第05講橢圓及其性質

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：橢圓的定義............................................................4

知識點2：橢圓的方程'圖形與性質................................................4

解題方法總結...................................................................6

題型一：橢圓的定義與標準方程...................................................7

題型二：橢圓方程的充要條件.....................................................8

題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題.................................9

題型四：橢圓上兩點距離的最值問題..............................................10

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題............................................12

題型六：離心率的值及取值范圍..................................................13

方向1：利用橢圓定義去轉換.....................................................13

方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式.......................................13

方向3：利用最大頂角。滿足sin^WeVl.......................................................................................14

方向4：坐標法.................................................................15

方向5：找幾何關系，利用余弦定理...............................................15

方向6：找幾何關系，利用正弦定理...............................................16

方向7：利用基本不等式.........................................................17

方向8：利用焦半徑的取值范圍為[a—c,a+c]............................................................................17

方向9：利用橢圓第三定義.......................................................18

題型七：橢圓的簡單幾何性質問題................................................19

題型八：利用第一定義求解軌跡..................................................21

題型九：橢圓的實際應用........................................................23

04真題練習?命題洞見............................................................25

05課本典例?高考素材............................................................26

06易錯分析?答題模板............................................................28

易錯點：橢圓焦點位置考慮不周全................................................28

答題模板：求橢圓的標準方程....................................................29

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

2024年H卷第5題，5分

橢圓是圓雉曲線的重要內容，高考主要

2023年甲卷（理）第20題，12分

（1）橢圓的定義及其標考查橢圓定義的運用'橢圓方程的求法以及

2023年I卷H卷第5題，5分

準方程橢圓的簡單幾何性質，尤其是對離心率的求

2023年北京卷第19題，15分

（2）橢圓的幾何性質解，更是高考的熱點問題，因方法多，試題

2023年甲卷（理）第12題，5分

靈活，在各種題型中均有體現.

2022年甲卷（理）第10題，5分

復習目標：

（1）理解橢圓的定義、幾何圖形'標準方程.

（2）掌握橢圓的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）.

（3）掌握橢圓的簡單應用.

匐2

知識導圖?思維引航

橢圓及其性質

者占突曲?題理探密

知識固本

知識點1:橢圓的定義

平面內與兩個定點耳月的距離之和等于常數2a(2a>|耳丹|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫

做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

{P\\PFl\+\PF21=2a(2a>|FtF21=2c>0)}

注意：當2a=2c時，點的軌跡是線段；

當2a<2c時，點的軌跡不存在.

【診斷自測】已知點A(-1,0),2(1,0),動點P(x,y)滿足|即+|冏=1,則動點尸的軌跡是()

A.橢圓B.直線C.線段D.不存在

知識點2：橢圓的方程、圖形與性質

橢圓的方程、圖形與性質所示.

2222

標準方程a+方=1(?>。)/+a=1(?>。)

統一方程rwc2+ny2=l(m>0,n

[x=acos0-dw,/、[x=acosO-A”,，/、

參數方程\1為參數(夕￡[O,2?D,八,6為參數(夕￡[0,2萬])

[y=bsmO[y=bsing

第一定義到兩定點與、工的距離之和等于常數2a,即|M4|+|g|=2a（2.>|耳月|）

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A](—〃,0)、A?(〃,0)A](0,—Q)、A，2(0,〃)

頂點

B/0,詢、B2(O,&)B](也0)、B2(fe,0)

軸長長軸長=2a,短軸長=2）長軸長=2a，短軸長=2〃

對稱性關于X軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

焦點耳（-c,0）、居（c,0）耳(0,-c)、居(O,c)

焦距忸周=2c(c2=a2-Z>2)

b1

離心率e=a=^=---(0<evl)

a

準線方程

c

>1外>1外

點和橢圓

=lo點(%,%)在橢圓<上=10點5,%)在橢圓V上

的關系a2b2a2b2

<1內<1內

苦+苦=1（?，%）為切點）（（%,%）為切點）

ab

切線方程

對于過橢圓上一點（%,%）的切線方程，只需將橢圓方程中/換為瓦x,/換為

%y可得

切點弦所

在的直線誓+誓=1（點（%為）在橢圓外）理+孝=1（點（x0,%）在橢圓外）

abab

方程

2〃

①cos8=------1,&=/可巡，（3為短軸的端點）

焦點三角

2

形面積②IS.昌=^rtr2sm3=btan|=jc|%l,焦點在X軸上

。|龍。|,焦點在丫軸上'2

口（%，%）

oFfx

a1

7當乃點在長軸端點時，（々々）min=Z?2

(

[當尸點

、在短軸端點時，（色）max=a2

奉寫點三角;形中一般要用到的關系是

\MFt\+\MF21=2a（2a>2c）

^\PF\\PF\sinZF.PF^

SAPFFz=t2

\F^=1

PFl\+\PF2^-2\PFi\\PF2\cosZF{PF2

上焦半徑：MF1\=a-ey

左焦半徑：0

MF、\=a+ex0

下焦半徑：MF[=〃+e為

焦半徑X

又焦半徑：MFX\=a-exQ

焦半徑最大值4+C,最小值4-C

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2乙（最短的過焦點的弦）

a

設直線與橢圓的兩個交點為4(百，%),3(%,%)，kAB=k>

2

則弦長|AB|=J1+的巧6|=Ji+左之加玉—x2）—4%尤2

弦長公式

=J12-4>跖=jl+公盧

\a\

（其中a是消y后關于X的一元二二次方程的f的系數，A是判別式）

【診斷自測】一個橢圓的兩個焦點分別是片（-3,0）,耳（3,0）,橢圓上的點尸到兩焦點的距離之和等于8,

則該橢圓的標準方程為（）

A."=1RcWD.J

D.-。-----1------1

642816716943

解題方法總結

（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為2生b2.

a

①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點.

②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點.

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

(2)橢圓的切線

22

①橢圓與+斗=1(a>6>0)上一點「(尤。，為)處的切線方程是岑+岑=1；

abab

22

②過橢圓二+多=1(a>6>0)外一點尸(尤°,%),所引兩條切線的切點弦方程是誓+岑=1；

abab

22

③橢圓三+當=1(a>6>0)與直線Ac+3y+C=0相切的條件是A2a2+笈〃=02.

ab

題型一：橢圓的定義與標準方程

【典例1-1】(2024?全國?模擬預測)過四點(0,1),1,-!),卜弓，),-咚)中的三點的一個橢圓標

準方程可以是—，這樣的橢圓方程有一個.

【典例1-2】己知尸一6是橢圓C的兩個焦點，尸是C上的一點，若尸片且|PK|:|P段=2:5,

則C的長軸長與焦距的比值為()

A.1B.2c.叵D.叵

27729

【方法技巧】

(1)定義法：根據橢圓定義，確定/方的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.

(2)待定系數法：根據橢圓焦點是在無軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件列出

a,6,c的方程組，解出〃,從，從而求得標準方程.

注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為一+夢=l(A>0,3>0,AwB).

2222

②與橢圓土+匕=1共焦點的橢圓可設為-------1------=1(K>—m,k>—n,mwn).

mnm+kn+k

2222

③與橢圓斗+與=1（。>，>0）有相同離心率的橢圓，可設為二+1=左（尤>0,焦點在X軸上）或

abab

r2v2

—r+^-=k2（女2>。，焦點在y軸上）.

ab

【變式1”】方程J（x-3）2+L+J（%+3）2+y2=io表示的曲線是,其標準方程是.

【變式1?2】已知橢圓。的焦點在坐標軸上，且經過4-6-2）和5（-2代1）兩點，則橢圓C的標準方

程為—.

22/3、

【變式1-3】已知橢圓C*+方=l（a>6>0）的左、右焦點為居（TO）,工（1,0）,且過點用力,則橢

圓標準方程為

22

【變式1-4］（2024.高三.廣東揭陽?期末）已知橢圓E：二+2=1（a>b>0）,尸是E的左焦點，過

ab

E的上頂點A作A尸的垂線交E于點A若直線A3的斜率為一百，3戶的面積為走，則￡的標準方程

為一

【變式1-5】過點（石，-A）,且與橢圓（+:=1有相同的焦點的橢圓標準方程是

【變式1-6］（2024.山西太原?三模）已知點用耳分別是橢圓C的左、右焦點，P（4,3）是C上一點,

△P耳耳的內切圓的圓心為/（，〃/），則橢圓C的標準方程是（)

R尤7122

A.3=1c。一1

D.------1------=1D.、匕=1

2427282152136412

題型二：橢圓方程的充要條件

【典例2-1］（2024?山西呂梁?二模）若函數y=log/x-2）+im>0,且力1）的圖象所過定點恰好在橢

fv2

圓二+二=1（機〉0,〃〉0）上，則用+〃的最小值為（）

mn

A.6B.12C.16D.18

22

【典例2-2】方程+3^=1表示橢圓的充要條件是（）

4+m2—m

A.-4<m<-lB.m>—1

C.-4<m<2D.-4<m<-l^<—l<m<2

【方法技巧］

工+匕=1表示橢圓的充要條件為：m>O,n>Q,m^n；

mn

22

乙+乙=1表示雙曲線方程的充要條件為：Z7OT<o；

mn

22

二+匕=1表示圓方程的充要條件為：m=n>Q.

mn

【變式2-1］（2024?全國?模擬預測）命題“實數pe（L3）”是命題“曲線

（3-p）f+（p—1）/=（3—p）（p—1）表示橢圓”的一個（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-2］（2024.高三.遼寧大連?期末）已知曲線“C:（log,2024）x2+（10gz,2024）9=1表示焦點在，軸

上的橢圓”的一個充分非必要條件是（）

A.0<a<bB.l<a<b

3

C.—<a<bD.l<b<a

2

【變式2-3】對于方程/+/加￡=1卜€-表示的曲線C,下列說法正確的是（）

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線B.若戊為負角，則曲線C為雙曲線

C.若a為正角，則曲線C為橢圓D.若C為橢圓，則其焦點在x軸上

題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題

22

【典例3-1】已知雙曲線G：f-a=1色>0）與橢圓Cz：［+y2=l（a>0）有公共的焦點4,F2,

且G與&在第一象限的交點為若△叫鳥的面積為1,則。的值為一.

22

【典例3-2】（2024?廣東惠州?模擬預測）已知橢圓的方程為土+匕=1,過橢圓中心的直線交橢圓于4

94

B兩點,尸2是橢圓的右焦點，則八的周長的最小值為（）

A.8B.6+2-73C.10D.8+26

【方法技巧】

焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常

用定義，即|「耳|+|尸耳|=2。.

22

【變式3-1］（2024.高三?廣東深圳?期中）已知月，場分別為橢圓上+匕=1的左、右焦點，P為橢圓上

1810

一點且1sl=2|尸局，貝亞尸耳區的面積為.

22

【變式3-2】該橢圓C:'+匕=1的左右焦點為片，鳥，點尸是C上一點，滿足/月尸乙=90。，貝U

369

△月尸嶼的面積為.

22

【變式3-3］（2024.云南昆明?昆明市第三中學校考模擬預測）己知橢圓0乙+2=1（0<6<3）的左、

9b

右焦點分別為耳，鳥，尸為橢圓上一點，且N￡P6=60。，若￡關于/耳尸工平分線的對稱點在橢圓C上，則

AF’PB的面積為（）

A.6右B.3叢C.2百D.6

【變式3-4］（2024?河北唐山?統考三模）已知橢圓C：!+/=l的兩個焦點分別為耳,鳥，點加為C上

異于長軸端點的任意一點，/￡網的角平分線交線段月月于點N,則吧=（）

A.-B.叵C.克D.V2

552

22

【變式3-5］（2024.高三.河北秦皇島.開學考試）已知橢圓C:三+上=1的上頂點為A,左焦點為月，

43

線段A耳的中垂線與C交于M,N兩點，則的周長為.

【變式3-6】設￡,尸2分別是離心率為正的橢圓C：F+《=l（a>b>0）的左、右焦點，過點耳的直線

2ab

交橢圓C于A8兩點，且|州|=3山卸，貝"COS/A舄3=（）

A1RA/2c2D3

5555

題型四：橢圓上兩點距離的最值問題

22

【典例4-1］（2024?陜西安康?模擬預測）己知P為橢圓C:\+2=l（a>6>0）上一點，若C的右焦點

Qb

產的坐標為（3,0）,點加滿足忸耳=1,PM.FM=0,若卿同的最小值為20,則橢圓C的方程為（）

【典例4-2］已知8是橢圓（+丁=1的上頂點，點/是橢圓上的任意一點，則卸的最大值為（

A.2B.20C.逑D.-

22

【方法技巧】

利用幾何意義進行轉化.

【變式4-1】如果點尸是橢圓，+4=1上一個動點，”是橢圓的左焦點，那么|P周的最大值是一，

最小值是—.

221

【變式4-2】已知動點P（x,y）在橢圓宗+春=1上，過點尸作圓（x+3『+y2=p切線，切點為M,

則1PMi的最小值是—.

【變式4-3］（2024.山東濰坊.二模）如圖，菱形架ABC。是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿

用錢鏈首尾連接而成.已知A,C可在帶滑槽的直桿/上滑動；另一根帶滑槽的直桿長度為4,且一端記

為“，另一端用錢鏈連接在。處，上述兩根帶滑槽直桿的交點尸處有一栓子（可在帶滑槽的直桿上滑動）.

若將H,B固定在桌面上，且兩點之間距離為2,轉動桿則點P到點8距離的最大值為.

【變式4-41點P在圓元2+（y-2）2=：上移動，點。在橢圓》2+分2=4上移動，則線段|尸。|的最大值

為一

22

【變式4-5】已知點AQ4）,尸是橢圓￡土+工=1上的動點，則124|的最大值是—.

259—

【變式4-6】已知圓百：（龍+5）2+y2=i,C2：（x_5『+y2=225，動圓C滿足與G外切且與內

切，若加為q上的動點，且西?麗'=（）,則1GM的最大值為（）

A.272B.3幣C.4D-2742

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

【典例5-1］已知點M在橢圓；+:=1上，點《0，—18（1，。），則+的最大值為（）

22

【典例5-2】已知橢圓C:■+三=1的右焦點為下，點E（0,2）,點尸是C上的動點，則1PH+|陽的

最小值為（）

A.5B.10-275C.10D.10+2石

【方法技巧】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義.求解最值問題的過程中，如

果發現動點P在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解.

22

【變式5-1］設橢圓C：L+匕=1的右焦點為尸，動點尸在橢圓C上，點A是直線4*-5、-12=。上的

43

動點，則向|-「同的最小值為（）

A16741口16741016A/41/n.16?

A.------D.--------------C.------4U.4-------

41414141

22

【變式5-2】已知橢圓方程,+q=l,P是其左焦點，點A。」）是橢圓內一點，點尸是橢圓上任意一點,

若1PH+|中|的最大值為最小值為%n，那么%x+/n=（）

A.4后B.4C.8D.8次

22

【變式5-3】設“是橢圓上+匕=1上一點，P,。分別是兩圓（x+3）2+/=l和（x-3）2+y2=i上的

167

點，則的最小值、最大值分別為（）

A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1:利用橢圓定義去轉換

22

【典例6?1】（2024.高三.江蘇南京?開學考試）已知尸是橢圓。:0+2=1（，＞6＞0）上一點，耳且是

ab

C的兩個焦點，居.困1=（）,點。在/月尸工的平分線上，。為原點，O0〃p耳，且|。。|=2"則C的

離心率為（）

A.叵B.-C.如D.-

6633

22

【典例6-2】橢圓G：》+方=1（。＞。＞0）與雙曲線C,有公共的焦點月、F2,G與Cz在第一象限內交

"35"

于點M,耳月是以線段叫為底邊的等腰三角形，若橢圓G的離心率的范圍是,則雙曲線

O11

的離心率取值范圍是（）

-3J「3J「48]「31

1_4」\_2J|_35J\_2）

22

【變式6-1】橢圓C：1+3=1（。＞。＞0）的左、右焦點分別為[、F2,直線/：3缶+y+機=0過4

ab

且與橢圓交于A、B兩點（A在5左側），若（不+月月）?才用=0,則。的離心率為（）

2323

A.—B.—C.—D.一

5577

22

【變式6-2]已知。為坐標原點，尸為橢圓C：亍+方=1（。＞人＞0）的右焦點，若C上存在一點P,

使得△/OP為等邊三角形，則橢圓C的離心率為—.

方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式

22

【典例7-1]（2024.高三.河北承德.開學考試）已知橢圓7:二+與=l（a＞b＞0）的左、右焦點分別為

ab

￡,工,T上一點A滿足|A8|=2b,若A耳，A片，則T的離心率為（）

「V2

22

【典例7-2】（2024?陜西銅川?模擬預測）已知片，鳥是橢圓E:=+當=1（°>6>0）的左、右焦點，若

ab

E上存在不同的兩點A,8,使得用=6用豆,則E的離心率的取值范圍為（）

A.(0,^-1)B.(0,V2-l]C.(3-272,1)D.13-2點,1)

【變式7-1】已知直線/過橢圓C:二+[=1（。>匕>0）的一個焦點與。交于M，N兩點，若當/垂直于

尤軸時|MN|=5，則c的離心率為（

c.B

D.—

22

22

【變式7-2】已知尸-F?分別是橢圓￡:=+2=1（。>6>0）的左、右焦點，。是坐標原點，尸是橢圓

ab

E上一點，尸耳與，軸交于點若|3=|。叩，眼用=等，則橢圓E的離心率為（）

O

D,3或！

22

方向3：利用最大頂角。滿足sin：<e<1

【典例8-1】（2024?四川成都?高三樹德中學校考開學考試）已知耳、外是橢圓的兩個焦點，滿足

麗?麗=0的點〃總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

C.(0,1)

22

【典例8-2】設6、歹2是橢圓^+方=1（。>6>0）的左、右焦點，若橢圓外存在點尸使得所.兩=0,

則橢圓的離心率的取值范圍______.

【變式8-1】已知耳，外分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點P使得6=2。

7T

（o<^<-,e是已知數），則該橢圓離心率的取值范圍是_______.

2

22

【變式8-2]（2024.廣東.廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓。+==1（°>6>0）的左、右焦點

2

分別為耳，尸2,若橢圓上存在一點尸使得/月尸耳=（兀，則該橢圓離心率的取值范圍是

方向4：坐標法

7Q

【典例9-1】焦點在無軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是產臚；則橢圓離心率的范圍是

（）

V31標］FA/33而］FA/34769

,C.,D.,

7---9----------------------7-----9-----------------7-----9

fv2

【典例9-2］（2024?陜西安康?模擬預測）己知橢圓C:*=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳，瑪，

ab

以F?為圓心的圓交y軸正半軸于點交X軸于耳N兩點，線段。月與C交于點若的面積為

6c2為橢圓的半焦距），則C的離心率為（）

A.72-1B.2-0C.73-1D.2-73

22

【變式9-1］（2024?新疆烏魯木齊三模）設M,N,P是橢圓三+與=1（。>6>0）上的三個點，。為坐

ab

標原點，且四邊形OMNP為正方形，則橢圓的離心率為一；

22

【變式9-2］（2024?山東泰安?模擬預測）已知橢圓C：=+當=1（。>匕>0）的左，右焦點分別為

ab

2

M-c,0）,與（c,0）,點M,N在C上，且滿足甲W//N且￡M=2^N,若和麗+/國月「，則C

的離心率為.

方向5：找幾何關系，利用余弦定理

22

【典例10-1］（2024.湖南.三模）已知片，鳥是橢圓C:=+2=l（a>6>0）的左、右焦點，。是坐標原

ab

點，過鳥作直線與C交于A,8兩點，若且AOAF?的面積為1則橢圓C的離心率為

6

AA/3Rrn石

A.D.C.U.

12632

22

【典例10-2］（2024.河南洛陽.模擬預測）已知尸為橢圓C:=+「=1（。＞6＞0）上一點，斗鳥分別為

ab

其左、右焦點，。為坐標原點，|PO|=^a,且|尸司?|尸入卜］。2,則c的離心率為（）

A.B.-C.交D.-

4422

22

【變式10-1］（2024.江蘇泰州?模擬預測）己知月，尸2分別是橢圓C：宏+方=1（。＞6＞0）的左、右

焦點，過招的直線與C交于點A,與，軸交于點8,亭.耶=0,甌=4可，則C的離心率為（）

方向6：找幾何關系，利用正弦定理

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【典例11-1】已知耳，尸2分別為橢圓￡：三+齊=1（。＞＞＞。）的兩個焦點，尸是橢圓E上的點,

Pf；，尸工，且sin?尸鳥居3sin?PF^,則橢圓E的離心率為（）

A.巫B.叵C.@D.更

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