專題16.7二次根式章末八大題型總結（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式雙重非負性的運用】 1【題型2復合二次根式的化簡】 3【題型3二次根式的運算與求值技巧】 7【題型4二次根式中的新定義問題】 9【題型5利用分母有理化求值】 15【題型6二次根式中的閱讀理解類問題】 20【題型7二次根式的規律探究】 25【題型8二次根式的實際應用】 28【題型1二次根式雙重非負性的運用】【例1】（2023春·天津和平·八年級耀華中學校考期中）若實數a，b，c滿足關系式a?199+199?a=2a+b?c+b?6，則c＝．【答案】404【分析】根據二次根式有意義條件求得a＝199，然后由非負數的性質求得b、c的值．【詳解】解：根據題意，得a?199=0199?a=0解得a＝199，則2a+b?c+所以2×199+b?c=0b?6=0解得b=6c=404故答案為：404．【點睛】本題考查二次根式的意義和性質，熟知相關知識點是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·全國·八年級期中）已知實數x，y，a，b滿足3x?y?7+x?2y?4=a+b?2022×【答案】15【分析】根據算術平方根的非負性列方程和不等式計算即可．【詳解】解：由已知，得a+b?2022≥02022?a?b≥0∴a+b?2022=0，∴a+b=2022，∴3x?y?7+∴3x?y?7=0x?2y?4=0，解得x=2∴7x?y【點睛】本題考查二次根式的乘法、非負數的性質、二次根式有意義的條件以及解二元一次方程組，熟練掌握二次根式的乘法以及非負數的性質是解答本題的關鍵．【變式1-2】（2023春·湖北恩施·八年級校聯考階段練習）設x、y、z是兩兩不等的實數，且滿足下列等式：x3(y?x)3+xA．0 B．1 C．3 D．條件不足，無法計算【答案】A【分析】首先根據二次根式的被開方數為非負數與x、y、z是兩兩不等的實數，即可求得：x為0，y與z互為相反數，據此即可求得代數式的值．【詳解】解：根據題意得：x∴y>x>z，∴y?x>0，z?x<0，∴由x3(y?x)3≥0可得x≥0，由∴x=0，∴y?x∴y∴y=?z，∴x【點睛】此題考查了二次根式成立的條件與不等式組解集的求解方法，代數式求值問題，找到x，y，z的關系是求解本題的關鍵．【變式1-3】（2023秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚波中學校考期中）已知m,x,y是兩兩不相等的實數，且滿足mx?m+my?m=【答案】1【分析】根據被開方數是非負數，確定出m=0，x=?y，代入原式即可解決問題．【詳解】解：∵m，x，y是兩兩不相等的實數且滿足m(x?m)+又∵m?y≥0x?m≥0∴m=0，x=?y，x≠0，y≠0，∴原式=3故答案為：1【點睛】本題考查二次根式的性質、解題的關鍵是根據條件確定出m=0，x=?y，記住二次根式的被開方數是非負數這個隱含條件，屬于中考常考題型．【題型2復合二次根式的化簡】【例2】（2023春·內蒙古巴彥淖爾·八年級統考期中）像4?23，484?23＝3?23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：12+235(2)化簡：17?415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【答案】(1)5(2)2(3)14或46【分析】（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結合整除的意義求解．【詳解】（1）12+2（2）17?4（3）∵a+65∴a=m2+5∴mn=3又∵a、m、n為正整數，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當m=1,n=3時，a=46；當m=3,n=1時，a=14．∴a的值為：14或46．【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數分解時參考后面的二次根號里面的數值．【變式2-1】（2023秋·上海·八年級期中）當x=4時，x?23x2A．1 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】根據分式的運算法則以及二次根式的性質即可求出答案．【詳解】解：原式=x?2=將x=4代入得，原式=====1.故選：A.【點睛】本題考查分式的運算以及二次根式的性質，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則以及觀察出分母可以開根號，本題屬于較難題型．【變式2-2】（2023春·廣東韶關·八年級校考期中）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22設a+2b=m+2n2（其中a、b、∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝（2）若a+43=m+3n2，且a、（3）化簡：7?21+【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展開得到m+6n2=m2+26mn+6（2）直接利用完全平方公式，變形后得到對應值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡即可．【詳解】解：（1）∵a+6∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵a+43∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵21+80則7?21+【點睛】本題考查了二次根式性質和完全平方式的內容，考生須先弄清材料中解題的方法，同時熟練掌握和靈活運用二次根式的相關運算法則以及二次根式的化簡公式是解題的關鍵.【變式2-3】（2023春·江蘇·八年級期末）閱讀材料：康康在學習二次根式后、發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+22設a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2n2請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數時，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b(2)若7?43=e?f32，且e(3)化簡：7+21?【答案】(1)c(2)2?(3)1+【分析】（1）根據完全平方公式進行計算進行求解；（2）將7?43變為2（3）將7+21?80化為【詳解】（1）解：∵c+d3∴a=c故答案為：c2（2）∵7?43∴7?43（3）7+======1+5【點睛】此題考查了二次根式的化簡能力，關鍵是能準確理解并運用相關知識進行求解．【題型3二次根式的運算與求值技巧】【例3】（2023·八年級單元測試）若a=122【答案】2.【分析】已知條件比較復雜，將已知條件變形得出所求式子的結構求值即可.【詳解】∵a+∴a∴a∴a∵a>0，∴a【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，式子較復雜需要先化簡條件.【變式3-1】（2023秋·四川成都·八年級校考階段練習）若實數x，y滿足（x﹣x2?2016）（y﹣（1）求x，y之間的數量關系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【答案】（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）將式子變形后，再分母有理化得①式：x﹣x2?2016＝y+y2?2016，同理得②式：x+x2（2）將x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式結合x2=2016，計算即可．【詳解】解：（1）∵（x﹣x2?2016）（y﹣∴x﹣x2?2016＝2016y?y2?2016＝同理得：x+x2?2016＝y﹣①+②得：2x＝2y，∴x＝y，（2）把x＝y代入①得：x－x2?2016＝x+∴x2＝2016，則3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡,掌握分母有理化的方法是解題的關鍵.【變式3-2】（2023春·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考階段練習）若x，y是實數，且y＝4x?1+1?4x+13，求（2【答案】18﹣1【分析】首先根據二次根式有意義求出x、y的值，再化簡后面的代數式，最后代入求值即可．【詳解】解：∵x，y是實數，且y＝4x?1+∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝14∴y＝13∴23x9x+4xy＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy＝xx﹣3xy＝141＝18【點睛】本題主要考查含字母的二次根式化簡求值，需要注意利用二次根式有意義的情況求未知數的值．【變式3-3】（2023春·浙江·八年級專題練習）當x=1+19942時，多項式4A．1 B．?1 C．22002 D．【答案】B【分析】由原式得2x?12=1994，得4x【詳解】∵x=1+∴2x?12=1994∴4x∴原式=?1【點睛】本題難度較大，需要對要求的式子進行變形，學會轉化.【題型4二次根式中的新定義問題】【例4】（2023春·重慶江津·八年級校聯考期中）對于任意非負數m、n，若定義新運算：m?n=m?n(m≥n)m+n(m<n)，在下列說法中：①27?12=3；②11?2+A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用新運算的定義對每個結論進行逐一判斷即可得出結論．【詳解】解：①∵27>12，∴27?12=27?12=3∴①的說法正確；②等式的左邊====2023等式的右邊=2023?1∴等式成立，∴②的說法正確；③當x≥y時，左邊=(=(==x?y=|x?y|=右邊，當x<y時，左邊=(==y?x=|x?y|=右邊，綜上，③的說法正確；④x==x?(x?2)=x?x+2=2，由題意可知：x2∴x≥1，∴④的說法不正確．綜上，說法正確的有①②③，故選：C．【點睛】本題主要考查了實數的運算，二次根式的性質，分母有理化，本題是新定義型，理解新定義的規定，并熟練應用是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）定義：對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為fz即：當n為非負整數時，如果n?12≤x<n+如：fz(0)=fz(0.48)=0，試解決下列問題：①fz(3)=③1+1f【答案】232017【詳解】1、fz2、根據題意，先推導出f(n（1）∵n2∴n2（2）再比較n2+n與①當n=0時，n2②當n為正整數時，∵n2+n?n?∴n2∴n2綜合（1）、（2）可得：n?1∴fz∴fz3、∵fz∴1==1?=1?=2017故答案為（1）2；（2）3；（3）20172018點睛：（1）解第②小題的關鍵是應用“完全平方公式”和“作差的方法”分別證明到當n為非負整數時，n?12<n2【變式4-2】（2023春·八年級單元測試）將n個0或2排列在一起組成一個數組，記為A=t1,t2,?,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，稱A是一個n元完美數組（n≥2定義以下兩個新運算：新運算1：對于x?y=x+y新運算2：對于任意兩個n元完美數組M=x1,M⊕N=1M=2,2,2(1)①在3,2，2,0②設A=2,0,2，B=(2)已知完美數組M=2,2,2(3)現有m個不同的2022元完美數組，m是正整數，且對于其中任意的兩個完美數組C，D滿足C⊕D=0，則m的最大可能值是______．【答案】(1)①2,0；②(2)N=2,2,0,2或2,0,2,2(3)2023【分析】（1）①根據定義直接判定即可；②根據定義直接計算即可；（2）由定義可知當x=y時，x?y=2x，當x≠y時，x?y=0，當x?y=22（3）根據題意可知C、D中對應的元都不相等，m的最大值為2023，當C確定后，D中的對應元與C中的不同即可．【詳解】（1）解：①∵3,2中有∴3,∵2,0中只有2∴2,0∵2,∴2,故答案為：2,0②A⊕B====2故答案為：2．（2）解：∵x?y=x+y∴當x=y時，x?y=2x，當x≠y時，x?y=0，當x?y=2x時，x?y=22∵M⊕N=22∴x1∵M=2∴N=2,2,0,2或2,0,2,2（3）解：∵C⊕D=0，∴C、D中對應的元都不相等或C、D中對應的元都相等且為0，∵C、D是不同的兩個完美數組，∴C、D中對應的元都不相等，∴m的最大值為2023，當C確定后，D中的對應元與C中的不同．故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了新定義運算，弄清定義，熟練掌握絕對值的運算，能夠通過所給的運算關系，得到一般規律是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學校考期中）定義：我們將a+b與a+例如：已知18?x?11?x=1因為18?x?所以18?x+(1)已知：20?x+①20?x?②結合已知條件和第①問的結果，解方程：20?x+(2)代數式10?x+x?2中(3)計算：13【答案】(1)①2；②x=?5(2)2≤x≤10，10，2(3)1【分析】（1）仿照題意，進行計算即可得到答案；（2）根據二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）利用原題的過程，對原式進行變形后，即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵20?x+∴20?x?故答案為：2②由①得20?x?4?x=2220?x即20?x=5則20?x=25，解得x=?5，經檢驗，x=?5滿足題意，即方程20?x+4?x=8（2）解：由二根式有意義的條件得到10?x≥0x?2≥0解得2≤x≤10，即x的取值范圍是2≤x≤10，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案為：2≤x≤10，10，2（3）1=132023====【點睛】此題考查了二次根式的性質和混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則和靈活變形是解題的關鍵．【題型5利用分母有理化求值】【例5】（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如2323②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．(1)計算：13(2)已知m是正整數，a=m+1?mm+1+m，(3)已知15+x2?【答案】(1)2019(2)504(3)9【分析】（1）將各部分分子變為2，再根據分母有理化去分母后可相互消掉可得結果；（2）a、b互為倒數，分母有理化后可得a+b的值，代入所求式子即可；（3）設a=15+x2，b=26?x2，則【詳解】（1）解：1====2019（2）∵a=m+1?m∴a=(m+1?m)∴a+b=(∴a+b+3ab=2021，∴4m+2+3=2021，∴m=504；（3）設a=15+x2，b=∴15+x∴a?b=1，∴(a?b)∴a∴2ab=40，∵(a+b)∴a+b=±9．（?9舍去），∴15+x【點睛】本題考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式設未知數整體代入是常用的方法．【變式5-1】（2023秋·山西臨汾·八年級校聯考期末）閱讀下列解題過程：11請回答下列問題：（1）觀察上面的解答過程，請寫出1n+1（2）利用上面的解法，請化簡：1（3）12?11和【答案】（1）n+1?n；（2）2021?1【分析】（1）把分子分母都乘以(5（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1）的方法可得，12?11=112+11【詳解】解：（1）1n+1（2）11+2==（3）由（1）的方法可得，1213∵12∴1即，12?【點睛】本題考查了分母有理化和二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．【變式5-2】（2023春·黑龍江牡丹江·八年級校考期中）（1）觀察下列各式的特點：2?1>3?2>2?35?2>…根據以上規律可知：2021?2020______（2）觀察下列式子的化簡過程：121314+3…根據觀察，請寫出式子1n+n?1（n（3）根據上面（1）（2）得出的規律計算下面的算式：|12+1?1【答案】（1）＞；（2）見解析；（3）2【分析】（1）根據題目所給的例題大小關系可直接得到答案；（2）把分子分母同時乘以n?（3）根據（2）中的規律可得12+1=2?1，1【詳解】解：（1）∵2?3?2>4?5?…，∴n+1?∴2021?故答案為：＞；（2）1=n=n?（3）原式=|(=(=(==2【點睛】此題主要考查了分母有理化，關鍵是注意觀察題目所給的例題，找出其中的規律，然后再進行計算．【變式5-3】（2023春·北京西城·八年級北京市第十三中學分校校考期中）閱讀下述材料：我們在學習二次根式時，熟悉的分母有理化以及應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和7?6=1因為7+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0,x?2≥0可知x≥2，而y=x+2當x=2時，分母x+2+解決下述問題：（1）比較32?4和（2）求y=1?x【答案】（1）32?4<23?10【分析】（1）利用分子有理化得到32?4=232+4，23?10（2）利用二次根式有意義的條件得到0?x?1，而y=1?x+11+x+x，利用當x=0時，11+x+x有最大值1，1?x有最大值1得到所以y的最大值；利用當x=1【詳解】解：（1）3223而32>23∴32∴32（2）由1?x?0，1+x?0，x?0得0?x?1，y=1?x∴當x=0時，1+x+x有最小值，則11+x+x當x=1時，1+x+x有最大值，則11+x+x有最小值2?1，此時【點睛】本題考查了非常重要的一種數學思想：類比思想．解決本題關鍵是要讀懂例題，然后根據例題提供的知識點和方法解決問題．同時要注意所解決的問題在方法上類似，但在細節上有所區別．【題型6二次根式中的閱讀理解類問題】【例6】（2023春·湖北隨州·八年級統考期末）閱讀材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)當且僅當a=b時，等號成立，其中我們把a+b2叫做正數a，b的算術平均數，ab叫做正數a，b的幾何平均數，它是解決最大（小）值問題的有力工具，例如：在x解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2≥x·1x，∴請根據閱讀材料解答下列問題：（1）填空：當x>0時，設y=x+4x，則當且僅當x=____時，（2）若x＞0，函數y=2x+1x，當【答案】（1）2，小，4；（2）22，y有最小值2【分析】（1）根據基本不等式即可求得y的最小值，及此時x的取值；（2）根據基本不等式即可求得y的最小值，及此時x的取值．【詳解】（1）∵x>0∴y=∴y=x+4當且僅當x=4x即x=2時，y故答案為：2，小，4

（2）∵x＞0∴2x+∴y=2x+1x當且僅當2x=1x即x=22時，y【點睛】本題屬于閱讀材料題目，考查了學生對材料的閱讀理解能力和應用能力，考查了解方程，不等式的性質等知識，關鍵是讀懂材料并能應用材料的知識解決問題．【變式6-1】（2023春·安徽六安·八年級校考期中）閱讀材料，并解決下列問題．在比較同號兩數的大小時，通常可以比較兩個數的商與1的大小來判斷這兩個數的大小，如當a,b都是正數時，①若ab>1，則a>b；②若ab=1，則a=b；③我們將這種比較大小的方法叫做“作商法”．(1)請用上述方法比較57與7(2)寫出a+1a+2與a【答案】(1)5(2)a+1【分析】（1）由5<7，得到（2）先計算得到a+1a+2【詳解】（1）解：∵5<∴57∴57（2）a+1證明：a===∵a+2∴a+1∴a【點睛】此題考查了二次根式的運算的應用，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．【變式6-2】（2023秋·陜西榆林·八年級統考期中）閱讀并回答下面問題：計算：2+設x=2+3原式===x因為x=2+3所以x2+y原式=10+2×23(1)填空：①3+②3+(2)請仿照上面的方法計算：3+【答案】(1)①?2②16(2)24+8【分析】（1）①運用平方差公式解答；②運用完全平方公式解答；（2）設x=3+5，y=【詳解】（1）①原式=3②原式===16；故答案為：①?2；②16（2）設x=3+5原式=x+2=x=x因為x2+y所以原式=16+4×25【點睛】本題主要考查了復雜二次根式的乘法與平方和的簡化計算，解決問題的關鍵是熟練掌握平方差公式和完全平方公式．【變式6-3】（2023春·貴州遵義·八年級統考期末）在解決數學問題時，我們一般先仔細閱讀題干，找出有用信息作為已知條件，然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明顯，需要結合圖形、特殊式子成立的條件、實際問題等發現隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；所以我們在做題時，要注意發現題目中的隱含條件．閱讀下面的解題過程，體會如何發現隱含條件并回答下面的問題．化簡：1?3x2解：隱含條件1?3x≥0,，解得x≤1∴1?x>0，∴原式=1?3x?1?x(1)試化簡：(x?3)2(2)已知a、b滿足(2?a)2=a+3,a?b+1【答案】(1)1(2)ab=±【分析】（1）由二次根式有意義的條件可得2?x≥0，解得x≤2，再化簡二次根式，再合并即可；（2）根據二次根式的非負性先求解a≥?3，由a?b+1=a?b+1，可得a?b+1=0或a?b+1=1，再分?3≤a≤2,a>2【詳解】（1）∵2?x≥0,則x≤2,∴x?3<0∴x?3==3?x?2+x=1（2）∵2?a2∴2?a∴a≥?3,a?b+1≥0,∴當?3≤a≤2時，則2?a=a+3,解得：a=?1∵a?b+1=a?b+1∴a?b+1=0或a?b+1=1,解得：b=12∴ab=?14當a>2時，則a?2=a+3無解，舍去，綜上：ab=?14【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡等知識點，能熟記二次根式的性質是解此題的關鍵．【題型7二次根式的規律探究】【例7】（2023春·安徽滁州·八年級校聯考期末）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計算結果：①13=1；②13+2（2）深入探究，觀察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×3根據以上等式的規律，在下列橫線上填寫適當內容：1+2+3+?+n+(n+1)=__________．（3）拓展應用，通過以上初步感知與深入探究，計算：①13②113【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2【分析】(1)觀察可得，每個式子的結果都等于被開放數中所有加數的底數之和；(2)所有自然數相加的和等于首項＋尾項的和再乘以自然數的個數，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規律綜合運用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）(n+2)(n+1)2（3）①原式=1+2+3+4+5+?+99+100=(1+100)×1002②原式==202×2124?【點睛】主要考查了二次根式的基本性質與化簡、探尋數列規律、整式的加減，掌握這三個知識點的應用，其中探求規律是解題關鍵【變式7-1】（2023春·湖北隨州·八年級統考期末）如圖是一個按某種規律排列的數陣：根據數陣排列的規律，第n（n是整數，且n≥4）行從左向右數第（n-3）個數是（用含n的代數式表示）（

）．A．n2?1 B．n2?2 C．【答案】C【分析】觀察數陣排列，可發現各數的被開方數是從1開始的連續自然數，行數中的數字個數是行數的2倍，求出n-1行的數字個數，再加上從左向右的第n-3個數，就得到所求數的被開方數，再寫成算術平方根的形式即可．【詳解】由圖中規律知，前（n-1）行的數據個數為2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整數，且n≥4）行從左向右數第（n-3）個數的被開方數是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整數，且n≥4）行從左向右數第（n-3）個數是：n故選：C．【點睛】本題考查了數字規律的知識；解題的關鍵是熟練掌握數字規律、二次根式的性質，從而完成求解．【變式7-2】（2023春·湖北隨州·八年級統考期末）觀察下列各式：1+112+122=1+11×2，請利用你所發現的規律，計算1+112+122+1+【答案】2020【分析】根據已知等式將各式分別化簡，得到1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021，再將等式寫成1×2020+（11×2+1【詳解】∵1+112+122=1+11×2，∴1+112+12=1+11×2+1+12×3+1+1=1×2020+（11×2+12×3+13×4=2020+（1-12+12-13+13-14=2020+1-1=20202020故答案為：20202020【點睛】此題考查運算類規律，有理數的混合運算，根據已知等式得到計算的規律，由此將各代數式化簡，再根據特殊公式法進行計算得到答案，正確分析得到等式的計算規律是解題的關鍵.【變式7-3】（2023春·廣西南寧·八年級南寧二中校聯考期末）已知：223=223；338【答案】2022【詳解】∵第1個數：2第2個數：3第3個數：4第4個數：5∴第n個數(n+1)當n=2021時，2022故答案為20222022【點睛】本題考查的是找規律，找出式子與序號的關系是解決本題的關鍵.【題型8二次根式的實際應用】【例8】（2023春·湖南長沙·八年級長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考階段練習）我國南宋時期數學家泰九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積(1)當三角形的三邊a=3，b=5，c=6時，請你利用公式計算出三角形的面積；(2)一個三角形的三邊長依次為5、6，7，請求出三角形的面積；(3)若p=8，a=4，求此時三角形面積的最大值．【答案】(1)2(2)26(3)8【分析】（1）直接利用已知得出p的值，再利用三角形面積公式得出答案；（2）將S=pp?ap?b（3）根據公式計算出b+c=12，再表示成c=12?b，代入公式即可求出解．．【詳解】（1）解：∵a=3，b=5，c=6，則：p=a+b+c∴S====214（2）S=======1則三邊長依次為5、6，7，代入S=1S=（3）∵p=a+b+c2，p=8，∴b+c=12，則c=12?b，∴S===4=4=42∴當b=6時，S有最大值，為S=82【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，乘法公式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的三角形的面積．【變式8-1】（2023春·陜西安康·八年級統考階段練習）某居民小區有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長BC為72米，寬AB為32米，現要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為8+1米，寬為8(1)求長方形ABCD的周長；（結果化為最簡二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【答案】(1)長方形ABCD的周長為202(2)購買地磚需要花費204元【分析】（1）根據長方形的周長公式進行計算即可求解；（2）先求得長方形的面積，根據面積乘以6即可求解．【詳解】（1）解：72+==10=2