建立方程是解決問題的關

鍵.

【考點題型五】工程問題

【例5】(2023秋?清原縣期末)某市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程.這個工程

若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成.若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙

隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務？

【分析】設甲乙兩隊同時施工4天后，余下的工程乙隊還需要x天能夠完成任務，利用甲隊完成的工程量+

乙隊完成的工程量=總工程量，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：設甲乙兩隊同時施工4天后，余下的工程乙隊還需要尤天能夠完成任務，

根據題意得：巴+士=1,

1015

解得：x=5.

答：乙隊還需要5天能夠完成任務.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

【變式5-1](2023秋?高陽縣期末)某物業計劃修整小區綠化帶，現有甲乙兩個工程隊均有意愿承接此項工

程.已知甲隊計劃每天修整32平方米，乙隊計劃每天修整48平方米，若單獨完成這項工作，甲隊比乙隊要

多用10天，修整期間，甲乙兩隊的人工費用分別為800元1天和1200元1天.

(1)求這項工程共需修整綠化帶多少平方米？

(2)此項工程先由甲，乙兩隊按原計劃修整速度合作一段時間后，甲隊因事停工，乙隊立刻將自己每天的

修整速度提高25%.且工資隨之上漲了200元1天，獨立完成剩下工作，已知乙隊的全部工作時間是甲隊

工作時間的2倍還多2天，求乙隊共修整多少天？

【分析】(1)設乙工程隊單獨完成這項工程需要x天，根據甲、乙單獨完成這項工程需修整綠化帶相等，列

出方程，進而作答即可；

(2)設甲工程隊的工作時間為y天，則乙工程隊總工作時間為(2y+2)天，甲隊修，整量+乙隊修整量=960,

列出方程，再解即可.

【解答】解：(1)乙工程隊單獨完成這項工程需要x天，

由題意得：32(%+10)=48%,

解得：x=20,

48x20=960(平方米)，

這項工程共需修整綠化帶960平方米；

(2)設甲工程隊的工作時間為y天，則乙工程隊總工作時間為(2〉+2)天，

32y+48y+48(1+25%)x(2y+2-y)=960,

解得：y=6,

2y+2=2x6+2=14(天)，

，乙隊共修整14天.

【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程.

【變式5-2](2023秋?桂林期末)某水利工程，甲工程隊單獨施工需要40天可以完成，乙工程隊單獨施工

需要60天可以完成.

(1)現在乙工程隊施工10天后，為了加快進度，甲工程隊加入，兩隊合作完成余下的工程，問完成此項水

利工程一共用了多少天？

（2）完成此項水利工程，甲、乙二隊共得到施工費68萬元，如果按每隊完成的工作量計算施工費，那么甲

工程隊可以得到多少萬元？

【分析】（1）設完成此項水利工程一共用了x天，則甲工程隊施工（x-10）天，乙工程隊施工尤天，利用甲工

程隊完成的工程量+乙工程隊完成的工程量=整個工程量（單位“1”），可列出關于x的一元一次方程，

解之即可得出結論；

（2）利用甲工程隊得到的施工費=總施工費x甲工程隊完成的工程量占整個工程量的比例，即可求出結論.

【解答】解：（1）設完成此項水利工程一共用了x天，則甲工程隊施工（尤-10）天，乙工程隊施工尤天，

根據題意得：士竺+土=1,

4060

解得：x=30.

答：完成此項水利工程一共用了30天；

（2）根據題意得：型二3x68=34（萬元）.

40

答：甲工程隊可以得到34萬元.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

【變式5-3］（2023秋?長清區期末）列方程解應用題：

某縣在創建省級衛生文明城市中，對縣城內的河道進行整治.現有一段長為260米的河道整治任務，由甲、

乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天整治8米，乙工程隊每天整治12米，共用時25天.

（1）求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少天？

（2）雇傭甲工程隊需要800元/天，雇傭乙工程隊需要1000元/天，則共需支付兩個工程隊多少錢？

【分析