第03講圓的方程

目豪

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：求圓多種方程的形式.....................................................2

題型二：直線系方程和圓系方程...................................................2

題型三：與圓有關的軌跡問題.....................................................2

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件...............................3

題型五：點與圓的位置關系判斷...................................................3

題型六：數形結合思想的應用.....................................................4

題型七：與圓有關的對稱問題.....................................................4

題型八：圓過定點問題...........................................................5

02重難創新練..................................................................5

03真題實戰練..................................................................7

題型一：求圓多種方程的形式

1.（2024?陜西榆林?二模）圓心在x軸的正半軸上，半徑為8,且與直線4*-3、=。相切的圓的方程為.

2.（2024?全國?模擬預測）與直線x-y-1=0相切于點（2,1）的圓的方程為.（寫出一個即可）

3.（2024?北京西城?二模）已知圓C經過點（-1,0）和（3,0）,且與直線y=2相切，則圓C的方程為.

4.（2024?四川成都?高三成都七中校考開學考試）已知4（-"。）,3（"0）（（0,3）,則ABC外接圓的方程

為（）

A.（x-l）2+y2=2B.（x-l）2+y2=4C.無？=2D.x2+（y-l）2=4

題型二：直線系方程和圓系方程

5.圓心在直線x-y-4=0上，且經過兩圓尤2+丁+6工一4=0和彳2+丁+6、-28=0的交點的圓的方程為（）

A.x?+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-%+7^-16=0

C.x2+y1—4x+4）?-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

6.過圓d+y2-2y-4=0與尤2+丁-4》+2?=0的交點，且圓心在直線/：2x+4y-l=0上的圓的方程

是.

7.過兩圓Y+y2-x-y-2=0與/+;/+好-4丫-8=0的交點和點（3,1）的圓的方程是.

題型三：與圓有關的軌跡問題

8.（2024.湖南長沙?一模）已知圓M:（x-4）2+y2=16,過點N（2,0）的直線/與圓/交于A,3兩點，3是A3

的中點，則。點的軌跡方程為.

9.長為2a的線段A8的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，則的中點P的軌跡方程為.

10.已知等腰三角形A8C的底邊3c對應的頂點是4口,2）,底邊的一個端點是3（3,5）,則底邊另一個端點C

的軌跡方程是

11.由圓/+/=9外一點P（5/2）引圓的割線交圓于A8兩點，求弦AB的中點比的軌跡方程.

12.已知RtABC的斜邊為45,且4(-1,0),僅3,0).求：

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊8c的中點Af的軌跡方程.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

13.(2024?高三?福建龍巖?期中)“方程￡+/一4》+6丫+。=0表示的圖形是圓”是“/_14440”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.(2024.廣東廣州?三模)設甲：實數。＜3；乙：方程x2+y2-x+3y+a=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.已知“〃區產是"/+?2+百工-6y+;〃=O”表示圓的必要不充分條件，則實數7的取值范圍是(

A.(-l,+oo)B.[1,+co)C.D.(-co,-l)

題型五：點與圓的位置關系判斷

16.若點4(0,1)在圓O：￡+y2-2x+42y+2〃/-l=0外，則實數根的取值范圍為()

A.B.(-2,0)

C.(-oo,-l)u^-1-,+coJD.(^O,-2)U(0,-KO)

17.(2024.甘肅定西.統考模擬預測)若點(2,1)在圓/+丫2-彳+丫+〃=0的外部，則。的取值范圍是(

18.若點在圓.代+丁_2毆_4=0的內部，則。的取值范圍是().

A.a>lB.O<6Z<1C.-l<a<—D.a<1

5

19.(多選題)(2024.廣西模擬預測)若點尸(1,0)在圓。：/+丁+2尤-”+加=0的外部，則加的取值可

能為()

A.-3B.1C.4D.7

題型六：數形結合思想的應用

20.若直線/：履-y+2-2%=。與曲線C：>=曰二百有兩個不同的交點，則實數上的取值范圍是.

21.直線y=x+b與曲線y=l有兩個不同的交點，則實數b的取值范圍是()

A.^1—2-\/2,1+2-72)B.(1-2^\—1]

C.b1,1+2夜)D.[3,1+2A/2)

22.(2024.吉林白山.統考二模)若過點P(2,4)且斜率為左的直線/與曲線>=在二/有且只有一個交點，

則實數上的值不可能是()

344

A.-B.-C.-D.2

453

題型七：與圓有關的對稱問題

23.若曲線(％-iy+(y-2)2=4上相異兩點尸、。關于直線"7-2=0對稱，則Z的值為()

A.1B.2C.3D.4

24.已知圓Af：d+(y+ij=i與圓N：(%-2/+(y-3『=1關于直線/對稱，則/的方程為()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.x+2y-3=0D.2x+y-3=0

25.已知圓f+y2+2x—4y+l=0關于直線x—y+/=0對稱，則實數/=()

A.-3B.1C.-1D.3

26.圓M:(犬-2)2+(y-1>=1與圓N關于直線x-y=0對稱，則圓N的方程為()

A.(x+l)2+(y+2)2=lB.(x-2)2+(j+l)2=l

C.(x+2)2+(y+1)2=]D.(x—I)2+(y—2)2=1

題型八：圓過定點問題

27.對任意實數加，圓了2+、2一3小一6叫；+9切-2=0恒過定點，則定點坐標為

28.點尸（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點，O是坐標原點，則以。尸為直徑的圓經過定點（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

29.已知二次函數/（x）=x2+2x+6（xeR）的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為C,

則圓。經過定點的坐標為（其坐標與b無關）

1.（2024?廣東珠海?一模）已知點4（-1,0）,8（0,3）,點尸是圓（x-3y+y2=i上任意一點，貝|面積

的最小值為（）

A.6B.-C,-D.6--

222

2.（2024?山東濟南三模）圓（尤-l）2+（y+l）2=4上的點到直線3x+4y-14=0的距離的最大值為（）

A.3B.4C.5D.9

3.（2024?廣東佛山?模擬預測）已知點尸在圓C:（x-2）2+（y-3）2=l上運動，點A（-2,0）,則AC2P的取

值范圍為（）

A.[20,30]B.（20,30）C.[20,25]D.（20,25）

4.（2024?陜西商洛三模汨知尸（%,%）是圓C：/+V-2x-2y+1=0上任意一點，則注的最大值為（）

A.-2B.--C.-4一幣D.-4+4

233

5.（2024?四川雅安?三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通

徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓（x-2）z+（y+l）2=4的一條直徑

與拋物線f=2py（p>0）的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則。=（）

A.-B.1C.2D.4

2

6.（2024?陜西榆林?模擬預測）己知3（-2,0）,C（6,-2）,點尸是圓+V=i上的一點，則

0+陷「十忸的最小值為（）

A.3近+37B.49-673

C.3省+37D.49-6收

7.（2024?山西晉中?模擬預測）已知直線/：V=x與圓「：（％-2左y+（丫-左+1）2=1,下列說法正確的是（）

A.所有圓「均不經過點（1,1）B.若「關于/對稱，則后=-2

C.若/與「相交于A3且|A3|=&,貝殊=-2D.存在與％軸和y軸均相切的圓「

8.（2024.黑龍江哈爾濱.模擬預測）己知拋物線G：/=2px（p>0）,其焦點廠到準線的距離為2,過焦點P

且斜率大于0的直線/交拋物線于A3兩點，以為直徑的圓C?與準線相切于點。（-1,2）,則圓購的標準

方程為（）

A.（x-3）2+（y-2）2=16B.（x-2）2+（y-3）2=16

C.（x-3）2+（y-2）2=8D.（x-2）2+（y-3）2=8

9.（多選題）（2024?河南.模擬預測）己知復數z=4+3i,z?=-4-3i,則下列說法正確的是（）

A.Z[N=_7

B.若|z—a=3,則24同48

C.^\z-z,\=\z-z2\,則|z-l|的最小值為q

D.若|z-Z|+3i|+|z-z「3i|=16,則復數z在復平面內所對應的點的軌跡方程為三+二=1

6448

10.（多選題）（2024?江西宜春?三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼

斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A,8之間的距離為。（非零常數），動點〃到A,8的距離之比為常

數幾（2>0,且"1）,則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，已知A（T,0）,3（2,0）,

點/滿足|肱4|=2|九機|,則下列說法正確的是（）

A.AA/B面積的最大值為12B.MA.MB的最大值為72

C.若。（8,8）,貝”加川+2也。]的最小值為10D.當點M不在x軸上時，M。始終平分NAAZB

11.（多選題）（2024.貴州遵義?二模）已知平面內曲線C：2（/+V）=|x|+|y|+l,下列結論正確的是（）

A.曲線C關于原點對稱

B.曲線C所圍成圖形的面積為。兀

O

C.曲線C上任意兩點同距離的最大值為巫業1

2

D.若直線好履-祁>0）與曲線C交于不同的四點，則

12.（2024?陜西榆林?三模）在VABC中，BC=3,AC=2AB,則VABC面積的最大值為.

13.（2024?內蒙古呼和浩特.二模）點2（1,-。）關于直線了-y=0的對稱點在圓（》-2）2+（丫-4）2=13內，則

實數。的取值范圍是.

14.（2024.上海.模擬預測）平面點集｛（尤,V）I（x-cos0）2+（y-sin。）？=9超eR）所構成區域的面積為.

15.（2024?湖南邵陽?三模）寫出滿足“點（3,-2）在圓V+f-2x+4y+m=0外部”的一個加的值：加=.

16.（2024.遼寧沈陽?模擬預測）設A,3是半徑為3的球體O表面上兩定點，且ZAOB=60。，球體。表

面上動點尸滿足|R4|=2|PB|,則點尸的軌跡長度為.

1.（2023年高考全國乙卷數學真題）設。為平面坐標系的坐標原點，在區域｛（%"）|14尤2+：/44｝內隨機

取一點，記該點為4則直線的傾斜角不大于J的概率為（）

4

A.—B.—C.-D.一

8642

2.（2007年普通高等學校招生考試數學試題（福建卷））以雙曲線――產=2的右焦點為圓心，且與其右

準線相切的圓的方程是（）

A.M+y2-4%-3=0B.兀2+y2-4x+3=0

C.x2+y?+4x—5=0D.x2++4-x+5=0

3.（2004年普通高等學校招生考試數學試題（全國卷ni））圓（x-2『+y2=4過點P（l,g）的切線方程是

（）

A.x+'j3y—2=0B.x+\/3y—4=0

C.x—\/3y+4=0D.x—y/3y+2=0

4.（2001年普通高等學校招生考試數學試題（全國卷））過點A（l,T）,3（-1,1）,且圓心在直線x+y-2=0

上的圓的方程是（）

A.（%-l）2+（y-l）2=4B.（x+3）2+（y-l）2=4

C.（x-3）2+（y+l）2=4D.（x+l）2+（y+l）2=4

5.（2006年普通高等學校招生考試數學試題（重慶卷））以點（2,-1）為圓心且與直線3尤-4y+5=0相切的

圓的方程是

A.(x-2)2+(y+l)2=3B.(x+2)2+(j-l)2=3

C.(x-2)2+(y+l)2=9D.(x+2)2+(y-l)2=9

6.(2004年普通高等學校招生考試數學試題(全國卷IV))已知圓C的半徑為2,圓心在工軸的正半軸上，

直線3x+4y+4=0與圓c相切，則圓C的方程為

A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0

C.X2+/+2X-3=0D.x2+y2-4x=0

7.(2004年普通高等學校招生考試數學試題(北京卷))圓必+(y+1)2=1的圓心坐標是,如

果直線x+〉+a=0與該圓有公共點，那么實數。的取值范圍是.

8.(2004年普通高等學校招生考試數學試題(上海卷))圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于

40,T),8(0,-2)兩點，則圓C的一般方程為.

9.(2019年浙江省高考數學試卷)已知圓C的圓心坐標是(0,m)，半徑長是r.若直線2x-y+3=。與圓相

切于點4(一2,-1),則加=，r=

第03講圓的方程

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：求圓多種方程的形式.....................................................2

題型二：直線系方程和圓系方程...................................................2

題型三：與圓有關的軌跡問題.....................................................2

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件...............................3

題型五：點與圓的位置關系判斷...................................................3

題型六：數形結合思想的應用.....................................................4

題型七：與圓有關的對稱問題.....................................................4

題型八：圓過定點問題...........................................................5

02重難創新練..................................................................5

03真題實戰練..................................................................7

題型一：求圓多種方程的形式

1.（2024.陜西榆林.二模）圓心在龍軸的正半軸上，半徑為8,且與直線以-3?=0相切的圓的方程為.

【答案】（x-10）2+y2=64

【解析】根據題意，設圓心為坐標為（4,0）（。＞0）

因為圓的半徑為8,且與直線4x-3y=0相切，

14al?I

則圓心到直線4x-3y=0的距離，=8n4G=40,

A/42+32

解得。=10或。=一10（舍），則圓的坐標為（10,。），

所求圓的方程為（x-10）2+V=64

故答案為：（X-10）2+/=64

2.（2024?全國.模擬預測）與直線無相切于點（2,1）的圓的方程為.（寫出一個即可）

【答案】（X-1）2+（J-2）2=2（答案不唯一，只要滿足（＞%）2+（丫+%一3）2=2（/-2）2即可，其中方為圓

心的橫坐標，且無0中2）

【解析】設所求圓的圓心坐標為■，%）（%N2）,

貝1]^~4=T，即%=一與+3，

玉）一,

所以滿足條件的圓的方程為+（y+%-3）2=2&-2）2,

故只要滿足（尤一%）2+（y+尤。-3）2=2（%—2）2（無。關2）即可,

取馬=1,可得圓的方程為（x-1）?+（y-2）2=2.

故答案為：（x-iy+（y-2）2=2（答案不唯一）

3.（2024?北京西城?二模）已知圓C經過點（-1,0）和（3,0）,且與直線y=2相切，則圓C的方程為.

【答案】（x-l）2+V=4

【解析】設圓C的方程為（x-4+（y-b）2=/什＞0）,

(-l-a)2+(O-Z))2=r2卜=1

則由題意可得(3-。)2+(0-?2=產,解得，b=0,

|2-/>|=rr=2

所以圓C的方程為(x-l)2+y2=4

故答案為：(X—1)2+/=4

4.(2024四川成都?高三成都七中校考開學考試)己知A(-g,0),8(&0),C(0,3),則ABC外接圓的方程

為()

A.(X-1)2+/=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【答案】A

【解析】設BBC外接圓的方程為(尤-4+(y-b)-=r2

(―—+(。-6)=f2a=0

則有(6-。)2+(0-5)2=產,解之得6=1

(0-a)2+(3-6『=產[r=2

則—ABC外接圓的方程為V+(y-以=4

故選：D

題型二：直線系方程和圓系方程

5.圓心在直線x-y-4=0上，且經過兩圓尤2+丁+6工一4二=0和爐+/+6、-28=0的交點的圓的方程為(

A.x2+y—x+1y—32=0B.x2+y2-九+7y-16=0

C.x2+y2-4x+4y-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

【答案】A

【解析】由題可先設出圓系方程：X2+/+6X-4+/(X2+y2+6y-28)=0,

則圓心坐標為；[,

11+/L1+A/

□3夕

又圓心在直線_4=0上，可得_+_4=0,解得A=-7,

1+21+2

所以圓的方程為：+,2_X+7,-32=0,故A正確.

故選：A.

6.過圓兀2+>2—2y—4=0與+>2-4x+2y=0的交點,且圓心在直線/：2x+4y-1=0上的圓的方程

是

【答案】x2+y2-3x+y-l=0

【解析】設圓的方程為d+丁—4x+2y+〃d+y2-2y—4）=0（2H—1）,

貝1」(1+小2一4%+(1+小2+(2—2》-44=0,

即+y2+7=0,所以圓心坐標為,

1+A1+A1+A<1+41+2J

把圓心坐標代入2x+4y-l=0,可得2=；,

所以所求圓的方程為f+產一3%+>-1=0.

故答案為：x2+y2-3x+y-l=0.

7.過兩圓》2+丁-苫-丫-2=0與/+｝；2+4；(;一4>-8=0的交點和點(3,1)的圓的方程是.

1Q

【答案】X2+y2一~—x+y+2=0

【解析】設所求圓的方程為：(Y+9—%—y—2)+4(尤2+/+4尤—4)—8)=0

9

將(3,1)代入得：^=-1

13

二所求圓的方程為：Y+y2_^_x+y+2=0

13

本題正確結果：x2+y2-y^+y+2=0

題型三：與圓有關的軌跡問題

8.(2024.湖南長沙.一模)已知圓M:(x-4)2+y2=i6,過點N(2,0)的直線/與圓加交于A,8兩點,。是A8

的中點，則。點的軌跡方程為.

【答案】(x-3,+y2=l

【解析】圓A7:(x-4)2+y2=16,

所以圓心為M(4,0),半徑為4,設。(x,y),

由線段A8的中點為。，可得MDLDN,

即有MD-ND=(x_4,y>(x_2,y)=(x_4)(x_2)+yy=0,

即(X—3)2+y2=],

所以點。的軌跡是以(3,0)為圓心，1為半徑的圓；

故答案為：(x-3y+y2=L

9.長為2a的線段AB的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，則AB的中點尸的軌跡方程為.

【答案】%2+/=?2

【解析】由題意，可知CMJLO3,P為力B的中點，

得0P為定值。，則點P的軌跡方程為爐+>2=/,

故答案為：x1+y2=a2.

10.已知等腰三角形ABC的底邊BC對應的頂點是A（4,2）,底邊的一個端點是3（3,5）,則底邊另一個端點

C的軌跡方程是

【答案】（苫-4）2+（k2）2=10（去掉（3,5）,（5,-1）兩點）

【解析】設c（尤,y）,由題意知，|AB|=J（3_4『+（5-2）2=血,

因VA3C是以3c為底邊的等腰三角形，于是有|CA|=|AB|=M，即點C的軌跡是以A為圓心，M為半

徑的圓，

又點A,3,C構成三角形，即三點不可共線，則軌跡中需去掉點2（3,5）及點B關于點A對稱的點（5,-1）,

所以點C的軌跡方程為（X-4）2+（y-2?=10（去掉（3,5）,（5,-1）兩點）.

故答案為：（x-4）2+（y-2）2=10（去掉（3,5）,（5,-1）兩點）

11.由圓尤2+y=9外一點p（5,12）引圓的割線交圓于AB兩點，求弦A3的中點M的軌跡方程.

【解析】［方法一］:【通性通法】【最優解】直接法

設弦A8的中點/的坐標為“（X,y），連接OP、OM廁OM±AB.

在，OMP中,由勾股定理有/+V+a_5）2+（y-12）2=169,而M（x,y）在圓內，

所以弦AB的中點M的軌跡方程為/+y2-5x-12y=0（-3<x<3）.

［方法2］：定義法

因為M是AB的中點，所以，4?,所以點M的軌跡是以OP為直徑的圓,圓心為l|,6；半徑為卓=y,

所以該圓的方程為:Q-gj+⑶一6『=j,化簡得V+V一5x-12y=0（-3<x<3）

［方法3］；交軌法

易知過P點的割線的斜率必然存在，設過P點的割線的斜率為k,

則過P點的割線方程為:y-12=左(尤-5).

1

?.?OM±AB且過原點,???OM的方程為y=-尸

K.

這兩條直線的交點就是M點的軌跡.兩方程相乘消去左，化簡，得：/+/-5x-12y=0,

其中-3<x<3.

［方法4］：參數法

設過尸點的割線方程為:y-12=左(X-5),它與圓x2+y=9的兩個交點為A、B,

A3的中點為Af,設M(x,y),A(%,%),8(%,%).

2k

由可得，（1+公）無2+24（12-5人口+（12-5々）2-9=0,所以，Xi+X2=-^~^,即有

k（12-5人）n-5k

X=-----------z--,尸7^，消去3

1+左2

可求得M點的軌跡方程為：x2+y2-5x-12y=0,-3<x<3.

［方法5］：點差法

設M（x,y）,A（Xj,%）,B（X2,%），則%+%=2尤,%+%=2y.

，?W+W=9,考+y；=9.兩式相減，整理，得（馬-1）（/+%）一（%-%）（%+%）=。.

所以之二&=-工±三=-2,即為AB的斜率，

%-網%+%y

而AB的斜率又可表示為^^工.32=--，化簡并整理，得x2+y2-5x-12y=0.

5-x5-xy

其中-3<x<3.

12.已知RtABC的斜邊為AB,且A(-L0),3(3,0).求：

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊8C的中點〃的軌跡方程.

【解析】(1)設C(x,y),因為A氏C三點不共線，所以y*0,

因為AC，3C,所以&c?原c=T，

又因為廉=告,噎=七'所以信.號=T，

整理得x2+y2-2x-3=0,即(X-1)2+V=4,

所以直角頂點C的軌跡方程為(x-1)?+/=4(yw0).

(2)設M(x,y),C(x(),%),

因為8(3,0),M是線段BC的中點，

由中點坐標公式得了=三川=%，，所以x°=2x-3,%=2y,

由(1)知，點C的軌跡方程為(x-l)2+y2=4(yw0),

將尤0=2尤一3,%=2y代入得(2元一4)2+(2"=4,即。/了+產=1

所以動點"的軌跡方程為(x-2y+y2=i(yW0).

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

13.(2024.高三.福建龍巖.期中)“方程Y+y2-4x+6y+a=0表示的圖形是圓”是“/..VO”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由方程f+)/-4x+6y+a=0表示的圖形是圓，

可得16+36—4。>0,

即a<13；

由/-144W0，

得一124aV12,

顯然[-12,12]

所以“方程尤2+丫2_以+6尹4=0表示的圖形是圓”是“/_14440”的必要不充分條件.

故選：B.

14.(2024?廣東廣州?三模)設甲：實數。<3；乙：方程/+>2一》+3、+。=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

,5

【解析】若方程/+9一x+3y+a=0表示圓，貝！](-1)~+3。一4。=10-4°>0,解得：。</；

■.-a<3^,a<|=>a<3,,，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B.

15.已知“相孕”是“爐+)?+&-詬,+%=()”表示圓的必要不充分條件，則實數t的取值范圍是()

A.(-1,4-00)B.[l,+oo)C.(-00,1)D.(-00,-1)

【答案】A

【解析】若表示圓，則(代產+(-詬)2-4加>0,

解得m<l.

“m<t”是“f+9+氐一而y+m=0”表示圓的必要不充分條件，

所以實數f的取值范圍是口,口).

故選：B

題型五：點與圓的位置關系判斷

16.若點4(0,1)在圓O：一+丁-21+4〃7y+2蘇-1=0外，則實數機的取值范圍為()

A.口T)B.(-2,0)

C.(一<?,T)u1-g,+oojD.(-co,-2)u(0,+co)

【答案】A

【解析】圓。化成標準方程為(x-11+(y+2㈤2=2/+2,

點4(0,1)在圓。外，則有(o-iy+(1+2m)2>2療+2,

即2m2+4m>0>解得機<-2或/”>0.

故選：D.

17.(2024?甘肅定西?統考模擬預測)若點(2,1)在圓尤2+y2-x+y+a=。的外部，則。的取值范圍是()

A.B.1一C.D.(-?,-4)UQ,+CO^

【答案】B

【角星析】依題意，方程+>2—%+)+。=0可以表示圓，貝|J(一])2+]2—4。>0,得〃<5；

由點(2,1)在圓％2+y2—x+y+〃=o的外部可知：22+12-2+1+?>0,得a>T.

故4一4/<a<一1.

2

故選：C

18.若點（。+1,。一1）在圓f+丁2一2”一4=0的內部，則。的取值范圍是（）.

A.6Z>1B.0<<7<1C.—1<Q<—D.av1

5

【答案】A

【解析】由題可知，半徑廠=J”?+4，所以aeR，把點1）代入方程，

貝1|（4+1）2+（。-1）2-2°（4-1）一4<0,解得a<1,所以故。的取值范圍是a<1.

故選：D

19.（多選題）（2024廣西模擬預測）若點P（l,0）在圓C:x2+V+2x-4y+%=0的外部，則加的取值可

能為（）

A.-3B.1C.4D.7

【答案】AC

【解析】由題設C:（x+l）2+（y-2）2=5-m,P（l,0）在圓外，

?.（1+1）+（0—2）->5—fllM，0r-

5-m>0

故選：BC

題型六：數形結合思想的應用

20.若直線/：丘->+2-2左=0與曲線C：>=有兩個不同的交點，則實數上的取值范圍是.

【答案】恒

【解析】由題意可得直線/："-y+2-2左=0即y=-2）+2,所以直線/恒過定點A（2,2）,曲線C：

—4"圖象為以（。,0）為圓心,2為半徑的上半圓（包含x軸部分），

它們的圖象如圖所示:

當直線/過點(-2,0)時，它們有兩個交點，此時A=2_(_2)=5,

當直線/與上半部分圓相切時，有一個交點，此時左=0,

由圖象可知，若直線/與曲線C有兩個不同的交點，則。

即實數％的取值范圍是.

故答案為：

21.直線y=x+8與曲線y=i一"Z?有兩個不同的交點，則實數人的取值范圍是()

A.^1—2-\/2,1+2-\/2)B.(1-2應1]

C.[-1,1+20)D.[3,1+2四)

【答案】A

【解析】由y=l-"^41可得y—1=-6^，整理可得Y+(y-l)2=4,其中y41,

所以，曲線y=l一”―/表示圓Y+(y_l『=4的下半圓,如下圖所示：

當直線》=尤+6與曲線y=i_j4-d相切時,由圖可知，b<0,

且有上皆=2,解得6=1-2四，

當直線y=x+6過點(0,T)時，則有6=-1,

由圖可知，當1-2應＜64-1時，直線y=x+b與曲線y=l_j4_f有兩個公共點,

故選：B.

22.(2024?吉林白山?統考二模)若過點P(2,4)且斜率為左的直線/與曲線yna3,有且只有一個交點，

則實數々的值不可能是()

344

A.—B.—C.—D.2

453

【答案】A

【解析】如圖，

曲線y=7?二百即/+寸=4仃20)表示以。為圓心，2為半徑的上半圓，

|-2左+4|33

因為直線1：y=k(x-2)+4即爪_y_2左+4=0與半圓相切，所以j"=2,解得左=疝.

因為P(2,4),A(-2,0),所以kPA=2%)=1,

又直線/與曲線y=6?有且只有一個交點，所以左＞原4或左=

所以實數上的取值范圍是(L+勾。I;，

故選：B

題型七：與圓有關的對稱問題

23.若曲線"-以+仃-2)2=4上相異兩點尸、。關于直線近-〉-2=0對稱，則上的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】若曲線(彳-1)2+(丁-2)2=4上相異兩點尸、。關于直線"-y-2=0對稱，

則圓心(L2)在直線射-y-2=0上，故代入解得上=4,

故選：D.

24.已知圓M：/+(,+1)2=i與圓N：(%-2『+(,-3『=1關于直線/對稱，貝!J/的方程為(

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.x+2y-3=0D.2x+y—3=0

【答案】B

【解析】由題意得M(O,-1),N(2,3),則MN的中點的坐標為(U),

_3+1

=2.

直線MN的斜率-2^0

J

由圓Af與圓N關于/對稱，得/的斜率勺—

^MN2,

因為肱V的中點在/上，所以>-1=-；(彳-1),即x+2y-3=0.

故選：C.

25.已知圓》2+_/+2*-4、+1=。關于直線x-y+f=O對稱，則實數/=()

A.-3B.1C.-1D.3

【答案】A

【解析】由/+/+2x-4y+l=0得(x+l)2+(>-2)2=4,

則圓心坐標為(—1,2),又因為圓/+/+2工-4〉=0關于直線工一>+/=。對稱，

故由圓的對稱性可知：圓心(-1,2)在直線x-y+r=0上，

貝曠=y-x=2-(-1)=3.

故選：D.

26.圓M:(x-2)2+(y-l)2=l與圓N關于直線x-y=0對稱，則圓N的方程為()

A.(尤+1)2+(>+2)2=1B.(x-2)2+(y+l)2=l

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(^-l)2+(y-2)2=1

【答案】A

【解析】圓M：(x-2>+(y_l)2=l的圓心為(2,1),半徑為1,

(2,1)關于直線x-y=0的對稱點是(1,2),

所以圓N的圓心是(1,2),半徑是1,

所以圓N的方程為(x-l)2+(y-2)2=1.

故選:D

題型八：圓過定點問題

27.對任意實數機，圓V+_/-3”?x-6切+9MI-2=0恒過定點，則定點坐標為

￡7

【答案】（1,1）或

5,5

【解析】無2+-3/HX-6"沙+9〃z-2=0,BPx2+y2-1-（3x+6y-9）m=0,

7

令4

解得j日，或-I

所以定點的坐標是（LI）或14?

故答案為：（L1）或

28.點P（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點,。是坐標原點，則以0P為直徑的圓經過定點（）

A.（0,0）和（1』）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】A

,則線段。尸的中點為等

【解析】設點尸。,5-2。

圓M的半徑為=『+（：-2/）2=&-一”+25

2

所以，以OP為直徑為圓的方程為卜-￡|+［一三）=5t-20t+25

即尤2+,2_優+（2/?—5））=0,gp（x2+y2_5y）+，（2y-x）=0,

[2y-x=0x=2

解得。或

[x2+y1-5y=0ky=i

因此，以OP為直徑的圓經過定點坐標為（0,0）、（2,1）.

故選：D.

29.已知二次函數/（犬）=*2+2犬+6（尤eR）的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為C,

則圓C經過定點的坐標為（其坐標與人無關）

【答案】（0,1）和（一2,1）

【解析】二次函數〃尤）=*2+2彳+優彳€氏）的圖像與坐標軸有三個不同的交點,記為加（孤