專題5.3導數的應用1．導數與函數的單調性一般地，在某個區間(a,b)內：（1）如果，函數f(x)在這個區間內單調遞增;（2）如果，函數f(x)在這個區間內單調遞減;（3）如果，函數f(x)在這個區間內是常數函數．注意：（1）利用導數研究函數的單調性，要在函數的定義域內討論導數的符號；（2）在某個區間內，()是函數f(x)在此區間內單調遞增(減)的充分條件，而不是必要條件.例如，函數在定義域上是增函數，但.（3）函數f(x)在(a,b)內單調遞增(減)的充要條件是()在(a,b)內恒成立，且在(a,b)的任意子區間內都不恒等于0.這就是說，在區間內的個別點處有,不影響函數f(x)在區間內的單調性.2．函數的極值一般地，對于函數y=f(x)，（1）若在點x=a處有f′(a)=0，且在點x=a附近的左側，右側，則稱x=a為f(x)的極小值點，叫做函數f(x)的極小值.（2）若在點x=b處有=0，且在點x=b附近的左側，右側，則稱x=b為f(x)的極大值點，叫做函數f(x)的極大值．（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.3．函數的最值函數的最值，即函數圖象上最高點的縱坐標是最大值，圖象上最低點的縱坐標是最小值，對于最值，我們有如下結論：一般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設函數在上連續，在內可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.4．函數的最值與極值的關系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數的定義區間的整體而言；（2）在函數的定義區間內，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；（3）函數f(x)的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點；（4）對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區間端點處取得.（5）導數與函數變化快慢的關系：如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得快，這時函數的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數的圖象就“平緩”一些.（6）導函數為正的區間是函數的增區間，導函數為負的區間是函數的減區間，導函數圖象與x軸的交點的橫坐標為函數的極值點.5．利用導數判斷或證明一個函數在給定區間上的單調性，實質上就是判斷或證明不等式（）在給定區間上恒成立．一般步驟為：（1）求f′(x)；（2）確認f′(x)在(a,b)內的符號；（3）作出結論，時為增函數，時為減函數．注意：研究含參數函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．6．在利用導數求函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，解題過程中，只能在定義域內討論，定義域為實數集可以省略不寫.在對函數劃分單調區間時，除必須確定使導數等于零的點外，還要注意在定義域內的不連續點和不可導點.7．由函數的單調性求參數的取值范圍的方法（1）可導函數在某一區間上單調，實際上就是在該區間上(或)(在該區間的任意子區間內都不恒等于0)恒成立，然后分離參數，轉化為求函數的最值問題，從而獲得參數的取值范圍；（2）可導函數在某一區間上存在單調區間，實際上就是(或)在該區間上存在解集，這樣就把函數的單調性問題轉化成了不等式問題；（3）若已知在區間I上的單調性，區間I中含有參數時，可先求出的單調區間，令I是其單調區間的子集，從而可求出參數的取值范圍.8．函數極值問題的常見類型及解題策略（1）函數極值的判斷：先確定導數為0的點，再判斷導數為0的點的左、右兩側的導數符號．（2）求函數極值的方法：①確定函數的定義域．②求導函數．③求方程的根．④檢查在方程的根的左、右兩側的符號，確定極值點．如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果在這個根的左、右兩側符號不變，則在這個根處沒有極值．（3）利用極值求參數的取值范圍：確定函數的定義域，求導數，求方程的根的情況，得關于參數的方程(或不等式)，進而確定參數的取值或范圍.9．求函數f(x)在[a,b]上最值的方法（1）若函數f(x)在[a,b]上單調遞增或遞減，f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值．（2）若函數f(x)在區間(a,b)內有極值，先求出函數f(x)在區間(a,b)上的極值，與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（3）函數f(x)在區間(a,b)上有唯一一個極值點時，這個極值點就是最大(或最小)值點．注意：（1）若函數中含有參數時，要注意分類討論思想的應用.（2）極值是函數的“局部概念”，最值是函數的“整體概念”，函數的極值不一定是最值，函數的最值也不一定是極值.要注意利用函數的單調性及函數圖象直觀研究確定.重點一利用導數的研究函數單調性一般地，從函數導數的幾何意義理解函數的單調性與導數的正負之間的關系；函數f(x)的單調性與導函數f′(x)正負的關系定義在區間(a，b)內的函數y＝f(x)：f′(x)正負f(x)單調性f′(x)＞0單調遞增f′(x)＜0單調遞減類型一：求函數單調區間例題1．函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，令，得，所以函數的單調遞減區間是，故選：A.例題2．已知定義在［0，3］上的函數的圖像如圖，則不等式＜0的解集為（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3)【答案】B【解析】由圖象知在上是減函數，所以的解集是．故選：B．例題3．函數在定義域內可導，圖像如圖所示，記的導函數為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的解集即為單調遞增區間結合圖像可得單調遞增區間為則的解集為故選：C．例題4．的單調遞減區間為__________．【答案】【解析】解：因為，所以，令，即，解得，所以函數的單調遞減區間為；故答案為：類型二：含參函數的單調性例題1．若函數在是增函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】問題轉化為在上恒成立，分離數數后轉化為求新函數的最值可得．【詳解】∵在上是增函數，故在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，則為減函數.∴，故.故選：D.例題2．若函數在定義域內有兩個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數定義域為.，若，則，故在上為減函數，故在上至多一個零點，與題設不合，舍.故，則當時，；當時，；故在上為減函數，在上為增函數，故，因為函數在上有兩個零點，故，所以，故.此時，而，，在上有一個零點；又由可得，故，而，設，則，當時，，當時，，故在上為減函數，在上為增函數，故，故，所以在上有一個零點；綜上，當時，在上有兩個不同的零點，故選：D.例題3．已知，若成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：函數的定義域為，關于原點對稱，，函數為偶函數，當時，，，則函數在上為增函數，由得，由偶函數的性質得，由于函數在上為增函數，則，即，整理得，解得，因此，實數的取值范圍是.故選：B.例題4．函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以.因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，則由函數單調性的性質知，在上減函數，，即.所以實數的取值范圍為。故選：A.例題5．已知函數，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，，，令，易得在上單調遞增，，記，則,故當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，故，故只需故實數的取值范圍為．故選：A例題6．若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】函數在區間上單調遞增，則在上恒成立，然后利用分離參數法即可得出答案.【詳解】解：，因為函數在區間上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上遞減，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.例題7．已知，若在區間上存在，使得成立，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】由題可得，因為在區間上存在，使得成立，所以函數在區間不是單調函數，所以在上有解，所以在上有解，所以.所以，實數a的取值范圍是.故答案為：.類型三：利用導數求函數極值與最值例題1．設函數的導函數為，的部分圖象如圖所示，則（

）A．函數在上單調遞增B．函數在上單調遞增C．函數在處取得極小值D．函數在處取得極大值【答案】B【解析】由圖象可知，函數在上單調遞減，A錯誤；函數在上單調遞增，B正確，C錯誤；函數在處取得極小值，D錯誤.故選：B.例題2．已知函數的定義域為(a，b)，導函數在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數在(a，b)上的極大值點的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據極大值點的定義結合導函數的圖象分析判斷即可【詳解】由函數極值的定義和導函數的圖象可知，在(a，b)上與x軸的交點個數為4，但是在原點附近的導數值恒大于零，故x＝0不是函數f(x)的極值點．其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導數值左正右負，故極大值點有2個．故選：B例題3．導函數的圖象如圖所示，下列說法正確的個數是（

）①導函數在處有極小值②函數在處有極大值③函數在上是減函數④函數在是增函數A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由的圖象可知，故①正確；在兩邊，所以在無極值，②錯誤；由圖象可知，在上先大于0，后小于0，故在上先增后減，③錯誤；在上，所以函數在上單調遞增，④正確.故選：B例題4．已知函數有極值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求導，由題設得必有兩個不等的實根，再利用判別式求解即可.【詳解】由題意知，定義域為R，，要使函數有極值，則必有兩個不等的實根，則，解得.故選：D.例題5．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．當時，取得極小值1 B．當時，取得極大值1C．當時，取得極大值33 D．當時，取得極大值【答案】B【解析】【分析】求導可得解析式，令，可得極值點，利用表格法，可得的單調區間，代入數據，可得的極值，分析即可得答案.【詳解】由題意得，令，解得或，當x變化時，、變化如下x1+00+極大值極小值所以當時，取得極大值1，故B正確、C、D錯誤，當時，取得極小值，故A錯誤，故選：B例題6．若函數在區間上有最小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求導，求得其最小值點，再根據在區間上有最小值，由最小值點在區間內求解可得.【詳解】因為函數，所以，當或時，，當時，，所以當時，取得最小值，因為在區間上有最小值，且所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：C例題7．已知函數在處取得極小值，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．9【答案】D【解析】，則，即，所以，當且僅當時，等號成立．故選：D．例題8．已知函數有兩個不同極值點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，函數有兩個不同極值點有兩個不同解有兩個不同交點.如圖所示，與切于點，故，又，綜上可解得，故當時有兩個不同交點，故選：C例題9．若函數有兩個極值點，則常數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因為定義域為，，令，函數有兩個極值點，則在區間上有兩個不相等的實數根，，當時，，則函數在區間單調遞增，因此在區間上不可能有兩個不相等的實數根，應舍去；當時，令，解得，令，解得，即在上單調遞增；令，解得，即在上單調遞減．當時，函數取得極大值即最大值．要使在區間上有兩個不相等實數根，則，解得，實數的取值范圍是，故選：A．類型四：利用導數解決函數不等式問題例題1．若函數在R上可導，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數，函數在上可導，且滿足，，時，函數單調遞增，（3）（2），即，即，故選：A例題2．設，分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，時，，遞增，又是奇函數，所以，從而，由得，，，所以是奇函數，所以在時也是增函數，，所以由得，綜上，不等式的解為．故選：D．例題3．已知是定義在上的函數，其導函數為，且不等式恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，構造函數，則因為不等式恒成立，所以，即在上單調遞增，對于A選項，因為，即，即，故A選項錯誤對于B選項，因為，即，即，故B選項正確對于C選項，因為，即，即，故C選項錯誤對于D選項，因為，即，即，故D選項錯誤故選：B例題4．已知函數，，若，恒成立，則實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以在上的最大值是．，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，則，即，所以，所以實數k的取值范圍是．故選:D．例題5．已知不等式恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設，可知：，問題轉化為在上恒成立，令，則，當時，即遞增；當時，即遞減；所以，故.故選：B例題6．若對任意，不等式恒成立，則實數的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由得，令，因為都是單調遞增函數，所以為單調遞增函數，所以，即對任意時恒成立，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，所以，即.故選：A.例題7．若函數對任意的都有恒成立，則（

）A． B．C． D．與的大小關系不確定【答案】B【解析】：由可得對任意的都成立，設，則對任意的都成立，所以在上單調遞增，因為，所以，所以，即，所以.故選：B.例題8．定義在（0，+∞）的函數f（x）滿足，，則不等式的解集為（

）A．（－∞，0） B．（－∞，1）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】設，則，所以在上單調遞減，因為，所以，且，所以由得：結合單調性可得：，解得：，故選：C例題9．已知定義在上的偶函數的導函數為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為當時，，所以．令，則，所以在上單調遞減，因為是定義在上的偶函數，所以是上的奇函數，又因為是的導函數，所以的圖象連續，故在上單調遞減．因為，所以，所以當時，等價于解得；當時，等價于，解得．綜上可知，不等式的解集為．故選A．類型五：利用導數比較大小例題1．，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】：由題可知，所以只需比較，，的大小．設，因為，所以，記，∴，∴，∴當時，，所以在上單調遞減，故.故選：C．例題2．已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，時，，是減函數，又，所以，即，故選：D．例題3．已知，，，設曲線在處的切線斜率為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據導數幾何意義可得，利用導數可求得在上單調遞減；根據大小關系可得結論.【詳解】當時，，，，，在上單調遞減；，即，.故選：C.例題4．已知函數，設，，，則a，b，c的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因為，則，所以又時，，所以恒成立所以在上單調遞增；又，，所以，則.故選：A.例題5．設，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，當時，，則為單調遞增函數，當時，，則為單調遞減函數，所以，又，，，又，，且在上單調遞減，所以，所以.故選：D例題6．設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，，，令，則，所以在為減函數，所以，即，所以，則，即.故選：D例題7．設，，，其中為自然對數的底數，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，令，，，，故在，上是減函數，故，即，故，即，故選：D．例題8．已知函數的圖像關于直線對稱，且當時，成立，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數的圖像關于直線對稱，可知函數的圖像關于直線對稱，即為偶函數，構造，當，，故在上單調遞減，且易知為奇函數，故在上單調遞減，由，所以.故選：B.例題9．已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設，，令，解得.，，單調遞減，，，單調遞增.所以，即，當且僅當時取等號.所以.又，，故，所以；設，，令，解得.，，單調遞增，，，單調遞減.所以，即，當且僅當時取等號.所以，故，又，所以，故.故選：B.類型六：函數導數的綜合應用二熱點題型歸納【題型一】利用導數研究函數的零點【題型二】利用導數證明不等式【題型三】利用導數解決不等式恒成立、存在性問題例題1已知函數的定義域為．（1）求的單調區間；（2）討論函數在上的零點個數【解析】（1），因為，所以的零點為0和1.令，得；令，得或.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，.（2）由（1）知，在上的極大值為，極小值為，因為，，所以.，由，得.當或時，的零點個數為0；當或時，的零點個數為1；當或時，的零點個數為2；當時，的零點個數為3.例題2已知函數.（1）若，討論的單調性；（2）已知，若方程在有且只有兩個解，求實數的取值范圍.【解析】（1）依題可得，函數的定義域為，所以.當時，由，得，則的減區間為；由，得，則的增區間為.當時，由，得，則的減區間為；由，得或，則的增區間為和.當時，，則的增區間為.當時，由，得，則的減區間為；由，得或，則的增區間為和.（2）.在上有兩個零點，即關于方程在上有兩個不相等的實數根.令，，則.令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調遞增.因為，所以當時，有，即，所以單調遞減；當時，有，即，所以單調遞增.因為，，，所以的取值范圍是.☆技巧點撥☆1.判斷函數零點個數的思路判斷函數在某區間[a,b]((a,b))內的零點的個數時,主要思路為:一是由f(a)·f(b)<0及零點存在性定理,說明在此區間上至少有一個零點;二是求導,判斷函數在區間(a,b)上的單調性,若函數在該區間上單調遞增或遞減,則說明至多只有一個零點;若函數在區間[a,b]((a,b))上不單調,則要求其最大值或最小值,借用圖象法等判斷零點個數.2.利用函數零點情況求參數范圍的方法(1)分離參數(a=g(x))后,將問題轉化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉化為直線y=a與y=g(x)的圖象的交點個數問題(優選分離,次選分類)求解.(2)利用零點存在性定理構建不等式求解.(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題,從而構建不等式求解.【題型二】利用導數證明不等式例題3已知函數且.（1）求函數的單調區間；（2）證明：.【解析】（1），，即,解得或.，解得，∴,∴，令，得.當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.所以的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.（2）要證成立，只需證成立.令，則，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又由（1）可得在上，所以，所以，所以原不等式成立.例題4已知函數有兩個零點，.（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1）解：的定義域為，.①當時，，所以在上單調遞增，故至多有一個零點，不符合題意；②當時，令，得；令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以（i）若，則，故至多有一個零點，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個零點，分別在，內.綜上，實數的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調遞減，則，即，∴在上單調遞減，從面，∴得證，即得證.☆技巧點撥☆1.證明不等式的基本方法(1)利用單調性:若f(x)在[a,b]上是增函數,則①?x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②?x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).對于減函數有類似結論.(2)利用最值:若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m),則?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)構造法:如若證明f(x)<g(x),可構造函數F(x)=f(x)g(x),證明F(x)<0.2.證明含雙變量不等式的常見思路(1)將雙變量中的一個看作變量,另一個看作常數,構造一個含參數的輔助函數證明不等式.(2)整體換元.對于齊次式往往可將雙變量整體換元,化為一元不等式.(3)若雙變量的函數不等式具有對稱性,并且可以將兩個變量分離開,分離之后的函數結構具有相似性,從而構造函數利用單調性證明.【題型三】利用導數解決不等式恒成立、存在性問題例題5已知函數f(x)＝eq\f(sinx,x)(x≠0).(1)判斷函數f(x)在區間上的單調性；(2)若f(x)<a在區間上恒成立，求實數a的最小值.【解析】(1)f′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，令g(x)＝xcosx－sinx，x∈，則g′(x)＝－xsinx，顯然，當x∈時，g′(x)＝－xsinx<0，即函數g(x)在區間上單調遞減，且g(0)＝0.從而g(x)在區間上恒小于零，所以f′(x)在區間上恒小于零，所以函數f(x)在區間上單調遞減.(2)不等式f(x)<a，x∈恒成立，即sinx－ax<0恒成立.令φ(x)＝sinx－ax，x∈，則φ′(x)＝cosx－a，且φ(0)＝0.當a≥1時，在區間上φ′(x)<0，即函數φ(x)單調遞減，所以φ(x)<φ(0)＝0，故sinx－ax<0恒成立.當0<a<1時，φ′(x)＝cosx－a＝0在區間上存在唯一解x0，當x∈(0，x0)時，φ′(x)>0，故φ(x)在區間(0，x0)上單調遞增，且φ(0)＝0，從而φ(x)在區間(0，x0)上大于零，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.當a≤0時，在區間上φ′(x)>0，即函數φ(x)單調遞增，且φ(0)＝0，得sinx－ax>0恒成立，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.故實數a的最小值為1.例題6已知函數，.（1）當時，求函數的極值；（2）當時，若在上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）函數，定義域為，，當時，令，解得：或，當時，；當時，；在，上單調遞增，在上單調遞減；函數的極小值為，函數的極大值為.（2）令，在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數在上的最小值小于零.由得：，，，又，，當時，；當時，，①當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，，，，此時不成立，②當，即時，在上單調遞減，；由可得：，，；綜上所述：實數的取值范圍為.【提分秘籍】1.分離參數法解含參不等式恒成立的思路用分離參數法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數的系數正負的情況下,可以根據不等式的性質將參數分離出來,得到一個一端是參數,另一端是變量表達式的不等式,只要研究變量表達式的最值就可以解決問題.2.含參數的能成立(存在型)問題的解題方法(1)a≥f(x)在x∈D上能成立,則a≥f(x)min;(2)a≤f(x)在x∈D上能成立,則a≤f(x)max.3.含全稱、存在量詞不等式能成立問題(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min.一、單選題1．已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】安徽省黃山市20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】B【解析】因為函數在上單調遞增，所以，則，令，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，所以，即，所以實數的取值范圍為故選：B.2．若過點可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．【來源】安徽省安慶市第二中學20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】D【解析】由題可得，設切點，則，整理得，由題意知關于的方程有三個不同的解，設，，由，得或，又，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，當時，當時，，且，，函數的大致圖像如圖所示，因為的圖像與直線有三個交點，所以，即.故選：D.【點睛】利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.3．已知函數，，若，使得成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學校20212022學年高二下學期期末考試數學試題【答案】A【解析】【詳解】，使得成立，等價為使得成立，由得，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，，故在成立，當時，，設，，則，由，得，所以在遞減，所以，則在遞減，所以，則，所以．故選：A4．定義域為R的可導函數的導函數為，滿足且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【來源】四川省遂寧市20212022學年高二下學期期末數學文科試題【答案】C【解析】令，則，∴在R上單調遞減，又∵，∴，即，∴.故選：C.5．已知函數在處取得極小值，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．9【來源】河南省商丘市名校20212022學年高二下學期期末數學理科試題【答案】D【解析】，則，即，所以，當且僅當時，等號成立．故選：D．6．已知函數，過點M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，則實數t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】山東省棗莊市20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】D【解析】設切點為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為點M（1，t）在切線上，所以，化簡整理得，令，則，所以當或時，，當時，，所以在和上遞減，在上遞增，所以的極小值為，極大值為，當時，，所以的圖象如圖所示，因為過點M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，所以的圖象與直線有三個不同的交點，所以由圖象可得，故選：D7．已知函數是定義在上的可導函數，對于任意的實數，都有，當時，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】安徽名校20212022學年高二下學期期末聯考數學試題【答案】C【解析】：因為，所以，令，則，所以為偶函數，當時，，所以，所以函數在上單調遞增，根據偶函數對稱區間上單調性相反的性質可知在上單調遞減，因為，所以，所以，即，解得或.故選：C.8．已知函數的極值點為，若有且只有一個，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【來源】陜西省商洛市20212022學年高二下學期期末理科數學試題【答案】B【解析】因為函數在上有且只有一個極值點，所以在上有且只有一個變號零點，由，得，令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，．由，解得．故選：B.9．若函數在上為增函數，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】安徽名校20212022學年高二下學期期末聯考數學試題【答案】A【解析】，因為函數在[2，4]上為增函數，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上恒成立，所以.故選：A10．如圖是函數的導函數的圖象，則下列判斷正確的是（

）A．在區間（－2，1）上，是增函數B．當時，取到極小值C．在區間（1，3）上，是減函數D．在區間（4，5）上，是增函數【來源】湖南省長沙市長郡中學20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】D【解析】【分析】由導函數與單調性、極值的關系判斷．【詳解】由導函數圖象知，在時，，遞減，A錯；時，取得極大值（函數是先增后減），B錯；時，，遞增，C錯；時，，遞增，D正確．故選：D．11．若關于x的不等式對恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】四川省成都市蓉城名校聯盟20212022學年高二下學期期末聯考理科數學試題【答案】A【解析】【分析】令，故，原不等式變為，進而令，利用最值分析法，通過對的導數進行討論，即得.【詳解】由題意得，，令，故，故.令，則.若，則，則在上單調遞增，又，則當時，，不合題意，舍去；若，則當時，，當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以若，則當，，舍去；若，則當，，舍去；若，則，符合題意，故.故選：A【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.12．已知，，若存在，，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】原命題等價于，再求和解不等式即得解.【詳解】，使得成立，則，由題得，當時，，當時，，所以函數在（∞，0）單調遞增，在（0，+∞）單調遞減，所以，由題得，∴故選：B.13．已知函數，若對任意的，，且，都有，則實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】陜西省西安市雁塔區第二中學、渭北中學20212022學年高二下學期期末聯考文科數學試題【答案】B【解析】【分析】根據題意可判斷函數的單調性，然后轉化成導函數的正負問題，參數分離后構造函數即可求解.【詳解】由可知:在單調遞增.故在上恒成立,記,當時,,則單調遞減,當時,,則單調遞增,所以在上有最小值為,所以,故選:B14．一般地，對于一元三次函數，若，則為三次函數的對稱中心，已知函數圖象的對稱中心的橫坐標為（），且有三個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】河南省鄧州市第一高級中學20212022學年高二下學期期末考前拉練（二）數學（理）試題【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，用a表示，再求出的極大值與極小值，列式求解作答.【詳解】由函數求導得：，則，由解得，則有，，當或時，，當時，，則在，上單調遞增，在上單調遞減，因此，當時，取得極大值，當時，取得極小值，因函數有三個零點，即函數的圖象與x軸有三個公共點，由三次函數圖象與性質知，，于是得，解得，綜上得：，實數a的取值范圍是.故選：A.15．已知函數，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【來源】河南省洛陽市20212022學年高二下學期期中考試理科數學試題【答案】D【解析】【分析】分析函數的單調性，設，可得出，構造函數，利用導數求出函數的最大值，即可得解.【詳解】因為，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，不妨設，有，可得，有，令，有，令，可得，由，可得，可得函數的增區間為，減區間為，可得，故的最大值為.故選：D.16．已知函數，（）．若在上恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】河南省九師聯盟20212022學年高二下學期4月聯考文科數學試題【答案】D【解析】【分析】在上恒成立，即在上恒成立，令，利用導數求出函數的最小值，即可得出答案.【詳解】解：在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，所以，所以.故選：D.17．已知，是函數的兩個極值點，且，當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍（

）A． B．C． D．【來源】福建省泉州市城東中學20212022學年高二下學期期中考試數學試題【答案】B【解析】【分析】先求導由，是極值點，得，進而將不等式恒成立轉化為，構造函數求得最小值，即可求出實數的取值范圍.【詳解】由題意得，，，所以，是方程的兩個正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調遞減，所以，故.故選：B.【點睛】解決極值點問題，通常求導轉化為導數根的問題，結合韋達定理可將雙變量問題轉化為單變量問題；而恒成立問題，通常采用參變分離，轉化為函數最值問題，利用導數加以解決.18．已知定義域為的函數滿足（為函數的導函數），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【來源】四川省南充市南部縣第二中學20212022學年高二下學期5月月考數學（理）試題【答案】A【解析】【分析】根據給定的含導數的不等式，構造函數，再分段討論求解不等式作答.【詳解】依題意，令，則，即函數在R上單調遞增，由知，，當時，不等式為成立，則，當時，，即，于是得，因此有，解得，即得，當時，，同理有，即有，解得或，因此得，綜上得，所以不等式的解集為.故選：A19．已知實數，，滿足，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【來源】黑龍江省大慶實驗中學20212022學年高二實驗一部下學期期末考試數學試題【答案】C【解析】由，得，設，則，當時，，單調遞增，因為，所以，所以，故，則，即有，故.故選：C.20．已知是定義在的減函數.設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【來源】四川省成都市第七中學20212022學年高二下學期期中數學文科試題【答案】B【解析】令且，則，所以上，即遞減，故，則，又，即，由在的減函數，則.故選：B二、多選題21．設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（

）A．函數在上遞減，在上遞減B．函數在上遞增，在上遞增C．函數有極大值和極小值D．函數有極大值和極小值【來源】福建省漳州市第一外國語學校（漳州八中）20212022學年高二下學期3月月考數學試題【答案】BD【解析】：由圖可知：當時，，故在上單調遞增；當時，，故在上單調遞減；當時，，故在上單調遞減；當時，，故在上單調遞增；故函數在時取得極大值，在時取得極小值，即函數有極大值和極小值；故選：BD．22．已知函數，下列結論正確的是（

）A．當時，的圖像關于y軸對稱B．當時，的圖像關于點中心對稱C．，使得為上的增函數D．當時，若在上單調遞增，則的最小值為【來源】江蘇省無錫市普通高中20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】BCD【解析】【分析】時，，，是奇函數，A錯；時，，，所以的圖象關于點對稱，B正確；，，當時，恒成立，在上遞增，C正確；，，，所以有兩個不等的實根，設，在或時，，時，，即在上單調遞增，，，，所以時，取得最小值，即取得最小值，D正確．故選：BCD．23．定義在R上的可導函數的導函數的圖象如圖所示，以下結論錯誤的是（

）A．是的一個極小值點 B．的單調遞增區間是C．的單調減區間是 D．和都是的極值點【來源】四川省鹽亭中學20212022學年高二下學期第四學月教學質量測試數學（理）試題【答案】ABC【解析】，且在的左側，，右側，是極小值點，A正確；雖然，但在的兩側，都有，因此不是極值點，，也不是極值點，D錯誤；在上，恒成立，的解只有一個，因此此時遞增，B正確；時，，是的減區間，C正確．故選：ABC．24．對于定義在R上的可導函數，為其導函數，下列說法不正確的是（

）A．使的一定是函數的極值點B．在R上單調遞增是在R上恒成立的充要條件C．若函數既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大D．若在R上存在極值，則它在R一定不單調【來源】重慶市三峽名校聯盟20212022學年高二下學期聯考數學試題【答案】ABC【解析】A選項，的不一定是函數的極值點，比如在處導函數的值為0，但不是的極值點，A說法錯誤；在R上單調遞增，可能會在某點導函數等于0，比如為單調遞增函數，在處導函數值為0，故在R上單調遞增不是在R上恒成立的充要條件，B說法錯誤；若函數既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如，在處取得極大值2，在處取得極小值2，極小值大于極大值，故C說法錯誤；根據極值點和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調，D說法正確.故選：ABC三、填空題25．已知偶函數若方程有且只有6個不相等的實數根，則實數m的取值范圍為_______．【來源】陜西省渭南市富平縣20212022學年高二下學期期末理科數學試題【答案】【解析】(1)當時，由得；由得.所以在上單調遞增，在上單調遞減.，.(2)當時，，于是可畫出右邊的函數圖象，又因為為偶函數，其圖象關于y軸對稱，從而可畫出左邊的圖象.由圖象知：.故答案為：.26．已知直線分別與函數和的圖象交于點A，B，則的最小值為___________．【來源】福建省廈門外國語學校20212022學年高二下學期數學期末模擬試題（2）【答案】1【解析】先證明：，證明：設，故，當時，，當時，，故在為減函數，在上為增函數，故，故.設，則且即，故，由的性質可得，當且僅當時等號成立，故，故答案為：1.27．函數的圖象如圖所示，則下列結論成立的是______．①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．【來源】人教A版（2019）選修第二冊實戰演練全冊綜合驗收檢測【答案】①【解析】由圖知，由可得由圖知當或時，單調遞增，當時，單調遞減，，的大致圖象如圖所示：所以，因為和是的兩個極值點，即的兩根為和，，，所以，可得，，綜上所述：，，，，故答案為：①.28．已知函數，，若，則的最小值為______.【答案】【解析】設，即，，解得，，所以，令，則，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.29．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，給出下列命題：①當時，；②函數有2個零點；③的解集為；④，都有.其中正確的命題是___________.【來源】第08周周練（拓展三：利用導數研究函數的零點問題；拓展四：利用導數研究方程的根）【周測打卡】20212022學年高二數學同步好題好卷周周練（人教A版2019選擇性必修第二冊）【答案】①④【解析】①當，則，由，而，故正確；②時，，故在上遞增，上遞減且極大值為、有，值域為；由題設知：在上遞增，上遞減且極小值為、有，值域為，又，易知共有3個零點，故錯誤；③由②知：的解集為，故錯誤；④由②知：時有，即都有，故正確.故答案為：①④30．設函數，若，則函數有_____個零點；若函數有且僅有兩個零點，則實數的取值范圍是________.【來源】北京市昌平區20212022學年高二下學期期末質量抽測數學試題【答案】

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【解析】解：當時，，時，令，即，解得或，時，，易知在上單調遞減，又，所以由函數零點存在定理可得在上有且只有一個零點，綜上，時，函數有3個零點；因為函數有且僅有兩個零點，所以由第一空的解答可知，當時，方程，即無解，令，則，令，可得，令，可得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又時，；時，，且，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：3；.31．已知函數，則的極小值為___________；若函數，對于任意的，總存在，使得，則實數的取值范圍是___________.【來源】天津市部分區20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】

【解析】由，得，令，得，列表如下：遞減極小值遞增所以，函數的極小值為；（2），，使得，即，.①當時，函數單調遞增，，，即；②當時，函數單調遞減，，，即；③當時，，不符合題意.綜上：.故答案為：；.五、解答題32．已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數在上的最大值和最小值.【來源】廣東省廣州市南沙區20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】(1)(2)最大值為，最小值0【解析】（1）解：，則，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）解：，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，又，所以函數在上的最大值為，最小值0.33．已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【來源】安徽省黃山市20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）解：由知定義域為，且①時，在上，故在上單調遞增；②時，當時，時，故在上單調遞增，在上單調遞減.（2）解：由得，令①當時，在，恒成立，所以不可能；②當時在上單調遞減且，當時，，故在上存在，使得時，，則在上單調遞增，所以與題不符.

當時，，所以在上單調遞減，所以，符合題意.綜上所述，34．已知函數.(1)當時，求函數的單調區間：(2)若在恒成立，求實數的取值范圍.【來源】江蘇省南京市六校聯合體20212022學年高二下學期5月聯考數學試題【答案】(1)答案見解析(2)【解析】(1)當時設，則即在遞減，在遞增，當，當而當所以當遞減；遞增.故函數增區間為，減區間為(2)，令在遞增，而，，使，即當時，在遞減，當時，在遞增因為可變形為又在遞增，由（**）可得故取值范圍為35．已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若有兩個極值點，，且，當時，求的取值范圍．【來源】安徽省滁州市20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）解：的定義域為，，令，當，即時，在上恒成立，故此時是增函數；當，即時，有兩個正根，，或，顯然，此時的單調遞增區間為，，單調遞減期間為；同理當時，在上恒成立，故此時是增函數；綜上可知：當時，是增函數；時，的兩根為，或，此時的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.（2）解：由（1）知，，再令當，的兩個極值點為的兩個互異實根，，且，，則，即，顯然，由整理得，所以，而，將代入上式整理得，再將代入上式得：，，令，，在上恒成立，故在上單調遞減，，，且，即的取值范圍為.36．已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍.【來源】甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學20212022學年高二下學期期末數學（理）試題【答案】(1)當時函數，函數在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增(2)【解析】(1)函數的定義域是且當時，，從而，函數在上單調遞減；當時，若，則，從而；若，則，從而，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.(2)由（1）可知，函數的極值點是，若，則.若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立.

令，則，易知為函數在內唯一的極小值點，也是最小值點，故，即=，故只要即可.所以b的取值范圍是.37．已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)當時，若對任意恒成立，求整數的最大值.【來源】黑龍江省哈爾濱市第六中學校20212022學年高二下學期期末數學試題【答案】(1)答案見解析(2)3【解析】(1)解：∵,，所以，當時，，∴的單調遞增區間為，當時，令，∴，當時，當時，∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為當時，令，∴，當時，當時，∴的單調遞增區間為，