2019-2020學年高中數學第三章不等式3.5二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題名師講義新人教B版必修5(1)二元一次不等式是如何定義的？(2)應按照怎樣的步驟畫二元一次不等式表示的平面區域？(3)應按照怎樣的步驟畫二元一次不等式組表示的平面區域？eq\a\vs4\al([新知初探])1．二元一次不等式(組)的概念(1)二元一次不等式含有兩個未知數，且未知數的最高次數是1的整式不等式．(2)二元一次不等式組由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組．2．二元一次不等式表示的平面區域(1)直線l：Ax＋By＋C＝0，它把坐標平面分為兩部分，每個部分叫做開半平面．開半平面與l的并集叫做閉半平面．以不等式解(x，y)為坐標的所有點構成的集合，叫做不等式表示的區域或不等式的圖象．(2)坐標平面內的任一條直線都有如下性質：直線l：Ax＋By＋C＝0把坐標平面內不在直線l上的點分為兩部分，直線l的同一側的點的坐標使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符號，并且兩側的點的坐標使Ax＋By＋C的值的符號相反，一側都大于0，另一側都小于0.[點睛]二元一次不等式表示的平面區域不是坐標平面內有限的一部分，而是一個無限區域．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區域()(2)點(1,2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面區域內()(3)不等式Ax＋By＋C>0與Ax＋By＋C≥0表示的平面區域是相同的()(4)二元一次不等式組中每個不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式組所表示的平面區域都是封閉區域()解析：(1)錯誤．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，但表示的區域是直線x＝eq\f(1,2)的右側(不包括邊界)．(2)錯誤．把點(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以點(1,2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面區域內．(3)錯誤．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域不包括邊界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區域包括邊界，所以兩個不等式表示的平面區域是不相同的．(4)錯誤．在二元一次不等式組中可以含有一元一次不等式，如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1≥0，,3x＋2<0))也稱為二元一次不等式組．(5)錯誤．二元一次不等式組表示的平面區域是每個不等式所表示的平面區域的公共部分，但不一定是封閉區域．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．在直角坐標系中，不等式y2－x2≤0表示的平面區域是()解析：選C原不等式等價于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面區域為左右對頂的區域(包括邊界)，故選C.3．不等式2x－y－6＞0表示的平面區域在直線2x－y－6＝0的()A．左上方 B．右上方C．左下方 D．右下方解析：選D將(0,0)代入2x－y－6，得－6＜0，(0,0)點在不等式2x－y－6＞0表示的平面區域的異側．則所求區域在對應直線的右下方．故選D.4．已知點A(1,0)，B(－2，m)，若A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側，則m的取值集合是________．解析：因為A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側，所以把點A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符號相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)))))二元一次不等式(組)表示的平面區域[典例]畫出下列不等式(組)表示的平面區域．(1)2x－y－6≥0；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))[解](1)如圖，先畫出直線2x－y－6＝0，取原點O(0,0)代入2x－y－6中，∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴與點O在直線2x－y－6＝0同一側的所有點(x，y)都滿足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直線下方的區域(包含邊界)(如圖中陰影部分所示)．(2)先畫出直線x－y＋5＝0(畫成實線)，如圖，取原點O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原點在x－y＋5＞0表示的平面區域內，即x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點的集合．同理可得，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點的集合．如圖所示的陰影部分就表示原不等式組的平面區域．(1)在畫二元一次不等式組表示的平面區域時，應先畫出每個不等式表示的區域，再取它們的公共部分即可．其步驟為：①畫線；②定側；③求“交”；④表示．(2)要判斷一個二元一次不等式所表示的平面區域，只需在它所對應的直線的某一側取一個特殊點(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的正負判定．[活學活用]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－\r(2)－1≤0，,x－ky＋k≥0))表示的是一個軸對稱四邊形圍成的區域，則k為()A．1 B．－1C．±1 D．±2解析：選C在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－\r(2)－1≤0))所表示的平面區域中，三個頂點的坐標分別為(0,0)，(eq\r(2)＋1,0)，(0，eq\r(2)＋1)，又x－ky＋k＝0表示的是過點(0,1)的直線，則當k>0時，k＝1滿足條件(如圖1)；當k<0時，k＝－1滿足條件(如圖2)．故當k＝－1或1時不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－\r(2)－1≤0，,x－ky＋k≥0))表示的是一個軸對稱四邊形圍成的區域，故選C.二元一次不等式(組)表示平面區域的面積[典例]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋2y≤4，,y≥－2))表示的平面區域的面積為()A.eq\f(50,3) B.eq\f(25,3)C.eq\f(100,3) D.eq\f(10,3)[解析]作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋2y≤4，,y≥－2))表示的平面區域，如圖陰影部分所示．可以求得點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，點B的坐標為(－2，－2)，點C的坐標為(8，－2)，所以△ABC的面積是eq\f(1,2)×[8－(－2)]×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－－2))＝eq\f(50,3).[答案]A求平面區域的面積的方法求平面區域的面積，先畫出不等式組表示的平面區域，然后根據區域的形狀求面積．若圖形為規則的，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規則圖形，可采取分割的方法，將平面區域分為幾個規則圖形求解．[活學活用]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：選C作出平面區域如圖所示為△ABC，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－4＝0，,3x＋y－4＝0，))可得A(1,1)，又B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·|xA|＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,3)))×1＝eq\f(4,3)，故選C.用二元一次不等式組表示實際問題[典例]某廠使用兩種零件A，B裝配兩種產品P，Q，該廠的生產能力是月產P產品最多有2500件，月產Q產品最多有1200件；而且組裝一件P產品要4個零件A,2個零件B，組裝一件Q產品要6個零件A,8個零件B，該廠在某個月能用的A零件最多14000個，B零件最多12000個．用數學關系式和圖形表示上述要求．[解]設分別生產P，Q產品x件，y件，依題意則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋6y≤14000，,2x＋8y≤12000，,0≤x≤2500，x∈N，,0≤y≤1200，y∈N.))用圖形表示上述限制條件，得其表示的平面區域如圖(陰影部分整點)所示．用二元一次不等式組表示實際問題的方法(1)先根據問題的需要選取起關鍵作用的關聯較多的兩個量用字母表示．(2)將問題中所有的量都用這兩個字母表示出來．(3)由實際問題中有關的限制條件或由問題中所有量均有實際意義寫出所有的不等式．(4)把這些不等式所組成的不等式組用平面區域表示出來．[活學活用]某家具廠制造甲、乙兩種型號的桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成．已知木工做一張甲、乙型號的桌子分別需要1h和2h，漆工油漆一張甲、乙型號的桌子分別需要3h和1h．又木工、漆工每天工作分別不得超過8h和9h．請列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域．解：設家具廠每天生產甲，乙型號的桌子的張數分別為x和y，它們滿足的數學關系式為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,3x＋y≤9，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))分別畫出不等式組中各不等式表示的平面區域，然后取交集，如圖中的陰影部分所示，生產條件是圖中陰影部分的整數點所表示的條件．層級一學業水平達標1．設點P(x，y)，其中x，y∈N，滿足x＋y≤3的點P的個數為()A．10 B．9C．3 D．無數個解析：選A作eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤3，,x，y∈N))的平面區域，如圖所示，符合要求的點P的個數為10.2．在3x＋5y<4表示的平面區域內的一個點是()A．(2,0) B．(－1,2)C．(1,1) D．(－1,1)解析：選D將點(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以點(－1,1)在不等式3x＋5y<4表示的平面區域內，故選D.3．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x＋3y－3≤0))表示的平面區域為()解析：選C取滿足不等式組的一個點(2,0)，由圖易知此點在選項C表示的陰影中，故選C.4．已知點M(2，－1)，直線l：x－2y－3＝0，則()A．點M與原點在直線l的同側B．點M與原點在直線l的異側C．點M與原點在直線l上D．無法判斷點M及原點與直線l的位置關系解析：選B因為2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以點M與原點在直線l的異側，故選B.5．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面區域為Ⅰ，則當a從－2連續變化到1時，動直線x＋y－a＝0掃過Ⅰ中的那部分區域的面積為()A.eq\f(7,2) B.eq\f(7,3)C.eq\f(7,4) D.eq\f(1,2)解析：選C如圖所示，Ⅰ為△BOE所表示的區域，而動直線x＋y＝a掃過Ⅰ中的那部分區域為四邊形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，E(0,2)，△CDE為直角三角形．∴S四邊形BOCD＝eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(7,4).6．直線2x＋y－10＝0與不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－2，,4x＋3y≤20，,x≥0，y≥0))表示的平面區域的公共點有______個．解析：畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－2，,4x＋3y≤20，,x≥0，y≥0))表示的平面區域，如圖中陰影部分所示．因為直線2x＋y－10＝0過點A(5,0)，且其斜率為－2，小于直線4x＋3y＝20的斜率－eq\f(4,3)，故只有一個公共點(5,0)．答案：17．平面直角坐標系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y－1≥0，,3x－3y＋4≥0，,x≤2))表示的平面區域的形狀是________．解析：畫出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，由圖易知平面區域為等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是________．解析：不等式組表示的平面區域如圖所示，當y＝a過A(0,5)時表示的平面區域為三角形，即△ABC，當5＜a＜7時，表示的平面區域為三角形，綜上，當5≤a＜7時，表示的平面區域為三角形．答案：[5,7)9．已知點P(1，－2)及其關于原點的對稱點均不在不等式kx－2y＋1<0表示的平面區域內，求k的取值范圍．解：點P(1，－2)關于原點的對稱點為P′(－1,2)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2×－2＋1≥0，,－k－2×2＋1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－5，,k≤－3，))解得－5≤k≤－3.故k的取值范圍是[－5，－3]．10．已知實數x，y滿足不等式組Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0，,x－y－1≤0，,x－2y＋2>0，,x＋y－1>0.))(1)畫出滿足不等式組Ω的平面區域；(2)求滿足不等式組Ω的平面區域的面積．解：(1)滿足不等式組Ω的平面區域如圖中陰影部分所示．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6＝0，,x－2y＋2＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，\f(10,7)))，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6＝0，,x－y－1＝0，))得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(4,5)))，所以滿足不等式組Ω的平面區域的面積為S四邊形ABCD＝S△AEF－S△BCF－S△DCE＝eq\f(1,2)×(2＋3)×eq\f(10,7)－eq\f(1,2)×(1＋2)×1－eq\f(1,2)×(3－1)×eq\f(4,5)＝eq\f(89,70).層級二應試能力達標1．如圖陰影部分用二元一次不等式組表示為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0,x＋y≥3,y≥1)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0,x＋y≤3,y≥1))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x＋y≤3,y≥1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x＋y≥3,y≥1))解析：選B由圖易知平面區域在直線2x－y＝0的右下方，在直線x＋y＝3的左下方，在直線y＝1的上方，故選B.2．原點和點(1,1)在直線x＋y－a＝0的兩側，則a的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．{0,2}C．(0,2) D．[0,2]解析：選C因為原點和點(1,1)在直線x＋y－a＝0的兩側，所以－a(2－a)<0，即a(a－2)<0，解得0<a<2.3．由直線x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所圍成的三角形區域(包括邊界)用不等式組可表示為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,x＋y－5≤0,x≥1)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－5≤0,x≥1))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－5≥0,x≤1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,x＋y－5≤0,x≤1))解析：選A由題意，得所圍成的三角形區域在直線x－y＋1＝0的左上方，直線x＋y－5＝0的左下方，及直線x－1＝0的右側，所以所求不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋y－5≤0，,x－1≥0.))4．完成一項裝修工程，木工和瓦工的比例為2∶3，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工資預算2000元，設木工x人，瓦工y人，請工人數的限制條件是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤5,x，y∈N＋)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x＋40y≤2000,\f(x,y)＝\f(2,3)))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y≤200,\f(x,y)＝\f(2,3),x，y∈N＋)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y<100,\f(x,y)＝\f(2,3)))解析：選C由題意50x＋40y≤2000，即5x＋4y≤200，eq\f(y,x)＝eq\f(2,3)，x，y∈N＋，故選C.5．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,0≤x≤4，,0≤y≤3))表示的平面區域的面積為______．解析：作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面區域的面積為3×4－eq\f(1,2)×2×1＝11.答案：116．設關于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1>0，,x－m<0，,y＋m>0))表示的平面區域內存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，則實數m的取值范圍是________．解析：不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，由圖得點C的坐標為(m，－m)，把直線x－2y＝2轉化為斜截式y＝eq\f(1,2)x－1，要使平面區域內存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，則點C在直線x－2y＝2的右下方，因此－m<eq\f(m,2)－1，解得m>eq\f(2,3)，故m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))7．已知點M(a，b)在由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤2))表示的平面區域內，求N(a－b，a＋b)所在的平面區域的面積．解：由題意，得a，b滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0，,a＋b≤2，))設n＝a－b，m＝a＋b，則a＝eq\f(n＋m,2)，b＝eq\f(m－n,2)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋m,2)≥0，,\f(m－n,2)≥0，,m≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋m≥0，,m－n≥0，,m≤2，))這個不等式組表示的平面區域為如圖所示的△OAB內部(含邊界)，其面積為eq\f(1,2)×(2＋2)×2＝4，即點N(a－b，a＋b)所在的平面區域的面積為4.8．已知點P在|x|＋|y|≤1表示的平面區域內，點Q在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≤1，,|y－2|≤1))表示的平面區域內．(1)畫出點P和點Q所在的平面區域；(2)求P與Q之間的最大距離和最小距離．解：(1)不等式|x|＋|y|≤1等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，x≥0，y≥0，,x－y≤1，x≥0，y≤0，,x－y≥－1，x≤0，y≥0，,x＋y≥－1，x≤0，y≤0，))不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≤1，,|y－2|≤1))等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤3，,1≤y≤3，))由此可作出點P和點Q所在的平面區域，分別為如圖所示的四邊形ABCD內部(含邊界)，四邊形EFGH內部(含邊界)．(2)由圖易知|AG|(或|BG|)為所求的最大值，|ER|為所求的最小值，易求得|AG|＝eq\r(－1－32＋0－32)＝eq\r(42＋32)＝5，|ER|＝eq\f(1,2)|OE|＝eq\f(\r(2),2).3．5.2簡單線性規劃預習課本P90～94，思考并完成以下問題預習課本P90～94，思考并完成以下問題(1)線性規劃中的有關概念有哪些？各自如何定義的？(2)如何求解線性目標函數的最值問題？eq\a\vs4\al([新知初探])線性規劃的有關概念名稱意義目標函數欲求最大值或最小值的函數線性目標函數目標函數是關于變量的一次函數約束條件目標函數中的變量所要滿足的不等式(組)線性約束條件約束條件是關于變量的一次不等式(或等式)可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集最優解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規劃問題在線性約束條件下，求線性目標函數的最大值或最小值問題[點睛](1)線性約束條件包括兩點：一是變量x，y的不等式(或等式)，二是次數為1.(2)目標函數與線性目標函數的概念不同，線性目標函數在變量x，y的次數上作了嚴格的限定：一次解析式，即目標函數包括線性目標函數和非線性目標函數．(3)可行解必須使約束條件成立，而可行域是所有的可行解組成的一個集合．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)可行域是一個封閉的區域()(2)在線性約束條件下，最優解是唯一的()(3)最優解一定是可行解，但可行解不一定是最優解()(4)線性規劃問題一定存在最優解()解析：(1)錯誤．可行域是約束條件表示的平面區域，不一定是封閉的．(2)錯誤．在線性約束條件下，最優解可能有一個或多個，也可能有無數個，也可能無最優解，故該說法錯誤．(3)正確．滿足線性約束條件的解稱為可行解，但不一定是最優解，只有使目標函數取得最大值或最小值的可行解，才是最優解，所以最優解一定是可行解．(4)錯誤．線性規劃問題不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最優解，故該說法是錯誤的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))則z＝x＋2y的最小值為()A．3 B．1C．－5 D．－6解析：選C由約束條件作出可行域如圖：由z＝x＋2y得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，eq\f(z,2)的幾何意義為直線在y軸上的截距，當直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)過直線x＝－1和x－y＝1的交點A(－1，－2)時，z最小，最小值為－5，故選C.3．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))則z＝x－y的最大值為()A．－1 B．1C．2 D．－2解析：選B根據題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示．令z＝0，作直線l：y－x＝0.當直線l向下平移時，所對應的z＝x－y的函數值隨之增大，當直線l經過可行域的頂點M時，z＝x－y取得最大值．頂點M是直線x＋y＝1與直線y＝0的交點，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝0，))得頂點M的坐標為(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.4．已知點P(x，y)的坐標滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))點O為坐標原點，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．解析：如圖所示，線性區域為圖中陰影部分，PO指線性區域內的點到原點的距離，所以最短為eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，最長為eq\r(12＋32)＝eq\r(10).答案：eq\r(2)eq\r(10)求線性目標函數的最大(小)值[典例]設z＝2x＋y，變量x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3，,3x＋5y≤25，,x≥1，))求z的最大值和最小值．[解]作出不等式組表示的平面區域，即可行域，如圖所示．把z＝2x＋y變形為y＝－2x＋z，則得到斜率為－2，在y軸上的截距為z，且隨z變化的一組平行直線．由圖可以看出，當直線z＝2x＋y經過可行域上的點A時，截距z最大，經過點B時，截距z最小．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))得A點坐標為(5,2)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))得B點坐標為(1,1)，∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.解線性規劃問題的基本步驟(1)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域．(2)移：在線性目標函數所表示的一組平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線．(3)求：通過解方程組求出最優解．(4)答：根據所求得的最優解得出答案．[活學活用]1．若實數x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,y－1≤0，,x＋2y－a≥0，))目標函數t＝x－2y的最大值為2，則實數a的值是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C作出滿足條件的可行域(如圖)，由目標函數t＝x－2y，得直線y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)t在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(a－2,2)))處取得最大值，即tmax＝2－2×eq\f(a－2,2)＝4－a＝2，得a＝2，故選C.2．已知實數x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤1，,2x＋y≤4，,x≥1，))則目標函數z＝x＋3y的最大值為_____．解析：由約束條件作出可行域如圖陰影部分所示：由z＝x＋3y，得y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)，平移直線x＋3y＝0可知，當直線y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)經過A點時z取最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，,x＝1，))得A(1,2)，所以zmax＝1＋2×3＝7.答案：7求非線性目標函數的最值題點一：距離型最值1．設x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))求u＝x2＋y2的最大值與最小值．解：畫出滿足條件的可行域如圖所示，x2＋y2＝u(除原點)表示一組同心圓(圓心為原點O)，且對同一圓上的點x2＋y2的值都相等，由圖可知：當(x，y)在可行域內取值時，當且僅當圓O過C點時，u最大．取(0,0)時，u最?。諧(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.題點二：斜率型最值2．在“題點一”的條件下，求v＝eq\f(y,x－5)的最大值與最小值．解：v＝eq\f(y,x－5)表示可行域內的點P(x，y)與定點D(5,0)連線的斜率，由圖可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝eq\f(－3,3－5)＝eq\f(3,2)，vmin＝eq\f(8,3－5)＝－4.非線性目標函數最值問題的求解方法(1)非線性目標函數最值問題，要充分理解非線性目標函數的幾何意義，諸如兩點間的距離(或平方)，點到直線的距離，過已知兩點的直線斜率等，充分利用數形結合知識解題，能起到事半功倍的效果．(2)常見代數式的幾何意義主要有：①eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；eq\r(x－a2＋y－b2)表示點(x，y)與點(a，b)的距離．②eq\f(y,x)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；eq\f(y－b,x－a)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．這些代數式的幾何意義能使所求問題得以轉化，往往是解決問題的關鍵．線性規劃的實際應用[典例]某研究所計劃利用“神十一”宇宙飛船進行新產品搭載實驗，計劃搭載新產品A，B，要根據該產品的研制成本、產品質量、搭載實驗費用和預計產生收益來決定具體安排，通過調查，搭載每件產品有關數據如表：產品A(件)產品B(件)研制成本、搭載費用之和(萬元)2030計劃最大投資金額300萬元產品質量(千克)105最大搭載質量110千克預計收益(萬元)8060試問：如何安排這兩種產品的件數進行搭載，才能使總預計收益達到最大，最大收益是多少？[解]設“神十一”宇宙飛船搭載產品A，B的件數分別為x，y，最大收益為z，則目標函數為z＝80x＋60y，根據題意可知，約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋30y≤300，,10x＋5y≤110，,x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤30，,2x＋y≤22，,x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，))作出可行域如圖陰影部分所示，作出直線l：80x＋60y＝0，并平移直線l，由圖可知，當直線過點M時，z取得最大值，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝30，,2x＋y＝22，))得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭載A產品9件，B產品4件，可使得總預計收益最大，為960萬元．(1)解答此類問題，在按解決線性規劃實際問題的步驟進行解題時，應注意以下幾點：①在線性規劃問題的應用中，常常是題中的條件較多，因此認真審題非常重要．②線性約束條件中有無等號要依據條件加以判斷．③結合實際問題，判斷未知數x，y等是否有限制，如x，y為正整數、非負數等．(2)尋找整點最優解的兩個方法①平移找解法：先打網格，描整點，平移直線l，最先經過或最后經過整點便是最優整點解，這種方法應充分利用非整點最優解的信息，結合精確的作圖才行，當可行域是有限區域且整點個數又較少時，可逐個將整點坐標代入目標函數求值，經比較求最優解．②調整優值法：先求出整點最優解及最優值，再借助不定方程的知識調整最優值，最后篩選出整點最優解．[活學活用]一小商販準備用50元錢在一批發市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件賣出去后可賺1元，乙每件賣出去后可賺1.8元．若要使賺的錢最多，那么該商販購買甲、乙兩種商品的件數應分別為()A．甲7件，乙3件 B．甲9件，乙2件C．甲4件，乙5件 D．甲2件，乙6件解析：選D設甲商品x件，乙商品y件，所賺錢數為z，則目標函數為z＝x＋1.8y，約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋7y≤50，,x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，))作出可行域如圖所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－eq\f(5,9)x＋eq\f(5z,9)，斜率為－eq\f(5,9)>－eq\f(4,7)，所以，由圖可知直線過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(50,7)))時，z取得最大值．又x，y∈N，所以點A不是最優解．點(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域內，逐一驗證可得，當x＝2，y＝6時，z取得最大值，故選D.層級一學業水平達標1．設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－y＋3≥0，,2x＋y－3≤0，))則目標函數z＝x＋6y的最大值為()A．3B．4C．18D．40解析：選C由題意作出不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示．作直線x＋6y＝0并向右上平移，由圖可知，過點A(0,3)時z＝x＋6y取得最大值，最大值為18.2．某服裝制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的絲綢料，做一條褲子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的絲綢料，做一條裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N))z＝20x＋40yB.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥10，,2x＋y≥10，,x＋y≤6，,x，y∈N))z＝20x＋40yC.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6))z＝20x＋40yD.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N))z＝40x＋20y解析：選A由題意知A正確．3．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x≥1，,x＋y－7≤0，))則eq\f(y,x)的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，6)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,5)))∪[6，＋∞)C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]解析：選A作出可行域，如圖中陰影部分所示，eq\f(y,x)可理解為可行域中一點與原點的連線的斜率，又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(9,2)))，A(1,6)，故eq\f(y,x)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，6)).4．某學校用800元購買A，B兩種教學用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A，B兩種用品應各買的件數為()A．2,4 B．3,3C．4,2 D．不確定解析：選B設買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100x＋160y≤800，,x≥1，,y≥1，,x，y∈N＋.))求z＝800－100x－160y取得最小值時的整數解(x，y)，用圖解法求得整數解為(3,3)．5．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y＋1≥0，,2x－y－2≤0，))若z＝ax＋y的最小值是2，則a的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B作出可行域，如圖中陰影部分所示，又z＝ax＋y的最小值為2，若a>－2，則(1,0)為最優解，所以a＝2；若a≤－2，則(3,4)為最優解，解得a＝－eq\f(2,3)，舍去，故a＝2.6．若點P(m，n)在由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－2y＋5≤0，,2x－y＋1≥0，))所確定的區域內，則n－m的最大值為________．解析：作出可行域，如圖中的陰影部分所示，可行域的頂點坐標分別為A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，設目標函數為z＝y－x，則y＝x＋z，其縱截距為z，由圖易知點P的坐標為(2,5)時，n－m的最大值為3.答案：37．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y＋1≤0，,2x－y－2≤0，))則x2＋y2的最小值是________．解析：畫出滿足條件的可行域(如圖)，根據eq\r(x2＋y2)表示可行域內一點到原點的距離，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－y＋1＝0，))得A(1,2)，所以|AO|2＝5.答案：58．鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為________(百萬元)．解析：設購買鐵礦石A，B分別為x，y萬噸，購買鐵礦石的費用為z(百萬元)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0.7y≥1.9，,x＋0.5y≤2，,x≥0，,y≥0.))目標函數z＝3x＋6y.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0.7y＝1.9，,x＋0.5y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))記P(1,2)，畫出可行域，如圖所示．當目標函數z＝3x＋6y過點P(1，2)時，z取到最小值，且最小值為zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目標函數z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直線eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，過A(3,4)取最小值－2，過C(1，0)取最大值1.∴z的最大值為1，最小值為－2.(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1<－eq\f(a,2)<2，解得－4<a<2.故所求a的取值范圍為(－4,2)．10．某人承擔一項業務，需做文字標牌4個，繪畫標牌5個．現有兩種規格的原料，甲種規格每張3m2，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個；乙種規格每張2m解：設需要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標牌(x＋2y)個，繪畫標牌(2x＋y)個，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥5，,x＋2y≥4，,x≥0，,y≥0，,x，y∈N，))所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．在一組平行直線3x＋2y＝z中，經過可行域內的點且到原點距離最近的直線．過直線2x＋y＝5和直線x＋2y＝4的交點(2,1)，∴最優解為x＝2，y＝1，∴使用甲種規格原料2張，乙種規格原料1張，可使總的用料面積最?。畬蛹壎嚹芰_標1．設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))則目標函數z＝3x－y的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))C．[－1,6] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2)))解析：選A作出可行域如圖所示．目標函數z＝3x－y可轉化為y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域內平移l0，可知在A點處z取最小值為－eq\f(3,2)，在B點處z取最大值為6.2．已知實數x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≤1，,2x－2y＋1≤0，))若目標函數z＝mx－y(m≠0)取得最大值時的最優解有無窮多個，則實數m的值為()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：選A作出不等式組表示的平面區域如圖陰影部分(包含邊界)所示，由圖可知當直線y＝mx－z(m≠0)與直線2x－2y＋1＝0重合，即m＝1時，目標函數z＝mx－y取最大值的最優解有無窮多個，故選A.3．已知實數x，y滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))z＝|2x－2y－1|，則z的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5)) B．[0,5]C．[0,5) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5))解析：選C作出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分所示．令u＝2x－2y－1，當直線2x－2y－1－u＝0經過點A(2，－1)時，u＝5，經過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))時，u＝－eq\f(5,3)，則－eq\f(5,3)≤u<5，所以z＝|u|∈[0,5)，故選C.4．x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,2y－x＋2≥0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－2ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為()A.eq\f(1,2)或－1 B．1或－eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1解析：選B作出可行域，如圖中陰影部分所示．由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z.當2a＝2或2a＝－1，即a＝1或a＝－eq\f(1,2)時，z＝y－2ax取得最大值的最優解不唯一，故選B.5．若實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))則z＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，設t＝x＋2y，則y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(t,2)，當x＝0，y＝0時，t最小＝0.z＝3x＋2y的最小值為1.答案：16．某公司計劃用不超過50萬元的資金投資A，B兩個項目，根據市場調查與項目論證，A，B項目的最大利潤分別為投資的80%和40%，而最大的虧損額為投資的40%和10%，若要求資金的虧損額不超過8萬元，且使利潤最大，投資者應投資A項目________萬元，投資B項目________萬元．解析：設投資者對A，B兩個項目的投資分別為x，y萬元，則由題意得約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,0.4x＋0.1y≤8，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x＋y≤80，,x≥0，,y≥0.))投資者獲得的利潤設為z，則有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如圖所示，由圖可知，當直線經過點B時，z取得最大值．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,4x＋y＝80，))得B(10,40)．所以，當x＝10，y＝40時，獲得最大利潤，最大利潤為24萬元．答案：10407．某運輸公司每天至少要運送180t貨物，公司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為10t的B型卡車，且有10名駕駛員．A型卡車每天可往返4次，B型卡車每天可往返3次，每輛A型卡車每天花費320元，每輛B型卡車每天花費504元，如何合理調用車輛，才能使公司每天花費最少？解：設每天調用A型卡車x輛，B型卡車y輛，每天花費z元．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，x∈N,0≤y≤4，y∈N,x＋y≤10，,24x＋30y≥180，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，x∈N,0≤y≤4，y∈N,x＋y≤10，,4x＋5y≥30，))目標函數z＝320x＋504y.作出可行域，如圖中陰影部分所示．當直線320x＋504y＝z經過直線4x＋5y＝30與x軸的交點(7.5,0)時，z有最小值．又(7.5,0)不是整點，由分析知，經過可行域內的整點，且與原點距離最近的直線是直線320x＋504y＝2560，經過的整點是(8,0)，它是最優解．所以要使公司每天花費最少，每天應調用A型卡車8輛，B型卡車0輛．8.在如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分)，目標函數z＝x＋ay取得最小值時的最優解有無數個，求eq\f(y,x－a)的最大值．解：由題意，知當直線y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)與直線AC重合時，z取得最小值時的最優解有無數個，∴－eq\f(1,a)＝eq\f(2－1,4－1)，∴a＝－3，∴eq\f(y,x－a)＝eq\f(y,x＋3)＝kPD≤kDC＝eq\f(2,4－－3)＝eq\f(2,7)(其中D(－3，0)，P(x，y)為可行域中任意一點)，∴eq\f(y,x－a)的最大值為eq\f(2,7).(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B或A>B D．A>B解析：選B∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2≥0，∴A≥B.2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全體實數的條件是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ>0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ>0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))解析：選D結合二次函數的圖象，可知若ax2＋bx＋c<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．不等式(x－1)eq\r(x＋2)≥0的解集是()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}解析：選C當x＝－2時，0≥0成立．當x>－2時，原不等式變為x－1≥0，即x≥1.∴不等式的解集為{x|x≥1或x＝－2}．4．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y＋1>0))所表示的平面區域是()解析：選D不等式x－y＋5≥0表示的區域為直線x－y＋5＝0及其右下方的區域，不等式x＋y＋1>0表示的區域為直線x＋y＋1＝0右上方的區域，故不等式組表示的平面區域為選項D.5．已知a<b<|a|，則()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ab<1C.eq\f(a,b)>1 D．a2>b2解析：選D由a<b<|a|，可知0≤|b|<|a|，由不等式的性質可知|b|2<|a|2，所以a2>b2，故選D.6．若－4<x<1，則f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,x－1)()A．有最小值2 B．有最大值2C．有最小值－2 D．有最大值－2解析：選Df(x)＝eq\f(x2－2x＋2,x－1)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.∴f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x－1＋\f(1,－x－1)))≤－2.當且僅當x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝0時等號成立．7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5解析：選C∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·eq\f(a＋b,2)＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當\f(2a,b)＝\f(b,2a)，即b＝2a＝\f(4,3)時，等號成立)).故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,2).8．設變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m，))若目標函數z＝x－y＋1的最小值為0，則m的值為()A．4 B．5C．6 D．7解析：選B不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，這是斜率為1，截距為1－z的一族平行直線，當直線過點A時，截距最大，此時z最小且最小值為0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即A(2,3)，點A在直線x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故選B.9．已知0<a<1，且ab>1，記M＝logaeq\f(1,b)，N＝logab，P＝logbeq\f(1,b)，則M，N，P的大小關系為()A．P<N<M B．N<P<MC．N<M<P D．P<M<N解析：選B∵0<a<1，ab>1，∴a>eq\f(1,b)>0，b>eq\f(1,a)>0，∴M＝logaeq\f(1,b)>logaa＝1，N＝logab<logaeq\f(1,a)＝－1，又∵P＝logbeq\f(1,b)＝－1，∴N<P<M.10.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數x(x∈N＋)為二次函數的關系(如圖)，則每輛客車營運多少年，營運的年平均利潤最大()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C求得函數式為y＝－(x－6)2＋11，則營運的年平均利潤eq\f(y,x)＝eq\f(－x－62＋11,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤12－2eq\r(25)＝2，此時x＝eq\f(25,x)，解得x＝5.11．若關于x的不等式x2－4x－2－a>0在區間(1,4)內有解，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)解析：選A令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，則不等式x2－4x－2－a>0在區間(1,4)內有解等價于a<g(x)max，又g(x)max＝g(4)＝－2，所以a<－2.12．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目標函數z＝ax＋y僅在點(3,0)處取到最大值，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析：選C作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，因為目標函數z＝ax＋y僅在點(3,0)處取得最大值，所以－a<－eq\f(1,2)，即a>eq\f(1,2)，故實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中的橫線上)13．點(a,1)在直線x－2y＋4＝0的右下方，則a的取值范圍是________．解析：由題意，可得a－2＋4>0，即a>－2.答案：(－2，＋∞)14．若a＜b＜0，則eq\f(1,a－b)與eq\f(1,a)的大小關系為________．解析：∵eq\f(1,a－b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－a－b,aa－b)＝eq\f(b,aa－b)＜0，∴eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a).答案：eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)15．若正數a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是__________．解析：ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，所以(eq\r(ab)－3)(eq\r(ab)＋1)≥0，所以eq\r(ab)≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)16．當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．解析：設f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0.))解得m≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)解下列不等式(組)：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,x2<1；))(2)6－2x≤x2－3x<18.解：(1)原不等式組可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>0，,－1<x<1，))即0<x<1，所以原不等式組的解集為{x|0<x<1}．(2)原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－2x≤x2－3x，,x2－3x<18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≥0，,x2－3x－18<0，))因式分解，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3x＋2≥