2024-2025學年重慶市九龍坡區高三上學期10月月考數學檢測試題注意事項：1.答卷前，請考生先在答題卡上準確工整地填寫本人姓名、準考證號；2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂：非選擇題必須使用0.5mm黑色簽字筆答題；3.請在答題卡中題號對應的區域內作答，超出區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效；4.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀；考試結束后，將答題卡交回.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求出，圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合，寫出結果即可.【詳解】，由圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合.即圖中陰影部分表示的集合為.故選：A.2.設復數滿足，則（）A. B.1 C. D.【正確答案】B【分析】利用復數的除法算出復數，由模長公式計算.【詳解】復數滿足，得，則.故選：B.3.設等差數列的前項和為，且，則（）A.58 B.68 C.116 D.136【正確答案】B【分析】利用等差數列的通項公式結合前項和公式求解即可.【詳解】因為，所以即所以故選：B.4.遺忘曲線由德國心理學家艾賓浩斯研究發現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規律，某同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經過的時間（小時）的大致關系：，則記憶率為20%時經過的時間約為（）（參考數據：，）A.80小時 B.90小時 C.100小時 D.120小時【正確答案】C【分析】根據題設得到，兩邊取對數求解，即可得出結果.【詳解】根據題意得，整理得到，兩邊取以10為底的對數，得到，即，又，所以，得到，故選：C5.在平行四邊形中，點，，分別滿足，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以為基底，根據向量的加法、減法、數乘運算求解即可.【詳解】由題意，如圖，，故選：A6.已知函數，若正實數，滿足，則的最小值為（）A B.7 C. D.【正確答案】D【分析】判斷函數的奇偶性單調性，據此可得，再由基本不等式求最值即可.【詳解】因為，所以函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以為奇函數，且易知在上單調遞減，又，即所以，即，，當且僅當即時等號成立，故選：D7.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用誘導公式與兩角和的余弦公式化簡已知條件等式得，根據角的范圍與函數值的大小比較得，從而得到，然后利用兩角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.【詳解】由，得，則，由為銳角，則，又，，故，所以，由二倍角余弦公式得，則.又為銳角，所以，故.故選：C.8.已知函數，若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】問題等價于恒成立，不妨令，求出即可得實數的取值范圍.【詳解】當，恒成立，，即恒成立.不妨令，則設，有，，當時，，在上單調遞增，有，所以時，，當且僅當時等號成立.故，當且僅當，即時上式取得等號，由對數函數和一次函數的圖象和性質可知，方程顯然有解，所以，得.故選：B.方法點睛：問題等價于恒成立，由，利用，得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，滿足，，，則（）A. B.當時，C.當時， D.在上的投影向量的坐標為【正確答案】BC【分析】根據向量坐標運算及模的定義判斷A，根據平行可得坐標關系判斷B，根據垂直向量的數量積為0判斷C，根據向量的投影向量的概念判斷D.【詳解】對A，，所以，故A錯誤；對B，當時，，即，故B正確；對C，，由可得，即，故C正確；對D，在上的投影向量為，故D錯誤.故選：BC10.已知函數，，定義域均為，下列說法正確的是（）A.函數與有相同的最小正周期B.若函數在上單調遞增，則的最小值為C.當，的圖象可以由函數的圖象向右平移個單位得到D.當時，若方程在區間內的解為，，則【正確答案】ABD【分析】根據正余弦型函數周期判斷A，根據正弦型函數的單調性判斷B，根據圖象平移判斷C，根據正弦型函數的對稱性及誘導公式判斷D.【詳解】對A，周期均為，故A正確；對B，時，，由在上單調遞增，所以，解得，故B正確；對C，當時，，函數y=fx的圖象向右平移個單位得到，故C錯誤；對D，當時，，即，由可知，因為，且，所以由正弦函數性質可知，即，所以，即，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數與及其導函數f'x與的定義域均為.若為奇函數，，，則（）A. B.C.曲線y=f'x關于點12【正確答案】ACD【分析】對A，賦值法令和計算即可；對B，易知f'x為偶函數，不能確定；對C，運用已知條件推出關于中心對稱，進而得到關于中心對稱；對D，由f'x為偶函數得f'x周期為2，結合條件得到，求出，進而求.【詳解】對于A，令，令，則，A正確；對于B，為奇函數，則f'x為偶函數，則求不出，故B錯誤；對于C，，又，則，則關于中心對稱.，結合函數圖象平移，關于中心對稱，C正確；對于D，由于f'x為偶函數，結合C所得對稱中心，知f'x周期為2，且又則，且，，則D正確.故選：ACD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則______________.【正確答案】【分析】利用分段函數解析式分別代入計算可得結果.【詳解】根據分段函數性質可得，由可得，即故13.育才中學研究性學習小組為測量如圖所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三點，，處測得雕塑頂端處仰角均為，且，，則該雕塑的高度為______________m．【正確答案】【分析】由題可得，，由正切函數定義得出，進而得出點為的外心，根據已知條件及余弦定理，正弦定理即可求解．【詳解】由題可知，，，設，在中，，所以，同理可得，所以點為的外心，且外接圓半徑為，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，則，所以該雕塑的高度為，故．14.已知函數，則函數的零點個數是______________.【正確答案】112【分析】作出的圖象，換元后，先考慮方程根的個數及根所在范圍，再由數形結合求原函數零點的個數.【詳解】作出的圖象，如圖，令，考慮方程的根，由圖象可知有16個根，分別設為，由圖象知，，再考慮，分別作出直線，可知原函數共有零點個.故112關鍵點點睛：本題的關鍵點一個是作出函數的圖象，再一個就是通過換元結合圖象先求出方程的根的個數及范圍，最后再由數形結合確定原函數零點個數.四、解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知正項等差數列滿足：且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足：，，求數列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用已知，，成等比數列，用等差數列基本量列方程并求解，再由等差數列通項公式可得結論；（2）分別利用等差與等比數列求和公式分組求和法可得結論.【小問1詳解】設正項等差數列an的公差為，則，由成等比數列，得，則，又，即，解得（舍），或.所以.數列an的通項公式為.【小問2詳解】由題意得，，則，且，故bn是以為首項，為公比的等比數列，則，.故數列的前項和為.16.心流是由心理學家米哈里提出的概念，指人們在進行某項活動時，完全投入并享受其中的狀態.某中學的學習研究小組為設計創新性學習活動，隨機抽取了100名學生進行調研，男生與女生的人數之比為3：2，其中女生有35名自述活動過程中體驗到心流，男生有15名沒有體驗到心流.心流無心流總計女生35男生15合計100（1）完成2×2列聯表，依據表中數據，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生在創新性學習活動中是否體驗到心流與性別有關？（2）在體驗到心流的學生中，有，兩名同學表示特別喜愛這種創新性學習活動，希望參加到進一步的學習中，在接下來的進一步學習中，研究小組將每次從體驗到心流的學生中不放回的隨機抽名同學參加，記抽取兩次后抽中或的概率為，當為何值時最大？請證明你的結論.參考公式：，其中.參考數據：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【正確答案】（1）答案見解析（2）當時，最大.【分析】（1）先計算，得到列聯表，再求出卡方值，再判斷即可；（2）先求出，再根據階乘公式化簡得到，作差比較大小得到，則為增函數，運用函數單調性可得到答案.【小問1詳解】因為調查的女生人數為：，所以調查的男生人數為.所以2×2列聯表如下：心流無心流總計女生35540男生451560合計8020100零假設:學生在創新性學習活動中是否體驗到心流與性別無關.根據公式和數據計算可得，根據小概率值的獨立性檢驗,沒有充分證據推斷不成立,因此可以認為成立,即創新性學習活動中體驗到心流與否與性別無關.【小問2詳解】當時,的值最大.,運用階乘公式整理得到，.由于，則，則為增函數.則當時，最大.17.在中，的對邊分別為，，，且滿足_______________.請在①；②，這兩個中任選一個作為條件，補充在橫線上，并解答問題.（1）求；（2）若面積為，，點在線段上，且，求的長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）選擇①：利用正弦定理和余弦定理可得，即；選擇②：由誘導公式可得，再結合可得；（2）根據三角形面積以及角的正切值可解得，再由點的位置關系利用向量可求出結果.【小問1詳解】若選擇①，由可得，利用正弦定理可得，整理可得；所以，又，可得.若選擇②,由誘導公式可得；由可得，可得，所以，即.【小問2詳解】如下圖所示：由面積為可得，即，又且，所以；又可得；易知，由可得，即可得；由點在線段上，且，可得，所以即的長為.18.已知圓交軸于，兩點，橢圓過點且以為長軸.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于，兩點，與圓交于，兩點，若不重合的兩條直線與分別平分線段，.①求證：為定值；②已知直線，與橢圓分別交于，，，，且，求四邊形面積的最大值.【正確答案】（1）（2）①證明見解析②四邊形面積的最大值為3.【分析】（1）令.設橢圓C的標準方程為，橢圓經過，代入計算即可;（2）①畫出圖形，顯然直線與垂直，設直線，則直線l與橢圓交于,由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，運用點差法得到.②畫出圖形，得到聯立方程得，則直線l1與橢圓交線長為,同理可得直線l2與橢圓的一個交點算出D到直線l1的距離，得到四邊形面積，結合.得到.和分情況討論，結合基本不等式得到四邊形面積的最大值即可.【小問1詳解】由,令得，令.則可設橢圓C的標準方程為，橢圓經過，代入計算得到.則橢圓的標準方程.【小問2詳解】①顯然直線與垂直，設直線，則直線l與橢圓交于,由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，于是,由于則則.②由題知，則易知令得，則直線l1與橢圓交線長為，同理可得直線l2與橢圓的一個交點，則D到直線l1的距離，所以四邊形面積.由于.則.當時，四邊形不存在.當時，所以四邊形面積的最大值,在時取到.方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數法，若題目的條件能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值.有時候可以借助基本不等式求解.19.已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱.（1）求函數的解析式；（2）若在定義域內恒成立，求的取值范圍；（3）求證.【正確答案】（1）（2）1（3）證明見解析【分析】（1）根據兩函數關于對稱求解析式即可；（2）先探求時成立，再證明當時恒成立，證明過程利用導數求出函數極大值即可；（3）根據（2）可得，轉化為，再由，累加相消即可得證.【小問1詳解】設