2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)14效用Utility2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)2本章要點效用函數(shù)

邊際效用邊際替代率關(guān)鍵詞:效用函數(shù)2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)3本章要求判斷效用函數(shù)的單調(diào)變換。認識常見幾種偏好的效用函數(shù):完全替代偏好、完全互補偏好、擬線形偏好、柯布—道格拉斯偏好。已知效用函數(shù)，畫出無差異曲線。已知效用函數(shù)，計算邊際效用和邊際替代率。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)4效用現(xiàn)代消費理論使用偏好的概念來研究消費者的行為,而效用是描述消費者偏好的一種方法。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)5

人類行為偏好

無差異曲線效用函數(shù)2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)6消費者的偏好有兩種描述方法,一種是無差異曲線（幾何方法）,另一種是效用函數(shù)（數(shù)學(xué)方法）。在現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)中,效用和效用函數(shù)僅僅被看作是描述偏好的一種數(shù)學(xué)方法。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)7關(guān)于效用的不同觀點基數(shù)效用論:用絕對值來度量效用。序數(shù)效用論:關(guān)注于數(shù)值的相對排序關(guān)系。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)8基數(shù)效用19世紀末、20世紀初，西方經(jīng)濟學(xué)家普遍使用基數(shù)效用的概念。基數(shù):1，2，3，……不僅可以進行比較，還可以進行加總、求和等數(shù)學(xué)運算。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)9基數(shù)效用的缺陷主觀價值的測量難題“我們之所以利用數(shù)字,無非要使一種說明起來比較困難、而又是歷來缺乏研究的心理領(lǐng)域中的現(xiàn)象,能更容易地被加以論證罷了。”——門格爾效用的絕對值不能測量。——帕累托2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)10對于構(gòu)造需求函數(shù)而言,核心問題是消費品之間的選擇,因此可以通過觀察人們的主觀偏好特征來排列商品的效用等級。而基數(shù)效用的特征（便于加總、求和）對此則完全是多余的。序數(shù)效用就可以勝任。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)11序數(shù)效用序數(shù):第一、第二、第三……只表示順序、等級，本身的數(shù)字量是沒有任何意義的。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)12消費者對各種可行消費方案可以排出個好壞次序,第一好、第二好、第三好……即不論他能否說出滿足程度到底有多少,但總可以說出“這種消費比那種消費更好一些,或較差一些,或沒有什么差異”。消費者對消費方案作出的這種評價和比較,就是消費者偏好。當然,這種評價不具有基數(shù)效用那樣的絕對意義。德布魯（Debreu,1954）證明,僅僅依賴偏好關(guān)系,就可以很好地定義效用概念,并且推導(dǎo)出了新古典的消費需求理論。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)13從此,效用不再是消費問題的原點,而成為描述偏好、乃至于消費者選擇行為的一種方法。現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)主要以序數(shù)效用論作為需求理論的基礎(chǔ)。“既然基數(shù)效用并不是描述選擇行為所必需的,而且也沒有任何令人信服的方法來指派基數(shù)效用,所以我們將完全堅持序數(shù)效用的分析框架”——范里安,第45頁。消費者的偏好則構(gòu)成消費者選擇行為的出發(fā)點,效用成了描述消費者偏好的一種方法。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)14效用函數(shù)（UtilityFunctions）一個效用函數(shù)對于每一組可能的消費束賦予一個數(shù)字,使得更受偏好的消費束得到更大的數(shù)字。效用函數(shù)的存在性:如果消費者偏好具有完備性、反身性、傳遞性、連續(xù)性和強單調(diào)性，那么存在一個能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù)。1983年的經(jīng)濟學(xué)諾獎獲得者吉拉德.德布魯（GerardDebreu1954)證明了這一點。具體證明方法參見任何一本高級微觀經(jīng)濟學(xué)教科書。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)15效用函數(shù)（UtilityFunctions）一個效用函數(shù)U(x)代表一種偏好關(guān)系

x’x”U(x’)>U(x”)

x’x”U(x’)<U(x”)

x’~x”U(x’)=U(x”).pp2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)16效用函數(shù)（UtilityFunctions）效用函數(shù)唯一重要的特征是它對消費束所進行的排序。（Utilityisanordinal(i.e.ordering)concept）.例如,如果有U(x)=6和U(y)=2,這時,消費束x嚴格偏好于消費束y。但不能說三倍的消費束x與消費束y一樣好。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)17效用函數(shù)不是唯一的一般存在著多種為消費束排序的方法。因此,對于一個效用關(guān)系而言,效用函數(shù)不唯一。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)18假定U(x1,x2)=x1x2

代表一種效用關(guān)系。考慮消費束(4,1),（2,3)和(2,2)。

U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4;

即(2,3)>(4,1)~(2,2)。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)19U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定義V=U2則V(x1,x2)=x12x22并且

V(2,3)=36>V(4,1)=V(2,2)=16

因此,同樣有

(2,3)(4,1)~(2,2).V和U代表同一種排列順序,因此,代表同一種偏好關(guān)系。pp2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)20U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定義W=2U+10.那么W(x1,x2)=2x1x2+10則

W(2,3)=22>W(4,1)=W(2,2)=18。再次,

(2,3)(4,1)~(2,2)。W和U,V代表同一種排序,從而代表同一種偏好關(guān)系。pp2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)21效用函數(shù)的單調(diào)變換如果是一個代表某一偏好的效用函數(shù)，且是一個遞增的函數(shù)，那么代表了同樣的偏好關(guān)系。因為:當且僅當

根據(jù)效用函數(shù)的定義，也是代表了該偏好的效用函數(shù)。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)22因此,任何效用函數(shù)的正單調(diào)變換后的函數(shù)是代表原偏好關(guān)系的一個效用函數(shù)。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)23單調(diào)變化的例子:對原效用函數(shù)乘以一個正數(shù)，對原效用函數(shù)加上任意數(shù)，對原效用函數(shù)取奇次冪等。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)24判斷單調(diào)變換的方法1判斷單調(diào)變換的方法1（適用于效用函數(shù)是一元函數(shù)時，判斷單調(diào)變換）（教材43頁）:求導(dǎo)，如果導(dǎo)數(shù)大于零，則是單調(diào)變換，否則不是。例題:課后作業(yè)第2題（教材55頁）2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)252024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)26從效用函數(shù)到無差異曲線從幾何學(xué)上講，效用函數(shù)是給無差異曲線標記數(shù)字的方法，較高效用的無差異曲線得到較大的數(shù)字。因此，從效用函數(shù)到無差異曲線很簡單，只需畫出效用函數(shù)的等值曲線就可以了！

K=3K=22024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)27從無差異曲線得出效用函數(shù)從無差異曲線得出效用函數(shù)較困難,但我們可以考慮幾種常見的例子:2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)28效用函數(shù)的例子完全替代u(x1,x2)=ax1+bx2.完全互補u(x1,x2)=min{ax1,bx2}擬線性函數(shù)u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas,C-D)函數(shù)u(x1,x2)=x1cx2d

2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)29完全替代（PerfectSubstitution）

55991313x1x2x1+x2=5x1+x2=9x1+x2=13全部是線性的平行線重要的是商品的總數(shù)量,因此u(x1,x2)=x1+x22024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)30完全替代（PerfectSubstitution）

2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)31問題寫出下列消費者的效用函數(shù)，并畫出無差異曲線。1.王剛愿意用商品x1來代替商品x2，但是為了補償所放棄的1單位商品x1，要求獲得2單位的商品x2.2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)32問題1x2x121Slope=dx2/dx1=-2效用函數(shù)為:u（x1,x2）=2x1+x22024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)33問題2.李楠既喜歡喝汽水x1，又喜歡吃冰棍x2，但她認為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)34問題2x2x123Slope=dx2/dx1=-2/3所以，效用函數(shù)為:u（x1,x2）=2/3x1+x2或:u（x1,x2）=2x1+3x22024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)35完全互補（perfectcomplementarity）x2x145omin{x1,x2}=8358358min{x1,x2}=5min{x1,x2}=3全部是L型的,其頂點在從原點出發(fā)的一條射線上重要的是最少的那一種商品決定了你的效用！因此u(x1,x2)=min{x1,x2}2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)36完全互補（perfectcomplementarity）2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)37完全互補（perfectcomplementarity）x2（糖）x1（茶）45omin{x1,1/2x2}=2122min{x1,1/2x2}=14（1,2）（2,4）X1=1/2x22024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)38問題張強每喝2杯水x就要吃3根冰棍y。寫出他的效用函數(shù)并畫出無差異曲線。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)39

x:y=2:33x=2yxy3x=2ymin{3x,2y}（2,3）3x=2y2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)40擬線性（quasi-linear）效用函數(shù)形式為

u(x1,x2)=v(x1)+x2

的效用函數(shù)僅僅對于x2是線性的，對于x1卻是非線性的，因此，稱為擬線性效用函數(shù)。例如:u(x1,x2)=2x11/2+x2。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)41擬線性偏好的無差異曲線x2x1每一條曲線是對其他曲線的垂直平移。v(x1)+x2=k1v(x1)+x2=k2v(x1)+x2=k32024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)42C-D偏好的效用函數(shù)任何形式為

U(x1,x2)=x1cx2d,c>0且d>0的效用函數(shù)被稱為柯布—道格拉斯效用函數(shù)（Cobb-Douglasutilityfunction）。例如U(x1,x2)=x11/2x21/2(c=d=1/2)

V(x1,x2)=x1x23(c=1,d=3)2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)43柯布—道格拉斯無差異曲線x2x12024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)44當然，柯布-道格拉斯效用函數(shù)的單調(diào)變換也表示同一個偏好。常見的兩個例子:（1）v(x1,x2)=ln（x1cx2d）=clnx1+dlnx2（2）v(x1,x2)=x1ax21-a2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)45總結(jié)完全替代u(x1,x2)=ax1+bx2完全互補u(x1,x2)=min{ax1,bx2}擬線性函數(shù)u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas,C-D)函數(shù)u(x1,x2)=x1cx2d

請記住這些基本效用函數(shù)，如果某些效用函數(shù)經(jīng)過單調(diào)變換，可以得到類似的效用函數(shù)，就表示相同的偏好。例子:課后作業(yè)第4-6題2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)465.CES效用函數(shù)2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)47邊際效用（MarginalUtilities）邊際量是“增量”（incremental）。商品i的邊際效用指當其消費數(shù)量改變，所引發(fā)的總效用量改變量和消費數(shù)量改變量的比例；即:2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)48邊際效用（MarginalUtilities）如果效用函數(shù)為U(x1,x2)=x11/2x22,則2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)49例如,效用函數(shù)U（x1,x2）=x1+x2,U（x1,x2）=2x1+2x2。代表同樣的偏好。但計算出的邊際效用不同。U（x1,x2）=x1+x2MU1=1U（x1,x2）=2x1+2x2MU1=22024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)50邊際效用和邊際替代率

（MarginalUtilitiesandMarginalRates-of-Substitution）無差異曲線的一般公式化為U(x1,x2)ok,k是常數(shù)。全微分得:

2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)51邊際效用和邊際替代率所以,這就是邊際替代率MRS。2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)52邊際效用和邊際替代率:舉例假定U(x1,x2)=x1x2。則

所以2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)53邊際效用和邊際替代率:舉例

MRS(1,8)=-8/1=-8

MRS(6,6)=-6/6=-1.x1x28616U=8U=36U(x1,x2)=x1x2;2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)54擬線性效用函數(shù)的邊際替代率擬線性效用函數(shù)的形式為

U(x1,x2)=f(x1)+x2。所以2024/11/24中級微觀經(jīng)濟學(xué)55擬線性效用函數(shù)的邊際替代率x2x1