第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值

目錄

01考情透視?目標導航...........................................................................2

02知識導圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數(shù)的單調(diào)性.........................................................................4

知識點2：函數(shù)的最值...........................................................................5

知識點3：函數(shù)的奇偶性.........................................................................5

知識點4：函數(shù)的周期性.........................................................................5

知識點5：函數(shù)的對稱性.........................................................................6

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：單調(diào)性的定義及判斷....................................................................9

題型二：復合函數(shù)單調(diào)性的判斷.................................................................10

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性.....................................................................11

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值.............................................................12

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍...........................................................12

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小.......................................................13

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明.............................................................14

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)...............................................................15

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值.......................................................16

題型十：奇函數(shù)的中值模型.....................................................................16

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式...................................................17

題型十二：函數(shù)對稱性的應用...................................................................18

題型十三：函數(shù)周期性的應用...................................................................19

題型十四：對稱性與周期性的綜合應用...........................................................20

題型十五：類周期與倍增函數(shù)...................................................................21

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性..........................................22

04真題練習?命題洞見..........................................................................23

05課本典例?高考素材..........................................................................62

06易錯分析?答題模板..........................................................................24

易錯點：判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域...........................................................24

答題模板：判斷函數(shù)的奇偶性...................................................................24

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年n卷第8題，5分

2024年I卷第6題，5分從近幾年高考命題來看，本節(jié)是高

(1)函數(shù)的單調(diào)性2024年天津卷第4題，5分考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

(2)函數(shù)的奇偶性2023年I卷第4、11題，10分性、對稱性、周期性是高考的必考內(nèi)

(3)函數(shù)的對稱性2023年甲卷第13題，5分容，重點關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性

(4)函數(shù)的周期性2022年II卷第8題，5分結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和

2022年I卷第12題，5分不等式相結(jié)合進行考查.

2021年n卷第8題，5分

復習目標：

(1)借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.

(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.

(3)結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.

(4)會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應用.

一般地，設(shè)函數(shù)/(.、)的定義域為％區(qū)間DG.4：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的植

當吃K時,都仃/g</(.vj,則/(.v)Th區(qū)間Z)上是增函數(shù).

Y］調(diào)函數(shù)的定義

般地,設(shè)函數(shù)/(.V)的定義域為H區(qū)間。G：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值

當時，都有/(.vjv/CvJ,則/(x)在區(qū)間。上是減函數(shù).

單調(diào)性

如果函數(shù)尸/(*僑區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

單調(diào)區(qū)間的定義

則函數(shù)r=/(x)在這?區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間/叫做r=/(x)的單調(diào)區(qū)間

復合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函

數(shù),內(nèi)層函數(shù)是熠(減)函數(shù),豆合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是熠(減)函數(shù),內(nèi)層函

數(shù)是減(增)函數(shù),復合函數(shù)是減函數(shù).

(l)V.vez),都有/(2二監(jiān)

最大值

(2)3.v0ep,使得尸M

最值

(l)V.vep,都有了(、)NM；

最小值

(2)3x0ep,使得/(.城二心

圖像關(guān)于T軸對稱

對于函數(shù)/(K)的定義域內(nèi)任意一個K,都有/(?K)=/(X))

奇偶性

圖像關(guān)于原點對稱

對于函數(shù)/(2的定義域內(nèi)任意一個K,都有/(7)=■/(.x))

/方苒數(shù)丁=/C),如果存在一個非零常數(shù)r,

函數(shù)的性質(zhì)使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有/&+乃=/(2,

那么就稱函數(shù)箕=/(.”為周期函數(shù)

/(?v)=/(.v+?)=>r=|a|)

/(-v)=-/(A+fl)=>T=2|a|

周期性

F------^T=2\a\

f(x+a)

、5=2|0|

f(x+a)

常用周期結(jié)論

人'+加抽”=嗎

2=搐"=4同

/(?"。)=1-焉=7=3|。|

JV'/

/(M=/(x+4)+/(wa)nT=6|a|)

<若函數(shù)7=/(工+。)為偶函數(shù),則函數(shù)j=/(x)關(guān)于x=a對稱)

《若函數(shù)尸/。+。)為奇函數(shù),則函數(shù)J=/(K)關(guān)于點00)對稱\)

<若/(M=，Qa-x),則函數(shù)/代)關(guān)于對稱)

(若/(2/(2。?2=2瓦則函數(shù)/(M關(guān)于點(。力)對稱、)

老占突硒?力理慳宙

1r知識國*'

知識點1:函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為A,區(qū)間。aA：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值占，％當天時，都有/（%）＜/（無2），那么就說了（X）在區(qū)間

。上是增函數(shù).

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值百，々,當玉＜龍2時，都有了（無1）＜/（犬2）,那么就說了（X）在區(qū)間

。上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量%,彳2且％＜彳2；

③都有/（%［）＜〃%2）或/（%1）＞/（%2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)/Xx）在區(qū)間。上具

有單調(diào)性，。稱為函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復合函數(shù)的單調(diào)性

復合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是

增（減）函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復合函數(shù)是減

函數(shù).

【診斷自測】（2024?高三?上海楊浦?期中）已知函數(shù)y=〃x）,xeR.若/。）＜/（2）成立，則下列論

斷中正確的是（）

A.函數(shù)/（尤）在（T,y）上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)/（尤）在（-co,y）上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)/(X)在(T?,y)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)/(尤)在(一》,a)上不可能是減函數(shù).

知識點2：函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為如果存在實數(shù)M滿足

①VxeD,都有〃(2)3x0eD,使得"x0)=M,則M是函數(shù)y=的最大值;

①Vxe。，都有②瑞e。，使得〃Xo)=M,則M是函數(shù)y=〃x)的最小值.

【診斷自測】(2024?高三?北京?開學考試)函數(shù)＞=—1-l+x(xN3)的最小值為_____.

x-1

知識點3：函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

/(-%)=f{x),那么函數(shù)y(x)就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

/(-X)=-/(x),那么函數(shù)了(%)就叫做奇函數(shù)

【診斷自測】(2024?高三?河北唐山?期末)函數(shù)/⑺為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下

列結(jié)論一定正確的是()

A./(x)+g(x)為奇函數(shù)B./(x)+g(x)為偶函數(shù)

C./(x)g(x)為奇函數(shù)D./(x)g(x)為偶函數(shù)

知識點4：函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

“X+7)=/(尤)，那么就稱函數(shù)y="x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做f(x)的最小正周

期.

【診斷自測】若偶函數(shù)”無)對任意xeR都有f(x+3)=-工，且當xe[-3,-2]時，/(x)=4x,則

/(x)

〃113)=一

知識點5：函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=/(尤+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=a對稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點⑶0)對稱.

(3)若/'(x)=/(2a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=。對稱.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2b,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(a，b)對稱?

【診斷自測】若函數(shù)y=g(x)的圖象與y=lnx的圖象關(guān)于直線尤=2對稱，則g(x)=.

解題方法總結(jié)

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)%,%是/(X)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且西＜%2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(X)是增函數(shù)，則-/(元)為減函數(shù)；若/(x)是減函數(shù)，則-/(x)為增函數(shù)；

②若/(%)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(%)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

③若/(x)>0且/(x)為增函數(shù)，則函數(shù)6G為增函數(shù)，」一為減函數(shù)；

/(-V)

④若/(x)>0且/(X)為減函數(shù)，則函數(shù)由為減函數(shù)，—一為增函數(shù).

/(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(尤)是偶函數(shù)o函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=f(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足〃尤)=f(\x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的

兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(%)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)/(%)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g(x)=；"(*)+/(-x)］，/7(x)=/(f)］，貝!1/(x)=g(x)+g).

(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的

函數(shù)，如/(X)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x)J(x)+g(x).

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇、(十)奇=偶；奇乂(+)偶=奇；偶*(十)偶=偶.

(7)復合函數(shù)y=/Ig(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=7n("+1)(x豐0)或函數(shù)/(尤)=m(-~-).

<2-1fl+1

②函數(shù)f{x)=+{ax-ax).

1

③函數(shù)/(x)=log“三”=log“(1+用L)或函數(shù)f(x)=log“二二”=iog；i(l--—)

x-mx-mx+mx+m

2

④函數(shù)/(無)=loga(7.X+1+X)或函數(shù)/(x)=log"(J-+1-X).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(X)=〃Z+3L(X#O)或函數(shù)〃x)=機-心上(〃?eR).

ax-1ax+1

偶函數(shù)：①函數(shù)〃x)=±(/+aT).

;ra

②函數(shù)/(x)=logfl(a+l)-^.

③函數(shù)〃|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

/(x+T)=」一"(x+T)=-

2T

f(x)f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

\于(a+x)=/(a-x)

2(。一a)

\f(b+x)=f(b-x)

f于(a+x)=f(a-尤)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

1f(a+x)=-f(a-x)

2(。—a)

f(b+x)=-f(b-x)

1/(a+x)=-f(a-x)

2a

/(尤)為奇函數(shù)

/(a+x)=/(a-x)

4s-〃)

f(b+x)=-f(b-x)

f/(?+x)=/(a-x)

4a

[7(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1/(無)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a〈b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且7=2(>-.)；

(2)若函數(shù)y=/(無)的圖象有兩個對稱中心(a,c),S,c)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù),且

T=2(b—a)；

(3)若函數(shù)y=f(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(6,0)(a<力，則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，

且7=4(6-。).

5、對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=a對稱，則/(a+x)=/(a-尤).

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,6)對稱，則/(a+x)+/(a-x)=26.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a-x)關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(a-x)關(guān)于原點對稱.

「題型疝

題型一：單調(diào)性的定義及判斷

【典例1-1】（2024?陜西榆林?一模）已知函數(shù)/（尤）在［0,+。）上單調(diào)遞增，則對實數(shù)。＞0,6＞0,“a＞b”

是“/（。）＞/。）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2］（2024?安徽蚌埠?模擬預測）下列函數(shù)中，滿足“對任意的西e（0,+⑹，使得

""卜"馬）＜o，，成立的是（）

玉一%2

A./（x）=-X2-2x+l

B.f（x）=x--

X

C.f（.x）=x+l

D./（x）=log2（2x）+1

【方法技巧】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)/（尤）="2+（的圖象恰如其形，因而得名三

叉戟函數(shù)，因為牛頓最早研究了這個函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數(shù)〃月=分2+±的圖

%

象經(jīng)過點（2,8）,且〃-2）=0.

（1）求函數(shù)〃尤）的解析式；

（2）用定義法證明：/（無）在（-。,0）上單調(diào)遞減.

【變式1-2］（2024?高三?上海?期中）由方程中|+引討=1確定函數(shù)y=/（x）,則＞=/（%）在（一8,%）

上是（）

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)

題型二：復合函數(shù)單調(diào)性的判斷

【典例2-1】函數(shù)“x)=(；尸3-8的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.B.(-co,-2)C.(4,+co)D.

【典例2-2](2024?高三?浙江紹興?期末)函數(shù)y=ln(/-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.B.(l,+oo)C.(-8,0)D.(2,+00)

【方法技巧】

討論復合函數(shù)y=/[g(x)]的單調(diào)性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性.一般

需要先求定義域，再把復雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復合，然后分別判斷它們的單調(diào)性,

再用復合法則，復合法則如下：

1、若"=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=/[g(x)]為增函數(shù)；

2、若"=g(x),?=/(〃)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則y=/[g(x)]為減函

【變式2-1](2024?高三?甘肅?開學考試)函數(shù)〃x)=2「os：-3龍的單調(diào)遞減區(qū)間是()

7i2kn7i2歷i7i2kn5兀2歷i

A.---1----,---1----(jteZ)B.一+,一+(jteZ)

43123123123

7i2防i7i2kn7i2kn兀2%兀

C.----1----,---1----(左eZ)D.一+,—+(keZ)

12312312343

1

【變式2-2】函數(shù)〃x)=不小的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(r?,3)B.(3,4]C.(5,+co)D.(4,-HX)

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性

【典例3-1】(2024?陜西商洛?一模)已知函數(shù)/(x)=「：一是定義在R上的增函數(shù)，則。的

(3—a)x+2,x>1

取值范圍是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

/、f(a-2)x+4a-6,xW1-八

【典例3-2】已知函數(shù)〃x)=：；滿足對于任意的毛，尤J都有J，儲〉0成

\u+2,x>1%一元2

立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A-ITB-[2,1]C]川D.[1，|_

【方法技巧】

函數(shù)的尤)=1頊"<",在R上為增函數(shù)，則:

卜(%),％〉m

①s(x)在(—0,利上單調(diào)遞增；②“龍)在(M,+oo)上單調(diào)遞增；③s(m)4K帆).

_/、[〃IxKm'.>、——-?、t〃ei

函數(shù)/(犬)=,在R上為減函數(shù)，貝！J：

[/(%),%>m

①s(x)在(-w,m]上單調(diào)遞減；②Z(x)在(m,+co)上單調(diào)遞減；③s(m)>t(m).

、ax+l-a,0<x<lz、f(\-f(r]

【變式3-1】已知函數(shù)〃x)=,5,若％,々e(O,2)，玉力9，都有八x、_八">0成立,

2,1<x<2x]一不

則a的取值范圍為()

A.(0,2]B.(一8,1]C.(0,1]D.(0,+動

(2“-3)元+2,xVI

【變式3-2】已知函數(shù)〃x)=。1是R上的減函數(shù)，則。的取值范圍是()

—,x>l

、X

33

A.0<a<一B.IW〃<—

22

33

C.0<aW—D.4I<〃<—

22

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

【典例4-1】(2024?全國?模擬預測)設(shè)％￡嗚，則函數(shù)y=Jsinx+Jcosx的最大值為___.

【典例4-2］若函數(shù)/(x)=f—2x+|x—磯〃>0)在［0,2］上的最小值為1,則正實數(shù)〃的值為.

【方法技巧】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間①，切上是增函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是減函數(shù)，貝I函數(shù)y=/(x)(xw。，c)

在％=匕處有最大值/(力.

2、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,切上是減函數(shù)，在區(qū)間屹，c)上是增函數(shù)，貝!］函數(shù)y=/(x)(xe。，c)

在x=3處有最小值/(?.

3、若函數(shù)y=/(x)在［a,切上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在［a,句上一定有最大、最小值.

4、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間團，團上是單調(diào)遞增，則》=/(天)的最大值是/。)，最小值是/(a).

5、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)遞減，則y=/(x)的最大值是/(a),最小值是/(/?).

【變式4-1］(2024?上海嘉定?一模)函數(shù)y=—f+3在工?3上的最大值和最小值的乘積為

?尤-112」

【變式4-2］若函數(shù)、=卜2一〃a+2］在［0,1］的最大值為2,則m的取值范圍是.

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

【典例5-1］(2024?全國?模擬預測)若函數(shù)f(x)=41x-|+3在區(qū)間［1,內(nèi))上不單調(diào)，則。的取值范圍

是()

A.[l,+oo)B.(l,+oo)

C.(-oo,l)D.(-oo,l]

【典例5-2】(2024?廣東佛山?二模)已知Ovavl且若函數(shù)/(%)=21og/:—k)g2/在(0,+8)上單調(diào)

遞減，則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.(―,—)B.(0,—)C.(―,—)U(-4)D.(0,—)|J(—,1)

42442242

【方法技巧】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)。的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)"的不等式,

利用下面的結(jié)論求解.

1>若4>/（%）在［加，川上恒成立04>/（X）在［加，川上的最大值.

2、若a<f（x）在［機，加上恒成立v/（x）在［帆，網(wǎng)上的最小值.

【變式5-1］若〃x）=-$3+gx2+2x+l是區(qū)間（根一1,加+4）上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.m<-5B.m>3

C,機4—5或機>3D.-5<m<3

【變式5-2］（2024?全國?模擬預測）函數(shù)〃x）=log”（#-a|-l）在［1,2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)0的取值范

圍是（）

A.（2,+oo）B.（0,l）u（2,+oo）C.［4,+oo）D.（0,l）u［4,+<?）

【變式5-3］（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=log.（尤3-62+*一20）（4>0且“R1）在區(qū)間（1,+?）上

單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.|^0,|B.C.（1,2］D.［2,+s）

【變式5-4］若函數(shù)""=1唱（*+6》-5）在區(qū)間（3切—2,加+2）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為

2

（）

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小

【典例6-1］（2024?寧夏銀川?一模）若/（x）=ln（x2+l）-=,設(shè)。=/（_3）,6=/（足2）,。=/（2°3）,貝|0,

IxI

b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【典例6-2］（2024?寧夏石嘴山?三模）若定義在R上的偶函數(shù)/（無）在［0,+e）上單調(diào)遞增，則

的大小關(guān)系為（）

B.小|"2>小3

D-

【方法技巧】

1、比較函數(shù)值大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

【變式6-1］（2024?高三?河北滄州?期中）已知函數(shù)=記

e+e

a=/（-log52）,/?=/^^c=/^-1^|,則（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

【變式6-2】函數(shù)/■（x）=x3+2x-cosx,a=〃lg3）,b=/1lng：c=/23,則。，4c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【變式6-3]（2024?四川?模擬預測）若定義在R上的偶函數(shù)〃尤）在[0,+e）上單調(diào)遞增，則

的大小關(guān)系為，）

A.小|）>佃>"）B.小|>《）>佃

C/即小捫"）D,醺>/（今小|）

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

【典例7-1】設(shè)函數(shù)〃x）,g（x）的定義域為R,且/⑴是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是

（）

A./（x）g（x）是偶函數(shù)B.I”尤）心（尤）是奇函數(shù)

C.”尤）|g（x）|是奇函數(shù)D.[〃x）g（尤）|是奇函數(shù)

【典例7-2】（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=4Iog4（77^-x）-3的圖象經(jīng)過點則函

數(shù)y=/（x）的奇偶性為（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

【方法技巧】

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.

【變式7-1]（多選題）（2024?重慶?模擬預測）函數(shù)/（x）=2*；2*,且⑺=叩1+城一3q,那么

A./(x)+g(x)是偶函數(shù)B./(分g(x)是奇函數(shù)

g(M

C.是奇函數(shù)D.g(/(x))是奇函數(shù)

〃尤)

【變式7-2】利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性:

—+2%+1,%>0

x2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

⑵/。)=

x2-x,x>0

⑶y=(》；

(4)y=|log2(x+l)|;

(5)y=x2-2|x|-l.

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

_____12兀_]%>0

【典例8-1】已知函數(shù)/(x)=log2(GT?-x)是奇函數(shù)，則“=____,若g(x)=(f「則

(X)，尤&u

g(g(-l))=一.

【典例8-2】已知函數(shù)/⑺={^的圖象關(guān)于原點對稱，g(￡)=lg(10*+l)+法是偶函數(shù)，則〃+6=—.

【方法技巧】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為/"(-*)=±ya),建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、

填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

k-9x

【變式8-1](2024?高三?湖北武漢?期末)函數(shù)g(x)=；左[工化<°)為奇函數(shù);則實數(shù)左的取值

為.

【變式8-2】已知函數(shù)/(x)=bg3(9'+〃z)-x的圖象關(guān)于y軸對稱，則加=_.

2

【變式8-3]已知函數(shù)/(%)==匚定義域為R,g(%)=%(/(%)+，)，若g(x)為偶函數(shù),則實數(shù)〃的值

2+1

為.

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值

【典例9-1】已知函數(shù)〃x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，M/(x)+g(x)=x2-x+l,則

g(3)的值是_.

【典例9-2】(2024?廣東湛江?二模)已知奇函數(shù)了》=,、,八貝iJg(x)=____.

g(x)+l,x>0,

【方法技巧】

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于/Xx)的方程，從而可得

/(X)的解析式.

【變式9-1]若定義在R上的偶函數(shù)“X)和奇函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=e*,則g(x)的解析式為

g(x)=.

【變式9-2】已知函數(shù)/(無)對一切實數(shù)x都滿足〃x)+/(r)=0,且當x<0時，f(x)=2x2-x+l,則

〃力=—.

題型十：奇函數(shù)的中值模型

【典例10-1】函數(shù)/(尤)=1，+但(正'石+q在區(qū)間[-m，河內(nèi)的最大值為M，最小值為N,其中機>0,

則M+N=.

【典例10-2】對于函數(shù)/(%)=63+法忖+。(其中a/eRceZ),選取a,b,c的一組值計算/(2),/(-2),

所得出的正確結(jié)果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

【方法技巧】

已知/(x)=奇函數(shù)+Af,xe[—a,a],貝I

⑴/(-%)+/(x)=2M

(2)/(x)a+/(x)E0=2M

【變式10-1】(2024?廣西?一模)/⑺是定義在R上的函數(shù)，/卜+m+；為奇函數(shù)，則

/(2023)+/(-2022)=()

A.-1B.-一C.2D.1

2