PAGE第三章概率3．3幾何概型3．3.2勻稱隨機數的產生[A組學業達標]1．用勻稱隨機數進行隨機模擬，可以解決 ()A．只能求幾何概型的概率，不能解決其他問題B．不僅能求幾何概型的概率，還能計算圖形的面積C．不但能估計幾何概型的概率，還能估計圖形的面積D．最適合估計古典概型的概率解析：很明顯用勻稱隨機數進行隨機模擬，不但能估計幾何概型的概率，還能估計圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值，用勻稱隨機數進行隨機模擬，不適合估計古典概型的概率．答案：C2．用隨機模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實際概率的大小為n，則 ()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值答案：D3．設x是[0，1]內的一個勻稱隨機數，經過變換y＝2x＋3，則x＝eq\f(1,2)對應變換成的勻稱隨機數是 ()A．0 B．2C．4 D．5解析：當x＝eq\f(1,2)時，y＝2×eq\f(1,2)＋3＝4.答案：C4.在矩形ABCD中，長AB＝4，寬BC＝2(如圖所示)，隨機向矩形內丟一粒豆子，則豆子落入圓內的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,8)答案：D5．把[0，1]內的勻稱隨機數分別轉化為[0，4]和[－4，1]內的勻稱隨機數，需實施的變換分別為 ()A．y＝－4x，y＝5－4 B．y＝4x－4，y＝4x＋3C．y＝4x，y＝5x－4 D．y＝4x，y＝4x＋3答案：C6.如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為__________．解析：由題意知，這是個幾何概型問題，eq\f(S陰,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∵S正＝1，∴S陰＝0.18.答案：0.187．已知利用計算機產生[0，1]上的勻稱隨機數x＝0.2，則利用伸縮和平移變換后，得到在[2，4]內的勻稱隨機數為__________．解析：利用計算機產生[0，1]上的勻稱隨機數后，由伸縮和平移變換公式x＝x1×(b－a)＋a，得到[a，b]上的勻稱隨機數0.2×(4－2)＋2＝2.4.答案：2.48．隨意扔一個豆子在正方形中，則落在正方形內切圓內的概率是__________．解析：設正方形邊長為2，則面積為4，其內切圓的半徑為1，面積為π，則隨意扔一豆子在正方形中，落入其內切圓的概率P＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)9．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不當心把一件物品丟在了途中，若物品掉在河里就找不到了，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(4,5)，求河寬．解析：已知河寬為xm，由題意得1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，解得x＝100，即河寬100m.10.利用隨機模擬的方法近似計算圖中陰影部分(y＝2－2x－x2與x軸圍成的圖形)的面積．解析：(1)利用計算機產生兩組[0，1]上的勻稱隨機數，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)經過平移和伸縮變換a＝4a1－3，b＝3b1(3)統計試驗總次數N和落在陰影部分的點的個數N1(滿意條件b＜2－2a－a2的點(a，b(4)計算頻率eq\f(N1,N)，這就是點落在陰影部分的概率的近似值．(5)設陰影部分面積為S.由幾何概型概率公式得點落在陰影部分的概率為eq\f(S,12).于是eq\f(S,12)≈eq\f(N1,N).故S≈eq\f(12N1,N)即為陰影部分面積的近似值．[B組實力提升]11.如圖所示，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木塊，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設鏢擊中線上或沒有投中木板時不算，可重投，記事務A＝{投中大圓內}，事務B＝{投中小圓與中圓形成的圓環內}，事務C＝{投中大圓之外}．(1)用計算機產生兩組[0，1]內的勻稱隨機數，a1＝RAND，b1＝RNAD.(2)經過伸縮和平移變換，a＝16a1－8，b＝16b1(3)統計投在大圓內的次數N1(即滿意a2＋b2<36的點(a，b)的個數)，投中小圓與中圓形成的圓環次數N2(即滿意4<a2＋b2<16的點(a，b)的個數)，投中木板的總次數N(即滿意上述－8<a<8，－8<b<8的點(a，b)的個數)．則概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分別是 ()A.eq\f(N1,N)，eq\f(N2,N)，eq\f(N－N1,N)B.eq\f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N－N2,N)C.eq\f(N1,N)，eq\f(N2－N1,N)，eq\f(N2,N)D.eq\f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N1－N2,N)解析：P(A)的近似值為eq\f(N1,N)，P(B)的近似值為eq\f(N2,N)，P(C)的近似值為eq\f(N－N1,N).答案：A12．設函數y＝f(x)在區間[0，1]上的圖像是連綿不斷的一條曲線，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算由曲線y＝f(x)及直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成部分的面積S.先產生兩組(每組N個)區間[0，1]上的勻稱隨機數x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點(xi，yi)(i＝1，2，…N)．再數出其中滿意yi≤f(xi)(i＝1，2，…，N)的點數N1，那么由隨機模擬方法可得到S的近似值為__________．解析：這種隨機模擬的方法，是在[0，1]內生成了N個點，而滿意幾條曲線圍成的區域內的點是N1個，所以依據比例關系eq\f(S,S矩形)＝eq\f(N1,N)，而矩形的面積為1，所以隨機模擬方法得到的面積為eq\f(N1,N).答案：eq\f(N1,N)13．設A為圓周上肯定點，在圓周上等可能任取一點與A連接，則弦長超過半徑eq\r(2)倍的概率為__________．解析：如圖所示，在圓周上過定點A作弦AB＝AC＝eq\r(2)r，則BC是圓的一條直徑．當取的點在BC上方時滿意了弦長大于半徑的eq\r(2)倍，所以P＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．在長為14cm的線段AB上任取一點M，以A為圓心，以線段AM為半徑作圓．用隨機模擬法估算該圓的面積介于9πcm2到16πcm2之間的概率．解析：設事務A表示“圓的面積介于9πcm2到16πcm2之間”．(1)利用計算器或計算機產生一組[0，1]上的勻稱隨機數a1＝RAND；(2)經過伸縮變換a＝14a1(3)統計出試驗總次數N和[3，4]內的隨機數個數N1(即滿意3≤a≤4的個數)；(4)計算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為概率P(A)的近似值．15．設有一個正方形網格，其中每個最小正方形的邊長都等于6cm，現用直徑等于2cm的硬幣投擲到網格上，用隨機模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點的概率．解析：記事務A＝{硬幣與格線有公共點}，設硬幣中心為B(x，y)．步驟：(1)利用計算機或計算器產生兩組0到1之間的勻稱隨機數，x1＝RA