考點一實數

知識點整合

1.數軸：規定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數軸.數軸上所有的點與全體實數一一

對應.

2.相反數：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數稱為互為相反數，若a、b互為相反數,

則a+b=O.

3.倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數.若。、b互為倒數，則

ab=l.

4.絕對值：數軸上表示數。的點與原點的距離，記作|嚇

5.(1)按照定義分類

'正整數

整數＜零

有理數負整數

實數‘正分數'

分數有限小數或無限循環小數

負分數

‘正無理數'

無理數無限不循環小數

負無理數

(2)按照正負分類

，正整數

正有理數

正實數正分數

正無理數

實數零

,負整數

負有理數

負實數＜負分數

負無理數

注意：0既不屬于正數,也不屬于負數.另外，在理解無理數時，要注意“無限不循環”，歸

納起來有四類:

(1)開方開不盡的數,如石，次等;

71

(2)有特定意義的數,如圓周率兀，或化簡后含有兀的數，如§+2等;

(3)有特定結構的數，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函數，如sin60。等.

6.科學記數法：科學記數法的表示形式為0x10。的形式，其中141al<10,"為整數.當原

數絕對值大于10時，寫成axio。的形式，其中14|a|<10,n等于原數的整數位數減1；

當原數絕對值小于1時，寫成axlO-"的形式，其中。等于原數左邊第一個非

零的數字前的所有零的個數(包括小數點前面的零).

7.近似數：近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，

四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.

8.平方根：(1)算術平方根的概念：若x2=a(x>0),則正數x叫做。的算術平方根.

(2)平方根的概念：若x2=a,則x叫做a的平方根.

(3)表示：a的平方根表示為土&,。的算術平方根表示為，?.

只有非負數才有平方根,0的平方根和算術平方根都是0

(4)意義<(6尸=a(a20)

V7=H=?(a-0)

9.立方根：(1)定義：若x3=a,則x叫做a的立方根.

(2)表示：a的立方根表示為標.

(?3、)思*義“《「=a.

(Va)3=a

10.數的乘方：求"個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫幕.在a"中，a叫底

數，"叫指數.

11.實數的運算：

(1)有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交

換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律.

(2)運算順序：先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面

的.

12.指數，負整數指數幕：”0,則。。=1；若g0,n為正整數，則。一"=?.

13.數的大小比較常用以下幾種方法：數軸比較法、差值比較法、絕對值比較法、乘方比較

法、中間值比較法等等.

重點考向

考向一實數的有關概念

此類問題一般以填空題、選擇題的形式出現，熟練掌握實數的有關概念，如相反數、倒數、

絕對值、算術平方根等是解決這類問題的關鍵.

典例引領

1.-5的相反數為()

11

A.-B.5C.—D.—5

55

【答案】B

【分析】本題考查了相反數的定義，根據只有符號不同的兩個數互為相反數進行解答即可

得.

【詳解】解：-5的相反數為5,

故選：B.

2.下列各組數中，互為相反數的是()

A.f與B.卜9|與一3?C.23與3?D.-(-3)與3

【答案】B

【分析】本題考查相反數，絕對值，有理數的乘方，先計算出各組數，再根據相反數的定

義"絕對值相同，符號相反的兩個數互為相反數"逐項判斷即可.

【詳解】解：A--7與絕對值不同，符號相同，不是互為相反數；

B,|-9|=9,-32=-9,9與-9互為相反數，即卜9|與一手互為相反數；

C,23=8,3、9,聯與3?不是互為相反數；

D,-(-3)=3,-(-3)與3不是互為相反數；

故選B.

3.心的倒數是()

【答案】B

【分析】本題考查了倒數的定義，先將帶分數化為假分數，再根據"乘積為1的兩個數互為

倒數"，即可解答.

【詳解】解：014=4，

44

14

回的倒數是3,

45

故選：B.

4.下列說法正確的是（）

A.一。一定沒有平方根B.立方根等于它本身的數是0,1

C.25的平方根是±5D.T的算數平方根是2

【答案】C

【分析】根據算術平方根，平方根和立方根的定義，逐一判斷即可.

【詳解】A、當aWO時，有平方根，故錯誤，不符合題意；

B、立方根等于它本身的數為：0,1,-1,故錯誤，不符合題意；

C、25的平方根是±5,正確，符合題意；

D、負數沒有平方根，故錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查算術平方根，平方根和立方根的知識，解題的關鍵是掌握算術平方根,

平方根和立方根的定義.

5.已知加、”互為相反數，p、2q互為倒數，且。為最大的負整數，則代數式

2（m+n）12n/天生

^——+~pq--------a1的vl值為____.

20213m

19

【答案】-

O

【分析】利用相反數、倒數、負整數的性質求出〃?+”,2pq,。的值，代入原式計算即可

求出值.

此題考查了有理數的混合運算，相反數、倒數，以及負整數，熟練掌握各自的性質是解本

題的關鍵.

【詳解】解：回加、”互為相反數,

團加+幾=0,m--n

助、2q互為倒數，

國2Pq=1,

Sa為最大的負整數,

回a=-1,

19

故答案為：

6

6.T的相反數是,-3的倒數是—，-%的絕對值是.

【答案】4--71

3

【分析】根據相反數、倒數、絕對值的性質即可求解.

此題主要考查有理數的性質，解題的關鍵是熟知相反數、倒數、絕對值的定義.

【詳解】解：T的相反數是4,-3的倒數是-g,-%的絕對值是萬

故答案為：4；--；兀.

7.若。為廂的算數平方根，且I。-勿=3,則a+b=.

【答案】1或7/7或1

【分析】根據算術平方根的定義求得。=2,再跟|。-勿=|2-6|=3,即可得到b=一1或

b=5,進一步求得答案即可.

【詳解】解：初為J語=4的算數平方根，

回。=V?=2，

S\a-b\=\2-b\=3,

貝!|2-6=3或2-匕=-3,

解得b=-1或6=5,

回a+6=2+(-1)=1或a+6=2+5=7,

故答案為：1或7

【點睛】此題考查了算術平方根、絕對值等知識，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關

鍵.

8.-8的立方是一，2的算數平方根是—,跑的平方根是.

【答案】-512也±2

【分析】根據立方、算術平方根以及平方根的定義進行求解即可.

【詳解】解：因為(―8)3=(—8)x(-8)x(—8)=_512,

所以-8的立方是-512；

2的算數平方根是血；

因為灰？=4,

所以4的平方根是±2,

即跑的平方根是±2,

故答案為：-512,±2.

【點睛】本題主要考查了算術平方根以及平方根的定義，如果一個數的平方等于。，這個

數就叫做。的平方根.如果一個正數尤的平方等于那么這個正數x叫做。的算術平方

根.

9.如果a,6互為相反數，c,d互為倒數，x的絕對值是3,y是數軸負半軸上到原點的距

離為1的數，

⑴填空：a+b=；cd=；x+y=.

(2)求代數式-+x2-cd+y2023的值.

X

【答案】(1)0,-1,2或Y

(2)7

【分析】(1)利用相反數，倒數，以及絕對值的代數意義求出。+人，cd,x與y的值；

(2)將(1)中結果代入原式計算即可得到結果.

【詳解】(1)解：a,b互為相反數，c,”互為倒數，x的絕對值是3,y是數軸負半軸上

到原點的距離為1的數，

/.a+b=O,cd=l,x=?3,y-1,

\x+y=3+(-1)=2,

x+y=-3+(-1)=T,

故答案為：0,-1,2或T；

(2)解：^^-+x2-cd+y2023

X

八c-i/i\2023

=0+9-l+(-1)

=0+9-1+(-1)

=7.

【點睛】本題考查了代數式求值，絕對值，相反數，以及倒數，熟練掌握各自的定義是解

本題的關鍵.

10.數軸上兩點間的距離等于這兩點所對應的數的差的絕對值，例：如圖，點A、8在數

軸上分別對應的數為a、b,則A、8兩點間的距離表示為a-6|,根據以上知識解

題：

AB

⑴若數軸上兩點A、8表示的數為x、-1.

①A、8之間的距離可用含x的式子表示為；

②若該兩點之間的距離為3,那么x值為；

(2)Ix+21+1x-31的最小值為,止匕時x的取值是；

(3)已知(|x+2|+|x-3|)(|y-3|+|y+4|)=35,求2x-3y的最大值和最小值.

【答案】⑴①lx+11；②2或-4

(2)5；-2<x<3

(3)最大值18,最小值T3.

【分析】(1)①根據題意代入相應的值運算即可；

②由題意可得：卜+1|=3,進行運算即可；

(2)由絕對值的幾何意義可知：當-2VxW3時，|x+2|+|x-3|有最小值，從而可求解；

(3)由題意可得：當-2VxW3,-4<y<3時，符合題意，從而可確定卜+2|+|犬一3|,

|y-3|+|y+4|的最小值，從而可求解.

本題主要考查了列代數式、數軸上兩點的距離、絕對值，解決本題的關鍵是綜合運用以上

知識.

【詳解】⑴①由題意得：AB^x-(-l)Hx+H,

故答案為：Ix+1L

②由題意得：|%+1|=3,

Elx+1=±3,

解得：*=2或了=-4.

故答案為：2或T.

(2)由絕對值的幾何意義可得，Ix+2|+|x-3|是數x至1」一2與3的距離之和,

團當—2VxV3時，|工+2|+|尤-3|有最小值,

取x=0代入可得：|0+2|+|0-3|=5,

故最小值為5.

故答案為：5；-2<x<3；

(3)0(|x+2|+|x-3|)(|y-3|+|j+4|)=35,

團當-2VxV3,-4W”3時，符合題意，

此時，|龍+2|+|了-3|的最小值為5,及-3|+|y+4|的最小值為7,

團當x=3,y=-4時，2x-3y的最大值為：2x3-3x(-4)=18,

當元=-2,y=3時，2x-3y的最小值為：2x(—2)—3x3=—13.

故答案為：18；-13.

11.對于含絕對值的算式，在有些情況下，可以不需要計算出結果也能將絕對值符號去

掉，例如：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；:一;=：一:；

乙。乙。DN

觀察上述式子的特征，解答下列問題：

(1)把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式(不用寫出計算結果)：

①|23-47|=

②--------

―35.

(2)當a時，|。一4=

11_____1

⑶計算.++----F…+

⑸"昇232432022~2021

79

【答案】⑴①47-23；②§-二

(2)b—ci

2021

⑶

2022

【分析】本題考查有理數的加減運算，絕對值意義;

(1)結合有理數加法減法運算法則以及絕對值的意義進行化簡；

(2)根據絕對值的意義進行化簡；

(3)根據有理數減法運算法則結合絕對值的意義先化簡絕對值，然后根據數字的變化規律

進行分析計算.

【詳解】⑴解：?|23-47|=47-23；(2)Ij-j|=j-j；

22

故答案為：47-23,———；

35

(2)解：當時，A]=/?—〃；

故答案為：b—a；

/、.11111111

(3)角牛：1H----------1---------------------------------

2324320222021

二1---------

2022

2021

-2022,

12.已知X-2的算數平方根為2,2x+y+7的立方根是3,求f+)?的平方根與立方根.

【答案】±10,^/100

【分析】根據算式平方根和立方根的定義，求出羽〉的值，再代值計算平方根和立方根即

可.

【詳解】解：EIX-2的算數平方根為2,2x+y+7的立方根是3,

國無一2=2?=4,2x+y+7=33=27,

團x=6,y=8,

0%2+y2=100,

團"+/的平方根為±"而=±10,立方根為：班麗.

【點睛】本題考查求一個數的平方根和立方根.解題的關鍵掌握相關定義，正確的計算.

變式拓展

1.時表示()

A.”的倒數B.a的相反數C.a的絕對值D.。的算術平方根

【答案】C

【分析】根據絕對值的定義解答即可.

【詳解】解：時表示a的絕對值.

故選C.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，表示一個數。的點到原點的距離叫做這個數的絕對

值.

2.設A是T的相反數與-12的絕對值的差，8是比-6大5的數，則A-3的值為.

【答案】-7

【分析】本題考查有理數的運算.根據題意，求出A,8的值，再進行減法運算即可.

【詳解】解：由題意，得：4=一(-4)一卜12|=-8,B=-6+5=-l,

[?]A—B=—8+1=—7；

故答案為：-7.

3.已知為，巧，X,，…，/。都是不等于。的有理數，若'+闖+國+…+國，

*^3*^20

則為。所有可能等于的值的絕對值之和等于.

【答案】220

【分析】本題主要考查數字的變化規律，化簡絕對值，根據題意分別得出％。所有可能等于

的值即可得出結論.

【詳解】解：當2。個數的符號相同時，若都為正，

J2o=—+—+—+—=1+1+1+1+1=20

團xxx2x3x20

%0=』+』+$+…+*=-l-l=-20

若都為負，則%“2%”20

團巴。等于20或-20,

當20個數的符號有一個相異時，不妨設這個數為七,

Jo=—+—+—+-?-+—=1-1-1-1-1=1-19=-18

2X

當"1為正，貝!]玉2*3X20,

%o=』+垃+乜+…+曰=7+1+]+I+I=T+I9=18

X

若為負，貝I石*2*320

團必。等于18或-18,

同理當20個數的符號有兩個相異時，力等于16或-16,

當20個數的符號有三個相異時，必。等于14或-14,

當20個數的符號有四個相異時，％。等于12或T2,

當20個數的符號有十個相異時，必。等于0,

…。所有可能等于的值的絕對值之和=(20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0)x2=220,

故答案為：220.

4.若有理數a,b互為倒數，c,d互為相反數，機的絕對值是2,則

/；\2023(1Y2

(。+")Alb)+m=一?

【答案】5

【分析】根據題意，可得劭=1,c+d=0,加=±2,再代入即可求解.本題主要考查了倒

數，絕對值的意義，相反數的性質，有理數的混合運算，熟練掌握相關知識是解題的關

鍵.

【詳解】解：由題意得，ab=\,c+d=。，加=±2,

(/c+d7\)2023+m2=02023+(-l)4+(±2)2=0+l+4=5,

故答案為：5.

5.實數4，b,c,d,e,/中，。與〃互為倒數，c與d互為相反數，0是_0的絕對

值，/的算術平方根是8,求：</+彳+/+"的值.

【答案】6；

【分析】根據倒數的定義，相反數的性質，絕對值的化簡及算術平方根的定義得到

ab=1,c+d=0,e=|-y/21=,/=82=64,代入計算即可.

【詳解】解：由題意得，ab=l,c+d=。，e=|—0|=0,/=82=64,

-ab+^-^-+e2+#7

23W

=-xl+-+(^)2+^/64

23

=-+0+2+4

2

=61.

2

【點睛】此題考查了已知式子的值求代數式的值，正確掌握倒數的定義，相反數的性質，

絕對值的化簡及算術平方根的定義得到必=1,C+d=0,e=|-夜|=0,/=弟=64是解題

的關鍵.

6.如果。力,。,乩自/是實數，且。力互為倒數，c,d互為相反數，e的絕對值是貶，/的算

術平方根是8,求;+需+e+".

【答案】Q+3或耳-夜

【分析】根據相反數，倒數，以及絕對值的意義求出。十巴必及e的值，代入計算即可.

【詳解】解：由題意可知：cib=1,c+d=0,e=±，7=64,

.M=隔=4,

當e=0時，：而+1^+6+/=；+。+夜+4=1+0,

當6=—0時，:而+'|^+6+"=：+。一血+4=2-0.

【點睛】此題考查了實數的運算，平方根，絕對值，以及倒數，熟練掌握運算法則是解本

題的關鍵.

7.已知實數。，b,c,d,m,其中a,匕互為相反數，c,d互為倒數，加的絕對值是

I、a+b+m2+1、廠

2,求---7=一的平萬根.

7cd

【答案】±有

【分析】直接利用互為相反數以及倒數和絕對值的性質得出代數式的值，進而得出答案.

【詳解】解：回a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值是2,

團a+b==0,cd=l,m=±2

0+4+11

=—^=5,

5的平方根是土石.

【點睛】此題主要考查了實數運算，正確得出已知代數式的值是解題關鍵.

8.已知。的立方根是2,8是小的整數部分，c是9的平方根，求a+b+c的算術平方

根.

【答案】J值或20/20或內

【分析】本題主要考查了求一個數的算術平方根，求一個數的平方根，根據立方根求這個

數，無理數的估算等等，正確根據題意求出以氏c的值是解題的關鍵.

根據立方根的定義得到a=23=8,估算出3<a?<4得到b=3,根據平方根的定義得到

c=±3,據此求出a+b+c=14或a+b+c=8,再根據算術平方根的定義可得答案.

【詳解】解：國。的立方根是2,

回〃=2^=8,

09<15<16,

03<V15<4,

團6是后的整數部分，

06=3,

回c是9的平方根，

回c=±3,

回a+Z?+c=8+3+3=14或^a+Z?+c=8+3—3—8,

Sa+b+c的算術平方根為或而=272.

9.（1）已知X的平方根為±3,）的立方根為2,求x+2y的算術平方根.

（2）實數a,b在數軸上的位置如圖所示，化簡：\a-b\+^a+b>）.

——?-------------------1——?------->

a0b

【答案】（1）5；（2）-2a

【分析】（1）根據X的平方根為±3,y的立方根為2,得出x=9,y=8,代入進行計算求

出尤+2y的值，再由算術平方根的定義計算即可；

(2)由數軸可得。＜0＜匕，同＞例，從而得出a-Z?＜0,a+b＜0,再根據絕對值的性質

和二次根式的性質進行化簡即可.

【詳解】解：(1)x的平方根為±3,y的立方根為2,

.,.尤=3?=9,y=23=8

x+2y=9+2x8=9+16=25,

x+2y的算術平方根為居=5；

(2)由圖可得：a<0<b,\a\>\b\,

:.a-b<0,a+b<0,

—++=b—a—(a+b)=b—a—a—b=-2a-

【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據點在數軸的位置判斷式子的正負、化簡

絕對值、利用二次根式的性質進行化簡，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵.

10.若6互為相反數，c、d互為倒數，加的絕對值為3,求

2

/+巴W_(_cd嚴3+a

mb

【答案】11

【分析】本題主要考查了相反數、倒數、絕對值的定義，掌握互為相反數的兩個數相加等

于0,互為倒數的兩個數相乘等于1,解題的關鍵掌握各自的定義.根據互為相反的兩個數

相加等于0,互為倒數的兩個數相乘等于1,互為相反數的兩個數比值為-1即可求解.

【詳解】解；由題意可知。+匕=0,y=-l,cd=l,Im1=3,

b

?.>^=32+0-(-1)2023+(-1)2

=9-(-1)+1

9+1+1

=11.

考向二實數的分類

實數的分類

，正整數

整數零

有理數負整數

實數‘正分數'

分數有限小數或無限循環小數

負分數

‘正無理數'

無理數無限不循環小數

負無理數

典例引領

1.

A.。的倒數B.。的相反數C.a的絕對值D.。的算術平方根

【答案】C

【分析】根據絕對值的定義解答即可.

【詳解】解：時表示。的絕對值.

故選C.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，表示一個數。的點到原點的距離叫做這個數的絕對

值.

2.設A是T的相反數與-12的絕對值的差，8是比-6大5的數，則的值為.

【答案】-7

【分析】本題考查有理數的運算.根據題意，求出48的值，再進行減法運算即可.

【詳解】解：由題意，得：4=一(-4)一卜12|=-8,B=-6+5=-l,

回A—B=—8+1=—7；

故答案為：-7.

3.已知4，/，馬,…，馬。都是不等于。的有理數，若％°=兇+同+國+…+國，

"^2*^3*^20

則力，所有可能等于的值的絕對值之和等于.

【答案】220

【分析】本題主要考查數字的變化規律，化簡絕對值，根據題意分別得出%。所有可能等于

的值即可得出結論.

【詳解】解：當20個數的符號相同時，若都為正,

gy20=—+^+—+...+—=1+1+1+1+1=20

項尤2尤3X20

若都為負，貝1J=*+*+*+…=-1-1=-2°

X]兀2"3'20

回%。等于20或-20,

當20個數的符號有一個相異時，不妨設這個數為4,

當X]為正，貝！Jy2o=_L_|--------------------------+---------------=1-1-1-1-1=1-19=-18,

x

占x2x,io

+%2

若Xj為負，貝1J%0=——+...+0=-1+1+1+1+1=-1+19=18

三/毛々0

回為0等于18或-18,

同理當20個數的符號有兩個相異時，必。等于16或-16,

當20個數的符號有三個相異時,%。等于14或-14,

當20個數的符號有四個相異時,%。等于12或-12,

當20個數的符號有十個相異時，%。等于0,

所有可能等于的值的絕對值之和

=(20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0)x2=220,

故答案為：220.

4.若有理數a,b互為倒數，c,d互為相反數，%的絕對值是2,則

/八2023(1Y2

…)+[--J+m=—,

【答案】5

【分析】根據題意，可得必=1,c+d=0,機=±2,再代入即可求解.本題主要考查了倒

數，絕對值的意義，相反數的性質，有理數的混合運算，熟練掌握相關知識是解題的關

鍵.

【詳解】解：由題意得，ab=\,c+d=0,m=±2,

(c+6/)2023+f-—V+m2=O2023+(-l)4+(±2)2=0+1+4=5,

IabJ

故答案為：5.

5.實數〃，b,。，d,%/中，〃與/，互為倒數，c與d互為相反數，e是一血的絕對

值，/的算術平方根是8,求：(或+等+?2+好的值.

【答案】6；

【分析】根據倒數的定義，相反數的性質，絕對值的化簡及算術平方根的定義得到

ab=l,c+d=O,e=|-夜|=夜，/=82=64,代入計算即可.

【詳解】解：由題意得，ab=l,c+d=O,e=\-721=V2,/=82=64,

z.-ab+^-^+e1

23Y

=gxl+《+(6)2+鬧

=-+0+2+4

2

=61.

2

【點睛】此題考查了已知式子的值求代數式的值，正確掌握倒數的定義，相反數的性質，

絕對值的化簡及算術平方根的定義得到必=1,c+d=0,e=|-72|=V2,/=8，=64是解題

的關鍵.

6.如果及c,d,e,f是實數，且“力互為倒數，c,d互為相反數，e的絕對值是血，了的算

術平方根是8,求;+需+?+療.

【答案】g+3或g-夜

【分析】根據相反數，倒數，以及絕對值的意義求出c+d,仍及e的值，代入計算即可.

【詳解】解：由題意可知：ab=l,c+d=。，e=±V^,F=64,

當e=0時，：而+■|^+e+療=；+()+夜+4=2+血,

乙乙U4_L乙乙

當6=-應時，；"+1^+e+V7=；+°-0+4=g-&.

【點睛】此題考查了實數的運算，平方根，絕對值，以及倒數，熟練掌握運算法則是解本

題的關鍵.

7.已知實數。，b,c,d,m,其中。，b互為相反數，c,d互為倒數，加的絕對值是

,a+b+m2+1、,

2,求x——p=—的平萬根D.

7cd

【答案】土下

【分析】直接利用互為相反數以及倒數和絕對值的性質得出代數式的值，進而得出答案.

【詳解】解：回a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值是2,

0a+b=O,cd=l,m=+2

0+4+1=

=-1-=5,

5的平方根是土

【點睛】此題主要考查了實數運算，正確得出已知代數式的值是解題關鍵.

8.已知。的立方根是2,b是小的整數部分，c是9的平方根，求a+b+c的算術平方

根.

【答案】歷或2屈/2版或屈

【分析】本題主要考查了求一個數的算術平方根，求一個數的平方根，根據立方根求這個

數，無理數的估算等等，正確根據題意求出久氏c的值是解題的關鍵.

根據立方根的定義得到a=23=8,估算出3〈爐<4得到b=3,根據平方根的定義得到

c=±3,據此求出a+b+c=14或a+b+c=8,再根據算術平方根的定義可得答案.

【詳解】解：回。的立方根是2,

回〃=2^=8,

09<15<16,

03<A/15<4,

回匕是小的整數部分，

0&=3,

EK是9的平方根，

0c=±3,

回a+b+c=8+3+3=14或a+6+c=8+3—3=8,

^a+b+c的算術平方根為而或而=272.

9.(1)已知x的平方根為±3,>的立方根為2,求尤+2y的算術平方根.

(2)實數a,b在數軸上的位置如圖所示，化簡：\a-b\+^a+bf.

J——1------>

0b

【答案】(1)5；(2)-2a

【分析】(1)根據x的平方根為±3,y的立方根為2,得出x=9,V=8,代入進行計算求

出x+2y的值，再由算術平方根的定義計算即可;

(2)由數軸可得。<0<b,同>例，從而得出a—b<0,a+b<0,再根據絕對值的性質

和二次根式的性質進行化簡即可.

【詳解】解：(1)x的平方根為±3,丁的立方根為2,

/.x=32=99y=23=S

x+2y=9+2x8=9+16=25,

x+2y的算術平方根為岳=5；

(2)由圖可得：a<0<b,|?|>|^|,

:.a-b<0,a+b<0,

/.|tz-闿+—b-a-(a+b)=b-Q-a-b-—2a?

【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據點在數軸的位置判斷式子的正負、化簡

絕對值、利用二次根式的性質進行化簡，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵.

10.若。、b互為相反數，d互為倒數，加的絕對值為3,求

2

加+巴心_(_4嚴3+a

mb

【答案】11

【分析】本題主要考查了相反數、倒數、絕對值的定義，掌握互為相反數的兩個數相加等

于0,互為倒數的兩個數相乘等于1,解題的關鍵掌握各自的定義.根據互為相反的兩個數

相加等于0,互為倒數的兩個數相乘等于1,互為相反數的兩個數比值為-1即可求解.

【詳解】解；由題意可知。+6=0,f=cd=\,Im1=3,

b

.?.原式=32+0—(-1)2023+(_1)2

=9-(-1)+1

9+1+1

=11?

變式拓展

1.下列各數是無理數的是（）

/—2271

A.y/25B.0.1001C.—D.

73

【答案】D

【分析】本題考查了無理數：無限不循環小數，有限小數或無限循環小數是有理數；根據

無理數的概念判斷即可.

【詳解】解：由于后=5,所以后0.1001,,都是有理數，-三是無理數，

故選：D.

2.下列各數中：-1,+3,0,0.2,-21,一兀，負數一共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了實數的分類，解題的關鍵是熟練掌握實數分為正實數、負實數和

零.

【詳解】解：-1,+3,0,0.2,-21,一乃中負數有-I,-21,一乃，共3個，故C正

確.

故選：C.

7T1

3.在實數3.142,0,萬，1.01001000100001...（相鄰兩個1之間0的個數逐次增加

1）中，無理數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了有理數與無理數的分類，無理數為無限不循環小數；有理數包含整數

與分數.分別根據無理數、有理數的定義逐項進行判斷即可，理解無理數的定義是解題關

鍵.

【詳解】解：3.142,0,-g為有理數；

TT

1.01001000100001…為無理數，共有兩個，

2

故選：B

4.下列說法正確的是（）

A.所有無限小數都是無理數B.實數分為正實數、負實數、0

C.三是分數D.無理數與無理數的和仍是無理數

【答案】B

【分析】本題考查了無理數的概念、實數的分類，根據無理數的概念和實數的分類逐項判

斷即可，熟練掌握相關定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：A、無限不循環小數是無理數，故原說法錯誤，不符合題意；

B、實數分為正實數、負實數、0,故原說法正確，符合題意；

C、三是無理數，故原說法錯誤，不符合題意；

D、無理數與無理數的和可能是有理數，例如-&+也=0,故原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

5.在實數君、0、-2.36、萬、VI石、指中，無理數的個數為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題主要考查無理數的識別，無理數即無限不循環小數，據此進行判斷即可.熟

練掌握其定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A/5,萬，我是無限不循環小數，它們是無理數；

0,灰石=12是整數，-2.36是分數，它們不是無理數；

綜上，無理數共3個，

故選：B.

6.下列說法正確的是（）

A.實數分為正實數和負實數B.正是分數

2

C.數軸上的點表示的數都是有理數D.-6是5的平方根

【答案】D

【分析】本題考查實數的分類，平方根的概念，實數與數軸，屬于基礎知識的考查，掌握

相關概念或性質解答即可.

【詳解】解：A、實數分為正實數.負實數和零，原說法錯誤，本選項不符合題意；

B、正是無理數，不是分數，原說法錯誤，本選項不符合題意；

2

C、數軸上的點表示的數都實數，原說法錯誤，本選項不符合題意；

D、卜斯『=5,則-&'是5的平方根，原說法正確，本選項符合題意；

故選：D

7.下列說法正確的是（）

A.實數和數軸上的點是一一對應的B.實數可以分為有理數、零和無理數

C.帶根號的數都是無理數D.不帶根號的數都是有理數

【答案】A

【分析】根據實數與數軸，實數的分類逐項判斷即可.

【詳解】解：A.實數和數軸上的點是一一對應的，說法正確；

B.實數可以分為有理數和無理數，原說法錯誤；

C.帶根號的數不一定是無理數，例如a=2,原說法錯誤；

D.不帶根號的數不一定是有理數，例如丁，原說法錯誤；

故選：A.

【點睛】本題考查了實數與數軸，實數的分類，正確理解無理數的概念是解題的關鍵.

8.在單元復習課上，老師要求寫出幾個與實數有關的結論，小明同學寫了以下5個：

①任何無理數都是無限不循環小數；

②立方根等于它本身的數是±1和0;

③在1和3之間的無理數有且只有行、0小、將這4個；

④萬是分數，是有理數；

⑤由四舍五入得到的近似數7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數.

其中正確的有（填序號）.

【答案】①②⑤

【分析】本題考查了無理數的定義，立方根，近似數；根據無理數是無限不循環小數，立

方根，實數的分類，近似數，可得答案.

【詳解】解：①任何無理數都是無限不循環小數，故①正確；

②立方根等于它本身的數是±1和0,故②正確；

③在1和3之間的無理數有無數個，故③錯誤；

④會是無理數，故④錯誤；

⑤由四舍五入得到的近似數7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數，故⑤正確；

故答案為：①②⑤.

9.下列各數3.1415926,出,1.212212221.…（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）,

2-兀,-2020,4中，有理數有個.

【答案】4

【分析】根據實數的分類進行判定即可得出答案，有理數包括整數和分數，其中有限小數

和無限循環小數都屬于分數.

【詳解】解：有理數有3.1415926,y,-2020,"共4個.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了實數，熟練掌握實數的分類進行求解是解決本題的關鍵.

10.在+3.5,0.13,-y,2萬，0.1010010001,（相鄰兩個1之間依次增加1個0）中，有

理數有一個.

【答案】3

【分析】根據實數的分類，有理數是有限小數，無限循環小數，由此即可求解.

【詳解】解：在+3.5,0.13,-y,2%，0.1010010001，（相鄰兩個1之間依次增加1個

0）中，有理數有+3.5,0.13,-y,共3個，

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查實數的分類，掌握其分類的方法，有理數的概念是解題的關鍵.

11.在萬，0.3,一5中，無理數是.

【答案】乃

【分析】無理數是無限不循環小數，常見的無理數有開不盡方的數，含萬的最簡式子，特

殊結構的數等，由此即可求解.

【詳解】解：根據無理數的定義，可知無理數有萬，

故答案為：乃.

【點睛】本題主要考查無理數的定義，掌握實數的分類，無理數的定義，及常見無理數的

形式是解題的關鍵.

12.將下列各數進行分類（填序號即可）：

12

①1,②石，③0,④一3.2,⑤際，⑥-7，⑦1.202002…（每個"2"之間依次多

一個"0"）.

正整數：—;

分數：;

無理數：—.

【答案】①⑤；④⑥；②⑦

【分析】根據實數的分類即可解答.

【詳解】解：舊=3,

，病為正整數.

二正整數為：①⑤；

■---1-2-..1.2

77

.??分數為：④⑥；

無理數為：②⑦.

故答案為：①⑤；④⑥；②⑦.

【點睛】本題考查了實數的分類，化簡絕對值和求一個數的立方根，熟練掌握和運用實數

的分類是解決本題的關鍵.

13.將下列各數填入相應的集合內.

-7,0.32,0,般,J-,^125，7T,0.1010010001...

3V2

①有理數集合｛...｝

②無理數集合｛...｝

③負實數集合｛...）.

【答案】-7,0.32,0,^/125瓜,71,0.1010010001-7

【分析】根據實數的分類：實數分為有理數、無理數.或者實數分為正實數、0、負實

數.進行填空.

【詳解】解：花=20,卜*炳=5,

①有理數集合｛-7,0.32,1,0,V125.-■.)

②無理數集合｛*，￡,兀,0.1010010001...,...)

③負實數集合｛-7,...｝.

故答案為：-7,0.32,-,0,^25；瓜,J->無，0.1010010001...；-7.

3V2

【點睛】本題考查了實數的分類.注意0既不是正實數也不是負實數是解題的關鍵.

14.把下列各數填入表示它所在的數集的大括號里：

-21%,+|-6|,+卜^；0,-0-3,0.212212221---,-2017,3.14,萬，-(+4),(-7)2.

負有理數集合：｛…｝;

分數集合：｛??):

無理數集合：｛-?｝;

非負整數集合：｛???｝.

【答案】—21%,+1：，一°3，一2。17,-(的)；-21%,-0-3-314；

0.212212221-,萬；+|-6|,o,(-7)2.

【分析】根據實數的分類，即可得到答案.

【詳解】解：負有理數集合：｛-21%,+[-1],-0.3,-2017,-(M),…｝;

分數集合：｛-21%,+?,-0.3,3.14,-??)；

無理數集合：｛0.212212221…，乃，…｝;

非負整數集合：｛+|-6|,0,(-7))■?)；

故答案為：一21%,+1<]，-0.3,-2017,—(M)；-21%,+1<]，-0.3,3.14；

0.212212221-,萬；+|-6|,0,(-7)2.

【點睛】本題考查了實數，利用實數的分類是解題的關鍵.

考向三近似數和科學記數法

在用科學記數法表示數時，一定要正確確定〃的值.

典例引領

1.華為朋Re60Pro手機搭載了海思麒麟9000s八核處理器，預裝華為自主研發的

操作系統，為全球首款支持衛星通話的智能手機.預計至2024年底，這款

手機的出貨量將達到70000000臺.將70000000用科學記數法表示應為（）

A.7xl08B.70xl06C.7xl07D.0.7xlO8

【答案】C

【分析】本題考查科學記數法表示較大的數，將一個數表示為axlO”的形式，其中

1〈忖<10,〃為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可得出答案.

【詳解】解：70000000=7xl07,

故選：C.

2.2023年9月23日晚，以"潮起亞細亞”為主題的杭州亞運會盛大開幕，本次亞運會觀眾

預計達到570萬人次（）

A.5.7xlO2B.5.7xlO4C.5.7xlO5D.5.7xlO6

【答案】D

【分析】本題考查科學記數法表示較大的數，將一個數表示成0X10"的形式，其中

1<|?|<10-〃為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案，熟練掌握其定

義是解題的關鍵.

【詳解】解：57075=5700000=5.7x10%

故選：D.

3.長城的總長用科學記數法表示約為6.7x106米，則它的原數為（）

A.