2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破

實(shí)際問題與二次函數(shù)

1.春節(jié)期間，全國各影院上映多部影片，某影院每天運(yùn)營成本為2000元，該影院每天售出

的電影票數(shù)量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（30VXW80,

且x是整數(shù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

電影票售價X（元/張）4050

售出電影票數(shù)量y（張）164124

⑴請求出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵設(shè)該影院每天的利潤（利潤=票房收入-運(yùn)營成本）為w（單位：元），求w與x之間的

函數(shù)關(guān)系式；

（3）該影院將電影票售價x定為多少時，每天獲利最大？最大利潤是多少？

2

2.對于向上拋的物體，如果空氣阻力忽略不計(jì)，有下面的關(guān)系式：h=vot-^gt（/?是物體

離起點(diǎn)的高度，％是初速度，g是重力系數(shù)，取10m/s2,f是拋出后經(jīng)過的時間）.雜技演員

拋球表演時，以10m/s的初速度把球向上拋出.

（1）1.2秒時球離起點(diǎn)的高度是多少？

（2）幾秒后球離起點(diǎn)的高度達(dá)到2.55m?

3.如圖1所示是某家具廠的拋物線木板余料，其最大高度為9dm,最大寬度為12dm,現(xiàn)

計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：

(1)如圖2,以的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向建立平

面直角坐標(biāo)系，求出拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)工人師傅現(xiàn)需要一塊邊長為7dm的正方形木板，為了切割方便，要求一邊在底部邊緣

上，這塊余料能否滿足工人的需求？如果能，請說出切割方案，如果不能，請說明理由；

(3)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長最大，求此矩形的周長；

(4)若切割成寬為2dm的矩形木板若干塊，然后拼接成一個寬為2dm的矩形，如何切割才能使

拼接后的矩形的長邊最長？請直接寫出拼接后的矩形的長邊長(結(jié)果保留根號).注意：思

考中可能會用到的數(shù)據(jù)行之2.65,75?2.24,6*1.73.

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4.如圖，某跳水運(yùn)動員在10米跳臺上進(jìn)行跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為/-1。）

運(yùn)動員（將運(yùn)動員看成一點(diǎn)）從原點(diǎn)。點(diǎn)起跳，在空中運(yùn)動的路線是經(jīng)過點(diǎn)。的拋物線.正

常情況下，運(yùn)動員在距水面高度5米之前，必須完成規(guī)定的翻轉(zhuǎn)、打開動作，并調(diào)整好入水

姿勢，否則就會失誤，運(yùn)動員入水后，運(yùn)動路線滿足另一條拋物線.一個運(yùn)動員在跳某個規(guī)

定動作時，運(yùn)動員在空中最高處A點(diǎn)的坐標(biāo)為

（1）求運(yùn)動員在空中運(yùn)動時對應(yīng)拋物線的表達(dá)式，并求出入水處點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，恰好距點(diǎn)E的水平距離為5.5米，則該運(yùn)動員此次跳

水會不會失誤？請通過計(jì)算說明理由.

（3）在該運(yùn)動員入水點(diǎn)的正前方有N兩點(diǎn)，且EM=7.9,EN=8.5,該運(yùn)動員入水后運(yùn)

動路線對應(yīng)的拋物線表達(dá)式為y=4（尤-〃）2+3若該運(yùn)動員出水點(diǎn)。在之間（包括

N兩點(diǎn)），請求運(yùn)動員入水最大水深的范圍.

5.某校計(jì)劃將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個拋物線型拱門，并要求設(shè)計(jì)的拱門的跨度與拱

高之積為48nl2,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門按要求給出了兩個設(shè)

計(jì)方案.現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一：拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m.點(diǎn)N在x軸上，尸E，ON,OE=EN.

方案二：拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高P'E'=6m.點(diǎn)N'在x軸上，PE'±ON,,

OE'=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為3nl的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì)).方案一中，

矩形框架A3CD的面積記為工，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊BC在ON上;方案二中，矩形框

架AB'C'D'的面積記為邑，點(diǎn)A,DC在拋物線上，邊B'C'在ON'上.現(xiàn)知，小華已正確求

出方案一中，當(dāng)AB=3m時，H=18m2,請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)求方案二中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)在方案二中，當(dāng)AE=3m時，求矩形框架A'B'C'D的面積邑并比較S-6的大小.

6.如圖，某農(nóng)戶計(jì)劃用籬笆圍成一個矩形場地養(yǎng)殖家禽，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形場

地一面靠墻(墻的長度為18m),另外三面用籬笆圍成，中間再用籬笆把它分成三個面積相等

的矩形分別養(yǎng)殖不同的家禽，計(jì)劃購買籬笆的總長度為32m,設(shè)矩形場地的長為加，寬為

四，面積為sm?.

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（1）分別求出y與x,s與x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)x為何值時，矩形場地的總面積最大？最大面積為多少？

（3）若購買的籬笆總長增加8m,矩形場地的最大總面積能否達(dá)到lOOn??若能，請求出尤的

值；若不能，請說明理由.

7.某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用》（萬元）與年產(chǎn)量x（萬

件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖所示）；該產(chǎn)品的總銷售額z（萬

元）=預(yù)售總額（萬元）+波動總額（萬元），預(yù)售總額=每件產(chǎn)品的預(yù)售額（元）x年銷售

量x（萬件），波動總額與年銷售量尤的平方成正比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示.生產(chǎn)出的該產(chǎn)品

都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤為w萬元.（年毛利潤=總銷售額-生產(chǎn)

費(fèi)用）

年銷售量X（萬件）2040

總銷售額Z（萬元）5601040

)/萬元

1000F------------

o100工/萬件

(1)求y與x以及z與x之間的函數(shù)解析式；

(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為多少？

(3)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1000萬元，結(jié)合函數(shù)圖象，求該產(chǎn)品年銷售量的變化范

圍.

8.為全面實(shí)現(xiàn)“鄉(xiāng)村振興”，某“枇杷合作社”帶動村民大量栽種枇杷.現(xiàn)階段枇杷陸續(xù)成

熟，“枇杷合作社”為解決果農(nóng)后顧之憂，于是邀請部分網(wǎng)絡(luò)平臺實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)銷售，每箱枇杷

的成本是40元.某平臺經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每箱枇杷的售價是80元時，每天可售出100箱.如

果降價銷售，每降價1元，每天可多售出10箱.

(1)若該平臺某天銷售枇杷的利潤為6000元，且使顧客得到最大優(yōu)惠，求每箱枇杷的售價;

(2)這批枇杷在市場一售而空，該平臺又以同樣的價格購進(jìn)一批枇杷，當(dāng)每箱枇杷的售價為

多少元時，每天可以獲得最大利潤？最大利潤為多少元？

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9.射水魚（別名高射炮魚）在水中看到水面上方的獵物A（獵物的大小忽略不計(jì)）后，便

向獵物射水，當(dāng)獵物被水射中后射水魚對其進(jìn)行捕殺.如圖，噴射出的水柱在空中呈拋物線

形狀，設(shè)噴出水柱的豎直高度為y（單位：cm）（水柱的豎直高度是指水柱與魚嘴8所在水

平面的距離），水柱與魚嘴2的水平距離為x（單位：cm）,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，得到如下數(shù)據(jù)：

x/cm0102030405060

y/cm0183242485048

?y/cm

（1）請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)，求此次射水過程中水柱軌跡所在拋物線的解析式；

（2）若獵物A突然受到驚嚇，退至（55,45）處，試判斷該射水魚此次射水噴出的水柱能否精準(zhǔn)

捕殺到獵物A,并說明理由.

10.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB=3,AD=5.

若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向做勻速運(yùn)動?同時點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位

長度沿A-3-C-。的路線做勻速運(yùn)動?當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)時停止運(yùn)動，矩形ABCD也隨之

停止運(yùn)動.

（1）求尸點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到。點(diǎn)所需的時間；

⑵設(shè)p點(diǎn)運(yùn)動時間為K秒）.

①當(dāng)t=5時，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②若。出的面積為，，試求出$與/之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量r的取值范圍）.

11.某公司計(jì)劃用一種長為100cm,寬為60cm的長方形鐵片制作無蓋盒子.如圖，在鐵片

關(guān)系式，并描述盒子的側(cè)面積隨小正方形邊長的變化而變化的情況；

（2）已知該種長方形鐵片的成本為每塊40元，當(dāng)制成的無蓋盒子的銷售單價為70元時，每

天可以售出140個，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種盒子的銷售單價每降低1元，其銷售量相應(yīng)增加10

個.不考慮其他因素，公司將銷售單價“（元）定為多少時，每天銷售無蓋盒子所獲利潤卬

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（元）最大？最大利潤是多少？

12.新華社天津3月29日電（記者周潤健、張澤偉）29日，2024年全國室內(nèi)田徑錦標(biāo)賽在

天津開賽，女子鉛球決賽中，河北隊(duì)選手鞏立姣投出19米35輕松奪冠.鉛球從出手到落地

的過程中，其運(yùn)動軌跡（不考慮其他因素）可以近似的看成是拋物線的一部分.某運(yùn)動員在

訓(xùn)練時，鉛球在空中的豎直高度y（米）與水平距離為（米）之間的部分對應(yīng)數(shù)值如下表所

（1）出手時鉛球的豎直高度是米，鉛球在空中的最大高度是米；

（2）按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）該運(yùn)動員在比賽時，投出的鉛球在空中的豎直高度y（米）與水平距離x（米）之間的函

117

數(shù)關(guān)系式為、=-=/+了》+:，請判斷該運(yùn)動員在比賽和訓(xùn)練時，哪次投出的鉛球更遠(yuǎn)一

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些，并說明理由.

13.某公園有一個噴水池，中心的可升降噴頭垂直于地面，噴出的水柱形狀呈拋物線.如圖

是噴水池噴水時的截面圖，以噴水池中心。為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，1米為1個單位長度

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)噴頭A的坐標(biāo)為（0,拋物線的函數(shù)表達(dá)式中二次項(xiàng)系數(shù)

（1）當(dāng)水柱都滿足水平距離為4米時，達(dá)到最大高度為6米.

①若c=l,求第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式（無需寫取值范圍）.

②求含c的代數(shù)式表示以

1Q

（2）為了美化公園，對噴水設(shè)備進(jìn)行改造，使。與c之間滿足4a-gc+]=0,且當(dāng)水平距離

為6米時，水柱達(dá)到最大高度.求改造后水柱達(dá)到的最大高度.

14.如圖，小車從點(diǎn)A出發(fā)，沿與水平面成30。角光滑斜坡下滑，在下滑過程中小車速

度逐漸增加，設(shè)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為〃，小車從點(diǎn)A滑行到最低點(diǎn)B所用

的時間為K秒）,小車滑行到點(diǎn)B時的速度為v（厘米/秒）.速度v與時間f滿足關(guān)系：v=107,

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高度//與時間t滿足關(guān)系：h=；g^（gwO,g是常數(shù)），當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)小車出發(fā)點(diǎn)A離水

平地面BE的高度為20（厘米）時，小車從點(diǎn)A滑到最低點(diǎn)B需要2秒.

（1）當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面防的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點(diǎn)8需要幾秒鐘？

此時小車到達(dá)B點(diǎn)時的速度是多