專題08函數的圖象【熱點聚焦】高考對函數圖象的考查，主要有作圖、識圖、用圖，考查數形結合思想的應用.命題形式有基本初等函數的圖象、由函數的性質及解析式選圖；由函數的圖象來研究函數的性質、圖象的變換、方程問題、不等式問題等，常見的函數圖象應用命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數性質等．常常與導數結合考查.【重點知識回眸】一.冪函數、指數函數、對數函數的圖象1.五種冪函數的圖象2．指數函數圖象的畫法畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象越高，底數越大．4．對數函數的圖象與底數大小的關系如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．二．利用描點法作函數的圖象描點法作函數圖象的基本步驟是列表、描點、連線，具體為：(1)①確定函數的定義域；②化簡函數的解析式；③討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊點：如零點、最值點、區間端點以及與坐標軸的交點等)．(3)描點、連線．三．利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換提醒：“左加右減”只針對x本身，與x的系數無關，“上加下減”指的是在f(x)整體上加減．(2)對稱變換(3)伸縮變換(4)翻轉變換（5）圖象變換的策略（1）在尋找到聯系后可根據函數的形式了解變換所需要的步驟，其規律如下：①若變換發生在“括號”內部，則屬于橫坐標的變換②若變換發生在“括號”外部，則屬于縱坐標的變換（2）多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標還是縱坐標的變換后，在安排順序時注意以下原則：①橫坐標的變換與縱坐標的變換互不影響，無先后要求②橫坐標的多次變換中，每次變換只有發生相應變化例如：可有兩種方案方案一：先平移（向左平移1個單位），此時。再放縮（橫坐標變為原來的），此時系數只是添給，即方案二：先放縮（橫坐標變為原來的），此時，再平移時，若平移個單位，則（只對加），可解得，故向左平移個單位③縱坐標的多次變換中，每次變換將解析式看做一個整體進行例如：有兩種方案方案一：先放縮：，再平移時，將解析式看做一個整體，整體加1，即方案二：先平移：，則再放縮時，若縱坐標變為原來的倍，那么，無論取何值，也無法達到，所以需要對前一步進行調整：平移個單位，再進行放縮即可（）四.常用結論1．函數圖象自身的軸對稱(1)f(－x)＝f(x)?函數y＝f(x)的圖象關于y軸對稱；(2)函數y＝f(x)的圖象關于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函數y＝f(x)的定義域為R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．2．函數圖象自身的中心對稱(1)f(－x)＝－f(x)?函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱；(2)函數y＝f(x)的圖象關于(a,0)對稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．3．兩個函數圖象之間的對稱關系(1)函數y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱(由a＋x＝b－x得對稱軸方程)；(2)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱；(3)函數y＝f(x)與y＝2b－f(－x)的圖象關于點(0，b)對稱；(4)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．【典型考題解析】熱點一基本初等函數的圖象【典例1】（2019·浙江·高考真題）在同一直角坐標系中，函數且的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數函數、對數函數的圖象和，結合選項，判斷得出正確結論.題目不難，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，函數過定點且單調遞減，則函數過定點且單調遞增，函數過定點且單調遞減，D選項符合；當時，函數過定點且單調遞增，則函數過定點且單調遞減，函數過定點且單調遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【典例2】（浙江·高考真題（文））在同一直角坐標系中，函數的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】通過分析冪函數和對數函數的特征可得解.【詳解】函數，與，答案A沒有冪函數圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【典例3】【多選題】（2023·全國·高三專題練習）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據的關系與各圖形一個個檢驗即可判斷．【詳解】當時，A正確；當時，B正確；當時，D正確；當時，無此選項．故選：ABD．熱點二作函數的圖象【典例4】（2021·全國·高考真題（文））已知函數．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據函數圖像數形結和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，，解得或（舍去），則數形結合可得需至少將向左平移個單位，.【總結提升】函數圖象的畫法(1)直接法：當函數表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數時，就可根據這些函數的特征描出圖象的關鍵點直接作出．(2)轉化法：含有絕對值符號的函數，可去掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫圖象．熱點三圖象的變換【典例5】（2022·全國·高三專題練習）函數的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數的圖象與軸的交點是結合函數的平移變換得函數的圖象與軸的公共點是，即可求解.【詳解】由于函數的圖象可由函數的圖象左移一個單位而得到，函數的圖象與軸的交點是，故函數的圖象與軸的交點是，即函數的圖象與軸的公共點是，顯然四個選項只有A選項滿足.故選：A.【典例6】（四川·高考真題（文））函數的圖象可能是

()A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】對進行分類討論，結合指數函數的單調性以及函數圖像平移變換，即可得出答案.【詳解】①當時，函數可以看做函數的圖象向下平移個單位，由于，則A錯誤；又時，，則函數過點，故B錯誤；②當時，函數可以看做函數的圖象向下平移個單位，由于，則D錯誤；又時，，則函數過點，故C正確；故選：C【規律方法】1．平移變換當m>0時，y＝f(x－m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得到；y＝f(x＋m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向左平移m個單位得到；y＝f(x)＋m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向上平移m個單位得到；y＝f(x)－m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向下平移m個單位得到．2．對稱(翻折)變換y＝f(|x|)的圖象可以將y＝f(x)的圖象位于y軸右側和y軸上的部分不變，原y軸左側部分去掉，畫出y軸右側部分關于y軸對稱的圖形而得到．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象位于y軸上方的部分不變，而將位于y軸下方的部分翻折到y軸上方得到．y＝－f(x)的圖象可將y＝f(x)的圖象關于x軸對稱而得到．y＝f(－x)的圖象可由y＝f(x)的圖象關于y軸對稱得到．熱點四函數圖象的辨識【典例7】（2022·全國·高考真題（理））函數在區間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數，排除BD；又當時，，所以，排除C.故選：A.【典例8】（2022·天津·高考真題）函數的圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】分析函數的定義域、奇偶性及其在上的函數值符號，結合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數的定義域為，，則函數為奇函數，排除CD選項；當時，，排除B選項.故選：A.【典例9】（2021·天津·高考真題）函數的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由函數為偶函數可排除AC，再由當時，，排除D，即可得解.【詳解】設，則函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數為偶函數，排除AC；當時，，所以，排除D.故選：B.【總結提升】辨析函數圖象的入手點(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(3)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．(4)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(5)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復．熱點五：從圖象到解析式【典例10】（2022·全國·高考真題（文））如圖是下列四個函數中的某個函數在區間的大致圖像，則該函數是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.【詳解】設，則，故排除B;設，當時，，所以，故排除C;設，則，故排除D.故選：A.【典例11】（2021·浙江·高考真題）已知函數，則圖象為如圖的函數可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由函數的奇偶性可排除A、B，結合導數判斷函數的單調性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除A；對于B，，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.【總結提升】1.根據圖象找解析式，一般先找差異，再驗證.2．抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．3．根據實際背景、圖形判斷函數圖象的方法：(1)根據題目所給條件確定函數解析式，從而判斷函數圖象(定量分析)；(2)根據自變量取不同值時函數值的變化、增減速度等判斷函數圖象(定性分析)．熱點六：函數圖象的應用【典例12】（2020·北京·高考真題）已知函數，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函數和的圖象，觀察圖象可得結果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【典例13】（2017·天津·高考真題（文））已知函數．設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】滿足題意時的圖象恒不在函數下方，當時，函數圖象如圖所示，排除C,D選項；當時，函數圖象如圖所示，排除B選項，本題選擇A選項.【典例14】（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，若函數，在區間上有10個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知得出函數是周期函數，周期為2，函數的零點個數轉化為函數的圖象與的圖象的交點個數，作出函數的圖象（其中的圖象由奇偶性與周期性結合作出），然后分析交點個數得出參數范圍．【詳解】由得，又是奇函數，所以，即是周期函數，周期為2，也是周期函數，且最小正周期是，由奇偶性和周期性作出函數的圖象，再作出的圖象，如圖，函數的零點個數即為函數的圖象與函數的圖象交點個數，是R上的奇函數，所以，從而，，易知它們在上有4個交點，從而在上也有4個交點，而時，點是一個交點，所以，在上，，，即是上交點，從而在上交點上交點為，由周期性在上兩函數圖象交點為，所以．綜上，．故選：A．【典例15】（2023·全國·高三專題練習）設函數f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，則f（x）（）A．是偶函數，且在單調遞增B．是奇函數，且在單調遞增C．是偶函數，且在單調遞增D．是奇函數，且在單調遞增【答案】B【解析】【分析】先求出的定義域結合奇偶函數的定義判斷的奇偶性，設t＝||，則y＝lnt，由復合函數的單調性判斷的單調性，即可求出答案.【詳解】解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．可得內層函數t＝||的圖象如圖，在（﹣∞，），（，+∞）上單調遞減，在（，）上單調遞增，又對數式y＝是定義域內的增函數，由復合函數的單調性可得，f（x）在（，）上單調遞增，在（﹣∞，），（，+∞）上單調遞減．故選：B．【總結提升】1.根據函數的圖象研究函數性質的方法(1)觀察函數圖象是否連續，左右范圍以及最高點和最低點，確定定義域、值域．(2)觀察函數圖象是否關于原點或y軸對稱，確定函數的奇偶性．(3)根據函數圖象上升和下降的情況，確定單調性．2.利用函數圖象研究不等式當不等式問題不能用代數法直接求解但其與函數有關時，可將不等式問題轉化為兩函數圖象(圖象易得)的上、下關系問題，利用圖象法求解．若函數為抽象函數，可根據題目畫出大致圖象，再結合圖象求解．3.利用函數圖象研究方程根的個數當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根是函數y＝f(x)與函數y＝g(x)圖象的交點的橫坐標．【精選精練】一.單選題1．（2020·天津·高考真題）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定函數的奇偶性，然后考查函數在特殊點的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.【詳解】由函數的解析式可得：，則函數為奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習）函數的圖像與函數的圖像的交點個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．0【答案】C【解析】【分析】作出兩個函數的圖像，由圖像可得交點個數．【詳解】在上是增函數，在和上是減函數，在和上是增函數，，，，作出函數的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個交點．故選：C．3．（2020·浙江·高考真題）函數y=xcosx+sinx在區間[–π，π]的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先確定函數的奇偶性，然后結合函數在處的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.【詳解】因為，則，即題中所給的函數為奇函數，函數圖象關于坐標原點對稱，據此可知選項CD錯誤；且時，，據此可知選項B錯誤.故選：A.4．（2022·北京·高三專題練習）已知二次函數的圖象如圖所示，將其向右平移個單位長度得到函數的圖象，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】作出函數與的圖象，數形結合可得出不等式的解集.【詳解】根據圖中信息作出函數、的圖象如下圖所示：因為，則，且，由圖可知，不等式的解集為.故選：C.5．（2022·內蒙古通遼·二模（文））若函數（且）在R上既是奇函數，又是減函數，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先求得的解析式中參數的值和的取值范圍，再去判斷其圖像形狀.【詳解】因為函數在R上是奇函數，所以，所以，經檢驗，滿足題意，又因為為減函數，所以，則（）由可知的圖象關于直線軸對稱，排除選項CD；又，可知選項A錯誤.所以的大致圖象為B．故選：B6．（2022·四川廣安·模擬預測（文））華羅庚說：“數無形時少直覺，形少數時難入微，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．”所以研究函數時往往要作圖，那么函數的部分圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據奇偶性排除BC，根據當時，排除A，繼而得解.【詳解】因為，所以，所以為偶函數，排除BC，當時，，且，所以當時，，排除A；故選：D.7．（2023·全國·高三專題練習）從函數，，，，中任選兩個函數，記為和，若或的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據圖象可知函數過定點，當時，為減函數；當時或交替出現，結合排除法和選項中函數的圖象與性質，即可得出結果.【詳解】由圖象可知，函數過定點，當時，，為減函數；當時，或交替出現.若，則，不符合題意，故A錯誤；若，則，即函數過定點，又，當時，，不符合題意，故B錯誤；若，則，不符合題意，故D錯誤.故選：C8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是定義在上的偶函數，滿足，當時，，則函數的零點個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】作出函數與的圖象，由圖象觀察即可求解【詳解】由，得，知周期，令，得.作出函數與的圖象如圖所示.由函數的圖象知，有兩個零點.故選：A9．（2022·全國·高三專題練習（理））設函數若方程（且）有唯一實根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函數圖象，由圖象結合臨界情況下對應的值，數形結合即可寫出滿足條件的范圍.【詳解】若，即有作出函數，的圖象，如圖，由圖象，可以發現當時,兩者無公共點，當時，即，時，有兩個公共點，故由圖象可知，當時，兩者有唯一公共點，當時，由與相切于點時，由可得，結合圖象可知，時，兩者有唯一公共點.綜上，a的取值范圍是.故選：D【點睛】關鍵點點睛：根據所給分段函數，分析出函數在上的具體解析式，做出函數的圖象，找出臨界情形，由數形結合的方法是解決此問題的關鍵.10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，設關于的不等式的解集為，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據條件分，和三種情況討論，由，求出的取值范圍．【詳解】解：顯然當時，，不滿足條件；當時，易知，當時，，于是，而由，可得，即，所以也不滿足條件，當時，函數，因為關于的不等式的解集為，若，則在上，函數的圖象應在函數的圖象的下方，如圖所示，要使在上，函數的圖象在函數的圖象的下方，只要即可，即，化簡可得，解得，所以的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.故選：C.二、多選題11．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）若關于x的不等式在區間上有唯一的整數解，則實數m的取值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】將不等式等價變形為，構造函數，，作出函數圖象，結合圖象求出有唯一正整數解的m取值范圍作答.【詳解】依題意，，設，，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則有，，當時，恒有，又函數的圖象是恒過點的直線，在同一坐標系內作出函數的圖象和直線，如圖，因在區間上有唯一的整數解，觀察圖象知，的唯一的整數解是1，因此，，且，即，解得，因，即1，不滿足，，滿足.故選：CD【點睛】關鍵點睛：涉及不等式有整數解問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用導數探求函數性質，畫出函數圖象，數形結合是解決問題的關鍵.三、填空題12．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖，則________．【答案】8【解析】【分析】由圖像可得：過點和，代入解得a、b．【詳解】由圖像可得：過點和，則有：，解得．∴．故答案為：8．13．（2023·全國·高三專題練習）函數，當取不同的正數時，在區間上它們的圖像是一組美麗的曲線（如圖），設點，，連接，線段恰好被其中的兩個冪函數，的圖像三等分，即有，那么________.【答案】【解析】【分析】根據，可的點與的坐標，進而可得參數值，計算可得解.【詳解】，點，，所以，，將兩點坐標分別代入，，得，，，故答案為：.14．（2023·全國·高三專題練習）若偶函數滿足，在時，，則關于x的方程在上根的個數是___．【答案】4【解析】【分析】根據可得是周期函數，根據的對稱性和周期性畫出函數圖象，然后在同一直角坐標系中觀察與圖象的交點情況即可求解.【詳解】解：滿足，故可得，所以函數是以2為周期的周期函數，且是偶函數根據，得該函數在[0，4]上的圖象為：再在同一坐標系中做出函數的圖象，當時，，當時，，而當時，如圖，當時，兩函數圖象有四個交點．所以方程在[0，4]上有4個根．故答案為：4．15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】畫出函數的圖象，結合圖象得到函數的始終在的下方，聯立方程組，根據，求得的值，進而得到答案.【詳解】由題意，函數，畫出函數的圖象，如圖所示，由圖象可知，要使的恒成立，只需函數的始終在的下方，若時，顯然不成立，所以，當時，聯立方程組，整理得，令，解得或，當時，可得，此時切點坐標為，符合題意；當時，可得，此時切點坐標為，不符合題意，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四、雙空題16．（2021·北京八十中高三階段練習）已知函數，若方程有三個不等的實數根，則實數的取值范圍