2024-2025學年北京市朝陽區高三上學期12月期末數學模擬檢測試卷一、單選題（本大題共10小題）1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．設復數，則復數在復平面內對應的點的坐標是（

）A． B．C． D．3．圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．45．已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（

）A． B．C． D．6．設函數，已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知函數，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知是函數的圖象上的兩個不同的點，則（）A． B． C． D．9．的外接圓的半徑等于，，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．10．正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面.線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．的展開式中含的項的系數為．12．設向量，且，則，和所成角為13．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為.14．直線與雙曲線的右支只有一個公共點，則的取值范圍為.15．設與是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合，給出下列4個結論：①若與均為等差數列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數列，則M中最多有2個元素；③若為等差數列，為等比數列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數列，為遞減數列，則M中最多有1個元素.其中正確結論的序號是.三、解答題（本大題共6小題）16．在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，，(1)求；(2)若，求的面積.17．如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，側面底面，E是棱BC上一點，平面.(1)求證：是的中點；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使四棱柱唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）設直線與平面的交點為P，求的值.條件①：；條件②：；條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.18．某社區計劃組織一次公益講座向居民普及垃圾分類知識，為掌握居民對垃圾分類知識的了解情況并評估講座的效果，主辦方從全體居民中隨機抽取10位參加試講講座活動，讓他們在試講講座前后分別回答一份垃圾分類知識問卷．試講講座前后，這10位居民答卷的正確率如下表：編號正確率1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號試講講座前65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%試講講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%根據居民答卷的正確率可以將他們垃圾分類的知識水平分為以下三個層級：答卷正確率p垃圾分類知識水平一般良好優秀假設每位居民回答問卷的結果之間互相獨立，用頻率估計概率．(1)正式講座前．從該社區的全體居民中隨機抽取1人，試估計該居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的概率；(2)正式講座前，從該社區的全體居民中隨機抽取3人，這3人垃圾分類知識水平分別是“一般”、“良好”、“良好”．設隨機變量X為“這3人講座后垃圾分類知識水平達到‘優秀’、的人數”，試估計X的分布列和數學期望；(3)在未參加講座的全部居民中再隨機抽取若干人參加下一輪的公益講座并讓他們在講座前后分別填寫問卷．從講座后的答卷中隨機抽取一份，如果完成該答卷的居民的知識水平為“良好”，他在講座前屬于哪一知識水平的概率最大？（結論不要求證明）19．設橢圓，離心率為，長軸長為4.過點的直線l與橢圓交于，兩點，直線l與軸不重合.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于，若，求直線的斜率.20．已知函數.(1)當時，求函數的單調區間；(2)證明：當，曲線的切線不經過點；(3)當時，若曲線與直線在區間上有兩個不同的交點，求實數a的取值范圍.21．已知為有窮整數數列．給定正整數m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續可表數列．(1)判斷是否為連續可表數列？是否為連續可表數列？說明理由；(2)若為連續可表數列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續可表數列，且，求證：．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，得，所以,因為，所以,所以.故選：D.2．【正確答案】C【詳解】因為，所以，故復數在復平面內對應的點的坐標是，故C正確.故選：C3．【正確答案】D【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.4．【正確答案】D【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】對于A，若，則由線面垂直的性質得，故A錯誤，對于B，若，則由線面垂直的性質得，故B正確，對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯誤，對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯誤.故選B6．【正確答案】B【詳解】因為，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.7．【正確答案】D【詳解】設直線與相切于點，由，則，所以切線方程為，又切線過，所以，解得，所以，作出及切線的圖象，如圖，由圖象可知，當時，成立.故選：D8．【正確答案】D【詳解】如圖所示，設Ax1,y1，B點在的圖象上，且軸，則，由圖知點在的左側，即，所以.故選：D9．【正確答案】C【詳解】依題意，的外接圓的半徑等于，，以為原點，為軸建立如圖所示平面直角坐標系，B4,0，圓心到，也即軸的距離為，故圓心，半徑，所以圓的標準方程為.設，與不重合.所以，由于，所以.故選：C10．【正確答案】C【詳解】以為坐標原點，以分別為軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，則，則，因為平面，所以，即，解得，所以，所以，又，所以當時，即是的中點時，取得最小值，當或，即與點或重合時，取得最大值，所以線段長度的取值范圍為.故選：C11．【正確答案】【詳解】展開式的通項為，令，得，所以展開式中含的項的系數為.故-16012．【正確答案】【詳解】因為，所以，化簡整理得，所以，所以．因為，所以和所成角為．故；.13．【正確答案】【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側面積相等，所以，即，故，故圓錐的體積為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】直線過定點，直線與雙曲線圖象如圖所示，

又雙曲線的兩條漸近線為，因為直線與雙曲線的右支只有一個公共點，所以由圖可知，，故15．【正確答案】①③④【分析】利用兩類數列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數列，但當為偶數時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設，，若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數解，若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關于的方程奇數解的個數和偶數解的個數，當有偶數解，此方程即為，方程至多有兩個偶數解，且有兩個偶數解時，否則，因為單調性相反，方程至多一個偶數解，當有奇數解，此方程即為，方程至多有兩個奇數解，且有兩個奇數解時即否則，因單調性相反，方程至多一個奇數解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數列，為遞減數列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故①③④.【思路導引】對于等差數列和等比數列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.（2）法一：因為，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以，解得或（舍去），所以.法2：因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內角，則，則，則.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）連接交于，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點，所以是的中點；（2）（i）選擇條件①：因為底面是正方形，所以，側面平面，且側面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因為，則，與選擇條件①：等價，故條件不能進一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結，因為底面是正方形，所以，又因為側面平面，且側面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因為，，所以，在中，因為，，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標系，其中，，，，且，，易知為平面的一個法向量，設為平面面的一個法向量，則，即.不妨設，則，可得，所以，因為二面角的平面角是鈍角，設為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因為底面是正方形，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，因為側面平面，且側面平面，平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標系，（下面同選擇條件②）.（ii）設，又，，則，所以，所以，因為平面，所以，所以，解得，所以.18．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.【詳解】（1）正式講座前，10位選取的居民中，垃圾分類知識水平為“一般”的人數為5人，所以垃圾分類知識水平位“一般”的頻率為：，所以估計居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率為.（2）由表中提供的數據可得：正式講座前，垃圾分類知識水平為“一般”的人在講座后，達到“優秀”的概率估計為：；正式講座前，垃圾分類知識水平為“良好”的人在講座后，達到“優秀”的概率估計為.由題意，的值可以為：0,1,2,3且：，.所以的分布列為：0123所以.（3）從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“一般”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“優秀”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；從參加講座后的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則.因為，，.所以他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.19．【正確答案】(1)(2).【詳解】（1）因為橢圓的長軸長為4，所以，解得；又，所以，得，所以.（2）因為過點的直線l與橢圓交于兩點，直線l與軸不重合，所以直線l的斜率不為0.設直線，Ax，，即，即或，；，；，；，直線，直線，令，，，令，，，則，即也即則，，斜率為；綜上，直線的斜率為.

20．【正確答案】(1)的單調遞增區間為，單調遞減區間為；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）當時，，的定義域為.，令，解得.當時，，單調遞增，當時，，單調遞減.所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）當時，，.設曲線的切點為，則切線方程為，假設切線過原點，則有，整理得.令，則.所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以對任意，，所以方程無解.綜上可知，曲線在點的切線不過原點.（3）曲線與直線在區間上有兩個不同的交點，等價于在區間上有兩個不同的解，即，在區間上有兩個不同的解，設，則，令，解得，又因為，所以，當，，所以單調遞增；當，，所以單調遞減；所以，當時，，當時，，要使在區間上有兩個不同的解，只需使即可.所以實數a的取值范圍是.21．【正確答案】(1)是連續可表數列；不是連續可表數列(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據和的個數易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負數，再確定負數只能是，然后分類討論驗證不行即可．【詳解】（1），，，，，所以是連續可表數列；易知，不存在使得，所以不是連續可表數列．（2）證明：若,設為,則至多，6個數字，沒有個，矛盾；當時,數列，滿足，，，，，，，，所以．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數，矛盾,從而若,則，至多可表個數，而，所以其中有負的，從而可表1～20及那個負數（恰21個），這表明中僅一個負的，沒有0，且這個負的在中絕對值最小，同時中沒有兩數相同,設那個負數為，則所有數之和，，所以，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，因為（僅一種方式），所