.3平面對量基本定理及坐標表示6.3.1平面對量基本定理6.3.2平面對量的正交分解及坐標表示課后篇鞏固提升基礎達標練1.設向量e1與e2不共線,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,則實數x,y的值分別為()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4解析因為向量e1與e2不共線,所以解得答案D2.如圖所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,則=()A.B.C.D.解析)=.答案D3.如圖,平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含邊界).設=m+n,且點P落在第Ⅲ部分,則實數m,n滿意()A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<0解析如圖所示,利用平行四邊形法則,將分解到上,有,則=m=n,很明顯方向相同,則m>0;方向相反,則n<0.答案B4.(多選題)已知向量i=(1,0),j=(0,1),對于該坐標平面內的任一向量a,給出下列四個選項,其中不正確的選項是()A.存在唯一的一對實數x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),則x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,則a的始點是原點OD.若x,y∈R,a≠0,且a的終點坐標是(x,y),則a=(x,y)解析由平面對量基本定理,知A正確;舉反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B錯誤;因為向量可以平移,所以a=(x,y)與a的始點是不是原點無關,故C錯誤;當a的終點坐標是(x,y)時,a=(x,y)是以a的始點是原點為前提的,故D錯誤.答案BCD5.已知a=xe1+2e2與b=3e1+ye2共線,且e1,e2不共線,則xy的值為.

解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以故xy=3λ·=6.答案66.如圖,C,D是△AOB的邊AB的三等分點,設=e1,=e2,以{e1,e2}為基底來表示=,=.

解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,=(e2-e1)=e1+e2.答案e1+e2e1+e27.設e1,e2是兩個不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求證:{a,b}可以作為一個基底;(2)以{a,b}為基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)證明假設a,b共線,則a=λb(λ∈R),則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線,得所以λ不存在,故a,b不共線,即{a,b}可以作為一個基底.(2)解設c=ma+nb(m,n∈R),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得故c=2a+b.8.如圖,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,=a,=b.(1)用a,b表示;(2)求證:B,E,F三點共線.(1)解如圖,延長AD到點G,使=2,連接BG,CG,得到平行四邊形ABGC,則=a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).(2)證明由(1)知,,∴共線.又有公共點B,∴B,E,F三點共線.實力提升練1.(多選題)已知向量e1,e2不共線,則下列各組向量不行以作為平面內的一組基底的是()A.e1-e2與e2-e1B.2e1-3e2與e1-e2C.-e1-2e2與2e1+4e2D.e1-2e2與2e1-e2解析選項A,B,C中的兩個向量都共線,所以不能作為基底,D中的兩個向量不共線,故可作為基底.答案ABC2.(2024四川綿陽高一檢測)如圖,在△ABC中,設=a,=b,AP的中點為Q,BQ的中點為R,CR的中點為P,若=ma+nb,則m+n=()A.B.C.D.1解析由題意可得=2=2,=a=+2,①=b,②由①②求得a+b.再由=ma+nb可得m=,n=,m+n=.答案C3.(2024黑龍江哈爾濱三中高一檢測)我國古代人民早在幾千年以前就已經發覺并應用勾股定理了,勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的,被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現,是中國古代數學的圖騰,還被用作第24屆國際數學家大會的會徽.如圖,大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的,若=a,=b,E為BF的中點,則=()A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b解析設BE=m,則AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.過點E作EH⊥AB于點H,則EH=m,EH∥AD,AH=m.所以AH=AB,HE=AD.所以a+b.故選A.答案A4.如圖,在平面直角坐標系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內的一個向量a,若|a|=2,θ=45°,則向量a的坐標為.

解析由題意知a=(2cos45°,2sin45°)=().答案()5.如圖,平面內有三個向量,其中的夾角為120°,的夾角為30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值為.

解析如圖,作平行四邊形ODCE,則.在Rt△OCD中,因為||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.答案66.如圖,在△ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN交于點P,求的值.解設=e1,=e2,則=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分別共線,∴存在實數λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=2e1+3e2,∴解得∴,即=4∶1.素養培優練(2024江西上饒中學高一檢測)在△ABC中,.(1)求△ABM與△ABC的面積之比;(2)若N為AB的中點,交于點P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.解(1)在△ABC中,,4=3,3()=,即3,即