第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................................2

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像..................................................................2

題型二：毫函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用..................................................................3

題型三：由募函數(shù)的單調(diào)性比較大小..............................................................3

題型四：二次函數(shù)的解析式......................................................................3

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值..........................................................4

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問題....................................................4

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件..............................................................5

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問題............................................................5

02重難創(chuàng)新練.................................................................................6

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................................9

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像

1.（2024?四川成都.一模）已知幕函數(shù)〃x）=x°的圖象過點(diǎn)P（3,9）,則&=（）

A.1B.1C.2D.3

A.2B.m=-lC.加=2或m=-1D.mw一、

2

5.（2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知事函數(shù)y=x",y=f,y=x。在（0,+。）上的圖象分別是下降，急速

C.c<a<bD.a<b<c

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

6.（2024?高三?福建三明?期中）已知＜1，層＜1，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是-

21

7.函數(shù)1=/+2盧+4,其中"-8,則其值域?yàn)?

8.當(dāng)xe（O,M）時(shí)，幕函數(shù)＞=（/-2帆-2卜"jf為單調(diào)遞減函數(shù)，則加=.

9.（2024?高三?上海浦東新?期中）己知￡€卜3,-2,1,2,3,若塞函數(shù)〃x）=x"為奇函數(shù)，且在

（0,+力）上嚴(yán)格單調(diào)遞減，貝1］。=.

10.已知幕函數(shù)〃同=；3,若/（a—l）＜〃8—2a）,貝門的取值范圍是.

題型三：由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

11.（2024?貴州畢節(jié)?二模）已知?jiǎng)t實(shí)數(shù)“的取值范圍為（）

I?1)B.[04…

A.

cI

加D.g

022

12.記〃=3,fe=0.3-°-,c=log020.3,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.、c>b>aD.b>a>c

13.已知a=0.6%b=0.505,c=0.5°6.則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

14-已知函數(shù)小）=（加一*1）人是幕函數(shù)，對(duì)任意的和”（。,+8）且滿足笠了＞0,

若a,beR,a+b<。,則/(。)+/3)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無法判斷

題型四：二次函數(shù)的解析式

15.已知二次函數(shù)〃力的兩個(gè)零點(diǎn)分別是。和5,圖象開口向上，且〃尤）在區(qū)間［T4］上的最大值為12,

則函數(shù)〃尤)的解析式為.

16.已知/(x)=2x2+bx+cQb,c為實(shí)數(shù))，且/⑴=1,43)=1,則“X)的解析式為.

17.已知函數(shù)對(duì)任意x滿足：3f(x)-f(2-x)=4x,二次函數(shù)g(x)滿足：g(x+2)-g(x)=4x且

g(l)=-4.則/(x)=,g("=?

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值

19.已知二次函數(shù)“X)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2),且截x軸所得線段的長度是4,將函數(shù)/(尤)的圖象向右

平移2個(gè)單位長度，得到拋物線y=g(x),則拋物線y=g(x)與y軸的交點(diǎn)是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

20.已知函數(shù)/(x)=辦2+2以一3(。>0),貝!J()

A./(0)>/(I)B./(-2)>/(4)C./(-3)>/(I)D./M)>/(1)

21.(2024?高三?上海?期中)已知函數(shù)〃力=-9+儂；—2在(-0),2］上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

是.

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問題

22.已知函數(shù)/(*)=%2—2"+3(feeR).

(1)若在區(qū)間［-3,1］上單調(diào)遞減，求b的取值范圍;

⑵若/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為9,求b的值.

23.已知函數(shù)/(x)=-x?+ox-a.

(1)若/*)的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的值；

⑵設(shè)/(x)在區(qū)間。2］上的最大值為M(a),求M⑷的表達(dá)式；

(3)令g(x)=-d?,若g(x)在區(qū)間U,2］上的最小值為1,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

X

24.已知函數(shù)/'(天卜％2-2av+a(aeR).

⑴若函數(shù)/(“在［2a-4,2a-l］上單調(diào)，求。的取值范圍：

(2)是否存在實(shí)數(shù)〃，使得函數(shù)/(%)在區(qū)間JU］上的最小值為-2?若存在，求出“的值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件

25.(2024.高三?陜西商洛?期中)若〃?N*，則一元二次方程21+3x+〃=0有整數(shù)根的充要條件是()

A.n=lB.=2C.〃=1或〃=4D."=3或〃=4

26.若關(guān)于x的一元二次方程Y-2ax+4=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1,另一個(gè)實(shí)根大于2,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

27.方程Y-2改+4=0的兩根均大于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問題

28.已知函數(shù)/(%)=/一元一3.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe［0,3］時(shí)，求證：x-4<f(x)<x.

⑶設(shè)/。)=/(尤)-(x+a)|("R),及尸⑴在區(qū)間［0,3］上的最大值為Af(a).當(dāng)M(a)最小值，求。的值.

29.已知函數(shù)/(x)=f+依+匕的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,—3)和(-1,-1).

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵當(dāng)xe［0,3］時(shí)，求證：x-4</(x)<x；

⑶設(shè)網(wǎng)同=/(尤)一(尤+4(cwR)，記網(wǎng)尤)在區(qū)間［。，3］上的最大值為"(c).當(dāng)M(c)最小時(shí)，求c的值.

1.(2024?北京朝陽?一模)已知aeR,貝是“函數(shù)f(x)=(l-a)V在R上單調(diào)遞增”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

x2+x,-2<x<0/、

2.(2024.北京西城?一模)已知函數(shù)/(x)=<-c'若存在最小值’則’的最大值為《

A-WD

B-ic-7-I

I，-1,I，I，2,3k若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)>=

3.(2024?廣東?一模)已知集合人=ax

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log,X,累函數(shù)y=X。中至少有兩個(gè)函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)(ahc)的個(gè)數(shù)是(

A.16B.24C.32D.48

4.已知幕函數(shù)“X）=（6+2Q-2）/-3J（Q￡R）的圖象在（o,+“）上單調(diào)遞減，貝ij〃的取值是（）

A.1B.-3C.1或-3D.2

5.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）給出下列四個(gè)函數(shù)：①/。）=尤+1；②/（x）=L③/⑴=2/；④/（%）=-%.其

x

中在（0,內(nèi)）上是增函數(shù)的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

6.函數(shù)〃x）=（蘇-加是幕函數(shù)，對(duì)任意的為馬《0,飲），且x產(chǎn)％,滿足〃?

若a,bwR,且。+6>0,則/⑷+/?的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無法判斷

7.累函數(shù)y=%2,y==x3y=在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（)

A.GCCCB.c1?c4,c3,c2

c.C3,C2,C19C4D.GCCC

8.己知ae卜若/（x）=x"為奇函數(shù)，且在（0,+少）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.（2024?山東濟(jì)南.三模）已知函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镽,且對(duì)'（x）-好■（、）=孫（x-y）,則下列結(jié)論一定成

立的是（）

A./(1)=1B./("為偶函數(shù)

C./")有最小值D./(X)在［0』上單調(diào)遞增

10.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,>/(-x+l)=-/(x+l),/(x+2)=/(-x+2),當(dāng)

xe［0,l］時(shí)，/(x)=2x2+ta+c,/(3)-/(2)=6,則》+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

11.（多選題）若事函數(shù)/（x）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,則下列命題中，正確的有（）

A.函數(shù)/⑺為奇函數(shù)B.函數(shù)/（x）為偶函數(shù)

C.函數(shù)/（X）在（0,+8）為減函數(shù)D.函數(shù)“X）在（0,+?）為增函數(shù)

12.（多選題）已知幕函數(shù)/（工）=尤入（"％neN*,m,〃互質(zhì)），下列關(guān)于/（x）的結(jié)論正確的是（

A.m,w是奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)/⑺是奇函數(shù)

B?機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時(shí)，塞函數(shù)/（x）是偶函數(shù)

C.機(jī)是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時(shí)，暴函數(shù)/（尤）是偶函數(shù)

D.0＜‘＜1時(shí)，幕函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

n

13.（多選題）幕函數(shù)/（尤）=（2/+m-2）》'1,7〃€E，則下列結(jié)論正確的是（）

A.m=lB.函數(shù)/（x）是偶函數(shù)

C./（-2）＜/（3）D.函數(shù)〃元）的值域?yàn)椋?,+s）

14.（多選題）（2024.甘肅定西?一模）已知函數(shù)〃尤）=[2，-1卜4超（尤）=爐_4忖+2-4,則（）

A.當(dāng)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，〃尤）只有1個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)〃力有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),g（x）有4個(gè)零點(diǎn)

15.（2024?北京延慶?一模）已知函數(shù)F（0＜。＜1）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞減，則a的一個(gè)取值為

16.（2024.全國.模擬預(yù)測(cè)）寫出滿足下列條件①②③的一個(gè)函數(shù)：/（x）=.

①/（x）的定義域?yàn)镽;②xeR,=③。＜玉＜々，都有[2]＜4M＜--

\X2JJ\X2）X2

17.（2024.河北?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=5r-3d,若"a—l）+〃2a"10,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

18.不等式（尤2—1『"+尤2。22+2/一1〈0的解集為：.

19.已知正實(shí)數(shù)無，丫滿足2x+3y=l,且力-y2zx_y對(duì)任意尤,y恒成立，則實(shí)數(shù)f的最小值是

1.（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））函數(shù)/。）=爐-2依-3在區(qū)間口,2]上存

在反函數(shù)的充分必要條件是（）

A.ae（-8,l]B.ae[2,+co）C.<2e（-oo,l]U[2,+<?）D.aG[1,2]

2.（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷））設(shè)函數(shù)

/W=-,g（x）=ax2+bx{a,b&R,a^0）,若y=/（x）的圖象與>=g（x）圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)

x

4（和%）,8（%,%）,則下列判斷正確的是

A.當(dāng)a<0時(shí)，再+9<°，%+%>。

B.當(dāng)°<0時(shí)，玉+馬>0,必+為<。

C.當(dāng)a>0時(shí)，+x2<0,y；+y2<0

D.當(dāng)。>0時(shí)，無i+%>°，必+%>。

3.（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷））在函數(shù)/（x）=af+bx+c中，若a,b,<

成等比數(shù)列且/（0）=-4,則/（x）有最_______值（填“大”或“小”），且該值為.

2

4.（2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷）已知產(chǎn)心:）是奇函數(shù)，當(dāng)后0時(shí)，〃力=?，則共用）的值是—.

5.（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（山東卷））若函數(shù)/（元）=優(yōu)（4>0,。71）在[―1,

2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)8（尤）=（1-4/〃）?在[0,+8）上是增函數(shù)，則a=.

第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................................2

題型一：基函數(shù)的定義及其圖像..................................................................2

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用..................................................................3

題型三：由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小..............................................................3

題型四：二次函數(shù)的解析式......................................................................3

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值..........................................................4

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問題....................................................4

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件..............................................................5

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問題............................................................5

02重難創(chuàng)新練.................................................................................6

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................................9

梢陽建礎(chǔ)饗

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題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像

1.（2024?四川成都.一模）已知幕函數(shù)〃》）=/的圖象過點(diǎn)尸（3,9）,則&=（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】因?yàn)槟缓瘮?shù)=/的圖象過點(diǎn)以3,9）,所以3。=9,解得￡=2.

故選：C.

2.已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（8,4）,則該幕函數(shù)在第一象限的大致圖象是（）

【答案】B

【解析】設(shè)〃力=/,則8"=4023。=22,所以3a=2,所以。=：,

2_2

所以〃x）=x3=#7，因?yàn)椤?lt;§<1，

因?yàn)楹瘮?shù)/（尤）在（0,+"）上遞增，且增加的速度越來越緩慢，

故該幕函數(shù)在第一象限的大致圖象是B選項(xiàng).

故選：B.

3.函數(shù)y=d的大致圖像是（）

【解析】根據(jù)基函數(shù)的特點(diǎn)知選項(xiàng)A的圖象為函數(shù)y=V的大致圖像.

故選：A.

4.新函數(shù)y=（rn2-rn-l）.x-5m-3,當(dāng)%￡（0,+。）時(shí)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.m=2B.m=-lC.9=2或加=一1D.m手"石

2

【答案】B

【解析】幕函數(shù)y=（療-*1）?尸23

根2—m—

解得m=2或m=-l；

當(dāng)加=2時(shí)，幕函數(shù)為y=，i3

且在1￡（0,+。）時(shí)為減函數(shù)，滿足題意;

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，基函數(shù)為y=%2,

且在%￡（0,+8）時(shí)為增函數(shù)，不合題意;

綜上，實(shí)數(shù)加的值為2.

故選：A.

5.（2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知事函數(shù)＞=尤",,=無〃,,=無。在（0,+。）上的圖象分別是下降，急速

B.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】由題意結(jié)合圖象可知

故選：B.

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

6.(2024?高三?福建三明?期中)已知g］<1，1<1，log“；<l，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(0,g)

【解析】?.?已知.”>1或。<。<|■①；

a>0(2)；

,.?消=后<1，,0，，”1③.

綜合①②③，求得實(shí)數(shù)4的取值范圍為(。1).

故答案為：(O'］)?

7.函數(shù)y=/+2￡+4，其中X-8,則其值域?yàn)?

【答案】［3,+8)

【解析】設(shè)/一則>=產(chǎn)+2/+4=?+1)2+3.因?yàn)閬V8,所以J.-2.當(dāng)r=T時(shí)，%i?=3.所以函數(shù)的值

域?yàn)椋?,+8).

故答案為：［3,+C0)

8.當(dāng)xe(O,w)時(shí)，募函數(shù)>=9〃2-2〃7-2)/"3為單調(diào)遞減函數(shù)，則加=.

【答案】-1

【解析】由題意可知M—2根—2=1=>根=—1或功=3,

2

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，m-m-3=-l,此時(shí)丁=一在第一象限是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，加2一加_3=3,此時(shí)y=d在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；

綜上：m=-l.

故答案為：-1

9.(2024?高三?上海浦東新?期中)己知ae，3,-2,-1,-；,04,1,2,31,若塞函數(shù)/(x)=x"為奇函數(shù)，且在

(O,+8)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則。=.

【答案】-1或-3

【解析】由累函數(shù)的性質(zhì)知，/(x)=xa,在第一象限內(nèi)，當(dāng)e<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)。為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)

為奇函數(shù)，

所以當(dāng)e=-l或-3時(shí)，募函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).

故答案為：-1或-3

10.已知累函數(shù)”司=/,若/（。-1）</（8-2。），貝M的取值范圍是

【答案】（3,4）

1

【解析】嘉函數(shù)，（x）=”，所以/（尤）定義域?yàn)椋?,+8）且在定義域上單調(diào)遞減,

石

所以需滿足。-1>8-2a>0,解得3<a<4,

故答案為：（3,4）.

題型三：由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

11.（2024?貴州畢節(jié)?二模）已知?jiǎng)t實(shí)數(shù)。的取值范圍為（

A.f-j'jB.[o,ju（L+°°）

【答案】C

【解析】QJ<1=QJ,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=[j在R上單調(diào)遞減得"0,

al<1=1L根據(jù)幕函數(shù)y=￡在[。,+e）上單調(diào)遞增知O<a<l,則

a

logfl<1=l°gfl>根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga%（0<a<l）在（。，+8）上單調(diào)遞減得0<a<；,

綜上0<a<：

12.記。=3°2,6=0.3一°2,c=logo2。.？，貝（J（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】因?yàn)?=0.3q=]g；,幕函數(shù)y=x°2在（0,+e）上單調(diào)遞增,

又號(hào)>3,所以用°2>3。。>3。=1,

所以》>々>1,

又對(duì)數(shù)函數(shù)y=logo/在(。,+8)上單調(diào)遞減,所以c=logQ,20.3<log020.2=1,

故

13.已知〃=0.6嘰。=0.5嘰c=0.5°6.則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】設(shè)〃力=0.5工，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知〃"=0.5'在R上單調(diào)遞減，

所以匕=/(0.5)=O.505>c=f(0.6)=O.506,

令/7(x)=鏟，由暴函數(shù)的性質(zhì)知/7(x)=/5在［0,+⑹單調(diào)增，

所以a=/7(0,6)=O,605>b=71(0,5)=O.505,

所以a>>>c.

故選：C

14.已知函數(shù)/'(元)=(用-加-1)/7是幕函數(shù)，對(duì)任意的占，無2e(0,+8)且演w無2，滿足"%)>0,

F一工2

^a,b&R,a+b<0,則/1(a)+/3)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無法判斷

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)為塞函數(shù)以及函數(shù)在(0,+8)的單調(diào)性，可得加，然后可得函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的單

調(diào)性以及奇偶性，可得結(jié)果.由題可知：函數(shù)/(》)=何2-〃?-1)尤"~是幕函數(shù)

貝！!m2_777-1=1=>m=2或帆=-1

又對(duì)任意的Xi，x2e(0,+oo)且為*尤2，滿足"無J>0

石~X2

所以函數(shù)/(X)為(0,+8)的增函數(shù)，故加=2

所以/(x)=/,又/(-x)=-/(x),

所以/(x)為R單調(diào)遞增的奇函數(shù)

由。+6<0,貝1|“<一6,所以/(。)</(-6)=-/(6)

貝Ijf(a)+f(b)<0

故選：B

題型四：二次函數(shù)的解析式

15.已知二次函數(shù)/⑺的兩個(gè)零點(diǎn)分別是。和5,圖象開口向上，且在區(qū)間［T4］上的最大值為12,

則函數(shù)〃尤)的解析式為.

【答案】/(x)=2x2-10x

【解析】設(shè)〃X)=G(X-5),(。>0)其對(duì)稱軸為直線x=|,又/(“在區(qū)間卜1,4］上的最大值為12,

所以/(―1)=6。=12,a=2,所以/(x)=2X2-10X.

故答案為：/(x)=2x2-10x.

16.已知/(力=2/+樂+。出c為實(shí)數(shù))，且/⑴=1,43)=1,則“X)的解析式為.

【答案】/(X)=2X2-8X+7

2+b+c=16=-8

【解析】解法一：由題意知18+36+c=/解得

c=7

所以/(%)的解析式為/(X)=2X2-8X+7.

解法二：由題意知-3=胃=2,得b=-8,貝I］/⑴=2-8+c=l,得c=7,

2x22

所以/(%)的解析式為/(x)=2f_8x+7.

故答案為：/(X)=2X2-8X+7

17.已知函數(shù)對(duì)任意x滿足：3f(x)-f(2-x)=4x,二次函數(shù)g(x)滿足：g(x+2)-g(x)=4x且

g(l)=-4.則/(x)=,g(x)=.

【答案】x+1V-2x-3

【解析】(1)3/(x)-/(2-x)=4x?,用2—尤代替上式中的x,得3/(2—x)—/(x)=8—4x②，聯(lián)立①②，

可得/(x)=x+l；設(shè)g(x)="+bx+c(a^O)，所以g(x+2)-g(x)=a(x+2)'+Z?(x+2)+c-ax2-bx-c=4x,

即4tzx+4a+2Z?=4x,

(4a=4-

所以,，八，解得。=1，b=-2,又g(l)=T，得。=一3,g(x)=x2-2x-3.

[4Q+20=0

故答案為：尤+1,尤2-2X-3

題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值

18.(2024?遼寧沈陽?一模)已知函數(shù)/(尤)=a/+bx+c,若a>6>c且a+b+c=O,則它的圖象可能是(

【答案】C

【解析】由。>b>c且。+6+c=。，得a>O,c<。，

所以函數(shù)/*）是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A,C；

又/（0）=c<0,所以排除B；只有D符合.

19.已知二次函數(shù)〃尤）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,2）,且截x軸所得線段的長度是4,將函數(shù)/（x）的圖象向右

平移2個(gè)單位長度，得到拋物線y=g（x）,則拋物線y=g（尤）與y軸的交點(diǎn)是（）

A.（0,-8）B.（0,-6）C.（0,-2）D.（0,0）

【答案】B

【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)/（x）的圖象的頂點(diǎn)為（2,2）,

故/（X）的對(duì)稱軸為直線工=2,

又Ax）的圖象截了軸所得線段的長度是4,

所以了⑴的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）和（4,0）,

設(shè)/（x）=o（x—2）2+2（aw0）,將點(diǎn)（0,0）代入得a（-2）2+2=0,解得a=-；,

19

所以/（幻=一3（了一2）一+2,

因?yàn)間（元）的圖象為Ax）的圖象右移2個(gè)單位得到的，

11

所以8（刈=/。-2）=-萬（》一2-2）9一+2=-5（*一4）92+2,

19

令x=0,貝Uy=g（0）=_5（0_4y+2=_6,

所以g（尤）與V軸交點(diǎn)生標(biāo)為（0,-6）.

故選：B.

20.已知函數(shù)/（x）=ax?+2辦-3（。>0）,貝！|（）

A./(O)>/(l)B./(-2)>/(4)C./(-3)>/(I)D./M)>/(1)

【答案】C

【解析】/(x)=ox?+2。％—3(〃>。)對(duì)稱軸為x=—l,

則/(九)在(-上單調(diào)遞減，在［―1,+℃)上是單調(diào)遞增,

A：/(0)</(1),故A錯(cuò)誤；

B：/(-2)=/(0)</(4),故B錯(cuò)誤；

C：/(1)=/(-3),故C錯(cuò)誤；

D：/(l)=/(—3)</(T),故D正確.

21.(2024?高三?上海?期中)已知函數(shù)〃尤)=-爐+7次-2在(9,2］上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

是.

【答案】［4,+8)

【解析】由題意葭22,解得機(jī)24,

故答案為：［4,+8).

題型六：二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問題

22.已知函數(shù)=f-次+3(6eR).

⑴若在區(qū)間卜3』上單調(diào)遞減，求6的取值范圍；

⑵若/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為9,求b的值.

【解析】(1)由題意得，二次函數(shù)/(x)=V-2區(qū)+3(人eR)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=b,

?.?函數(shù)〃力在卜3,1］上是單調(diào)遞減,則

的取值范圍是［1,+助.

(2)由題意得，當(dāng)622時(shí)，函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞減，

則八了)皿=八一2)=4+46+3=9,解得6=；,不合題意，舍去；

當(dāng)6V-2時(shí)，函數(shù)〃力在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增,

貝U/(x)1mx=/(2)=4-46+3=9,解得。=一;，不合題意，舍去；

當(dāng)-2<匕<2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間［-2M上單調(diào)遞減，在區(qū)間修,2］上單調(diào)遞增，

則〃x)a在“一2)或7(2)中取得,X/(-2)=7+4&,于⑵=7-4b,

...當(dāng)0<b<2時(shí)，/(^)_=/(-2)=9,解得

當(dāng)-2<6<0時(shí)，/⑺1mx=〃2)=9,解得)=q；

當(dāng)6=。時(shí)，/(-2)=7=/(2),顯然不合題意；

綜上所述，b=+^.

23.已知函數(shù)/(x)=7?+"一a.

(1)若/*)的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的值；

⑵設(shè)〃x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為M(a),求M⑷的表達(dá)式；

(3)令g(x)=-d?,若g(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值為1,求正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

【角軍析】(1)/(X)=—12+QX-4=一［1一晟］+-^--a,

2

因?yàn)閒(x)的最大值為0,所以^--。=0,

4

所以a=0或a=4.

(2)函數(shù)/5)=-/+辦-。的對(duì)稱軸為x=1,

當(dāng)■|《0,即aVO時(shí)，/。)在［0,2］上是減函數(shù)，所以M(a)=/(0)=—a；

當(dāng)0<4<2,即0<a<4時(shí),

2

當(dāng)xe§2時(shí)，/(X)是減函數(shù)，當(dāng)xe0,為時(shí)，〃x)是增函數(shù)，

所以加6)=(￡|=?-4；

當(dāng)■|Z2,即a"時(shí)，Ax)在［0,2］上是增函數(shù)，所以M(a)=/(2)=a—4,

-a,a<0

所以“(〃)=<不一〃,〃￡(0,4).

a-4,a>4

(3)由題意g(x)=_")=XT--a,

XX

令x=3可得尤=夜，簡(jiǎn)圖如下，

X

0Jax

當(dāng)0<&Vl時(shí)，即0<aWl時(shí)，g(x)在xe［l,2］是增函數(shù)，

所以g⑴=l+a-a=l,成立.

當(dāng)1<C<2時(shí)，即1<。<4時(shí)，

g(x)在［1,可上是減函數(shù)，在［?,2］上是增函數(shù)，

所以g+—。=1,解得。=1,不成立；

當(dāng)&N2時(shí)，即時(shí)，g(x)在口,2］上是減函數(shù)，

所以g(2)=2+；a-a=l,解得a=2,不成立；

綜上所述，Ova<l.

24.已知函數(shù)/(x)=x2-2ax+a(aGR).

⑴若函數(shù)/(X)在［2a-4,2°-1］上單調(diào)，求。的取值范圍：

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)/(力在區(qū)間「U］上的最小值為-2?若存在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【解析】(1)由題意可得〃力=/-2依+4(。€11)開口向上，對(duì)稱軸*=_==°,

二函數(shù)在(TO,。)上單調(diào)遞減，在(見也)上單調(diào)遞增，

;函數(shù)/(X)在［2o-4,2a-l］上單調(diào)，

/.2a—l<a^2a—4>a,

角軍得a<1或a之4,

。的取值范圍為:(-00/］。［4,+8)

(2)由題意可得/(x)=f—2ar+a(awR)開口向上，對(duì)稱軸工=-.=。，函數(shù)在對(duì)稱軸處取最小值,

f(x)inin=f(a)-a-2a-a+a--ar+a,

若函數(shù)在區(qū)間［-1」上的最小值為-2,

則/(x)min=—/+aV—2，解得：aV-1或a22,

當(dāng)aMT時(shí)，/(無)在區(qū)間［Tl］上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)的最小值為/(_l)=(_l)2_2ox(_l)+o=3q+］=_2,

解得：a=—\,

當(dāng)時(shí)，〃x)在區(qū)間［-M］上單調(diào)遞減，

此時(shí)函數(shù)的最小值為/(1)=P—2axl+a=—a+l=—2,

解得：a=3,

綜上，存在實(shí)數(shù)。=-1或”=3,使得函數(shù)/*)在區(qū)間［-M］上的最小值為-2

題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件

25.(2024?高三?陜西商洛?期中)若〃eN*,則一元二次方程2/+3犬+”=0有整數(shù)根的充要條件是()

A.n=\B.n=2C.九=1或"=4D.〃=3或〃=4

【答案】B

【解析】由2爐+3尤+"=0,得〃=-2必-3尤.

作出函數(shù)/(x)=-2尤之一3》的圖象，

99

即

<<又N*

由圖可知,-8--8-€

所以〃=1.

當(dāng)”=1時(shí)，方程2/+3x+l=0有整數(shù)解封-1.

綜上，”=1是方程有整數(shù)解的充要條件.

故選;A.

26.若關(guān)于x的一元二次方程/-2分+4=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1,另一個(gè)實(shí)根大于2,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】(［，+oo)

【解析】"&f(x)=x2-2ax+A-,

A=4?2-16>0

由題意，/⑴=1-2a+4<0,解得*,

/(2)=4-4a+4<0一

故答案為：(-,+°°).

27.方程一一2依+4=0的兩根均大于1,則實(shí)數(shù)"的取值范圍是

【答案】［2,|)

【解析】一2辦+4=0的兩個(gè)根都大于1

a>\

.-.<5-2a>0,解得2Wa<9

A=4a2-16>02

可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍為⑵》

故答案為：⑵》

題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問題

28.已知函數(shù)/'(x)=x?-x-3.

(1)求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe［0,3］時(shí)，求證：x-4<f(x)<x-

⑶設(shè)/。)=|/(尤)-(x+a)|("R),及"幻在區(qū)間［0,3］上的最大值為M(a).當(dāng)M(a)最小值，求“的值.

【解析】(1)f(x)=x2-x-3,故開口向上，且對(duì)稱軸為x=g,

故單調(diào)遞減區(qū)間為‘巴g,單調(diào)遞增區(qū)間為g,+，|;

(2)由題意可知，問題轉(zhuǎn)化為xe［1,3］時(shí)，x-4</(%),且/(尤)4元恒成立，

即g(x)=/-2工+12。，M/i(x)=x2-2x-3<0,在區(qū)間［1,3］上恒成立，

因?yàn)橐曰?(%T)&0顯然恒成立，

/l(X)=(X-l)2-4,開口向上，且對(duì)稱軸為％=1,故人(X)max="(3)=0,

即/z(x)W0恒成立，故原不等式成立；

（3）/（%）二|——2%-（3+a）|,

函數(shù)y=%2—2%—（3+Q）=（%—1）2—（4+a）在［1,3］上單調(diào)遞增，

/、口4+〃|,|4+〃|N|司

故x=l時(shí)，%?=，〃，x=3時(shí)，月〒以M（°）=儲(chǔ),|4+4<問

4+Q,Q2—2

化簡(jiǎn)得知(。)=，

|a|,a<-2

可知，心一2時(shí)，M(a)>2；。<一2時(shí)，M［a}>2,

故。=-2時(shí)，”(a)取得最小值2.

29.已知函數(shù)/(x)=f+依+匕的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,—3)和(一1,-1).

⑴求函數(shù)/(尤)的解析式;

（2）當(dāng)xe［0,3］時(shí)，求證：x-4<f（x）<x-

⑶設(shè)廠(同=|〃尤)-(尤+c)|(ceR),記網(wǎng)無)在區(qū)間［0,3］上的最大值為"(c).當(dāng)M(c)最小時(shí)，求c的值.

b=-3a=-1

【解析】(1)由已知得,,解得

l-a+b=-1b=—3

■■函數(shù)/(X)的解析式為/(X)=X2-X-3.

(2)々g(x)=/(x)—x=x2—2x-3,xe［0,3］,

則二次函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=L

所以g(無)在區(qū)間［。,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最小值g(D=-4,

又g(0)=-3,g(3)=0,所以x=3時(shí)，g(x)取得最大值g(3)=0,

所以-44g(x)40,即x-4W/(x)Wx.

(3)由(2)知，F(xiàn)(x)=|/(%)-(x+c)|=|g(x)-c|,

令f=g(x),則問題轉(zhuǎn)化為求y=”c|在［TO］上的最大值,

易知y=〉-c|關(guān)于f=c，作出圖象如下，

當(dāng)c<—2時(shí)，當(dāng)年0時(shí)，y=>—d取得最大值，則M(c)=|O—c|=—c>2,

當(dāng)c>-2時(shí)，當(dāng)f=T時(shí)，y=，-c|取得最大值，M(c)=|-4-c|=4+c>2,

當(dāng)c=-2時(shí)，當(dāng)/=0或r=-4時(shí)，y=>-c|取得最大值，M(c)=2,

綜上，當(dāng)加⑹最小時(shí)，c=—2.

1.(2024?北京朝陽?一模)已知aeR,貝U"O<a<l”是“函數(shù)=。)三在R上單調(diào)遞增”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】對(duì)于函數(shù)〃x)=(l—a/

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=0,為常數(shù)函數(shù)，

當(dāng)時(shí),l-a<0,函數(shù)/(%)=(1-。)6在R上單調(diào)遞減,

當(dāng)a<l時(shí)，1-。>0,函數(shù)/=在R上單調(diào)遞增，

所以是“函數(shù)”出=(1-。卜3在R上單調(diào)遞增，，的充分而不必要條件

故選：A.

x2+x,-2<x<0

2.(2024?北京西城?一模)已知函數(shù)/(x)=，若〃尤)存在最小值，貝⑶的最大值為(

-y/x,0<x<c

11-1C1

A.——B.-C.一D.：

16842

【答案】B

【解析】當(dāng)—2<x<0時(shí)，/(x)=/+x=\+￡|-1,故當(dāng)x=時(shí)，/(無)有最小值為一：；

0〈尤vc時(shí)，，(九)=-4單調(diào)遞減，所以一五

由題意/(%)存在最小值，則-后之-7，解得。<(:4定,即。的最大值為二.

41616

故選：A

3.(2024?廣東?一模)已知集合4=[-