考點(diǎn)8.1空間幾何體及其表面積、體積考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形含義①有兩個(gè)面相互平行且全等，其余各面都是平行四邊形．②每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不肯定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面綻開圖矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.4.多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是全部側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．5．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l6.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3概念方法微思索1．如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要留意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．真題真題演練1．（2024?天津）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，正方體的對角線就是球的直徑，所以，所以，．故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負(fù)值舍去）；故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓．若的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知圖形如圖：的面積為，可得，則，，，外接球的半徑為：，球的表面積：．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)，，則球的體積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由，是邊長為2的正三角形，可知三棱錐為正三棱錐，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的中心，連接并延長，交于，則，又，，可得平面，則，，分別是，的中點(diǎn)，，又，即，，得平面，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為．半徑為，則球的體積為．故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為，則高為，圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：，解得，則該圓柱的表面積為：．故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】為等邊三角形且面積為，可得，解得，球心為，三角形的外心為，明顯在的延長線與球的交點(diǎn)如圖：，，則三棱錐高的最大值為：6，則三棱錐體積的最大值為：．故選．7．（2024?全國）正三棱柱各棱長均為1，為的中點(diǎn)，則四面體的體積是A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，為正三棱柱，底面為正三角形，側(cè)面為正方形，．故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，該圓柱底面圓周半徑，該圓柱的體積：．故選．9．（2024?海南）已知正方體的棱長為2，、分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．【答案】【解析】如圖，正方體的棱長為2，、分別為、的中點(diǎn)，，．故答案為：．10．（2024?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是__________．【答案】【解析】圓錐側(cè)面綻開圖是半圓，面積為，設(shè)圓錐的母線長為，則，，側(cè)面綻開扇形的弧長為，設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得．故答案為：．11．（2024?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是__________．【答案】【解析】六棱柱的體積為：，圓柱的體積為：，所以此六角螺帽毛坯的體積是：，故答案為：．12．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為__________．【答案】【解析】因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)當(dāng)為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線切于點(diǎn)，令，由，則，即，解得，，故答案為：．13．（2024?全國）已知平面截球的球面所得圓的面積為，到的距離為3，則球的表面積為__________．【答案】【解析】平面截球的球面所得圓的面積為，則圓的半徑為1，該平面與球心的距離，球半徑．球的表面積．故答案為：．14．（2024?江蘇）如圖，長方體的體積是120，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是__________．【答案】10【解析】長方體的體積是120，為的中點(diǎn)，，三棱錐的體積：．故答案為：10．15．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為__________．【答案】118.8【解析】該模型為長方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，，該模型體積為：，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為：．故答案為：118.8．16．（2024?全國）已知三棱錐的體積為1，、、分別為、、的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．【答案】【解析】如圖，、、分別為、、的中點(diǎn)，△，則，過作平面，交平面于，則．．故答案為：．17．（2024?天津）如圖，已知正方體的棱長為1，則四棱錐的體積為__________．【答案】【解析】由題意可知四棱錐的底面是矩形，邊長：1和，四棱錐的高：．則四棱錐的體積為：．故答案為：．18．（2024?天津）已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)，，，，（如圖），則四棱錐的體積為__________．【答案】【解析】正方體的棱長為1，的底面是正方形的邊長為：，四棱錐是正四棱錐，棱錐的高為，四棱錐的體積：．故答案為：．19．（2024?江蘇）如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為__________．【答案】【解析】正方體的棱長為2，中間四邊形的邊長為：，八面體看做兩個(gè)正四棱錐，棱錐的高為1，多面體的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為：．故答案為：．20．（2024?上海）如圖，在長方體中，，，，是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．【答案】5【解析】．故答案為：5．21．（2024?天津）已知一個(gè)正方體的全部頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為__________．【答案】【解析】設(shè)正方體的棱長為，這個(gè)正方體的表面積為18，，則，即，一個(gè)正方體的全部頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，正方體的體對角線等于球的直徑，即，即，則球的體積；故答案為：．22．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知三棱錐的全部頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑．若平面平面，，，三棱錐的體積為9，則球的表面積為__________．【答案】【解析】三棱錐的全部頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑，若平面平面，，，三棱錐的體積為9，可知三角形與三角形都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為，可得，解得．球的表面積為：．故答案為：．23．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為．、、為圓上的點(diǎn)，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L改變時(shí)，所得三棱錐體積（單位：的最大值為__________．【答案】【解析】解法一：由題意，連接，交于點(diǎn)，由題意得，，即的長度與的長度成正比，設(shè)，則，，三棱錐的高，，則，令，，，令，即，解得，則（2），，體積最大值為．故答案為：．解法二：如圖，設(shè)正三角形的邊長為，則，，，三棱錐的體積，令，則，令，則，解得，．故答案為：．24．（2024?上海）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．【解析】（1）平面，．，，，，所以四棱錐的體積為12．（2）是正方形，平面，，又平面異面直線與所成角為，在中，，故在中，25．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．（1）證明：平面；（2）若，，求四棱錐的體積．【解析】（1）證明：由長方體，可知平面，平面，，，，平面；（2）由（1）知，由題設(shè)可知△，，，，在長方體中，平面，，平面，到平面的距離，四棱錐的體積．26．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．（1）證明：直線平面；（2）若面積為，求四棱錐的體積．【解析】（1）四棱錐中，．，平面，平面，直線平面；（2）解：四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．設(shè)，則，，是的中點(diǎn)，連接，，的中點(diǎn)為：，連接，則，，，面積為，可得：，即：，解得，．則．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?沈河區(qū)校級模擬）在三棱錐中，，，，，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、、，，，，，則，則為三棱錐三棱錐外接球的球心，設(shè)半徑為，又，且，，．則又由，，且，可得平面，，解得．三棱錐外接球的體積為．故選．2．（2024?涼山州模擬）已知長方體的體積，，若四面體的外接球的表面積為，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，由于，所以．依據(jù)長方體的對稱性可知四面體的外接球的即為長方體的外接球，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立）．故選．3．（2024?迎澤區(qū)校級二模）已知三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影恰好為的中點(diǎn)，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，為等腰直角三角形，是外接圓的圓心，點(diǎn)在平面上的射影恰好為的中點(diǎn)，則；；設(shè)球心到平面是距離為，則，，，該三棱錐外接球的表面積為故選．4．（2024?南充模擬）在直角梯形中，，與均為等腰直角三角形，且，若將直角梯形沿折疊成三棱錐，則當(dāng)三棱錐的體積取得最大時(shí)其外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】直角梯形中，，與均為等腰直角三角形，且，所以，，，將直角梯形沿折疊成三棱錐，如圖所示：即當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，過作平面交于，由于平面平面，所以，即為的中點(diǎn)，所以為的中心，即為三棱錐的外接球的球心．所以半徑，則．故選．5．（2024?鏡湖區(qū)校級模擬）已知三棱錐中，平面，若，，則其外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：三棱錐中，平面，若，，所以在中，利用余弦定理：解得：，設(shè)的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，滿意．所以．故選．6．（2024?南崗區(qū)校級模擬）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若平面，，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：由于平面，，，則的外接圓的半徑滿意，解得，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面，設(shè)外接球的半徑為，所以，所以球的表面積為．故選．7．（2024?全國四模）如圖，在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，，，平面，，，，可知，三棱錐，是長方體的一個(gè)角，外接球的直徑是長方體的體對角線，所以三棱錐外接球的半徑為．所以外接球的體積．，故選．8．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知正四棱錐中，，且全部的棱長相等，則該四棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)正四棱錐底面的中心為，設(shè)外接球的球心為，則在正四棱錐的高上．在直角三角形中，，，則高，則，，在直角三角形中，，解得，即與重合，即正四棱錐外接球的球心是它的底面的中心，且球半徑，球的表面積，故選．9．（2024?黃州區(qū)校級三模）在三棱錐中，和都是邊長為2的正三角形，當(dāng)三棱錐的表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球的半徑是A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱錐中，和都是邊長為2的正三角形，三棱錐的表面積為，故當(dāng)時(shí)，表面積最大，為，過作的垂線，垂足為，連接，三棱錐的體積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)?，所以．故選．10．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知三棱錐中，和是全等的等邊三角形，邊長為2，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，取中點(diǎn)，連接、，則，，因?yàn)槠矫嫫矫妫钥勺C得平面，平面，取三角形的外心，作，則、、、四點(diǎn)共面，取三角形的外心，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼矫?，則垂直平面，于是點(diǎn)到、、、四點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心．連接，可求得，，所以，所以外接球表面積為．故選．11．（2024?青島模擬）在三棱柱中，，側(cè)棱底面，若該三棱柱的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，且球的表面積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為A． B． C． D．3【答案】B【解析】設(shè)三棱柱兩底面中心分別為，則的中點(diǎn)為球的球心，設(shè)正三棱柱的底面邊長，棱柱的高為，則，，球的半徑，，球的表面積的最小值為，，棱柱的側(cè)面積為．故選．12．（2024?運(yùn)城模擬）已知長方體的頂點(diǎn)，，，在球的表面上，頂點(diǎn)，，，，在過球心的一個(gè)平面上，若，，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】把兩個(gè)這樣的長方體疊放在一起，構(gòu)成一個(gè)長寬高分別為1，3，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，所以球的半徑滿意，所以球的表面積，故選．13．（2024?香坊區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》是我國古代聞名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對勾股定理的論述，比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。灰凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺，問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為0.5丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）．已知弦尺，弓形高寸，估算該木材鑲嵌墻內(nèi)部分的體積約為（注：一丈尺寸，，A．300立方寸 B．305.6立方寸 C．310立方寸 D．316.6立方寸【答案】D【解析】如圖，（寸，則（寸，（寸，設(shè)圓的半徑為（寸，則（寸，在中，由勾股定理可得：，解得：（寸．，即，則．則弓形的面積（平方寸）．則該木材鑲嵌在墻中的體積約為（立方寸）．故選．14．（2024?內(nèi)江三模）如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，，為半圓弧的中點(diǎn)，若異面直線和所成角的正切值為，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】連，由題設(shè)知、關(guān)于對稱，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，異面直線和所成角的正切值為，異面直線和所成角的余弦值為，，，得，該幾何體的體積．故選．15．（2024?內(nèi)江三模）如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，，為半圓弧的中點(diǎn)，若異面直線和所成角的余弦值為，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】連，由題設(shè)知、關(guān)于對稱，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，異面直線和所成角的的余弦值為，，，解得，該幾何體的體積．故選．16．（2024?市中區(qū)校級模擬）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的半徑為A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】正四棱錐的外接球的球心在它的高上，記為，，，，在△中，得，球的半徑為2．故選．17．（2024?雨花區(qū)校級模擬）如圖，四邊形的面積為，且，把繞旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)運(yùn)動到，此時(shí)向量與向量的夾角為．則四面體外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)，，，向量與向量的夾角為．則，四面體外接球?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，故四面體外接球表面積的最小值．故選．18．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）中國古代第一部數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將一般多面體分為陽馬，鱉臑，塹堵三種基本立體圖形，其中四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，底面，，，，則此鱉臑的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】三棱錐為鱉臑，底面，，，，，，此鱉臑的體積為：．故選．19．（2024?雨花區(qū)校級模擬）由棱長都為1的4個(gè)正四面體和1個(gè)正八面體，組合成一個(gè)正四面體，再將此正四面體削切、打磨成最大的球，則該球體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】把4個(gè)正四面體、1個(gè)正八面體組合嵌入到棱長為的正方體中，組成棱長為2的正四面體，轉(zhuǎn)化為求其內(nèi)切球體積．高為，，，故選．20．（2024?吉林模擬）阿基米德立體是一種高度對稱的半正多面體，并且都是可以從正多面體經(jīng)過截角、截半、截邊等操作構(gòu)造而成．阿基米德立體的三個(gè)視圖全都一樣，如圖是棱長為2的正方體經(jīng)過截角得到的阿基米德立體的正視圖，則該幾何體的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示，是通過正方體各棱的中點(diǎn)，將八個(gè)角截去，形成的正14面體，其中有8個(gè)正三角形面，6個(gè)正方形面．正14面體的棱長為，所以6個(gè)正方形面的面積之和為，8個(gè)正三角形面的面積之和為，所以幾何體的表面積之和為．故選．21．（2024?衡水模擬）已知圓錐的底面半徑為2，高為4．一個(gè)圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓周在圓錐的側(cè)面上，當(dāng)圓柱側(cè)面積為時(shí)該圓柱的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)圓柱底面半徑為，，由題意可知△△，則有，，則圓柱的高，其側(cè)面積，解得．當(dāng)時(shí)，，該圓柱的體積．故選．22．（2024?原州區(qū)校級模擬）如圖，正四面體，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，，，，的中點(diǎn)分別為，，，，四邊形的面積為1．則該正四面體體積是A．4 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)的中點(diǎn)，連接，，則有，，又，平面，則，又，，且，，四邊形為正方形，設(shè)正四面體的棱長為，則有，由四邊形的面積為1，得，即．設(shè)正四面體的高為，則，正四面體的體積為．故選．23．（2024?福州三模）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則當(dāng)圓錐體積最小時(shí)，如圖，由可得：，即，圓錐的體積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故選．24．（2024?桃城區(qū)校級二模）在如圖所示的空間幾何體中，下面的長方體的三條棱長，，上面的四棱錐中，平面，，則過五點(diǎn)、、、、的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐的外接球的表面積，，，所以外接圓的半徑為，由于平面，則平面，平面，所以平面平面，所以，所以．故選．25．（2024?梅河口市校級模擬）若正三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)半徑為1的球面上，且正三棱柱的側(cè)面均為正方形，則該三棱柱的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，作出如下所示的圖形，其中為球心，也為正三棱柱的中心，為上底面三角形的重心，設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為，則其上下底面是邊長為的等邊三角形，所以，，在中，，即，解得．所以該三棱柱的表面積．故選．26．（2024?西安模擬）已知點(diǎn)、、在球心為的球面上，若，，球心到截面的距離為1，則該球的表面積為__________．【答案】【解析】由，，可知是等腰三角形，作的高線，可得，那么；由正弦定理：，可得外接圓的半徑，球心到平面的圓心距離為1，得，那么