第20講圖形的相似與位似

目錄

題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之

一、考情分析

垂線

二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)二相似圖形的概念與性質(zhì)

考點(diǎn)一比例線段的概念與性質(zhì)題型01理解相似圖形的概念

題型01成比例線段題型02相似多邊形

題型02圖上距離與實(shí)際距離題型。3相似多邊形的性質(zhì)

題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確考點(diǎn)三位似圖形

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值題型01位似圖形的識(shí)別

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值題型02判斷位似中心

題型06理解黃金分割的概念題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤

題型07黃金分割的實(shí)際應(yīng)用題型04求兩個(gè)位似圖形的相似比

題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤題型05畫已知圖形放大或縮小”倍后的位似

題型09平行線分線段成比例（A型）圖形

題型10平行線分線段成比例（X型）題型06求位似圖形的坐標(biāo)

題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜題型07求位似圖形的線段長度

合題型08在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長

題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平題型09在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積

行線

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

>了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線

比例線段的概念與

段；

性質(zhì)在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選

>通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割.

相似圖形的概念與>通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似.擇題、填空題，較為簡單.本節(jié)內(nèi)

性質(zhì)>了解相似多邊形和相似比.容是下一節(jié)相似三角形的基礎(chǔ)，需

要學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)加以重視.

>了解圖形的位似知道利用位似可以將一個(gè)圖

位似圖形

形放大或縮小.

定義：對于四條線段a、b、c、d,如果a/b=c/d（即ad=bc）,我們就說這四段線

段是成比例線段，簡稱比例線段。

當(dāng)比例的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即a/b=b/d或a：b=b：d,線段b叫做線段a和d的比例中項(xiàng)

題型01成比例線段

判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判題型02圖上距離與實(shí)際距離

解題思路斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值

基本性質(zhì)a/b=c/d*>ad=bc(bd#O)

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值

合、分比性質(zhì)a/b=c/d?(a±b)/b=(c±d)/d(bd/O)題型06理解黃金分割的概念

相似比例的性-------------------------------------------------------》題型07黃金分割的實(shí)際應(yīng)用

圖

形質(zhì)$Q^a/b=c/d=e/f='=m/n=k(b+d+f++n#0),題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤

基

礎(chǔ)等比性質(zhì)那么

(a+c+e+…+m)/(b+d+f+…+n)=k題型09平行線分線段成比例（A型）

點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段如果AC/AB=BC/AC,那么線段AB被點(diǎn)題型W平行線分線段成比例（X型）

黃金分割C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合

題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線

題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線

線段嬴匕定理:三條平行線截兩條直線所截得的對應(yīng)線段成比例。

咧__________推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的

對應(yīng)線段成比例.

圖

形

定義：如果邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例的兩

的

個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

題型理解相似圖形的概念

相01

相似圖形的概相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.題型02相似多邊形

似念與性質(zhì)蜩相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平題型03相似多邊形的性質(zhì)

與方.

位

似定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點(diǎn)連線相交一點(diǎn)，對應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩

個(gè)圖形叫做位似圖形.

首先看這兩個(gè)圖形是否相似

判斷位似圖形的方法

再看對應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過位似中心

位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)題型01位似圖形的識(shí)別

題型02判斷位似中心

位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤

位似圖形的性質(zhì)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比題型04求兩個(gè)位似圖形的相似比

—位似圖形

題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k,那么位題型06求位似圖形的坐標(biāo)

似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.題型07求位似圖形的線段長度

位

畫確定位似中心，找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn).題型08在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長

圖

似題型09在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積

的

形確定位似比.

驟

步

以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線.

順次連結(jié)各截取點(diǎn)，即可得到要求的新圖形.

注意：畫位似圖形時(shí)，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè)

考點(diǎn)一比例線段的概念與性質(zhì)

.夯基-必備基礎(chǔ)能謝迪

線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

比例線段的定義：對于四條線段arbrc,d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比）與另兩條線段的

比相等，如￡=?（即ad=bc）,我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段.其中a,6,c,1叫組

成比例的項(xiàng)；a,d叫比的外項(xiàng)，6,c叫比的內(nèi)項(xiàng)，

【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即"減a"=6d,線段b叫做線段。和d的比例中項(xiàng).

【解題思路】

1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段

的比是否相等即可；

2成比例的線段是有順序的比如.力￡〃是成比例的線段則成比例線段只能寫成"即W=強(qiáng)|），

而不能寫成F=--

bc

比例的性質(zhì)：

1）基本性質(zhì)\ad=be-=-b2=ac

bdbc

今=3,（交換內(nèi)項(xiàng)）

2）變形："（=（（=：，（交換外項(xiàng)）核心內(nèi)容：ad=be

A=3.（同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)）

3）合、分比性質(zhì)：[40胃=等

【補(bǔ)充】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差

b-a_d-c

五=三

!a+bc+d

4）等比性質(zhì)：如果￡=?=]=???=辭=左，那么;:二工曹=k（6+d+f+…+n=0）.

【補(bǔ)充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果盛=,貝哈=：=鬻（6+d40）.

5）黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果替=金，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做

線段A8的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.

【注意】1）AC=^=AB=0.648AB（亨叫做黃金分割值）.簡記為：

2）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：

如圖，已知線段48,按照如下方法作圖：

①經(jīng)過點(diǎn)B作BDrAB，使BD=|AB.

②連接AD,在D4上截取DE=DB.

③在AB上截取AC=AE則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

6）平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.

①已知13llldll5,RT<==融需=融臆=黑噫=算

①把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面的兩種情況:

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.

易混易錯(cuò)

1.求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

2.通常四條線段a,6,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和6統(tǒng)一為一個(gè)單位，。和d

人AA/_1_,L-—rI\I

提升-必考題型歸納

題型01成比例線段

[例1]（2023福建泉州校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列長度的各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（）

A.2,5,6,8B.3,6,9,2C.1,2,3,4D.3,6,7,9

【答案】B

【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】解:A.-.-2x8力5x6,

.■.2,5,6,8不能構(gòu)成比例線段,不符合題意；

B./2X9=3X6,

??.3,6,9,2能構(gòu)成比例線段,符合題意；

C.'.lx473x2,

.■.1,2,3,4不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

D..3X9W6x7,

??.3,6,7,9不能構(gòu)成比例線段,不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩

條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所

選取的單位無關(guān)系.

【變式1-1]（2023?上海長寧?統(tǒng)考一模）已知線段a,b,c,d是成比例線段，如癡=1,b=2,c=3,

那么d的值是（）

A.8B.6C.4D.1

【答案】B

【分析】利用成比例線段的定義得到a：6=c-.d,然后根據(jù)比例的性質(zhì)求，/的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：a:6=c:d,

即1:2=3:d,

解得d=6.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了比例線段：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與

另兩條線段的比相等，如a：b=c:d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段.

【變式1-2]（2023?上海楊浦統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段匕是線段a和c的比例中

項(xiàng)，那么b=_______厘米.

【答案】6

【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到a:b=b-.c,然后利用比例性質(zhì)計(jì)算即可，解題的

關(guān)鍵是理解四條線段a、仄c、d，如果其中兩條線段的也即它們的長度比將另兩條線段的比相等,a-.b=c-.d,

我們就說這四條線段是成比例線段,簡稱比例線段，當(dāng)a：6=6：c時(shí)，線段。是線段a和c的比例中項(xiàng).

【詳解】1?線段6是線段a和c的比例中項(xiàng)，

.'.a:b—b:c,即〃=ac=3x12,

:.b=6（cm）,

故答案為：6.

題型02圖上距離與實(shí)際距離

[例2]（2023?江蘇常州.常州市第二十四中學(xué)校考模擬預(yù)測）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長

度約為25cm，該路段的實(shí)際長度約為（）

A.3200mB.3000mC.2400mD.2000m

【答案】D

【分析】首先設(shè)它的實(shí)際長度是xcm然后根據(jù)比例尺的定義，即可得方程1:8000=25:%,解此方程即可求

得答案，注意統(tǒng)一單位.

【詳解】解：設(shè)它的實(shí)際長度為xcm,

根據(jù)題意得：1:8000=25:x

解得：%=200000,

,/200000cm=2000m

，該路段實(shí)際長度約為2000m

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題考查了比例線段.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)比例尺的定義列方程，注意

統(tǒng)一單位.

【變式2-1]（2023?上海嘉定?校考一模）甲、乙兩地的實(shí)際距離為250km,如果畫在比例尺為1:5000000

的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是________cm.

【答案】5

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實(shí)際距離進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是250x1000x100x獲而=5cm,

故答案為：5.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵.

題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確

[例3]（2023.安徽合肥校考一模）已知2x=3y（xW0,yH0）,則下列比例式成立的是（）

C.UD一二

322y23y3

【答案】A

【分析】根據(jù)若（=Ao,d力0）,貝Md=be,進(jìn)行逐一判斷即可求解.

【詳解】解：A.可化為2x=3y,故此項(xiàng)符合題意；

B.可化為孫=6，故此項(xiàng)不符合題意；

C.可化為3x=2y,故此項(xiàng)不符合題意；

D.可化為3光=2y,故此項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了比例是性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2023?上海寶山?一模）已知線段a,b,如果a:b=2:3,那么下列各式中一定正確的是（）

A.2a=36B.a+b=5C.等書D.震=】

【答案】C

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.由a:b=2:3,得3a=2b,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.當(dāng)a=4,b-6時(shí)，a:b=2:3,但是a+b=10,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.由a:6=2:3,得等=(,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

D.當(dāng)a=4,b=6時(shí)，a:6=2:3,但是窸=\,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：c.

【點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識(shí)點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積,

比較簡單.

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值

[例4](2023.湖南郴州模擬預(yù)測)若(5-x):久=2:3,貝卜=.

【答案】3

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到方程3(5-久)=2%,再解方程即可求解.

【詳解】解：-'(5-x):x=2:3,

「.3(5—x)=2x,

15—3%=2%z

解得X-3.

故答案為：3.

【點(diǎn)撥】本題考查比例性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解題關(guān)鍵.

【變式4-1](2023.四川成都.統(tǒng)考二模)若￡=[且a+6=7,貝必的值為.

【答案】

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到3b=4a,結(jié)合a+b=7求得a的值即可.

【詳解】解：由a：6=3：4知3b=4a,

所以b號a.

所以由a+b=7得到：a+[a=7,

解得：a=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)撥】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若￡=》則ad=be.

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值

[例5](2023?浙江?模擬預(yù)測)用回吩別表示三種物體的重量，若:=乎=捷，則▲,?，

回這三種物體的重量比為()

A.2:3:4B.2:4:3C,3:4:5D.3:5:4

【答案】B

【分析】可設(shè):=F=盤=々，利用等比性質(zhì)可得上的值，設(shè)▲為X,?為了,因?yàn)閦,得到3個(gè)等式，聯(lián)立

可得用x表示y、z,相比即可.

【詳解】解：設(shè);=冒=提="▲為％,?為y,回為z,

.kx+y-z+zx+y1

-y+x+y+x2(x+y)2'

-'-X=^y,y-z=^x,z=^(x+y),

■■y=2K,Z=|久，

，▲,?，回這三種物體的重量比為2:4:3.

故選：B.

【點(diǎn)撥】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023.上海虹口統(tǒng)考一模)已知x:y=3:2,那么(%-y):%=—.

【答案】1：3

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，表示出y是解題的關(guān)鍵.先用x表示出y,再代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得

解.

【詳解】解：=3:2,

.2

??丫=?，

.'.(%—y):x=(x-gx):x=~x:x=1:3,

故答案為：1:3.

【變式5-2](2023?寧夏銀川?校考一模)若”K。)，則要?=-

【答案】|/0.5

【分析】根據(jù)等比性質(zhì)、合比性質(zhì)轉(zhuǎn)換即可.

【詳解】解：?心=g=*aKc),

ac2

2bdlz、

.2b-d1,…、

?五L"c)，

故答案為]

【點(diǎn)撥】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確理解等比性質(zhì)、合比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2023?江西撫州?校聯(lián)考一模)解方程：

(l)x(x-3)=2x—6；

(2)已知a:b\c=2:3:4,且2a+3力-2c=15,求a-2b+3c的值.

【答案】(l)%i=3,亞=2；

(2)24

【分析】(1)先移項(xiàng)，再利用因式分解法解一元二次方程，此題得解；

(2)由a:b:c=2:3:4,可設(shè)a=2k,貝！=3k,c=4k,根據(jù)2a+3b—2c=15可得出關(guān)于k的一元一次

方程，解之即可得出左值，進(jìn)而可得出。的值，將其代入a-2b+3c中即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：移項(xiàng)得，x(x-3)-2(%-3)=0,

即(％—3)(%—2)=0t

即％-3=0或％-2=0,

解得：=3,%2=2；

(2)解：'.'a:b:c=2:3:4z

.,.設(shè)a=2k,貝(=3kjc=4k.

'.'2a+3b—2c=15,

.'.4/c+9k—8k=15,

解得：k=3,

/.a=6,b=9,c=12,

-'-Ci—2b+3c=6—18+36=24.

【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是:（1）

熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根據(jù)比例關(guān)系結(jié)合2a+3b-2c=15列出關(guān)于k的一元

一次方程.

2a2b2c2d

【變式5-4】（2023.安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知■=k,求M-3A-4的值.

b+c+da+c+da+b+da+b+c

【答案】段或6.

【分析】當(dāng)a+b+c+d^0時(shí)，依據(jù)等比性質(zhì)可得%,當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，得b+c+d=-a,代入即可計(jì)

3%{a：+：b"+c：+*a）

算出女的值.

2a2b2d

【詳解】二k,

b+c+da+c+da+b+da+b+c

.?.當(dāng)a+Hc+存0時(shí),由等比性質(zhì)可得，

券3（a+b管+c+a奔）,

k_2(a+b+c+d)_2.

3(a+b+c+d)3'

當(dāng)a+b+c+d=0時(shí),b+c+d=-a,

,2a2a小

=『2；

當(dāng)4時(shí)，k2_3k_4=(I)-3x|-4=-Y

當(dāng)k=-2時(shí)，1-3k—4=(—2)2-3x(-2)-4=6.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

題型06理解黃金分割的概念

［例6］（2023.上海楊浦?統(tǒng)考一模）已知P是線段4B的黃金分割點(diǎn)，且4P>BP,那么下列等式能成立的是

)

AABAPnABBP

A.—=—B.—=—

APBPBPAP

-APV5-1-ABV5-1

c.——=----D.—=----

BP2AP2

【答案】A

【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是

掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì).

【詳解】解：如圖,

p

A1--------------1---------、R

???點(diǎn)尸是線段ZB的黃金分割點(diǎn)，取P>BP,

,AP_PB_V5-1

*"AB~AP~2'

故選：A.

【變式6-1]（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí).如圖是古希臘時(shí)期的帕提農(nóng)

神廟（ParthenonTemple）,我們把圖中的虛線表示為矩形4BCD,并發(fā)現(xiàn)2D：DC~0.618,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

中的（）

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案.

【詳解】解：-.AD-.DCx0.618,

，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割；

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為0.618是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2023四11成都校考三模）已知點(diǎn)C為線段28的黃金分割點(diǎn)，AC>.若2C=6cm,則4B的

長為cm.

【答案】3V5+3/3+3V5

【分析】利用黃金比例列出方程解答即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)C為線段48的黃金分割點(diǎn)，

ACV5-1

布=丁，

6V5-1

?,?布=丁，

AB=3A/5+3.

故答案為：3而+3.

【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，正確應(yīng)用黃金比是解答本題的關(guān)鍵.

題型07黃金分割的實(shí)際應(yīng)用

［例7］（2023?云南昆明統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足受=宇，那么矩形ABC。叫做，黃金矩形"如圖，

DCZ

已知矩形4BCD是黃金矩形，對角線AC,BD相交于。且BC=2,則關(guān)于黃金矩形力BCD,下列結(jié)論不正確的

是（）

C.4C=8-2V5D.矩形力BCD的周長C=245+2

【答案】C

【分析】計(jì)算得出AB-V5-1,根據(jù)矩形的性質(zhì)求得各項(xiàng)，即可判斷.

【詳解】解：?噂=第，且BC=2,

DCZ

.'.AB=V5—1,

1.四邊形4BCD是矢巨形,

.'.XC=BD,故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

FAOB=:S矩形4BCD=：X2X（痛—1）=等，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

■-AC=J（V5-l）2+22=710-2V58-2V5,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；

，矩形4BCD的周長C=2（V5-1+2）=2乘+2,故選項(xiàng)D正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)C是線段4B的黃金分割點(diǎn)，即整=當(dāng),

若￡表示以C4為一邊的正方形的面積，S2表示長為4B，寬為CB的矩形的面積，則￡與S2的大小關(guān)系是（）

41-----------d~I5

卜

A.S1>S2B.Si<S2C.Si=S2D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù):=浣得出4c2=AB-BC,根據(jù)Si=4C2,S2=AB?BC,得出Si=S2.

【詳解】解：1?點(diǎn)C是線段4B的黃金分割點(diǎn)，即:=祟

.-.AC2=AB-BC,

2

-：S1=AC,S2^AB-BC,

=S2,故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是根據(jù)第=%導(dǎo)出AC?=AB-BC.

【變式7-2]（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）

的高度比，等于下部與全部的高度比（即爺=普），可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度4B為

DCAD

25的雕像，則該雕像的下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)為m.（結(jié)果保留根號）

A

【答案】（武-1）

【分析】雕像上部（腰部以上后下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度匕&即5=2,

￡>CAD

設(shè)ac=x,根據(jù)比例即可求解.

【詳解】解：?雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，

設(shè)AC=x,則=2—x,

.x_2-x

''2-X-2，

解分式方程得，*=3+逐＞2（舍去）或x=3-V5,

檢驗(yàn)，當(dāng)久=3-近時(shí)，原分式方程有意義，

.'.X=3—V5,即4C=3—V5,

：.BC=2-（3-V5）=V5-l,

，該雕像的下部設(shè)計(jì)高度為（遍-l）m,

故答案為：（Vs—1）.

【點(diǎn)撥】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質(zhì)，解比例方程是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3】（2023?江西鷹潭?統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格

的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值、我們知道：如圖1,如果與=*,那么稱點(diǎn)C為線

ACAB

段48的黃金分割點(diǎn).

I_________I______I

ACB

圖1圖2圖3

⑴【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,請直接寫出CB與力C的比值是___________；

⑵【尺規(guī)作黃金分割點(diǎn)】如圖2,在Rt△力BC中/C=90。，BC=1,AC=2,在BA上截取BD=8C,在

北上截取4E=AD,求浜勺值；

（3）【問題解決】如圖3,用邊長為4的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形4BDE得折痕MN,連接EN,

點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)得折痕CE,試說明：C是A8的黃金分割點(diǎn).

【答案】⑴亨

(3)見解析

【分析】(1)由第=祭得到CB.AB=AC2,由4B=AC+CB,代入后整理得到償了+監(jiān)一1=0,解方

程即可得到答案；

(2)在Rt△力BC中,ZC=90°,BC=1,AC=2，由勾股定理得,AB=V5，由8D=BC=1得到4D=AB-

=V5-1,貝(ME=AD=45-1,即可得到胎的值；

(3股EC與MN相交于點(diǎn)尸作PQ1EN于點(diǎn)。，由MN||AB,MN=AB，且M為4E的中點(diǎn)得到笠=^=|,

/IC/1cZ

EM^^AE=2，可得到PQ=MP=^AC，設(shè)PQ=MP=^AC=x，則PN=4-x，由勾股定理得到EN=2層,

由si"N"^=算導(dǎo)到￡=親，解得比=擊-1,則"=2逐-2,求聯(lián)=早，冷亨，即

可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：?隼=算,

：.CBAB=AC2,

'.'AB=AC+CB,

：.CB-{AC+CB)=AC2,

整理得，CB2+CB-AC-AC20,

兩邊同除以4c2得，償丫+^-1=0,

解得與=亨，華=手(不合題意，舍去)，

ZALZ

，CB與AC的比值是早，

故答案為：亨

(2)在Rt△力BC中,ZC=90°,BC=1,XC=2,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=V22+I2=V5,

：BD=BC=1,

:.AD=AB-BD=居一],

：.AE=AD=V5-1,

.AE_V5-1

*'AC~2'

即胎的值為亨;

(3)設(shè)EC與MN相交于點(diǎn)P,作PQ1EN于點(diǎn)。，

-：MN||AB,MN=AB,且M為2E的中點(diǎn),

MPEM1L,“14Lr

—=—=-,EM=-AE=2,

ACAE22

平分入4EN,

：.PQ=MP=^AC,

設(shè)PQ=MP=1AC=x,

貝|]PN=MN-PM=4-x,

-：EN=>JEM2+MN2=V22+42=2V5,

..LATH/PQEM

..smZ.ENM=一=一,

PNEN'

,x_2

''4-x-2A/5'

解得％=V5-1z

經(jīng)檢驗(yàn)％=V5-1是分式方程的根，

..AC=2x=2V5—2,

.AC_2V5-2_V5-1

*'AB~4~2'

BC_4-（2尺2）_%-]

AC-2V5-2-2'

,BC_AC_V5-1

*'AC~AB~2'

??.C是48的黃金分割點(diǎn).

【點(diǎn)撥】此題考查了平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、

解方程等知識(shí)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式7-4】(2023?湖北孝感?校考模擬預(yù)測)閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，

即：點(diǎn)P是線段獨(dú)上一點(diǎn)(AP>BP),若滿足籌=會(huì),則稱點(diǎn)P是4B的黃金分割點(diǎn).黃金分割在我們的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

⑴應(yīng)用：如圖1,若點(diǎn)C是線段4B的黃金分割點(diǎn)(4C>5C),若AB=1,貝必。的長為.

⑵運(yùn)用：如圖2,已知等腰三角形28C為“黃金三角形"，28=4C,乙4=36°為乙4BC的平分線.求證：

點(diǎn)。是力C的黃金分割點(diǎn).

(3)如圖3中，4B=AC,乙4=36。，BF平分乙4BC交力C于F,取4B的中點(diǎn)E,連接EF并延長交BC的延長線

于M.BC=1,請你直接寫出CM的長為.

【答案】⑴亨

(2)證明見解析

⑶…

【分析】(1)設(shè)"=a,貝=l-a,根據(jù)黃金分割的含義可得：:=也即"2=BC-AB,再解方程

即可；

(2)證明△CBDCAB,推出號=，推出累=與,可得結(jié)論.

￡5C/ICAU/1C

(3)如圖，連接力M，同理可得：4力BC=AACB=72°,Z1=Z2=36°=^BAC，可得4F=BF=BC=1,

證明ME1AB,MB=MA,zLCAM=72°-36°=36°=Z.BAC,可得C是BM的黃金分割點(diǎn)，S.BC<CM,

可得蕓=穿，設(shè)CM=x,再解方程可得答案.

CMBM

【詳解】(1)解：.?點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)(AC>BC),AB=1,

設(shè)ZC=a,貝！=1—a,

,gpxc2=BC-AB,

.'.a2=1—a,

:.心+。—1=0,

解得：a=誓(負(fù)根舍去)，

：.AC=生；

(2)證明：［ZB=AC,^A=36°,

：.^ABC=ZC=72°,

又?:BD平分4ABC,

1

：.^ABD=乙CBD=-Z.ABC=36。，

2

:ZBDC=36°+36°=72°z

：.AD=BD,BC=BD,即AD=BD=BC,

又「乙。=Z-C,Z-CBD—Z-A,

:△CBDCAB,

.CD_BC

BC-AC'

,CD_AD

AD-AC

點(diǎn)是4c的黃金分割點(diǎn).

(3)如圖，連接AM,

同理可得：zXBC=^ACB=72°,N1=42=36°=^BAC,

：.AF=BF=BC=1,

曾為4B的中點(diǎn),AF=BF,

：.ME1AB,

.'.MB=MA,

圖3

S./-ABM=^BAM=72°,^AMB=36。，

：.ACAM=72°-36°=36°=A.BAC,

同理可得C是的黃金分割點(diǎn)，且BC<CM,

BCCM%、a

：.—=—,設(shè)

CMBM'xCM=%',

?-=—

x1+x'

整理得：/一x一i=（J,

解得：”=等（負(fù)根舍去），

：.CM=—.

2

【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的含義，相似三角形的

判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-5］（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.如

圖①，點(diǎn)C把線段48分成兩部分