第02講空間點、直線、平面之間的位置關系

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:四個公理..............................................................4

知識點2：直線與直線的位置關系..................................................4

知識點3:直線與平面的位置關系..................................................5

知識點4：平面與平面的位置關系..................................................6

知識點5：等角定理..............................................................6

題型一：證明“點共面”'“線共面”或“點共線”及“線共點”.............................7

題型二：截面問題...............................................................9

題型三：異面直線的判定........................................................10

題型四：異面直線所成的角......................................................11

題型五：平面的基本性質........................................................13

題型六：等角定理..............................................................14

04真題練習?命題洞見............................................................15

05課本典例高考素材............................................................16

06易錯分析?答題模板............................................................40

易錯點：空間點、線、面間的位置關系判斷錯誤....................................40

答題模板：異面直線所成的角....................................................17

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

本節內容是高考命題的熱點，重點關注異

(1)基本事實的應用2023年上海卷第15題，5分面直線的判定和成角問題'空間點線面的位置

(2)空間位置關系的判2022年上海卷第15題，5分關系問題.對于空間幾何體的點'線'面的

斷2022年1卷第9題，5分位置關系，除了題目難度逐步提升，還增加了

(3)異面直線所成的角2021年乙卷(文)第10題，5分截面問題，對考生的空間想象能力要求有所提

升，需要考生有更強大的邏輯推理能力.

復習目標：

(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位

置關系的定義.

(2)了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

匐2

知識導圖?思維引航

考點突破二即理輝笠

f知識固本JJ

知識點1：四個公理

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據

推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據

（2）此推論是判定若干平面重合的依據

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

【診斷自測】在長方體ABC。-A片GR中，直線AC與平面AMR的交點為AG與交于點O,則

下列結論正確的是（）

A.A,M,。三點確定一個平面B.A,M,。三點共線

C.D,3，O,/四點共面D.A,4，B,M四點共面

知識點2：直線與直線的位置關系

位置關系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X/二

符號a[}b=Pa//ba('}a=A^b(^a,A^b

公共點個數100

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平兩條異面直線不同在如

面何一個平面內

【診斷自測】兩條直線。，》分別和異面直線Gd都相交，則直線6的位置關系是（）

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線

知識點3：直線與平面的位置關系

位置關系包含（面內線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形三

符號lua1—p/〃"

公共點個數無數個10

【診斷自測】四棱錐尸-ABCD如圖所示，則直線PC（）

C

AB

A.與直線平行B.與直線相交

C.與直線8。平行D.與直線8。是異面直線

知識點4：平面與平面的位置關系

位置關系平行相交（但不垂直）垂直

圖形a

X\

LZJL_J

符號exHP/3=1a1(3,a[\p=1

公共點個數0無數個公共點且都無數個公共點且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

【診斷自測】下列說法正確的是（）

A.若直線/，利〃兩兩相交，則直線/，利〃共面

B.若直線/，機與平面。所成的角相等，則直線/,機互相平行

C.若平面。上有三個不共線的點到平面廣的距離相等，則平面a與平面廣平行

D.若不共面的4個點到平面口的距離相等，則這樣的平面。有且只有7個

知識點5：等角定理

空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

【診斷自測】已知空間中兩個角a,B,且角。與角￡的兩邊分別平行，若a=70。，則￡=

題型一：證明"點共面"、"線共面"或"點共線"及“線共點”

【典例1-1】如圖，在正四棱臺ABC。-481GB中，M,N,P,。分別為棱AB,BC,4G，4蜴上的

點.已知AB=6,A4=3,4。=4尸=1,BM=BN=4,正四棱臺ABC。-4用^口的高為6.

證明：直線M。，BB],NP相交于同一點.

【典例1-2】空間四邊形A38中，點M,N,P,Q分別在4B,2C,CD,D4上，且

AMCNCP器=%.求證：M,N,尸,Q四點共面.

MB-A?_PD

【方法技巧】

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.

【變式1-1】在直三棱柱ABC-AB?中，ABLBC,AACB=y,側棱長為3,側面積為9+36.

6

(1)求三棱錐的體積;

(2)若點。、E分別在三棱柱的棱CG，3與上，且CD>BE,線段A"，A。OE的延長線與平面ABC交于

尸,G,"三點，證明：EG"共線.

【變式1-2】已知在正方體A2CD-A與G2中，E、尸分別為"G、G4的中點，ACIBD=P,

A.CJEF=Q.求證：

(1)0,B,F,E四點共面；

(2)若AC交平面。于R點，則尸、Q、R三點共線；

(3)。及BF、CG三線交于一點.

【變式1-3］如圖，在長方體A8C。-A與G2中，E、尸分別是4G和￡2的中點.

(1)證明：E、F、。、B四點共面；

(2)對角線AC與平面8QG交于點O,AC,80交于點加，求證：點G，O，M共線;

(3)證明：BE、DF、CG三線共點.

題型二：截面問題

【典例2-1】（2024?云南曲靖?模擬預測）正方體ABCD-ABIGR外接球的體積為4檔兀，E、F、G分

別為棱4VA6、4。的中點，則平面E尸G截球的截面面積為（）

【典例2-2】（2024?四川瀘州?三模）已知正方體ABC。-ABC?的棱長為2,尸為。2的中點，過A,

B,P三點作平面則該正方體的外接球被平面a截得的截面圓的面積為（）

【方法技巧】

（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們

的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線.

【變式2-1]（2024?全國?模擬預測）已知正方體A8CD-A4G2中，點E是線段班上靠近用的三竄分

點，點廠是線段0G上靠近2的三等分點，則平面AE尸截正方體ABC。-A耳G2形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2-2]（2024?全國?模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體A2CD-中，E為棱BC的中點,

用過點4,E,G的平面截正方體，則截面周長為（）

A.35/2+2A/5B.9C.2A/2+2A/5D.3近+2班

【變式2-3]（2024?四川?模擬預測）設正方體ABC。-A耳G2的棱長為1，與直線AC垂直的平面a截

該正方體所得的截面多邊形為M，則/的面積的最大值為（）

a-b-/c-4D.上

【變式2-4】已知正方體ABC。-A與GR的棱長為1,E為GR的中點，P為棱cq上異于端點的動點,

若平面兩截該正方體所得的截面為五邊形，則線段c尸的取值范圍是（）

j_2

C.D.

【變式2-5］已知正方體ABC。-44GA的棱長為4,M為棱。C的中點，N為側面的中心，過點加

的平面a垂直于DN,則平面a截正方體AC所得的截面周長為（）

A.4（百+正）B.2百+8應C.6&D.8+275

【變式2-6］（2024?四川宜賓?三模）已知E,E分別是棱長為2的正四面體A3C。的對棱AD,3c的中點.

過麻的平面a與正四面體AB8相截，得到一個截面多邊形7,則下列說法正確的是（）

A.截面多邊形？不可能是平行四邊形B.截面多邊形「的周長是定值

C.截面多邊形7的周長的最小值是女+#D.截面多邊形］的面積的取值范圍是［1,3］

題型三：異面直線的判定

【典例3-1】如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面

直線的是（）

H-------G

D-C-

-------------------------

AB

-------T

A.FGB.EHC.EFD.BC

【典例3-2］（2024?福建福州-三模）在底面半徑為1的圓柱。O］中，過旋轉軸。。1作圓柱的軸截面

ABCD,其中母線A8=2,石是弧的中點，尸是A3的中點，貝（！（）

A.AE=CF,AC與EF是共面直線

B.AE^CF,AC與所是共面直線

C.AE=CF,AC與斯是異面直線

D.AE片CF,AC與是異面直線

【方法技巧】

判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：

（1）直接法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過B點的直線是異面直線.

（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.

【變式3-1］將下面的平面圖形（每個點都是正三角形的頂點或邊的中點）沿虛線折成一個四面體后，直

線與P。是異面直線的是（）

【變式3-2］已知正方體ABCD-44G2,點尸在直線AA上，。為線段3D的中點，則下列說法不正確

的是（）

A.存在點尸，使得P。LAG；B.存在點尸，使得PQ//&B；

c.直線P。始終與直線CG異面;D.直線始終與直線BQ異面.

題型四：異面直線所成的角

【典例4-1］（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長為2的正四棱柱A耳GR的體積為16,則直

線AC與4B所成角的余弦值為（）

A/R叵「廂n3^0

551010

【典例4-2】已知兩條異面直線a,b所成角為70。，若過空間內一定點的直線/和a,6所成角均為60。,

則這樣的直線/有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【方法技巧】

（1）點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正

方體為模型.

（2）求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角.

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

【變式4-1］（2024?高三?河南鶴壁?期中）如圖，在正三棱柱ABC-ABG中，44］=4,AB=2,則直

線AB與直線4C所成角的正切值為—.

【變式4-2］（2024?全國?模擬預測）在三棱錐P—ABC中，AC=若，BC=1,PA=PB=PC=AB=2,

“為AC的中點，則異面直線與24所成角的余弦值是—.

【變式4-3］如圖，已知四棱錐M-ABCD,底面ABC。是邊長為2的正方形，側棱長相等且為4,E為

的中點，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（）

AbR9也「百N3A/5

A.-------D.---------U.-------U.----------

5401520

【變式4-4］（2024?高三?江蘇南京?期中）已知矩形AB8中，AB=1,BC=&,E是邊3c的中

點.AE和8。交于點將AABE沿AE折起，在翻折過程中當43與垂直時，異面直線和CD所

成角的余弦值為（）

AD

-IB-iC-H-t

【變式4-5】四面體M-ABC中，VA=VB=2yf2,VC=3,C4=CB=4,求C4與V?所成角的余弦值的取

值范圍

題型五：平面的基本性質

【典例5-1]（2024?陜西商洛?模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.三條直線最多可確定1個平面B.三條直線最多可確定2個平面

C.三條直線最多可確定3個平面D.三條直線最多可確定4個平面

【典例5-2]（2024?陜西榆林?二模）下列說法中正確的是（）

A.平行于同一直線的兩個平面平行

B.垂直于同一平面的兩個平面垂直

C.一塊蛋糕3刀可以切成6塊

D.一條直線上有兩個點到一平面的距離相等，則這條直線在平面內

【方法技巧】

平面具有三大基本性質：一、任意三點不共線則確定一個唯一平面；二、任意兩條平行直線確定一個

唯一平面；三、過不在同一直線上的三點，有且僅有一個平面。這些性質揭示了平面作為二維空間的基本

構成單元，其存在與確定的唯一性。

【變式5-1]（2024?寧夏銀川?三模）A3是兩個不同的點，名?為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是

（）

A.

B.B，BGa,BqB=ac0=AB

C.=

D.A￡/,/ua=A￡<z

【變式5?2】空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作的平面個數為

（）

A.42B.56C.64D.81

【變式5-3]（2024?全國?模擬預測）已知圓柱002中，AD,分別是上、下底面的兩條直徑，且

AD//BC,AB=BC=4,若河是弧BC的中點，N是線段A8的中點，貝U()

A.A"=CN,A,C,M,N四點不共面B.A"wCN,A,C,M,N四點共面

C.AMLBRZXACM為直角三角形D.AMNOV,△ACM為直角三角形

題型六：等角定理

【典例6-1】(2024?廣東汕頭?一模)如圖，在正方體ABC。-A耳G2中，E是棱CQ的中點，記平面

與平面ABCD的交線為小平面ARE與平面48瓦A的交線為心若直線A3分別與所成的角為

a、B,貝!!tan<z=,tan(tz+/)=.

【典例6-2】設NA與N3的兩邊分別平行，若ZA=60。，則N3=.

【方法技巧】

空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

【變式6-1】已知空間中兩個角ZAOB乙兇耳，且。V/OH，OBHOE，若NAOB=60。，則

乙4。冉=

【變式6-2］過正方體ABCD-A與G2的頂點A在空間作直線/,使/與平面BBRD和直線BCt所成的角都

等于45。，則這樣的直線/共有一條.

【變式6-3］如圖，已知直線。，b為異面直線，A,B,C為直線“上三點，D,E,尸為直線》上三點,

A,B',C,D,&分別為AD,DB,BE,EC,C尸的中點.若=120。，則NCV7E=.

ABC

1.（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）在正方體ABC。-A耳CD中，P為耳。的中點，則直線尸3與

AA所成的角為（）

,71_71一冗一兀

A.—B.-C.—D.一

2346

2.（2012年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（重慶卷））設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,

1,四和“，且長為。的棱與長為應的棱異面，則a的取值范圍是（）

A.（0,72）B.（0,73）

C.（1,0）D.（1,我

3.（2010年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）數學）過正方體A8CO-A4GA的頂點A作直線/,

使/與棱A-AD,AA所成的角都相等，這樣的直線/可以作（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

4.（2007年普通高等學校招生考試數學（理）試題（上海卷））已知以尸是兩個相交平面，空間兩條直線

k4在a上的射影是直線S^SM在B上的射影是直線東t2用S、與S],4與t2的位置關系,寫出一個總能

確定4與4是異面直線的充分條件：.

5.（2009年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（全國卷I））已知三棱柱ABC-A內￡的側棱與底

面邊長都相等，若A在底面A3C上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CG所成的角的余弦值為（）

A.且B.@C.立D.-

4444

1.（多選題）下列命題正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.一條直線和直線外一點確定一個平面

C.圓心和圓上兩點可確定一個平面

D.梯形可確定一個平面

2.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么在AB,CD,EF,G8這四條線段中，哪些

線段所在直線是異面直線？

r

3.已知△ABC在平面a外，其三邊所在的直線滿足A2ria=P,BCHa=Q,ACC\a=R,如圖所示，求證:

P,Q,R三點共線.

4.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條直線確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直

【易錯題1】若直線4，b,。滿足a〃b,a,c異面，則b與c()

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

【易錯題2】在空間四邊形ABCD的邊A3、BC、CD、D4上分別取點E、F、G、H,若E產與用相交

于一點M,則M()

A.一定在直線AC上；

B.一定在直線上；

C.可能在直線AC上，也可能在直線上；

D.不在直線AC上，也不在直線上.

答題模板：異面直線所成的角

1、模板解決思路

根據異面直線所成角的定義，我們可以通過平移的方式，將兩條原本不在同一平面內的異面直線轉化

為在同一平面內相交的直線。接下來，我們需要證明這兩條相交直線所形成的角，實際上就是原本那兩條

異面直線所成的角。一旦證明了這一點，我們就可以利用解三角形等數學方法，來求解這個角的具體大小。

2、模板解決步驟

第一步：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角.

第二步：證明作出的角是異面直線所成的角.

第三步：解三角形，求出所作的角.

【典型例題1】如圖所示，圓錐的底面直徑AB=4,高OC=2五,。為底面圓周上的一點，且

ZAOD=nO°,則直線AD與8C所成角的大小為.

【典型例題2】如圖，直線PD_L平面ABCD,A3CD為正方形，PD=AD,則直線PA與所成角的大

小為.

p

c

AB

第02講空間點、直線、平面之間的位置關系

目錄】

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:四個公理..............................................................4

知識點2：直線與直線的位置關系..................................................4

知識點3:直線與平面的位置關系..................................................5

知識點4：平面與平面的位置關系..................................................6

知識點5：等角定理..............................................................6

題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”.............................7

題型二：截面問題...............................................................9

題型三：異面直線的判定........................................................10

題型四：異面直線所成的角......................................................11

題型五：平面的基本性質........................................................13

題型六：等角定理..............................................................14

04真題練習?命題洞見............................................................15

05課本典例高考素材............................................................16

06易錯分析?答題模板............................................................40

易錯點：空間點、線、面間的位置關系判斷錯誤....................................40

答題模板：異面直線所成的角...................................................17

春情目標導航

考點要求考題統計考情分析

本節內容是高考命題的熱點，重點關注異

(1)基本事實的應用2023年上海卷第15題，5分面直線的判定和成角問題'空間點線面的位置

(2)空間位置關系的判2022年上海卷第15題，5分關系問題.對于空間幾何體的點'線'面的

斷2022年1卷第9題，5分位置關系，除了題目難度逐步提升，還增加了

(3)異面直線所成的角2021年乙卷(文)第10題，5分截面問題，對考生的空間想象能力要求有所提

升，需要考生有更強大的邏輯推理能力.

復習目標：

(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位

置關系的定義.

(2)了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

匐2

知識導圖?思維引航

考點突破■題型探究

知識固本

知識點1:四個公理

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據

推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據

（2）此推論是判定若干平面重合的依據

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

【診斷自測】在長方體ABC。-44G2中，直線AC與平面的交點為AG與耳。交于點O,則

下列結論正確的是（）

A.A,M,O三點確定一個平面B.A,M,O三點共線

C.D,D-O,M四點共面D.A,B],B,Af四點共面

【答案】B

【解析】如下圖所示：

根據題意，連接AG，AC,則AG//AC,

所以A，G，C4四點共面，所以ACu面Acea，

又MeA]C,所以Me面ACC]A，

又Me面ABXD,所以點/在面ACC.A與面AB}DX的交線上面,

同理可得點O在面ACG4與面ABR的交線上面，

所以A,M,。三點共線，

故A選項錯誤，B選項正確；

由異面直線判定定理可知C選項中為異面直線，

故C選項錯誤；

由異面直線判定定理可知D選項中AM,8月為異面直線，

故D選項錯誤.

故選:B.

知識點2：直線與直線的位置關系

C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線

【答案】D

【解析】已知直線C與d是異面直線，直線a與直線匕分別與兩條直線C與直線d相交于點A,氏C,￡）,

根據題意可得當點。與點B重合時，兩條直線相交，當點。與點3不重合時，兩條直線異面,

所以直線。,6的位置關系是異面或相交.

故選:D.

知識點3：直線與平面的位置關系

位置關系包含（面內線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形/V

符號lua1Pla=p/〃Z

公共點個數無數個10

【診斷自測】四棱錐尸-ABCD如圖所示，則直線尸C（）

P

A.與直線平行B.與直線AD相交

C.與直線2。平行D.與直線2。是異面直線

【答案】D

【解析】根據異面直線的定義，不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直

線A。、直線2。是異面直線.

故選：D.

知識點4：平面與平面的位置關系

位置關系平行相交（但不垂直）垂直

圖形a

X\

LZJL_J

符號exHP/3=1a1(3,a[\p=1

公共點個數0無數個公共點且都無數個公共點且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

【診斷自測】下列說法正確的是（）

A.若直線兩兩相交,則直線/，利”共面

B.若直線/,力與平面夕所成的角相等，則直線/,“互相平行

C.若平面a上有三個不共線的點到平面￡的距離相等，則平面。與平面廣平行

D.若不共面的4個點到平面口的距離相等，則這樣的平面a有且只有7個

【答案】D

【解析】對于A中，當直線/,相，〃交于同一點時，則直線/,小，〃可能不共面，所以A錯誤；

對于B中，當直線/,“2傾斜方向不同時，直線/，機與平面。所成的角也可能相等，所以B錯誤;

對于C中，當這3個點不在平面廣的同側時，平面&與平面夕相交，所以C錯誤；

對于D中，根據題意，顯然這4個點不可能在平面a的同側，

當這4個點在平面a兩側1,3分布時，這樣的平面a有4個，

當這4個點在平面a兩側2,2分布時，這樣的平面a有3個，

所以這樣的平面a有且只有7個，所以D正確.

故選：D.

知識點5：等角定理

空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

【診斷自測】已知空間中兩個角口，P，且角口與角月的兩邊分別平行，若&=70。，則￡=

【答案】70。或110°

【解析】根據等角定理知：a=/?或a+月=180。，

若a=70。,則￡=70。或110。.

故答案為：70。或110。

題型一：證明"點共面"、"線共面"或"點共線"及"線共點”

【典例1-1】如圖，在正四棱臺中，M,N,P,。分別為棱AB,BC,B?,片耳上的

點.己知AB=6,4瓦=3,耳。=4尸=1,BM=BN=4,正四棱臺ABCZ)-4與￡2的高為6.

證明：直線A/Q,BBt,NP相交于同一點.

【解析】證明：在正四棱臺ABCD-A耳GR中，因為與。=87=1,BM=BN=4,B}Q//BM,

BF//BN,

所以四邊形及QMB,耳PNB均為梯形，則直線M。與必相交，NP與B與必相交.

延長MQ,BB1,NP,設M。的延長線與8月的延長線交于點E,NP的延長線與8月的延長線交于點E.

在正四棱臺ABCD-ABGR中，AB//4B],BCHB\G，

股=駁」取=%=工

EBMB4'FBNB4'

得EB]=叫,所以點E,尸重合，

即直線MQ,BB,,NP相交于同一點.

【典例1-2】空間四邊形A88中，點M,N,尸,Q分別在AB,2C,CD,ZM上，且

AMCNCPAQ,?

--====k.求證M,N,尸,Q四點共面.

MBNBPDQD"

AMCNCPAG,

【解析】??,—=—

PD~QD~'

所以QM//BD,NP//BD,得到QA///PN,

所以M,N,P,Q四點共面.

【方法技巧】

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.

【變式1-1】在直三棱柱A3C-A4G中，AB±BC,ZACB=^,側棱長為3,側面積為9+3后.

6

(1)求三棱錐的體積；

(2)若點。、E分別在三棱柱的棱CG，3與上，且線段AEAROE的延長線與平面A3C交于

F,G,H三點、,證明：尸,G,"共線.

【解析】(1)由題意知2AB=AC,BC=Vi4B,

所以該三棱柱的側面積為(2AB+石A3+A3)x3與=9+34=(3+百)x3A3nAB=l,3C=^,

又AB_LBC,直三棱柱ABC-44G中8與_LAB,

且3CABBX=B,BC、BBXu平面BCt,

所以AB,平面BQ,

又所以A耳，平面BQ,

故三棱錐的體積為/=vL-BC^BB=--,

D-/ijD|CzAj—D]￡>v=3AiBiX2[12

(2)由基本事實的推論知兩條相交直線共面，所以4,尸,G,瓦Oe平面AFG,

又HeED,EDu平面AFG,所以He平面A歹G,

而He平面ABC,平面ABC口平面A^G=PG,

所以HeFG,即尸,G,"共線.

【變式1-2】已知在正方體ABCD-ASG2中，E、尸分別為AG、C4的中點，ACTBD=P,

4QIEF=Q.求證：

(1)0,B,F,E四點共面；

(2)若AC交平面。BFE于R點，則尸、Q、R三點共線；

(3)Z)E、BF、CG三線交于一點.

【解析】(1)證明：因為EF是△24G的中位線，所以E尸〃片口.

在正方體ABC。一ABIGR中，BR〃BD,所以所〃瓦〉

所以ER8。確定一個平面，即。、B、F、E四點共面.

D

\^_E_CX

(2)在正方體ABC。-A耳G2中，設平面A41GC為。、平面2。所為，.

因為。eAG，所以Qec.又QeE產，所以Qe。.所以。是C與。的公共點.

同理，P也是口與6的公共點.所以ac分=PQ.

又ACc0=R,所以ReAC,Rwa,且ReQ.則HePQ,

故尸、。、R三點共線.

(3)因為EF〃9且EF<8D,所以。E■與8尸相交，

設交點為M,則由DEu平面2OCG，得Afw平面RDCG，

同理，點Me平面與BCC-又平面OQCGc平面與2CG=Cq,

所以AfeCG.所以。E、BF、CQ三線交于一點

【變式1-3］如圖，在長方體ABCD-A4CiR中，E、/分別是4G和的中點.

(1)證明：E、F、D、B四點共面；

(2)對角線AC與平面BOG交于點O,AC,即交于點加，求證：點G，O,M共線;

⑶證明：BE、DF、CG三線共點.

【解析】(1)連接EF,BD,BQi

在長方體ABCD-A4G2中

:.B、DJIBD

???E、F分別是4G和CtDt的中點

:.EFIRD、

:.EF//BD

???K、F、D、3四點共面

(2)VMIICCX

：.A,A，CG確定一個平面441cle

OeAC，4Cu面MGC

.?.Oe面A4JGC

1?1對角線Ac與平面BDQ交于點O

。e面BDCX

O在面A41GC與面BOG的交線上

ACcBD=M

.?.拉￡面的。1。且Mw面BOG

.?.面A4CCc面BOG；=C\M

??.OeCXM

即點￡,O,M共線.

（3）延長OF,BE交于G

?.?DGu面。CG

GwDG

二.GG面OCG

?1?BEu面BCG

:.GwBE

Ge面BCG

?面OCGc面BCG=cq