菱形問題

一階方法突破練

1.在如圖所示的正方形網格中，有格點A,B,確定兩組格點C,D，使得以A,B,C,D為頂點的四邊形是

菱形，請通過作圖找出符合要求的點C,D.

第1題圖

2.如圖,在平面直角坐標系中，點A(-4,0),B(0,3),點M為x軸上一動點，點N為平面內一動點.右以A,B,M,N

為頂點的四邊形是菱形，請求出所有符合條件的點N的坐標.

第2題圖

3如圖，拋物線y=-f+2x+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.若點D是x軸上的動點，在平面直

角坐標系中，存在點E，使得以點A,C,D,E為頂點的四邊形是菱形，求點E的坐標.

第3題圖

二階設問進階練

例如圖，拋物線、=-|/-弓刀-4與x軸交于B,C兩點，與y軸交于點A.

(1)若拋物線上存在一點P,點H是平面內任意一點，使得四邊形BPOH是菱形，求點P的坐標;

例題圖①

(2)若點D為y軸上一點，K為平面內任意一點，當以B,C,D,K為頂點的四邊形是以BC為邊的菱形時，

求點D的坐標；

例題圖②

(3)若點M為拋物線對稱軸上一動點，在平面內是否存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形是菱

形??若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；

例題圖③

(4)如圖④，連接AB,交拋物線對稱軸于點F,點G為x軸上一動點，在平面內是否存在點Q,使得以A,

F,G,Q為頂點的四邊形是菱形?若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

例題圖④

(5)如圖⑤，將原拋物線向右平移1個單位得到新拋物線，點P是新拋物線的頂點，點K是平面內一點，點H

為x軸上一點.是否存在點K，使得以點C,P,H,K為頂點的四邊形是菱形?若存在,請求出點K的坐標；若不

存在，請說明理由.

三階綜合強化練

1.如圖，已知拋物線y=產-2x-3與x軸交于A,D兩點，與y軸交于點C,點B為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的對稱軸及點B的坐標；

(2)若拋物線上存在一點E，使得SEAD=SSD，求點E的坐標；

(3)(任意一點+拋物線上的動點)若平面直角坐標系內存在動點P,拋物線上是否存在點Q,使得以A,C,P,

Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形?若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖①

2如圖，拋物線y=ax2+bx+6(a豐0)與x軸交于A,B(3,0)兩點與y軸交于點C，頂點為D,且點D的橫坐標

為1.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若在線段BC上存在一點M,使得.NBM。=45°,,求點M的坐標；

(3)(y軸上的動點+對稱軸上的動點)點P是y軸上一動點，點Q是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P,Q,

使得以點P,Q,C,D為頂點的四邊形是菱形?若存在，請求出點Q的坐標；若不存在,請說明理由.

作圖區答題區

備用圖②

3.如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a中0）與x軸交于A,B兩點（點B在點A右

側）,AB=4,與y軸交于點C,直線y=-|x+2經過點B,C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖②，點P為BC上方拋物線上一點，過點P作.PE||x軸交直線BC于點E，作PF||y軸交直線BC于點F,求

△PEF周長的最大值；

（3）（x軸上的動點+任意一點）在⑵的條件下，若點S是x軸上的動點,點Q為平面內一點，是否存在點S,

Q,使得以S,Q,E,F為頂點的四邊形是菱形?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

一階方法突破練

1.解：格點c,D的位置如解圖所示(答案不唯一).

第1題解圖

2.解:.A(-4,0),B(0,3),，AB=5.

①當AB為菱形的邊時，

a若AB與AM為鄰邊，如解圖①，以點A為圓心,AB長為半徑畫圓，交x軸于點M,

第2題解圖①

'.BNIIAM,且BN=AM=AB=5,

.-.N1(-5,3),N2(5,3);

b.若AB與BM為鄰邊，如解圖②，以點B為圓心,AB長為半徑畫圓,交x軸于點M,

此時ON3=OB=3,；.N3(0,-3);

②當AB為菱形的對角線時，如解圖③，作AB的垂直平分線交x軸于點M,

?，-BN411AM.設N4(n,3),

BM4=AM4=BN4——n,0M4—4+n,

在RfBOIVU中，由勾股定理得，

n2-(4+n)2=9,解得n=-引二-金3).

oXo/

綜上所述，點N的坐標為(-5,3)或(5,3)或(0,-3)或(-小3).

第2題解圖

3.解:；拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

.?.A(-L0),B(3,0),C(0,3),分三種情況討論:

①如解圖①，當AD為菱形的對角線時，貝UAD與CE互相垂直平分，?旦0,-3);

②如解圖②③，當CD為菱形的對角線時,

第3題解圖①

貝！JCE=AD=AC=V10,3)或E(-V10-3);

③如解圖④，當AC為菱形的對角線時，則CE=AD=CD,

設D(d,0),

第3題解圖④

由。。2=山乃得d2+3?=5+1)號解得€1=4,

,?.CE=AD=CD=5,.-.E(-5,3).

綜上所述，點E的坐標為(0,-3)或((WO3)或(-舊，3)或(-5,3).

二階設問進階練

例解:⑴??拋物線與x軸交于B,C兩點

.-.B(-6,0),C(-l,0),

???四邊形BPOH是菱形，二線段OB的垂直平分線與拋物線的交點即為點P.

?.OB=6,.?點P的橫坐標為-3.

將x=-3代入拋物線解析式得y=4.

.?點P的坐標為(-3,4);

(2)由⑴可知,B(-6,0),C(-L0),，BC=5,

VBC為菱形的一邊,，BC=CD.

設D(0,n)????CD2=12+n2,

貝！I12+n2=5彳解得n=±2-\/6.

，點D的坐標為(0,2痣)或(0,-2V6);

⑶存在.

???拋物線的解析式為y=-|/一葭乂—4,令x=0,得y=-4,/.A(0,-4).

14

b_

2a

二設點M的坐標為

①當AB為菱形對角線時，如解圖①，連接AB,取AB的中點H,過點H作AB的垂線與拋物線對稱軸交于

點M1,過點A作BMi的平行線，過點B作AM1的平行線，兩平行線交于點NI，

?.A(0,-4),B(-6,0),

.?.H(-3,-2).AB所在直線的解析式為y=-|x-4.

設MN所在直線的解析式為y=|%+也

將H(-3,-2)代入得d1=I，

所在直線的解析式為y=|%+|,

將久=一夕弋入，得y=-

???H為MNI的中點,二代(一|，_5'

4.

②當AB為菱形的邊時，

???A(0,-4),B(-6,0),/.AB2=62+42=52.

a.如解圖②，當AM=AB時廁.AM2=AB卿+[m_(_4)]2=52解得m=-4±§,；.

7

一'-4+

2

.?根據平移性質可得N2(_熱等),壇(-卷-芋);

圖②圖③

例題解圖

b.如解圖③，當BM=AB時，貝［I.BM2=AB2,

2

即H_（-6）］+m=52,解得m=土^^二M4

??根據平移性質可得乂（|，等—4）,/§一4）.

綜上所述，點N的坐標為（一|，—0或（-:拶）或（-孩，-卓）或（|,等_4）或（0-萼-4）;

⑷存在.

由（3）得AB所在直線的解析式為y=-|x-4J?點F為線段AB與拋物線對稱軸的交點，

?.點G在x軸上，

設點G的坐標為（g,O）./W.；

①如解圖④，當AF為菱形對角線時，/卜

設線段AF的中點為I,則/（-：，-營）.例題解困④

設GO所在直線的解析式為y=|%+d2,將當代入，解得d=-^-,

2\4o/224

GiQi所在直線的解析式為y=|x-白令y=O,解得尤=9.G］仔，0）,

ZZ4OO\DO/

??點/（―,一?）是QiGi的中點

Qi（一署一給；

②當AF為菱形的邊時，

???4（。-4）,?（/一|）,二4?2=答

a.如解圖⑤，當AG=AF時，則AG2=AF2,

即g2+（—4）2=簧，解得g=±詈，

3。o

??。2IT，。"（容0）

???根據平移性質可得Q2（-誓H），Q3（安H）；

例題解圖

b.如解圖⑥，當FG=AF時廁FG2=AF2,

即（一（_gY+(W

解得g=—T土等，

,"(-＞等o"(-升等,。）.

根據平移性質得Q4（等，9,QS（等，。

V61+217、—/V61-21(V537/V5377\

綜上所述，點Q的坐標為（-鬻，-9或（-'與)或?或(一''一與)或(k'一》

⑸存在.

原拋物線向右平移1個單位后，新拋物線的對稱軸為直線

分以下情況討論：

①如解圖⑦，當CH是菱形的對角線時，由菱形的性質得點P與點七關于x軸對稱，例題解圖⑦

4（小譚），

②如解圖⑦，當CK為菱形的對角線時，由菱形的性質得，CH=PK=CP=—,

O

鵬等-冷島（-早-冷,

③如解圖⑧，當CP為菱形的對角線時，由菱形性質得，PC垂直且平分HK,

???C（-1'O）,P（_|勺，

???PC中點的坐標為

直線PC的解析式為y=-裂-得

,設直線KH的解析式為y=3+d3,將（一：，||）代入，得d3=翳

二直線KH的解析式為y=*+署

PKIIHC,

.,點K的縱坐標為務弋入直線KH相"=署,%（罷嚕），

例題解圖⑧

綜上所述，點K的坐標為（三，甫）或（等嚀）勺或（-等-道）或（翳等

三階綜合強化練

1.解:⑴B（l,-4）;

（2）【思路點撥】由題意知,AEAD與ACAD有公共底AD,若想使兩三角形面積相等，則高相等即可，設出點

E的坐標，由高相等，列方程求解即可.

如解圖①，設E,久2_2%-3）,

二點C為拋物線與V軸的交點,，C（0,-3）,

???AEAD與ACAD有共同的底邊AD,且SEAD=^CAD>

：點E到x軸的距離等于點C到x軸的距離，

\x2—2x-3|=3,

解得=2,%2=°，%3=夕+LX4=-V7+1,

.??瓦(2,-3),第(0,-3),%(夕+L3),E4(-V7+1，3),

.?點E的坐標為(2,-3)或(0,-3)或((V7+1，3)或(-V7+1，3);

第1題解圖

(3)【思路點撥】因為AC為菱形的對角線，由菱形對角線互相垂直且平分的性質，可知菱形對角線過點0,

可求出菱形另一條對角線所在的直線解析式，將其與拋物線解析式聯立求解即可.

存在，如解圖②，

四邊形是以AC為對角線的菱形，

由菱形對角線互相垂直平分的性質，作AC的垂直平分線交拋物線于點Qi,Q2,

2

令X—2x—3=0彳導Xi=-l,x2=3,

.■.A(3,0),

;QA=0C=3,

..AC的垂直平分線過點O,

設AC的中點為點F,

M|，-1),?直線Q1Q2的解析式為y=-x,

聯立?=/一2"-3

(y=-X

V13+1(-V13+1

-------X=--------

2)2

解得?

V13+1)V13-1’

-r\y=-r

.2】(年，月斗2(空號).

2.解：(1)拋物線的解析式為y=-2*2+4x+6；

(2)【思路點撥】可作MN±y<OH±OM交CB的延長線于點H,作HK，y軸，構造AOMN*HOK得到對應

邊相等，求得點M的坐標.

由⑴得，點C(0,6),

?.直線BC經過點B(3,O),C(O,6),

，直線BC的解析式為y=-2x+6,

設點M的坐標為(m,-2m+6)(0<m<3),

如解圖①，過點M作MN，y軸于點N,過點。作OHLOM交CB的延長線于點H,過點H作HK±y軸于點

K,則NMNO=NMOH=NHKO=90°,

?■-zOMB=45°/.OM=OH.

易知NMON=NOHK,

.-.AOMN^AHOK(AAS),

.■.MN=OK,ON=HK.

，-2(-2m+6)+6=-m，解得TH=―,—2m+6=—,

..點M的坐標為0喈)；

⑶存在.

第2題解圖①

易知，點D的坐標為(1,8),

1?以點P,Q,C,D為頂點的四邊形是菱形，

，分兩種情況討論：

①當CD為菱形的邊時，如解圖②，

?.C(0,6),D(l,8)?CD=V5,

DQ=CD=V5,

二點Q的坐標為((1，8-佝或(1-8+V5);

②當CD為菱形對角線時，如解圖③，設點Q(l,m),P(O,n),

?.C(0,6),D(l,8),.'.m+n=6+8=14,

.■.n=14-m,/.P(0,14-m),

.,.PC=14-m-6=8-m,

???CQ=712+(m-6)2,PC=CQ,

8-m=J#+—6)2,解得m

二點Q的坐標為(1，芝)，

綜上所述，點Q的坐標為((1，8-佝或(1-8+佝或(1，給.

第2題解圖

3.解：(1)拋物線的解析式為y=-|x2+1%+2；

(2)【思路點撥】設出點P的坐標，由平行線的性質得到點E的橫坐標，通過函數解析式得到點E,F的坐

標，表示出PE,PF的長，由勾股定理得到EF的長，進而表示出三角形的周長，利用二次函數的性質即可求得△P

EF周長的最大值.

設點P的坐標為(+|m+2)(0<m<3),

/PEIIx軸,PFIIy軸，

22

???—|m++2=一|+2,角星彳導xE=m—2m,

???E(m2—2m^—|m2++2^,F(m，—|zn+2),

.?.PE=m—(m2—2m)=—m2+3m,

PF=--m2+-m+2—(--m+2)=--m2+2m,

3_______313)3

EF=J(—m2+3m)2+|m2+2zn)

43

=m—6m+97n2+_-m3_|_4nl2

q93

=—m4——m3+13m2

\93

=J蓑(m4—6m3+9m2)

=[\m2—3m\,

v0<m<3,???EF—手(3m—m2),

???CPEF=-病+3m+|m2+2m)+早(37n—m2)

5+V13(3\2

―—―^~2)15+3V13

4，

-討＜0,

3

.?.當血=|時,CAPEF存在最大值，最大值為注道；

【一題多解】設點P的坐標為-+2)(0<mv3);「PFlly軸，F—+2),NOCB=NEFP,

,,AA222

.ZEPF=ZBOC=90°/.,.EPF^BOC/PF=--m+-m+2—(--m+2)=：,EF-y/PE+PF=

OCOB33\3/

22>222

手\m—3m\,???0<m<3,???EF=孚(^m—m),:.CPEF=—m+3m+(—|m+2m)+手(3m—m)=

二酒(九_,2+15+3嗎「3-1蘇+2mpE

3\2/4+2m,/.--------=PE=-m+3m.

o,.當m=泄QPEF存在最大值，最大值為竺等.

⑶存在.

由(2)知,m=|,

一(-涌，F(|，I),EF=嚕

分以下三種情況：

①線段EF為菱形的邊，且EF與ES為鄰邊，如解圖①，以點E為圓心，EF長為半徑作圓，交x軸于點Si5,連

接ESI,ES2,過點Si5作EF的平行線，過點F作ES1,ES2的平行線，兩平行線分別交于點Q1，Q”：-EF=ES1=E

3g

Sc2=—

設點S坐標為(s,0),

?.爾=nF而7=哈

曲<曰—3—V17—3+V17

解得Si=---,S2=——,

山三叼應沖，。)，

1?四邊形訐QS為菱形，點F