突破05平移'旋轉'折疊等操作探究問題

目錄一覽

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一操作探究型（不含圖形變化）

A考向二圖形平移型

A考向三圖形旋轉型

A考向四圖形折疊型

中考解密

綜合與實踐題是山西中考的必考題，這類題型屬于過程探究題，旨在引導學生動手操作、自主探索、小組

合作、交流共享.通過圖形的變化考查學生的動手實踐、推理論證、幾何直觀和數學運算能力.在實踐過程

中，學會發現問題、解決問題，培養嚴謹的邏輯思維、應用意識和創新意識，提高解決問題的能力.

3重點考向

A考向一操作探究型（不含圖形變化）

1.（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.有一張矩形

紙片A8C。如圖所示，點N在邊上，現將矩形折疊，折痕為BN,點A對應的點記為點若點M

恰好落在邊。C上，則圖中與ANDM一定相似的三角形是.

2.（2023?蘭州）綜合與實踐：

問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9"平分一個已知

角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在

04和上分別取點C和。，使得0c=0。，連接CO,以CD為邊作等邊三角形CDE,則0E就是

ZAOB的平

分線.請寫出0E平分NAOB的依據：；

類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發現：ACOE不一定必須是等邊三角形，只需CE=OE即可，

他查閱資料；我國古代已經用角尺平分任意角，做法如下：如圖3,在/AOB的邊0A,上分別取

OM=ON,移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M,N重合，則過角尺頂點C的射線0C是

的平分線，請說明此做法的理由；

拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐.如圖4,校園的兩條小路AB和AC,匯聚形成了一個岔路口

A,現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路

燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等,試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶

刻度的直尺和圓規在對應的示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

00

圖1圖2

V

D

IB呼圖5

3.（2023?鹽城）綜合與實踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片A8C。先沿對角線8。折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線8。上，點8

的對應點記為玄，折痕與邊A。，分別交于點E,F.

【活動猜想】

（1）如圖2,當點夕與點。重合時，四邊形8瓦正是哪種特殊的四邊形？答:

【問題解決】

（2）如圖3,當AB=4,AD=8,8尸=3時，求證：點4,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

（3）如圖4,當與BC滿足什么關系時，始終有AE與對角線AC平行？請說明理由.

（4）在（3）的情形下，設AC與BD,所分別交于點O,P,試探究三條線段AP,B'D,E尸之間滿

足的等量關系，并說明理由.

4A，

4.（2023?淮安）綜合與實踐

定義：將寬與長的比值為2n（"為正整數）的矩形稱為〃階奇妙矩形.

（1）概念理解：

當”=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（AD）與

長（CD）的比值是.

（2）操作驗證：

用正方形紙片ABC。進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為ER連接CE；

第二步：折疊紙片使C￡＞落在CE上，點。的對應點為點X,展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點A、8分別落在邊A。、8C上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

（3）方法遷移：

用正方形紙片ABC。折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注.

（4）探究發現:

小明操作發現任一個〃階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發現：如圖（4），點E為正方形A8CD

邊A8上（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE

的周長與矩形GOCK的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由.

圖⑴圖(2)圖(3)圖⑷

5.（2023?淄博）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

（1）操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABC。和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①.試判斷：△ACE的形狀

為.

（2）深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEPG繞點C旋轉，若AB=2,AD=4.

探究一：當點尸恰好落在AD的延長線上時，設CG與。/相交于點M,如圖②.求△例/的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點X,連接。X,如圖③.求線段08長度的最大值和最小值.

6.（2023?寧夏）綜合與實踐：

問題背景

數學小組發現國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產生了極大興趣并展

開探究.

探究發現

如圖1,在AABC中，ZA=36°,AB=AC.

（1）操作發現：將AABC折疊，使邊落在邊54上，點C的對應點是點E,折痕交AC于點。，連

接DE,DB,則°,設AC=1,BC=x,那么AE=（用含尤的式子表

示）；

底BC炳-1底BC

（2）進一步探究發現：腰AC=2,這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：腰AC=

煙-1

拓展應用

當等腰三角形的底與腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的AABC是黃金

三角形.

如圖2,在菱形ABC。中，ZBAD=72°,AB=1.求這個菱形較長對角線的長.

A

圖2

7.（2023?蘭州）綜合與實踐：

【思考嘗試】（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形A8C。中，E是邊A8上一

點，DFLCE于點F,GD1DF,AGA,DG,AG=CF,試猜想四邊形ABC。的形狀，并說明理由；

【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形A3。中，E是

邊上一點，_LCE于點凡AaJ_CE于點"，可以用等式表示線段

AH,CT的數量關系，請你思考并解答這個問題；

【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在正方形

ABCD

中，E是邊AB上一點，AH工CE于點H,點M在S上，且連接AM,BH,可以用等式表

示線段CM,的數量關系，請你思考并解答這個問題.

8.（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：

數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規律，再結合其他數

學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地.

（1）發現問題：如圖1,在AABC和AAEF中，AB^AC,AE^AF,ZBAC^ZEAF^30°,連接BE,

CF,延長BE交C尸于點D則BE與b的數量關系：,NBDC=°;

（2）類比探究：如圖2,在AABC和AAEP中，AB=AC,AE^AF,ZBAC^ZEAF^120°,連接

BE,CF,延長BE,FC交于點、D.請猜想BE與C尸的數量關系及/BOC的度數，并說明理由；

（3）拓展延伸：如圖3,AABC和AAE尸均為等腰直角三角形，ZBAC^ZEAF^90°,連接BE,

CF,且點2,E,尸在一條直線上，過點A作垂足為點M.則BECF,AM之間的數量關

系：;

（4）實踐應用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內存在點尸滿足48尸。=90。，PD=1,則S^ABP

圖1圖2圖3備用圖

9.(2023?大連)綜合與實踐

問題情境

數學活動課上，老師發給每名同學一個等腰三角形紙片ABC,AB^AC,ZBA09Q0,要求同學們將

紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結論.

問題發現

奮進小組在邊AC上取一點。，連接2D,將這個紙片沿3。翻折，點A的對應點為E,如圖1所示.

如圖2,小明發現，當點E落在邊8C上時，NDEC=2NACB.

如圖3,小紅發現，當點。是AC的中點時，連接CE,若已知A8和CE的長，則可求8。的長.

問題提出與解決

奮進小組根據小明和小紅的發現，討論后提出問題1,請你解答.

問題I：在AABC中，AB=AC,ZBA0900,點。是邊AC上一點，將AAB。沿8。翻折得至

(1)如圖2,當點E在邊BC上時，求證：NDEC=2/ACB.

(2)如圖3,當點。是AC的中點時，連接CE,若45=4,CE=3,求8。的長.

拓展延伸

小剛受到探究過程的啟發，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2,請你解答.

問題2：如圖4,點。是A48C外一點，AB=AC=BD=4,CD=1,ZABD=2ZBDC,求的長.

A考向二圖形平移型

1.（2023?德州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形O43C是矩形，點8的坐標為（6,3）,。是。4

二ax+b

的中點，AC,8。交于點E,函數x-3的圖象過點B.E.且經過平移后可得到一個反比例函數的

A.尸-xB.2xC.xD.x

2.（2023?鞍山）如圖，在矩形A8CD中，對角線AC,8。交于點。，AB=4,BC=4日，垂直于BC的

直線MN仄AB出發，沿方向以每秒加個單位長度的速度平移，當直線MN與CD重合時停止運

動，運動過程中分別交矩形的對角線AC,BD于點E,F,以EF為邊在MN左側作正方形

EFGH,設正方形E/GH與AAOB重疊部分的面積為S,直線九W的運動時間為ts,則下列圖象能大致

反映S與/之間函數關系的是（）

3.（2023?濰坊）如圖，在直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為（-2,0）,ZAOC=60°.將

菱形0ABe沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形04夕C,其中

點夕的坐標為（）

-V3,1)D.(-M,V3-1)

4.（2023?湖州）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，二次函數-4.x+c的圖象與y軸的交點坐標為

（0,5）,圖象的頂點為矩形ABC。的頂點。與原點。重合，頂點A,C分別在x軸，y軸上，頂

點B的坐標為（1,5）.

（1）求c的值及頂點M的坐標.

（2）如圖2,將矩形ABCZ）沿無軸正方向平移/個單位（0<?<3）得到對應的矩形AEC7T.已知邊

CD,,AE分別與函數4x+c的圖象交于點P,Q,連接P。，過點尸作PG_LA5于點G.

①當f=2時，求QG的長；

②當點G與點。不重合時，是否存在這樣的/，使得APG。的面積為1?若存在，求出此時f的值；若

不存在，請說明理由.

5.（2023?襄陽）【問題背景】

人教版八年級下冊數學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形A8CC的對角線相交于點

。，點。又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形AiBCiDi。

繞

點。怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的4.想一想，這是為什么？

（此問題不需要作答）

九年級數學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內容如下：正方形ABCD的對角線相交于點

PA

O,點尸落在線段0c上，PC=/（人為常數）.

【特例證明】

（1）如圖1,將RtAPEF的直角頂點尸與點O重合，兩直角邊分別與邊AB,BC相交于點N.

①填空：k=；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明APAM出△P8N；也可

過點P分別作AB,BC的垂線構造全等三角形證明.請選擇其中一種方法解答問題②.）

【類比探究】

（2）如圖2,將圖1中的沿OC方向平移，判斷與PN的數量關系（用含左的式子表示），

并說明理由.

【拓展運用】

（3）如圖3,點N在邊BC上，/BPN=45°,延長N尸交邊CD于點E,若EN=kPN,求上的值.

6.（2023?攀枝花）如圖1,在AABC中，AB=BC=2AC=8,AABC沿BC方向向左平移得到AOCE,A、

C對應點分別是。、E.點廠是線段BE上的一個動點，連接AR將線段繞點A逆時針旋轉至線段

AG,使得N8AD=NE4G,連接FG.

（1）當點廠與點C重合時，求FG的長；

（2）如圖2,連接BG、DF.在點尸的運動過程中：

①BG和。尸是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；

②當的長為多少時，AABG能構成等腰三角形?

G

m

7.(2023?淄博)如圖，直線y=kr+6與雙曲線y=x相交于點A(2,3),B(n,1).

(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式；

(2)將直線42向下平移至處，其中點C(-2,0)，點￡>在y軸上.連接A。，BD,求AABO

的面積；

m

8.(2023?青島)許多數學問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨

傘(如圖①)、可以發現數學研究的對象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸

上，坐標原點。為傘骨。4,08的交點.點C為拋物線的頂點，點A,B在拋物線上，。4、關于y

軸對

稱.OC=1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A,2兩點之間的距離是4分米.

(1)求拋物線的表達式；

(2)分別延長A。，2。交拋物線于點RE,求E,尸兩點之間的距離；

(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為Si，將拋物線向右平移m(m>0)個單

3,

位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2.若S2=后Si，求

m的值.

圖①

_1

9.(2023?常州)如圖，二次函數y=2/+6尤-4的圖象與x軸相交于點A(-2,0),B,其頂點是C.

(1)b=；

5_

(2)。是第三象限拋物線上的一點，連接tan/AOA=5.將原拋物線向左平移，使得平移后的

拋

物線經過點D,過點(匕0)作x軸的垂線I.已知在/的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k

的取值范圍；

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q,且其頂點P落在原拋物線

上，連接尸C、QC.PQ.已知APCQ是直角三角形，求點尸的坐標.

10.(2023?濟南)在平面直角坐標系xOy中，正方形ABC。的頂點A,B在x軸上，C(2,3),。(-

1,3).拋物線/=加-2ax+c(a<0)與x軸交于點E(-2,0)和點足

(1)如圖1,若拋物線過點C,求拋物線的表達式和點尸的坐標；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接CF,作直線CE,平移線段CF,使點C的對應點尸落在直線

CE上，點廠的對應點。落在拋物線上，求點。的坐標；

(3)若拋物線>=加-2ax+c(a<0)與正方形ABCD恰有兩個交點，求。的取值范

圍.圖1圖2

A考向三圖形旋轉型

1.（2023?綿陽）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=8,將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到

△AiBiC,滿足48i〃AC,過點8作8E_LAC，垂足為E,連接AE,若SAABE=3S“CE，則A8的長為

2.（2023?鹽城）如圖，在RtA43C中，ZACB=9Q°,ZB=60°,BC=3,將ZkABC繞點C逆時針旋轉到

△EDC的位置，點B的對應點D首次落在斜邊48上，則點A的運動路徑的長為.

A

CB

3.（2023?丹東）在AABC中，ZBAC=90°,/A8C=30。，AB=6,點。是8C的中點.四邊形。EFG是

菱形（。，E,F,G按逆時針順序排列），NEDG=60。,且。E=2,菱形。EFG可以繞點。旋轉，連

接AG和CE,設直線AG和直線CE所夾的銳角為a.

130圖②備用圖

（1）在菱形。EFG繞點。旋轉的過程中，當點E在線段。C上時，如圖①，請直接寫出AG與CE的

數量關系及a的值；

（2）當菱形。跖G繞點。旋轉到如圖②所示的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證

明過程；若不成立，請說明理由；

（3）設直線AG與直線CE的交點為P,在菱形。EBG繞點。旋轉一周的過程中，當即所在的直線

經過點8時，請直接寫出AAPC的面積.

4.(2023?甘孜州)如圖，在R3ABC中，AC=BC=3&,點。在AB邊上，連接CD,將CO繞點C逆時

針旋轉90。得到CE,連接BE,DE.

(1)求證：ACAD咨ACBE；

(2)若AD=2時，求CE的長；

(3)點。在AB上運動時，試探究AU+B)的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果

不存在，請說明理由.

5.（2023?攀枝花）如圖1,在AABC中，AB=BC=2AC=S,AA8C沿8C方向向左平移得到ADCE,A、

C對應點分別是。、區點尸是線段BE上的一個動點，連接AR將線段繞點A逆時針旋轉至線段

AG,使得NBAO=NK4G,連接尸G.

（1）當點尸與點C重合時，求PG的長；

（2）如圖2,連接8G、DF.在點尸的運動過程中:

①BG和。尸是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由;

②當8尸的長為多少時，AABG能構成等腰三角形?

6.（2023?淄博）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

（1）操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD?CEFG拼成"”形圖案，如圖①.試判斷：的形狀

為.

（2）深入探究

小紅在保持矩形ABC。不動的條件下，將矩形CERG繞點C旋轉，若AB=2,AD=4.

探究一：當點/恰好落在的延長線上時，設CG與。產相交于點如圖②.求△制/的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點連接08,如圖③.求線段。X長度的最大值和最小值.

7.（2023?鎮江）［發現］如圖1,有一張三角形紙片ABC,小宏做如下操作:

①取A8、AC的中點。、E,在邊BC上作MN=OE.

②連接EM,過點。、N作。G_LEM、NH±EM,垂足分別為G、H.

③將四邊形BDGM剪下,繞點。旋轉180。至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下,繞點E旋

轉180。至四邊形4￡$7的位置.

④延長P。、ST交于點F.

小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：

①點。、A、T在一條直線上；

②四邊形FPGS是矩形；

③AFQT沿AHMN；

④四邊形/PGS與AABC的面積相等.

［任務1］請你對結論①進行證明.

2

［任務2］如圖2,四邊形A8CD中，AD//BC,尸、。分別是A3、CD的中點，連接PQ.求證：PQ=2

（AD+BC）.

［任務3］如圖3,有一張四邊形紙片A8CDAD//BC,AD=2,BC=8,CD=9,sinZDCB=5,小麗

分別取AB.CD的中點尸、。，在邊8C上作MN=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，將四邊形

ABC。分割、拼成了矩形.如果她拼成的矩形恰好是正方形，求的長.

8.（2023?鎮江）已知，在平面直角坐標系中，A點坐標為（3,0）,8點坐標為Cm,〃），點C與點8

關于原點對稱，直線AB、AC分別與y軸交于點E、尸，點尸在點E的上方，EF=2.

（1）分別求點E、尸的縱坐標（用含機、〃的代數式表示），并寫出他的取值范圍；

（2）求點B的橫坐標機、縱坐標w滿足的數量關系（用含機的代數式表示“）；

（3）將線段跖繞點（0,1）順時針旋轉90。，E、產的對應點分別是E、F.當線段EF與點8所在

的某個函數圖象有公共點時，求利的取值范圍.

B?

OA

9.(2023?朝陽)如圖，在正方形ABC。中，點E是對角線8。上一點，連接EA,將線段01繞點E逆時

針旋轉，使點A落在射線C3上的點尸處，連接EC.

【問題引入】

(1)請你在圖1或圖2中證明EF=EC(選擇一種情況即可)；

【探索發現】

(2)在(1)中你選擇的圖形上繼續探索：延長FE交直線C。于點M.將圖形補充完整，猜想線段

0M和線段2尸的數量關系，并說明理由；

【拓展應用】

(3)如圖3,AB=3,延長AE至點N,使NE=AE,連接DN.當AAOV的周長最小時，請你直接寫

出線段。E的長.

10.(2023?常州)對于平面內的一個四邊形，若存在點。，使得該四邊形的一條對角線繞點。旋轉一定

角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點O是該四邊形的一個“旋點”.例

如，在矩形MNP。中，對角線MP、NQ相交于點T,則點T是矩形MNP。的一個“旋點”.

(1)若菱形A8C。為“可旋四邊形”，其面積是4,則菱形ABC。的邊長是；

(2)如圖1,四邊形ABCD為“可旋四邊形"，邊AB的中點0是四邊形ABCD的一個“旋點”.求

ZACB的度數;

(3)如圖2,在四邊形A8CD中，AC=BD,與不平行.四邊形A8CD是否為“可旋四邊形”?

請說明理由.

（圖2）

（圖I）

A考向四圖形折疊型

1.（2023?黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCQ.先對折矩形ABC。，使與8C重合，得到折痕EF,

把紙片展平.再一次折疊紙片，使點A落在上，并使折痕經過點B,得到折痕同時得到線段

BN,MN.觀察所得的線段，若AE=1,則MN=()

2V3

c."I-D.2

2.（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形然后把紙片展平;

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點尸處，得到折痕MN,如圖②.

根據以上的操作，若AB=8,40=12,則線段的長是（）

A.3B.V5C.2D.1

3.（2023?襄陽）如圖，在AABC中，AB=AC,點。是AC的中點，將BCD沿80折疊得到"瓦），連接

AE.若。于點R3c=10,則AF的長為.

4.（2023?盤錦）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=7用，BC=6,點E為邊8c的中點，點廠為邊A。

上一點，將四邊形ABEF沿EF折疊，點A的對應點為點4,點B的對應點為點B',過點Q作

B，H_LBC于點、H,若29=2加，則即的長是.

5.（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.有一張矩形

紙片ABC。如圖所示，點N在邊上，現將矩形折疊，折痕為BN,點A對應的點記為點若點M

恰好落在邊。C上，則圖中與一定相似的三角形是.

6.（2023?西寧）折疊問題是我們常見的數學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質解決的相關問題.數

學活動課上，同學們以“矩形的折疊”為主題開展了數學活動.

【操作】如圖1,在矩形ABC。中，點M在邊A。上，將矩形紙片ABC。沿