導數(shù)的概念2.1導數(shù)的概念

1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數(shù)平均變化率的極限.注意,曲線在某點處的切線:(1)與該點的位置有關；

(2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解切線。例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.練習:求曲線上一點P(1,-1)處的切線方程.答案:y=3x-4.2.瞬時速度

已知物體作變速直線運動,其運動方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時間),求物體在t0時刻的速度．如圖設該物體在時刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在時刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,則從t0

到t0+Δt這段時間內,物體的位移是:在時間段(t0+Dt)－t0=Dt

內，物體的平均速度為:

平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,也既需要通過瞬時速度來反映.

如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Δt這段時間內，當Δt

0

時平均速度:例2:物體作自由落體運動,運動方程為：其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求：

(1)物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度；

(2)物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度；

(3)物體在t=2(s)時的瞬時速度.解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=0.01代入上式，得:即物體在時刻t0=2(s)的瞬時速度等于20(m/s).當時間間隔Δt逐漸變小時,平均速度就越接近t0=2(s)時的瞬時速度v=20(m/s).練習:某質點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt這段時間內的平均速度,這里Δt取值范圍為1;(2)t=2時刻的瞬時速度.3.導數(shù)的概念從上面兩個實例,一個是曲線的切線的斜率,一個是瞬時速度,具體意義不同,但通過比較可以看出它們的數(shù)學表達式結構是一樣的,即計算極限,這就是我們要學習的導數(shù)的定義.定義：設函數(shù)y=f(x)在點x0處及其附近有定義,當自變量x在點x0處有改變量Δx時函數(shù)有相應的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果當Δx0

時,Δy/Δx的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)記作即:如瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù).是函數(shù)f(x)在以x0與x0+Δx為端點的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0-Δx,x0])上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)f(x)在點x0

處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．如果函數(shù)y=f(x)在點x=x0存在導數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,如果極限不存在,就說函數(shù)f(x)在點x0處不可導.由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導數(shù).如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內可導.這時,對每一個x

(a,b)都有唯一確定的導數(shù)值與它對應,這樣在區(qū)間(a，b)內就構成一個新的函數(shù).這個新的函數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內的導函數(shù),記作,即:在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,那么函數(shù)在點x0處連續(xù)．求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分如下三步:4.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:例1:設f(x)為可導函數(shù),且滿足條件,

求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.例1:判斷下列各命題的真假:(1)已知函數(shù)y=f(x)的圖象上的點列P1,P2,P3,…Pn…,

則過P0與Pn兩點的直線的

斜率就是函數(shù)在點P0處的導數(shù).答:由函數(shù)在點P0處的導數(shù)的幾何意義知:函數(shù)在點

P0處的導數(shù)是過P0點曲線(即函數(shù)y=f(x)的圖象)

的切線的斜率,而不是割線P0Pn的斜率,故它是一個假命題.(2)若物體的運動規(guī)律是S=f(t),則物體在時刻t0的瞬時速度V等于答:由于它完全符合瞬時速度的定義,故它是一個真

命題.(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為A,則對任一只要函數(shù)在x0處連續(xù),則就必存在.5.例題選講答:它是一個假命題.例如,函數(shù)在x=0處連續(xù),但它在x=0處的導數(shù)不存在.(4)設是函數(shù)y=f(x)的圖象上的三點,且函數(shù)在P1,P2,P3

三點處的導數(shù)均存在.若,則必有答:,由于f(x)的導函數(shù)未必是單調增函數(shù).因此,

不一定成立,例如f(x)=x3,則顯然有故是假命題.說明:要正確判斷命題的真假,需真正理解:曲線在點P處切線的斜率、瞬時速度、連續(xù)與可導等概念,還要把握好要確定一個命題為真命題,則需給出論證,

而要給出否定的結論,舉一個反例就足夠了.例2:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:分析:利用函數(shù)f(x)在點x0處可導的條件,將題目中給定的極限恒等變形為導數(shù)定義的形式.注意在導數(shù)定義中,自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx

選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.例3:證明:(1)可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);(2)可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù).證:(1)設偶函數(shù)f(x),則有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學們在課后練習用.練習1:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:練習2:設函數(shù)f(x)在點x=a處可導,試用a、f(a)和例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導.從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導.注:這是一個函數(shù)在某點連續(xù)但不可導的例子.練習3:函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數(shù)?若有,

求出來,若沒有,說明理由.故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數(shù),即不可導.6.小結a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了認識這一概念的實質，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)。（3）如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就說函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，這時,對于開區(qū)間內每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數(shù)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內可構成一個新的函數(shù)，稱作f(x)的導函數(shù)。（4）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。d.函數(shù)f(x)在點x