2025屆中考復習日拱一卒,功不唐捐3/1012025屆中考復習專題：八類最值問題匯總總覽總覽題型解讀模塊一：將軍飲馬等8類常見最值問題 2【題型1】兩定一動型（線段和差最值問題） 8【題型2】雙動點最值問題（兩次對稱） 10【題型3】動線段問題：造橋選址（構造平行四邊形） 11【題型4】垂線段最短 12【題型5】相對運動平移型將軍飲馬 14【題型6】化斜為直，斜大于直 15【題型7】構造二次函數模型求最值 17【題型8】通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬 18模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問題 20【題型1】胡不歸模型·已有相關角直接作垂線 20【題型2】胡不歸模型·構造相關角再作垂線 22模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問題 23【題型1】兩定點在圓外：向內取點（系數小于1） 24【題型2】兩點在圓內：向外取點（系數大于1） 27【題型3】一內一外提系數 28【題型4】隱圓+阿氏圓 29模塊四：線段拼接最值問題（逆等線模型） 30【題型1】平移，對稱或構造平行四邊形 33【題型2】構造SAS型全等拼接線段 34【題型3】加權逆等線 36【題型4】取到最小值時對其它量進行計算 38模塊五：構造旋轉相似求最值（瓜豆模型） 40【題型1】構造中位線 48【題型2】直線型軌跡（三種解題策略） 50【題型3】線段和 52【題型4】圓弧型軌跡 53【題型5】加權線段和 55【題型6】路徑長度類問題 56【題型7】取到最值時求其它量 57模塊六：費馬點最值問題 58【題型1】普通費馬點最值問題 65【題型2】加權費馬點·單系數型 68【題型3】加權費馬點·多系數型 69模塊七：隱圓最值問題 71【題型1】定點定長得圓 76【題型2】直角的對邊是直徑 77【題型3】對角互補得圓 79【題型4】定弦定角得圓 80【題型5】四點共圓 81【題型6】相切時取到最值 82【題型7】定角定高面積最小、周長最小問題 83【題型8】米勒角（最大張角）模型 85模塊八：二次函數中的最值問題 86一題可破萬題山——二次函數最值常見模型小結，一題20問 86【題型1】鉛垂高最值 96【題型2】構造二次函數模型求最值 98【題型3】幾何構造求最值 100題型題型匯編知識梳理與常考題型模塊一：將軍飲馬等8類常見最值問題一、單動點問題【問題1】在直線l上求一點P，使PA＋PB最小問題解決：連接AB，與l交點即為P，兩點之間線段最短PA＋PB最小值為AB 【問題2】在直線l上求一點P，使PA＋PB最小問題解決：作B關于l的對稱點B'?PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當A，P，B'共線時取最小，原理：兩點之間線段最短，即PA＋PB最小值為AB' 【問題3】在直線l上求一點P，使|PA－PB|最大問題解決：連接AB，當A，B，P共線時取最大原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【問題4】在直線l上求一點P，使|PA－PB|最大問題解決：作B關于直線l的對稱點B'?PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、雙動點問題（作兩次對稱）【問題5】在直線，上分別求點M，N，使△PMN周長最小問題解決：分別作點P關于兩直線的對稱點P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：兩點之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''的長 【問題6】P，Q為定點，在直線，上分別求點M，N，使四邊形PQMN周長最小問題解決：分別作點P，Q關于直線，的對稱點P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：兩點之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段P'Q'的長，周長最小值為P'Q'＋PQ 【問題7】A，B分別為，上的定點，M，N分別為，上的動點，求最小值問題解決：分別作，關于，的對稱點，，則，，即所求原理：兩點之間距離最短，A'，N，M，B'共線時取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、動線段問題（造橋選址）【問題8】直線m∥n，在m，n上分別求點M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值問題解決：將點B向上平移MN的長度單位得B'，連接B'M，當AB'M共線時有最小值原理：通過構造平行四邊形轉換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【問題9】在直線l上求兩點M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值問題解決：將B點向左移動a個單位長度，再作B'關于直線l的對稱點B''，當共線有最小值原理：通過平移構造平行四邊， 四、垂線段最短【問題10】在直線，上分別求點A，B，使PB＋AB最小問題解決：作關于的對稱點，作于A，交于B，即所求原理：點到直線，垂線段最短，五、相對運動，平移型將軍飲馬【問題11】在直線l上求兩點M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 問題解決：相對運動或構造平行四邊形策略一：相對運動思想過點A作MN的平行線，相對MN，點A在該平行線上運動，則可轉化為普通飲馬問題策略二：構造平行四邊形等量代換，同問題9.六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡【問題12】如圖，點P在直線BC上運動，將點P繞定點A逆時針旋轉90°，得到點Q，求Q點軌跡？ 問題解決：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．原理：由手拉手可知，故,故Q點軌跡為直線七、化斜為直，斜大于直【問題13】已知：是斜邊上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 問題解決：取BC中點M，（1）則；（2）八、構造二次函數求最值這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復雜，需要通過面積法或者構造全等、相似建立等量關系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個二次函數或者換元后是一個二次函數，然后通過配方得到最值．【問題14】正方形的邊長為6，點在邊上，且，是邊上一動點，連接，過點作交邊于點，設的長為，則線段長度的最大值為.問題解決：根據題意，作出圖形，根據兩個三角形相似的判定得到，進而根據相似比得到，利用二次函數求最值方法求解即可得到答案【詳解】易知，，，，∴，，∴，，在時有最大值，最大值為【題型1】兩定一動型（線段和差最值問題）【例題1】透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【例題2】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上．頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（1，0），且∠AOB=30°點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．【鞏固練習1】如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【鞏固練習2】如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發向右運動，速度為每秒，點在直線上，從點出發向右運動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．

【鞏固練習3】探究式子的最小值.小胖同學運用“數形結合”的思想：如圖，取，作于．于，且，，點在上，設，則，于是，，，因此，可求得的最小值為，已知，則的最大值是．

【題型2】雙動點最值問題（兩次對稱）【例題1】四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當三角形AMN周長最小時，∠MAN的度數為。【例題2】如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點，當的周長最小時，°．【鞏固練習1】如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點，M為BC上一點，N為CD上一點，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為。【鞏固練習2】如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為．

【鞏固練習3】如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是．

【題型3】動線段問題：造橋選址（構造平行四邊形）【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，已知，在x軸上取兩點C，D（點C在點D左側），且始終保持，線段在x軸上平移，當的值最小時，點C的坐標為．【例題2】如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為．【鞏固練習1】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為．【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為．【題型4】垂線段最短【例題1】如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點A為射線OM上一點，OA＝4，點E，F別為射線OP，OM上的動點，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_________．MMFOAENP【例題2】如圖，在中，，，，，平分交于點，點、分別是、邊上的動點，則的最小值為．

【鞏固練習1】如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為．【鞏固練習2】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內，點N為線段CE上的動點，過點N作NP∥EM交MC于點P，則MN＋NP的最小值為_________．MMDCBAPNE【鞏固練習3】如圖，在矩形中，于點，，，、分別是、上的動點，則的最小值為．

【題型5】相對運動平移型將軍飲馬【例題1】如圖，在矩形中，，把邊沿對角線平移，點分別對應點，的最小值為．

【例題2】如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M為對角線BD上一點（M不與點B、D重合），過點MN∥CD，使得MN＝CD，連接CM、AM、BN，連接AN，則AM＋AN的最小值是________．

【例題3】如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且．

將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，在拋物線平移過程中，當的值最小時，新拋物線的頂點坐標為______，的最小值為______．【鞏固練習1】如圖，已知點P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x軸上滑動時，PA+PB的最小值是。【鞏固練習2】如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是。【鞏固練習3】如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC沿直線AC翻折，得到△AB′C，再將△AB′C在直線AC上平移，得到△A′B″C′，則△BB″C′的周長的最小值為。【題型6】化斜為直，斜大于直【例題1】如圖，直線，分別為直線上的動點，連接，線段交直線于點．設直線與之間的距離為m，直線與之間的距離為n，若，，且，則m＋n的最大值為_____．【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，點P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，則的最大值是．【鞏固練習1】如圖，等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，則CE的最大值為_________．AAFBDEC【鞏固練習2】如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段PQ長度的最小值為。【鞏固練習3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是邊AB上一動點，Q是邊BC上一動點，且始終有∠CPQ＝90°，則線段CQ長的取值范圍為.【鞏固練習4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC邊上一動點，過點D作DE⊥BD交AB于點E．當點D從點A運動到點C時，AE的最大值為_________，點E運動的路徑長為_________．CCDBEA【題型7】構造二次函數模型求最值【例題1】如圖，點，，P為x軸上一動點，將線段繞點P順時針旋轉90°得到，連接．則的最小值是【例題2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是，△BDE面積的最大值為．【鞏固練習1】如圖，中，，，為中點．、是邊、上的動點，從出發向運動，同時以相同的速度從出發向運動，運動到停止．當為時，的面積最大．【鞏固練習2】如圖，△ABC和△ABD是兩個全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分別是邊AC、AD上的動點，且始終保持PC＝QA，連接PQ交AB于點M，則AM長度的最大值為_____________．AABDCQPM【鞏固練習3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點P是對角線AC上一點，AP＝EQ\F(1,4)AC，過點P的直線分別交邊AB、AD于點E、F，連接CE、CF，則四邊形AECF的面積的最小值為___________．AADFCBEP【鞏固練習4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，點D是AB邊上的一個動點，連接CD，以CD為邊向上作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值為___________．EEFBCDA【題型8】通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬【例題1】在中，斜邊，，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．【例題2】如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【鞏固練習1】等邊邊長為6，是中點，在上運動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為．【鞏固練習2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問題胡不歸模型講解如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1＜V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小． ，記，即求BC＋kAC的最小值．構造射線AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．將問題轉化為求BC＋CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．【題型1】胡不歸模型·已有相關角直接作垂線【例題1】如圖，，，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為．【例題2】如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點．

（1）°；（2）的最小值為．【例題3】如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是．

【鞏固練習1】如圖，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．【鞏固練習2】如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

【鞏固練習3】如圖，二次函數與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為．點P為直線l上一動點，另一點從C出發，先以每秒2個單位長度的速度沿運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿運動到點A停止，則時間最短為秒．【題型2】胡不歸模型·構造相關角再作垂線【例題1】如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

【例題2】如圖，，，，點為上一點，連接，則的最小值為3．【鞏固練習1】如圖所示，在中，，M為線段上一定點，P為線段上一動點．當點P在運動的過程中，滿足的值最小時，則．【鞏固練習2】如圖，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8【鞏固練習3】如圖，是圓的直徑，，弧，點是弦上的一個動點，那么的最小值為A． B． C． D．【鞏固練習4】如圖，在中，，，，點是斜邊上的動點，則的最小值為.

模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問題阿氏圓模型講解【模型來源】所謂阿圓，就是動點到兩定點距離之比為定值，那么動點的軌跡就是圓，這個圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿圓．其本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構造母子相似．【模型建立】如圖1所示，⊙O的半徑為R，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知R＝OB，連接PA、PB，則當“PA＋PB”的值最小時，P點的位置如何確定？解決辦法：如圖2，在線段OB上截取OC使OC＝R，則可說明△BPO與△PCO相似，則有PB＝PC。故本題求“PA＋PB”的最小值可以轉化為“PA＋PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA＋PC”值最小。【題型1】兩定點在圓外：向內取點（系數小于1）【例題1】如圖，在中，，，，圓的半徑為2，點為圓上一動點，連接，．求①；②；③；④的最小值．【例題2】如圖，正方形ABCD邊長為2eq\r(2)，內切圓O上一動點P，連接AP、DP，則AP+eq\f(eq\r(2),2)PD的最小值為______．【例題3】如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．【鞏固練習1】如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．【鞏固練習2】如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．【鞏固練習3】如圖，等邊三角形ABC邊長為4eq\r(3)，圓O是△ABC的內切圓，P是圓O上一動點，連接PB、PC，則BP＋eq\f(1,2)CP的最小值為______________．【鞏固練習4】如圖，在平面直角坐標系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，點P為以OA為半徑的圓O上一動點，則PM＋eq\f(1,2)PN的最小值為_______________【鞏固練習5】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．

【題型2】兩點在圓內：向外取點（系數大于1）【例題1】如圖，∠AOB=90°，OA=OB=1，圓O的半徑為eq\r(2)，P是圓O上一動點，PA+eq\r(2)PB的最小值為________．【鞏固練習1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD上一點，2PA+PB的最小值為________．【鞏固練習2】如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【題型3】一內一外提系數【例題1】如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．【鞏固練習1】如圖，正方形邊長為4，是的中點，在上，的最大值是，的最小值是【題型4】隱圓+阿氏圓【例題1】如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

【例題2】如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應，連接，則的最小值為．

【鞏固練習1】如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為．【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，、、、，是外部的第一象限內一動點，且，則的最小值是 ．【鞏固練習3】如圖，在平面直角坐標系中，、、、，點P在第一象限，且，則的最小值為．

模塊四：線段拼接最值問題（逆等線模型）一、什么是逆等線段。兩個動點分別在直線上運動，且它們各自到某一定點的距離始終相等,那么這兩條始終相等的線段稱為逆等線段。二、解題步驟:1.找三角形。找一條逆等線段，一條動線段構成的三角形。(圖中本身就有的三角形，不要添加輔助線以后構成的三角形)2.確定該三角形的不變量。在動點移動過程中，該三角形有一個邊長度不變，有一個角的大小不變。3.從另一逆等線段的定點引一條線。使得線段長度等于第二步中的那個不變的邊長，與這個逆等線段的夾角等于第二步中那個不變的角。4.問題轉化為將軍飲馬問題求最值。【模型解讀】△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么別扭怎么來。一般情況下，題目中有兩個沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動，也歸為逆等線問題。觀察圖形，我們很容易發現，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方法構造全等三角形來實現線段轉移，從而使逆等線段產生關系，最終解決問題。

這樣解釋很籠統很枯燥，我們以具體例題來描述如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，求CD+BE的最小值。分析思路：①AD在△ADC中，那么我們就以CD為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等。②即過點C作CF//AB，且CF=AC。（構造一邊一角，得全等）③構造出△ADC≌△CEF(SAS),證出EF=CD④CD+BE=EF+BE，根據兩點之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求此時，B、E、F三點共線，本題中，也可以利用三角形三邊關系去求最值⑤求BF【題型1】平移，對稱或構造平行四邊形【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，點E是邊AD上的一個動點，過點E作EF⊥AC，分別交對角線AC，直線BC于點O，F，則在點E移動的過程中，AF＋FE＋EC的最小值為_________．AADBCFEO【鞏固練習1】如圖，在矩形ABCD中，，，點P在邊AD上，點Q在邊BC上，且，連接CP，QD，則的最小值為．【鞏固練習2】如圖，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結，則的最小值為．

【鞏固練習3】如圖，正方形的邊長為2，是的中點，是上的動點，過點作分別交，于點，．（1）的長為；（2）的最小值為．【題型2】構造SAS型全等拼接線段【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq\r(,3)，點E、F分別是對角線AC和邊CD上的動點，且AE＝CF，則BE＋BF的最小值是___________．DDABCEF【例題2】如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當的值最小時，的長為．【鞏固練習1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分別是AC、AB上的動點，且AD＝BE，F是BC的中點，則BD＋EF的最小值為___________．AABCDEF【鞏固練習2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為邊BC上一點，AE＝AD，M、N分別為線段AE、BE上的動點，且AM＝EN，連接DM、DN，則DM＋DN的最小值為___________．AABCDNEM【鞏固練習3】如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為___________．AADBCEF【鞏固練習4】如圖，在平面直角坐標系中，等腰三個頂點在坐標軸上，，點D，E分別為上的兩個動點，且．當的值最小時，則點D的坐標為．【鞏固練習5】如圖，點是正方形內部一個動點，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【鞏固練習6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分別是AC，AB上的動點，且AD＝BE，連結BD，CE，則BD+CE的最小值為．【題型3】加權逆等線【例題1】如圖，在中，，，．D，E分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【例題2】如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=DF，當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．【例題3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．

【鞏固練習1】如圖，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E為BC邊上一動點，連接AE，D點在AB延長線上，且CE＝2BD，則AE＋2CD的最小值為________【鞏固練習2】如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分別是BD，BC上的一動點，且BF＝2DE，則AF+2AE的最小值是。【鞏固練習3】如圖，等腰直角△ABC中，斜邊BC=2，點D、E分別為線段AB和BC上的動點，，求的最小值.【題型4】取到最小值時對其它量進行計算【例題1】如圖，已知直線AB：y＝分別交x軸、y軸于點B、A兩點，C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動點，BE交y軸于點H，且AD＝CE．當BD+BE的值最小時，則H點的坐標為________【例題2】如圖（1），在中，，，邊上的點從頂點出發，向頂點運動，同時，邊上的點從頂點出發，向頂點運動，，兩點運動速度的大小相等，設，，關于的函數圖象如圖（2），圖象過點，則圖象最低點的橫坐標是．【鞏固練習1】如圖，為等邊的高，M、N分別為線段上的動點，且，當取得最小值時，．【鞏固練習2】如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動．確定當兩只電子烏龜到B點距離之和PB+QB最小時，∠PBQ的度數為．【鞏固練習3】如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，點M，N分別為CB，CA上的動點，且始終保持BM＝CN，則當AM+BN取最小值時，CN＝ ．模塊五：構造旋轉相似求最值（瓜豆模型）初中階段如遇求軌跡長度僅有2種類型：“直線型”和“圓弧型”（兩種類型中還會涉及點往返探究“往返型”），對于兩大類型該如何斷定，通常老師會讓學生畫圖尋找3處以上的點來確定軌跡類型進而求出答案，對于填空選擇題而言不外乎是個好方法，但如果要進行說理很多考生難以解釋清楚一、我們先來解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯動瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌跡相同．只要滿足：則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡長度的比和它們到定點的距離比相同。則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡長度的比和它們到定點的距離比相同。1、兩“動”，一“定”2、兩動點與定點的連線夾角是定角3、兩動點到定點的距離比值是定值【例題1】三種處理策略如圖，D、E是邊長為4的等邊三角形ABC上的中點，P為中線AD上的動點，把線段PC繞C點逆時針旋轉60°，得到P’，EP’的最小值【分析】結合這個例題我們再來熟悉一下瓜豆模型第一層：點P’運動的軌跡是直線嗎？ 答：是直線，可以通過P在A，D時，即始末位置時P’對應的位置得到直線軌跡，對于選填題，可找出從動點的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說理則需要構造手拉手證明.第二層：點P’的運動長度和點P的運動長度相同嗎？ 答：因為點P’與點P到定點C的距離相等，則有運動路徑長度相等，若要說理則同樣需要構造手拉手結構，通過全等證明.第三層：手拉手模型怎么構造？答：以旋轉中心C為頂點進行構造，其實只要再找一組對應的主從點即可，簡單來說就是從P點的軌跡即線段AD中再找一個點進行與P點類似的的旋轉，比如把線段AD中的點A繞C點逆時針旋轉60°，即為點B，連接BP’即可得到一組手拉手模型，雖然前面說是任意點，但一般來說我們選擇一個特殊位置的點進行旋轉后的點位置也是比較容易確定的，比如說點D進行旋轉也是比較方便． 第四層：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因為B為定點，所以得到P’軌跡為直線BP’第五層：點P和點P’軌跡的夾角和旋轉角的關系答：不難得出本題主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角，要注意的是如果旋轉角是鈍角，那么主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角的補角，這個在后面的例題中會出現.大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過找從動點的始末位置快速定位軌跡線段，或者通過構造手拉手，通過全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動點P’的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長得到最小值，那么還有其他方法嗎？答：還可以對關鍵點進行旋轉來構造手拉手模型，從而代換所求線段，構造如下．將點EC繞點C順時針旋轉60°，構造手拉手模型(SAS全等型)，從而得到P’E＝PG，最小值即為點G到AD的距離． 要注意的是因為要代換P’E，所以E點的旋轉方式應該是從P’P，所以是順時針旋轉，求軌跡時的旋轉方式則是PP’，注意區分.解析策略一：找從動點軌跡連接BP’，由旋轉可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCP’，∴△ACP≌△BCP’(SAS)，∴∠CBP’＝∠CAP，∵邊長為4的等邊三角形ABC中，P是對稱軸AD上的一個動點，∴∠CAP＝30°，BD＝2，∴∠CBP’＝30°，即點P’的運動軌跡為直線BP’，∴當DP’⊥BP’時，EP’最短，此時，EP’＝EQ\F(1,2)BD+ED＝+2＝3∴EP’的最小值是3策略二：反向旋轉關鍵點構造手拉手代換所求線段將點E繞C點順時針旋轉60°得到點G，連接PG，CG，EP’由旋轉可得EC＝CG，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°，∴△ECG是等邊三角形，EG＝2∵∠PCP’＝∠ECG∴∠PCG＝∠ECP’∴△GCP≌△ECP’(SAS)，∴EP’＝GP，過點G作AD的垂線GH垂足為H，GH即為所求．∵∠GEC＝∠ACD∴HE∥DC∵∠GHD＝∠ADC∴HG∥DC故G，E，H三點共線，則有HE∥DC又E是AC中點，分線段成比例可知H是AD中點∴HE＝∴EP’的最小值是3總共提到了3種處理方式：1.找始末，定軌跡2.在軌跡上找一點旋轉，構造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點軌跡.3.反向旋轉相關定點，構造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構造.【例題2】飲馬類瓜豆與加權線段和問題已知點，點B是直線y＝－2上一個動點，將線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到線段BC.角度1：反向旋轉構造手拉手（不用求從動點軌跡，直接轉換為垂線段最短）（1）求OC的最小值【簡析】如圖，構造等腰直角△AOE，由旋轉相似可知角度2：構造手拉手求從動點軌跡：（2）求的最小值【簡析】，求出C點軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點軌跡上取一點，構造旋轉相似，易知，可知C點軌跡為，作，，補充：此時加權線段和對應三邊之比 角度3：構造旋轉相似求加權線段和（3）記，①求的最小值；②求的最小值【簡析】①由旋轉相似可知，則②，補充：此時加權線段和對應相似比【瓜豆圓介紹】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點。當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=AO．Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；根據動點之間的數量關系分析軌跡圓半徑數量關系．【題型1】構造中位線【例題1】如圖，正方形的邊長是8，點E是邊的中點，連接，點F是線段上不與點D，E重合的一個動點，連接，點G是線段的中點，則線段的最小值為．

【例題2】如圖，正方形的邊長是8，點E是邊的中點，連接，點F是線段上不與點D，E重合的一個動點，連接，點G是線段的中點，則線段的最小值為．

【鞏固練習1】（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【鞏固練習3】如圖所示，，，以為底邊向上構造等腰直角三角形，連接并延長至點P，使，則長的取值范圍為________．【題型2】直線型軌跡（三種解題策略）【例題1】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【例題2】如圖，已知點，點B在y軸正半軸上，將線段繞點A順時針旋轉到線段，若點C的坐標為，則．

【鞏固練習1】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點,連接DP,將直線DP繞點P順時針旋轉,使∠1=∠2,且過點D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為 【鞏固練習2】如圖，在平行四邊形中，點E為射線上一動點，連接，將繞點B逆時針旋轉得到，連接，，，求的最小值．

【鞏固練習3】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．

【鞏固練習4】如圖，矩形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，將繞著點順時針旋轉到的位置，連接和，則的最小值為．

【鞏固練習5】如圖，在中，，，對稱軸交于點，點是直線上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，則長的最小值為．

【鞏固練習6】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【變式訓練】雙動點如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，F為AB邊上一點，連接EF，以EF為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG，則AG的最小值為．【題型3】線段和【例題1】如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．

【鞏固練習1】如圖，在矩形中，，，是邊上一點，，是直線上一動點，將線繞點逆時針旋轉得到線段，連接，，則的最小值是．【鞏固練習2】如圖，已知∠CAB＝30°，AB＝2，點D在射線AC上，以BD為邊作正方形BDEF，連接AE、BE，則AE＋BE的最小值為___________．CCABDEF【題型4】圓弧型軌跡【例題1】如圖，，為的中點，的半徑為1，點是上一動點，以為直角邊的等腰直角三角形（點、、按逆時針方向排列），則線段的長的取值范圍為． 【例題2】如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC【鞏固練習1】如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為．

【鞏固練習2】如圖，已知正方形的邊長為4，以點A為圓心，2為半徑作圓，E是上的任意一點，將線段繞點D順時針方向旋轉并縮短到原來的一半，得到線段，連接，則的最小值是．

【鞏固練習3】如圖，點P是正方形ABCD所在平面內一點，∠APB＝90°，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉90°得到線段DQ，連接AQ，若AB＝2，則線段AQ的最大值為___________．AADBCPQ【題型5】加權線段和【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點E為邊AD上一動點，以CE為邊向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，連接BE，BF，求BE＋的最小值．AADBCEF【鞏固練習1】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，），點P是x軸上的一動點，連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉120°得到AQ，連接OQ，PQ，求＋PQ的最小值．xxyOAPQ【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點C的坐標是，點是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【題型6】路徑長度類問題【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，動點E從點A運動到點D，以CE為邊在CE的右側構造正方形CEFG，連接AF，則AF的最小值為_________，點F運動的路徑長為_________．FFDAGCEB【鞏固練習1】如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑=，△CEF面積的最小值是．【鞏固練習2】如圖，在正方形中，，點E在邊上，且，點P為邊上的動點，連接，過點E作，交射線于點F，則．若點M是線段的中點，則當點P從點A運動到點B時，點M運動的路徑長為．

【題型7】取到最值時求其它量【例題1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當點P'落在邊BC上時，∠PP'C的度數為；當線段CP'的長度最小時，∠PP'C的度數為【鞏固練習1】如圖，線段，點是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，在的上方作，使，點為的中點，連接，當最小時，的面積為．

【鞏固練習2】如圖，在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AB的延長線上，且BE＝CD，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉120°得到DF，連接CF，當CF取得最小值時，求的值．AAFDCBE【鞏固練習3】如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數量關系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當的值最大時，求此時的值．模塊六：費馬點最值問題【常規費馬點】【問題提出】如圖△ABC所有的內角都小于120度，在△ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，當的值最小時，求此時∠APB與∠APC的度數.【問題處理】如圖1，將△ACP繞著點C順時針旋轉60度得到△A’CP’，則△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等邊三角形，∴PP’＝PC，PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，如圖2，當且僅當點B、P、P’、A’共線時，PA＋PB＋PC最小，最小值為A’B，此時∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°【問題歸納】如費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點．費馬點結論：對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，所以三角形的費馬點也叫三角形的等角中心；對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點．【如何作費馬點】如圖3，連接AA’，我們發現△ACA’為等邊三角形，點P在A’B上，同理，我們可以得到等邊△BAB’，點P也在CB’上，因此，我們可以以△ABC三角形任意兩邊為邊向外構造等邊三角形，相應連線的交點即為費馬點。（最大角小于120°時）【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內一點，求PA+PB+PC的最小值．【答案】【分析】如圖，以AC為邊構造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．至于點P的位置？這不重要！如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點D作DH⊥BA交BA的延長線于H點，根據勾股定理，即可得出結果．【練習1】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．【加權費馬點】如果所求最值中三條線段的系數有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權費馬點問題，解決方法類似，也是通過旋轉進行線段轉化，只不過要根據系數的情況選擇不同的旋轉或放縮方法。【類型一單系數類】當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，一種是旋轉特殊角度：對應旋轉90°，對應旋轉120°另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比【例3】在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內部一點，求的最小值【練習2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P為三角形ABC內部一點，求的最小值【類型二多系數類】其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉中心呢？我們總結了以下方法：1.

將最小系數提到括號外；2.

中間大小的系數確定放縮比例；3.

最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所在的三角形。【例3】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內部有一點P，連接，則（1）的最小值為________；（2）的最小值為________【簡答】（1）將最小系數提到括號外，得到中間大小系數為，故放大倍數為倍，最大系數在PC前面，故以點C為旋轉中心，旋轉△PBC．如圖1，將△PBC繞點C逆時針旋轉90°，并放大為倍，，．．（2）將最小系數提到括號外，得到，如圖2，將△APB繞點C逆時針旋轉90°，并放大為倍，，．【練習3】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內部有一點P，連接，則的最小值為________．【簡答】將△PAC繞點C順時針旋轉90°并放大2倍，得到，，，，，，由勾股定理可得，的最小值為.【題型1】普通費馬點最值問題【例題1】已知，在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝點P是△ABC內一動點，則PA＋PB＋PC的最小值為________【例題2】如圖，在中，，點為內部一點，則點到三個頂點之和的最小值是．【鞏固練習1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P是△ABC內一點，則的最小值為_________．CCABP【鞏固練習2】1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當的三個內角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）【鞏固練習3】背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當三個內角均小于120°時，費馬點P在內部，當時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點．請同學們探索以下問題．(2)如圖3，三個內角均小于120°，在外側作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．【題型2】加權費馬點·單系數型【例題1】已知，如圖在中，，，，在內部有一點D，連接DA、DB、DC．則的最小值是．【鞏固練習1】如圖，中，，，點P為內一點，連接，則的最小值為.【鞏固練習2】如圖，矩形中，，，點是的中點，點是邊上一動點．將沿著翻折，使得點落在點處，若點是矩形內一動點，連接、、，則的最小值為．

【題型3】加權費馬點·多系數型【例題1】在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內部一點，求3AP＋4BP＋PC的最小值【鞏固練習1】在邊長為4的正△ABC中有一點P，連接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）2的最小值【鞏固練習2】如圖，在中，，在內部有一點P，連接、、．（加權費馬點）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【鞏固練習3】在中，，，的角平分線交于，過作射線的垂線，垂足為，連接，當取大值時，在內部取點，則的最小值是．

模塊七：隱圓最值問題一、定點定長得圓在幾何圖形中，通過折疊、旋轉，滑梯模型得到動點的軌跡為繞定點等于定長的圓，從而畫出動點軌跡，并進行計算 二、直角的對邊是直徑前世：在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對的∠C=90°今生：若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則C在以AB為直徑徑的圓上．(此類型本來屬于定弦定角，但是因為比較特殊，故單獨分為一類) 三、對角互補前世：在⊙O上任意四點A，B，C，D所圍成的四邊形對角互補今生：若四邊形ABCD對角互補，則A，B，C，D四點共圓 四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一種變形形式，其依據是已知定角，則根據“同弧所對的圓周角相等”得到動點的軌跡為圓弧，再畫出對應圖形進行計算．前世：在⊙O中，若弦AB長度固定則弦AB所對的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓周角，需要根據題目靈活運用) 今生：若有一固定線段AB及線段AB所對的∠C大小固定，根據圓的知識可知C點并不是唯一固定的點，C在⊙O的優弧ACB上均可(至于是優弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則C在優弧上運動；等于90°，則C在半圓上運動；大于90°則C在劣弧運動)五、四點共圓模型 前世:在⊙O中，ABCD是圓的內接四邊形，則有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)今生:若四邊形ABCD中有∠1=∠2(通常情況下∠5=∠6對頂角相等，故不需要∠3=∠4，實際應用中長用∠1=∠2，∠5=∠6)則ABCD四點(某些不能直接使用四點共圓的地區，可以通過證明兩次三角形相似也可)，選填題可以直接使用六、定角定高（探照燈模型）什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則△ABC的面積有最小值。又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。 問題解決：如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會隨著A點的運動而發生變化的。從而弦BC的長也會發生變化，它會有一個最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面積就有一個最小值。所謂定角定高是指三角形的一條邊和這條邊上的高是定值．一般是考查直角三角形，此時我們可以取斜邊中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質及斜垂關系來解決面積最小值問題；通過構造平行線的對稱點來解決周長最小值的問題．這類問題都是在等腰時取得最小值．當定角不是直角時，通過構造平行線的對稱點來解決周長最小值的方法仍然適用，而面積最小值可以通過構造三角形的外心或外接圓來解決．七、米勒角（最大張角）問題【問題提出】己知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點P是邊OM上的動點，當P在何處時，∠APB最大?米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題.米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點P是邊OM上的一動點，則當且僅當三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點P時，∠APB最大。知識鋪墊：對于同一個圓來說，同弧所對的圓周角＞圓外角，即 問題解決證明：在直線l上任取一點Q（不與P點重合），連接AQ、BQ，∠AQB即為圓O的圓外角∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大，∴當圓與直線l相切時，∠APB最大【題型1】定點定長得圓【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E，F分別為AD、DC邊上的點，且EF=2，G為EF的中點，P為BC邊上一動點，則PA+PG的最小值為？【例題2】如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（）

A． B． C． D．【鞏固練習1】在矩形中，，將繞點B順時針旋轉α（）得到，連接，若的最小值為2，則的長為．

【鞏固練習2】如圖，正方形的邊長為10，點G是邊的中點，點E是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接．當最小時，的長是．【鞏固練習3】如圖，在矩形中，，動點在矩形的邊上沿運動．當點不與點重合時，將沿對折，得到，連接，則在點的運動過程中，線段的最小值為．

【題型2】直角的對邊是直徑【例題1】如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點E，F分別在邊AB，BC上，AE＝BF，連接DE與AF交于點G，連接BG，則BG的最小值為_________．CCBGDAEF【例題2】在中，，點分別是的中點，點是上的一個動點，連結，作交于點，連結．點從點向點運動的過程中，的最小值為．

【鞏固練習1】如圖，在中，，，為上的一個動點，以為直徑的與相切于點，交于點，則的最小值為．【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝6，OC＝4，點D是線段OA上的一個動點，連接CD，以CD為邊作矩形CDEF，使得邊EF經過點B，當點F到原點O的距離最大時，點F的坐標為___________．xxBAODCyEF【鞏固練習3】如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為．

【鞏固練習4】如圖，在矩形中，，，為邊上一動點，為中點，為上一點，，則的最小值為．

【題型3】對角互補得圓【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝__________.【例題2】（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，矩形ABCD中，∠BAC=60°，點E在AB上，且BE：AB=1：3，點F在BC邊上運動，以線段EF為斜邊在點B的異側作等腰直角三角形GEF，連接CG，當CG最小時，的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】如圖，點G是內的一點，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．【鞏固練習2】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為．【鞏固練習3】如圖，正方形的邊長為4，點E是邊上的動點，過點E作交于點F，點G在上，且，點M、N分別為、的中點，連接，則的最小值為．【題型4】定弦定角得圓【例題1】如圖，在邊長為的等邊中，動點在邊上（與點，均不重合），點在邊上，且，與相交于點，連接當點在邊上運動時，的最小值為．

【例題2】如圖，在△ABC中，BC＝2，點D是BC的中點，∠DAC＝45°，則AB2＋AC2的最大值為___________．DDBCA【鞏固練習1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點D為BC邊上一點，且BD＝3DC，若AD＝1，則△ABC的面積的最大值為____________．AABCD【鞏固練習2】如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC內一點，∠BPC＝120°，連接AP，則AP長的最小值為___________．AABCP【鞏固練習3】在菱形中，，點P是對角線上一動點，點Q是邊上一動點，與始終相等，連結，交點為E，連結，則的最小值是．【題型5】四點共圓【例題1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是BC邊上一動點，BE⊥AD交AD的延長線于點E，則EQ\F(DE,AD)的最大值為___________．CCABED【鞏固練習1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq\r(,3)，AD⊥AC交BC于點D，點E是AB邊上一動點，過A、D、E三點的圓交EC于點F，連接AF，則AF的最小值是___________．AABCEDF【鞏固練習2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，點D是BC邊上一點，BD＝2DC，點E、F分別是邊AB、AC上的動點，且∠EDF＝120°，連接EF，則線段EF長的最小值為___________．AABCDEF【題型6】相切時取到最值【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E是CD邊上一動點，BG⊥AE于點G，連接CG并延長交AD于點F，則AF的最大值為___________．AADBCEGF【鞏固練習1】如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當射線交線段于點P時，連接，則的面積為；的最大值為．

【鞏固練習2】△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現將△DCE繞點C旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段AF長度的最小值是．【鞏固練習3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，點D是BC邊上一動點，過點D作DE⊥AD，交AB于點E，則線段AE長度的最小值為_________．CCBDAE【題型7】定角定高面積最小、周長最小問題【例題1】如圖，點A是直線l外一點，AH⊥l于H，AH＝2，點B、C是直線l上的動點，且∠BAC＝90°，探究△ABC面積的最小值和周長的最小值，并說明理由．AABCHl【例題2】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，∠EAF＝60°，求△AEF面積的最小值．AADBCEF【鞏固練習1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．【鞏固練習2】如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的距離為2，點B、C是直線l上的兩個動點，且∠BAC＝30°，求線段BC長度的最小值．AABCHl【鞏固練習3】如圖，平面直角坐標系中，為原點，點、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點，在反比例函數的圖象上．的延長線交軸于點，的延長線交軸于點，連接．（1）求的度數及點的坐標；（2）的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由．【題型8】米勒角（最大張角）模型【例題1】如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，當∠DPM的度數最大時，則BP＝．【例題2】在直角坐標系中，給定兩點M（1，4），N（﹣1，2），在x軸的正半軸上，求一點P，使∠MPN最大，則P點的坐標為【鞏固練習1】如圖，A，B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個端點，點C表示射門點，連接AC，BC，則∠ACB就是射門角．在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進球的可能性就越大．球員甲帶球線路ED與球門AB垂直，D為垂足，點C在ED上，當∠ACB最大時就是帶球線路ED上的最佳射門角．若AB＝4，BD＝1，則當球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時DC的長度為（）A．2 B．3 C． D．【鞏固練習2】如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是米.【鞏固練習3】輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段，以為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；（2）如圖②，在中，，為邊上的高，若，試判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；（3）如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區域種植不同花草，在四邊形中，，，，點、分別為、上的點，若保持，那么四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由．模塊八：二次函數中的最值問題一題可破萬題山——二次函數最值常見模型小結，一題20問母題：如圖，已知拋物線過A（4，0）、B