試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題02解直角三角形實際應用的三種考法類型一、仰角俯角問題例．如圖，某高樓頂部有一信號發射塔，在矩形建筑物的A，C兩點測得該塔頂端F的仰角分別為和，矩形建筑物寬度，高度．則信號發射塔頂端到地面的高度（即的長）為多少？【答案】【分析】設，分別借助三角函數表示出；根據即可建立方程求解．【詳解】解：設由圖可知：則解得：則答：信號發射塔到地面的高度為．【點睛】本題考查三角函數與仰角、俯角問題．找到直角三角形，利用三角函數表示出相關線段長度是解題關鍵．【變式訓練1】．“蘑菇石”是我省著名自然保護區梵凈山的標志，小明從山腳B點先乘坐纜車到達觀景平臺觀景，然后再沿著坡角為的斜坡由E點步行到達“蘑菇石”A點，“蘑菇石”A點到水平面的垂直距離為．如下圖，，，，求斜坡的長度．（結果精確到，，，，，，）

【答案】【分析】延長交于點F，過D作于G，由解直角三角形可求得，從而求得，則可得，在中由三角函數即可求得的長．【詳解】解：延長交于點F，過D作于G，如圖；則，∴四邊形是矩形，∴；在中，，∴，∴，∴；在中，，∴即斜坡的長度為．

【點睛】本題考查了與坡角有關的解直角三角形的應用，理解題意，作出適當的輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練2】．國家跳臺滑雪中心位于北京2022年冬奧會張家口賽區古楊樹場館群，是我國首座符合國際標準的冬奧會跳臺滑雪場地．外觀結構與中國傳統吉祥物“如意”的S形曲線完美融合，因此，被形象地稱為“雪如意”，在它的身上，體現了現代建筑與自然山水、歷史文化的交相輝映，在這里舉行的跳臺滑雪分大跳臺和標準臺，大跳臺A點出發區海拔1771米，著陸點U點海拔1635米，大跳臺與標準臺水平相距米，大跳臺坡角，標準臺坡角．求大跳臺與標準臺出發點落差是多少？（參考數據：，，；，，，結果保留整數．）

【答案】大跳臺與標準臺出發點落差約為米．【分析】先求解，過作于，而，，可得四邊形是矩形，可得，，再分別求解，，從而可得答案．【詳解】解：∵大跳臺A點出發區海拔1771米，著陸點U點海拔1635米，∴，

過作于，而，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴大跳臺與標準臺出發點落差約為米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．【變式訓練3】．投影儀，又稱投影機，是一種可以將圖像或視頻投射到幕布上的設備．如圖①是屏幕投影儀投屏情景圖，如圖②是其側面示意圖，已知支撐桿與地面垂直，且的長為，腳桿的長為，距墻面的水平距離為，投影儀光源散發器與支撐桿的夾角，腳桿與地面的夾角，求光源投屏最高點與地面間的距離．（參考數據：，，，，結果精確到）【答案】光源投屏最高點與地面間的距離約為．【分析】過點A作，垂足為G，過點D作，垂足為H，則，，，先在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而根據，進行計算即可解答．【詳解】解：過點A作，垂足為G，過點D作，垂足為H，則，，，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴光源投屏最高點與地面間的距離約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．類型二、方位角問題例．如圖，湖中小島上碼頭C處一名游客突發疾病，需要救援．位于湖面B點處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時出發前往救援．計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉運到救援船上．已知C在A的北偏東方向上，B在A的東北方向上，且在C的正南方向900米處．

(1)求湖岸A與碼頭C的距離（結果精確到1米．參考數據：）；(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分鐘內將該游客送上救援船？請說明理由．（接送游客上下船的時間忽略不計）【答案】(1)湖岸A與碼頭C的距離約為2459米(2)快艇能在7分鐘內將該游客送上救援船，理由見解析【分析】（1）過點A作交延長線于點D，根據題意得，，米，，所以，設米，在中，利用三角函數求出，即可求出解決問題；（2）設快艇在y分鐘內將該游客送上救援船，根據救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，列出方程進而可以解決問題．【詳解】（1）解：如圖，過點A作交延長線于點D，

根據題意可知：，，米，，，，，設米，在中，，解得：（米），答：湖岸A與碼頭C的距離約為2459米；（2）解：快艇能在7分鐘內將該游客送上救援船，理由如下：設快艇在y分鐘內將該游客送上救援船，∵救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，，，答：快艇能在7分鐘內將該游客送上救援船．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．【變式訓練1】．小明在學習直角三角形的三角函數時發現：如圖1，在中，所對的邊分別是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在銳角三角形中也有相同的結論．

(1)如圖2，在銳角三角形中，所對的邊分別是a、b、c，請你運用直角三角形的三角函數的有關知識驗證；(2)請你運用（1）中的結論完成下題：如圖3，在南海某海域一貨輪在B處測得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，隨后貨輪以80海里/小時的速度按北偏東的方向航行，兩小時后到達C處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，求此時貨輪與燈塔A的距離．【答案】(1)見解析(2)貨輪距燈塔A的距離為海里【分析】（1）過點A作于點D，過點B作于點H，在中表示出，在中表示出，即可求證；（2）由（1）中所得結論可推出：，據此即可求解．【詳解】（1）解：過點A作于點D，過點B作于點H

在中，∵，∴，同理，∴，∴同理可得∴（2）解：由題意可得∴，∵，∴∴海里．此時貨輪距燈塔A的距離為海里．【點睛】本題考查了三角函數的實際應用．構造直角三角形是解題關鍵．【變式訓練2】．湖中小島上碼頭C處一名游客突發疾病，需要救援．位于湖面B點處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時出發前往救援．計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉運到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西方向，B在A的南偏東方向1800米處．

(1)求湖岸A與碼頭C的距離（結果可含根號）；(2)救援船的平均速度為180米/分，快艇的平均速度為420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分鐘內將該游客送上救援船？請說明理由．（接送游客上下船的時間忽略不計）（參考數據：，，）【答案】(1)米(2)能，理由見詳解【分析】（1）根據題意可知：，，，即有，，可得，即，在中，有，問題得解；（2）設快艇將游客送上救援船時間為分鐘，根據等量關系式：救援船行駛的路程+快艇行駛的路程=，列出方程，求出時間，再和6分鐘進行比較即可求解．【詳解】（1）解：作，交延長線于點，

根據題意可知：，，，∴，，∴在中，（米），即（米），∴在中，（米）；（2）解：設快艇將游客送上救援船時間為，此時快艇與救援船行駛的總距離為：米，∵在中，米，米，∴（米），∴（米），則，解得：，6min內可以將該游客送上救援船．【點睛】本題主要考查了解直角三角形及其應用，找到等量關系式，構建直角三角形是解答本題的關鍵．【變式訓練3】．如圖，漁船跟蹤魚群由西向東航行，遠處有一個小島A，在點測得小島A在北偏東60°，航行60海里到達點，這時測得小島在A在北偏東45°的方向上．

(1)若漁船不改變航線繼續向東航行，距離A島的最短距離是多少？（結果保留根號）(2)漁船行至點時，忽然發現油料短缺，遂就地停船休整，與此同時，在正東方向，距離點180海里的救援船前來救援，請問當小島A、漁船和救援船所組成的三角形是直角三角形時，此時救援船距離小島A有多遠？（結果保留根號）【答案】(1)距離A島的最短距離是海里(2)此時救援船距離小島A為海里【分析】（1）過點作于，過點A作于，根據角的關系得出，再根據等角對等邊得出，設，在中，根據勾股定理求解即可得出答案；（2）過點A作于于A，交于，易證為等腰直角三角形，再根據三角函數即可得出答案．【詳解】（1）過點作于，

由題意知，∴，過點A作于，∴，∴，∴，設，由題意知，，在中，，，勾股得，∴，解得，（舍），∴答：距離A島的最短距離是海里．（2）過點A作于于A，交于，∴，∵，∴，∴，為等腰直角三角形，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴（海里），當救援船到達點時，A、、組成的三角形為直角三角形，答：此時救援船距離小島A為海里．【點睛】本題考查了勾股定理的應用及解直角三角形的應用，根據題意構造直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練4】．如圖，是某景區一段坡度的上坡路段，為豎直（與水平面垂直）的監控立桿，點D處安裝了攝像頭，點A、B分別為攝像頭的測速起點與終點．安裝調試攝像頭時，在攝像頭D處測得點A的俯角為，點B的俯角為．已知米，點O、A、B、C、D、E、在同一平面內．

(1)求桿的高度；（精確到個位）(2)一輛小汽車從A點駛向B點，攝像頭兩次測速抓拍的時間間隔為秒．若，此路段的限速是40千米/小時，試判斷這輛小汽車是否超速違章，并說明理由．（參考數據：，，，）【答案】(1)桿的高度約為9米；(2)小汽車沒有超速違章，理由見解析【分析】（1）過點D作，過點B作交的延長線于點M，設為x，則為7x，由勾股定理求得米，米，進而得到為9米；（2）過點C作于點N，由推導出，進而得到米，米，米，推導出小汽車的速度為千米/小時，進而得出結論．【詳解】（1）解：如圖，過點D作，過點B作交的延長線于點M，

∵是坡度的公路，∴設為x米，則為7x米，由勾股定理得：，∵米，∴，∴，即（米），∵，∴（米），∴（米），答：桿的高度約為9米；（2）小汽車沒有超速違章．理由如下：如圖，過點C作于點N，

由題可知，，∵，∴，由（1）得米，∴（米），∵，∴（米），∴（米），∴此時小汽車的速度為（米/秒）（千米/小時），∵，∴小汽車沒有超速違章．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，作出合適的輔助線構建直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的正弦，余弦，正切是解題的關鍵．類型三、坡度問題例．如圖某中學依山而建，校門A處有一坡度的斜坡，長度為13米，在坡頂B處看教學樓的樓頂C的仰角是，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處看樓頂C的仰角是的延長線交校門處的水平面于點D．

(1)求坡頂B的高度；(2)求樓頂C的高度．【答案】(1)5米；(2)米．【分析】（1）過B作于M，由坡度設，由勾股定理即可求解；（2）在中，利用正切三角函數可分別表示，由此建立方程可求得，進而可求得的長．【詳解】（1）解：過B作于M，如圖，∵斜坡的坡度為，∴設，由勾股定理得：，即，解得：，∴，即坡頂B的高度為5米；

（2）解：由題意知：，且，在中，，即；在中，，即；∴，解得：，∴；∵，∴四邊形是矩形，∴，∴米．【點睛】本題考查了與俯角、坡度有關的解直角三角形，分別求得并建立方程是解題的關鍵．【變式訓練1】．如圖，為了測量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點出發，沿斜坡行走130米至坡頂D處，再從D處沿水平方向繼續前行若干米后至E處，在E處測得該建筑物頂端C的仰角為60°，建筑物底端B的俯角為45°，點A、B、C、D、E在同一平面內，斜坡的坡度，根據小穎的測量數據，求建筑物的高度．(結果精確到0.1米．參考數據：）

【答案】建筑物的高度約為米【分析】過作于，延長交于．則四邊形是矩形，得，在中求出，再解直角三角形求出、的長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過作于，延長交于．

則四邊形是矩形，，在中，米，，設，由勾股定理得，∴，即，（米），（米），在中，，是等腰直角三角形，（米），在中，，，（米），米．即建筑物的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題、坡度坡角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．【變式訓練2】．如圖．為測量學校旗桿的高度．小明從旗桿正前方處的點C出發沿坡度為的斜坡前進到達點D，在點D處放置測角儀．測得旗桿頂部A的仰角為量得測角儀的高為，A、B、C、D、E在同一平面內．且旗桿和測角儀都與地面垂直．

(1)求點D到地面的鉛垂高度．（結果保留根號）(2)求旗桿的高度．（結果精確到，參考數據：）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）延長交延長線于點，則，在中求得；（2）作，可得、，根據、可得答案．【詳解】（1）解：延長交射線于點．

由題意得．在中，，．．．米，米，米．∴點的鉛垂高度是米．（2）過點作于．由題意得，即為點觀察點時的仰角，．，，，．四邊形為矩形．米．（米）．在中，，（米）．（米）．答：旗桿的高度約為米．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用仰角俯角問題和坡度坡比問題，掌握仰角俯角和坡度坡比的定義，并根據題意構建合適的直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練3】．如圖是某校運動會主席臺的側面示意圖，是主席臺上的背景墻，數學興趣小組想利用所學知識測量背景墻的高度．他們在距離主席臺底端處的處豎立測角儀，從處測得背景墻頂端處的仰角為，，，，，，均在同一平面內）．已知長為，斜坡的坡度，坡長為，，測角儀高，求背景墻的高．（結果保留1位小數，參考數據：．．

【答案】背景墻的高約為21.7米【分析】延長與交于點，過點作，垂足為，延長交于點，如圖所示，由坡度得到，設米，則米，在中，由勾股定理得到，在中，由正切三角函數列式求解即可得到答案．【詳解】解：延長與交于點，過點作，垂足為，延長交于點，如圖所示：

由題意得：，，米，米，，米，，斜坡的坡度，，設米，則米，在中，，（米，米，，，米，米，（米，在中，（米，（米，背景墻的高約為21.7米．【點睛】本題考查三角函數測高，理解坡度、掌握解三角形的實際應用是解決問題的關鍵．【變式訓練4】．周末，小明和小紅相約爬山到山頂點C處觀景（山腳處的點A、B在同一水平線上）．小明在A點處測得山頂點C的仰角為，他從點A出發，沿爬山到達山頂C．小紅從點B出發，先爬長為米的山坡到達點D，的坡度為，然后沿水平觀景步道走了900米到達點E，此時山頂C正好在點E的東北方向1800米處，最后爬山坡到達山頂C（點A、B、C、D、E在同一平面內，小明、小紅的身高忽略不計）．（參考數據：，）(1)求山頂C到的距離（結果保留整數）；(2)若小明和小紅分別從點A、點B同時出發，小明的爬山速度為70米/分，小紅的爬山速度為60米/分（小紅在山坡、山坡段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請問誰先到達山頂C處？請通過計算說明理由．【答案】(1)山頂C到的距離約為1873米(2)小紅先到達山頂C處，理由見解析【分析】（1）過點D作于點H，過點C作于點M，交延長線于點K．由的坡度為，得到，在和中，利用特殊三角函數值分別求出，，即可求出；（2）在中，，得到，分別計算出小明，小紅所用的時間比較即可．【詳解】（1）解：過點D作于點H，過點C作于點M，交延長線于點K．由題意得，，，∵的坡度為，∴，在中，，米，∴米，在中，，米，∴米，∴（米）答：山頂C到的距離約為1873米．（2）解：小紅先到達山頂C處，理由如下：由題意得，在中，，∴米，∴小明到達山頂所需時間為：（分），小紅到達山頂所需時間為：（分），∵，∴小紅先到達山頂C處．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．課后作業1．某動物園熊貓基地D新誕生了一只小熊貓，吸引了大批游客前往觀看．由于A、B之間的道路正在進行維護，暫時不能通行．游客由入口A進入園區之后可步行到達點C，然后可以選擇乘坐空中纜車從，也可選擇乘坐觀光車從．已知點C在點A的北偏東45°方向上，點D在點C的正東方向，點B在點A的正東方向300米處，點D在點B的北偏東60°方向上，且米．（參考數據：，，）

(1)求的長度（精確到個位）；(2)已知空中纜車的速度是每分鐘200米，觀光車的速度是每分鐘320米，若游客想盡快到達熊貓基地D，應選擇乘坐空中纜車還是觀光車？【答案】(1)米；(2)應選擇乘坐觀光車．【分析】（1）作于M，于N，推出四邊形是矩形，得到，求出（米），由銳角的正切定義求出的長，由是等腰直角三角形，得到，求出的長，即可解決問題；（2）分別求出乘坐空中纜車，觀光車所用的時間，即可判斷．【詳解】（1）解：作于M，于N，

∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴（米），∵，∴（米），∵，∴是等腰直角三角形，∴（米），∴（米），∴（米）；（2）解：由勾股定理得到（米），∴（米），∴乘坐觀光車的時間是（分鐘），乘坐空中纜車的時間是（分鐘），∴應選擇乘坐觀光車．【點睛】本題考查解直角三角形的應用—方向角問題，勾股定理，關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，應用三角函數定義來解決問題．2．（1）如圖：為測量河寬（假設河的兩岸平行），在點處測得，在點處測得，且，則河寬為多少（結果保留根號）．（2）如圖所示，小明同學在學校某建筑物的點處測得旗桿頂部點的仰角為，旗桿底部點的俯角為．若旗桿底部點到建筑物的水平距離米，旗桿臺階高米，則旗桿頂點離地面的高度為多少米（結果保留根號）．【答案】（1）河寬為；（2）旗桿頂點離地面的高度為米【分析】（1）根據，，則，根據等角對等邊，，在中，根據，得出的長即可；（2）作于點，構成兩個直角三角形．運用銳角三角函數分別求出和，即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，在中，