第2章一元二次方程章末重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1．（2023上·浙江臺州·九年級臺州初級中學?？茧A段練習）下列各數中，是方程的根的是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程，解出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：，，或，或．故選：C．2．（2023上·浙江臺州·九年級校聯考期中）電影《八角籠中》講述了向騰輝傾注心血想把當地無人照料的孩子培養成才，這讓生活本沒有出路的孩子們看到了一絲通向未來的曙光的故事．一經上映就獲得追捧，第一天票房收入約6億元，第三天票房收入達到了億元，設第一天到第三天票房收入平均每天增長的百分率為，則可列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程與增長率問題．根據題意即可列出方程．【詳解】解：∵第一天到第三天票房收入平均每天增長的百分率為，且第一天票房收入約6億元，第三天票房收入達到了億元，∴故選：C3．（2023上·浙江金華·九年級校考階段練習）已知二次方程的兩根為和5，則一次函數圖象不經過第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】本題考查通過二次方程的解建立二元一次方程組求解一次項系數和常數項，再結合一次函數的圖象和性質與系數的關系，即可解題．【詳解】解：的兩根為和5，，解得，則一次函數為，則一次函數圖象不經過第一象限，故選：A．4．（2023上·浙江臺州·九年級臺州初級中學?？茧A段練習）設方程的兩個根為m，n，那么的值等于（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數關系，掌握一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵．【詳解】解：方程的兩個根為m，n，，，．故選：D．5．（2023上·浙江臺州·九年級校聯考期中）一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實數根 B．只有一個實數根C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的根與判別式的關系，求出判別式與0的關系直接判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，∴方程沒有實數根，故選：A．6．（2023下·浙江麗水·八年級期末）若關于的方程有兩個不相等的實數根，且關于的分式方程有正數解，則符合條件的整數的個數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查根的判別式及分式方程的解法，求得的取值范圍是解題的關鍵．先利用判別式的意義得到且，再解把分式方程化為整式方程得到，利用分式方程有正數解可得到關于的不等式組，則可求得的取值范圍，則可求得滿足條件的整數的個數．【詳解】解：方程有兩個不相等的實數根，且，解得且，分式方程去分母得，解得，分式方程有正數解，且，解得且，的范圍為且，，符合條件的整數的值是，即符合條件的只有一個，故選：．7．（2022下·浙江·八年級開學考試）己知下面三個關于x的一元二次方程恰好有一個相同的實數根b，則的值為（

）A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解．把代入3個方程得出，3個方程相加即可得出，即可求出答案．【詳解】把代入得：，相加得：，，∵，∴，故選：A．8．（2023·浙江寧波·九年級效實中學校聯考自主招生）已知為正實數，，是方程的兩個根，則()A． B． C． D．【答案】C【詳解】先根據根與系數的關系得到，，再利用完全平方公式把變形為，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵，是方程的兩個根，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，．9．（2023下·浙江·八年級期中）若方程的兩個不相等的實數根滿足，則實數p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據一元二次方程解的定義和根與系數的關系得到，，進而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據判別式求出符號題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個相等的實數根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．10．（2023下·浙江杭州·八年級?？计谥校τ谝辉畏匠蹋铝姓f法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個判斷排除．【詳解】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個不相等的實根，，則方程的判別式，方程必有兩個不相等的實根，故②錯誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個實數根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據方程形式，判斷根的情況是求解本題的關鍵．二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11．（2023上·浙江臺州·九年級臺州初級中學?？茧A段練習）若關于x的一元二次方程的一根為2，則另一根為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，根據根與系數的關系得到是解題的關鍵．【詳解】解：設方程的另一個根為，則，解得：，故答案為：．12．（2023上·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學校?？计谥校┮阎獙崝?，滿足，則代數式的最小值是．【答案】3【分析】此題考查了代數式的變式與二次函數最值，解題的關鍵是由題意得，代入代數式可得，由此可知代數式的最小值是3．【詳解】解：，，，，，當時，代數式有最小值等于3，故答案為：3．13．（2023上·浙江臺州·九年級校聯考期中）請寫出一個常數c的值，使得關于x的方程有兩個不相等的實數根，則c的值可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查根據一元二次方程根的情況求參數．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則；有兩個相等的實數根，則；沒有實數根，則．據此即可求解．熟記相關結論即可．【詳解】解：由題意得：∴故（答案不唯一）14．（2023下·浙江湖州·八年級校考期中）為積極響應國家“雙減”政策，某縣推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據統計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次，設從第一批到第三批公益課受益學生人次的平均增長率為x，則可列方程．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用．設受益學生人次的平均增長率為x，根據“第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次”列出方程，即可求解．【詳解】解：設受益學生人次的平均增長率為x，根據題意得：．故答案為：．15．（2023下·浙江麗水·八年級期末）已知關于的一元二次方程，若等腰三角形的一邊長為，另兩邊長恰好是該方程的兩個根，則的值是．【答案】或【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用、根的判別式及三角形三邊關系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗．已知可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得，的值后，可得結論．【詳解】解：若為底邊，設，為腰長，則，則，，解得：，此時原方程化為，，即，此時三邊為，，能構成三角形，；若，則或，即方程有一根為，把代入方程，得，解得：，此時方程為，解得：，，方程另一根為，、、能構成三角形，，綜上，的值為或，故答案為：或．16．（2023下·浙江溫州·八年級?？计谥校┮阎?，，是非零實數，關于的一元二次方程，，，有公共解，則代數式的值為．【答案】或【分析】設公共解為，根據一元二次方程根的定義得到，，，三式相加可得：或，分別代入所求式可解答．【詳解】解：設公共解為，則，，，三式相加得，即，因為，所以或，當時，，原式；當時，，，，，原式，綜上，代數式的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，理解方程解的定義是解題的關鍵．三、解答題(本大題共7小題,共66分)17．（2023上·浙江臺州·九年級校聯考階段練習）選用適當的方法解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握根據方程特征，選擇恰當解法是解題的關鍵．（1）利用直接開平方法解題即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可解題．【詳解】（1）解：∴或，解得：，；（2）解：，方程有兩個不相等的實數根，∴，解得，．18．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考開學考試）設一元二次方程．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數根，并解這個方程．①，；②，；③，；④，．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】選②或③，②，；③，【分析】當，，時，，有兩個相等的實根；當，時，，沒有實根，②組或③方程有實數根，代入，再解方程即可．【詳解】解：可以選②組或③組．當，，時，，有兩個相等的實根，故①不能選；當，，時，，有兩個不相等的實根，故②可以；，，，；當，，時，，有兩個不相等的實根，故③可以；，，，．當，時，，沒有實根，故④不能選．【點睛】本題考查了根的判別式，掌握根的判別式的意義是解題的關鍵．19．（2023上·浙江臺州·九年級?？计谥校┮阎P于的方程（為常數）．(1)求證：不論為何值，該方程總有實數根．(2)若該方程有一個根是4，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明方程的根的判別式即可．（2）把代入，轉化為m的方程求解即可．本題考查了方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數的值，轉化求解是解題的關鍵．【詳解】（1）當時，，解得，當時，方程，，∴，∴方程有兩個實數根；∴無論m取何值，方程總有實數根．（2）把代入，得，解得．20．（2023·浙江·模擬預測）已知三個關于的方程和．若其中至少有兩個方程有實根，求實數的取值范圍．【答案】或【分析】分類討論：①當時，②當時，③當，時，分別求出m的取值范圍即可．【詳解】解：①當時，方程和有解；②當時，方程和有解；③當，時，第一個方程有根則：，解得：；第二個方程有根則：，解得：，第三個方程有根則：，解得：，當每兩個方程都有解時，有或或，解得：或．【點睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．21．（2024上·浙江寧波·八年級期末）某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同(1)求該種商品每次降價的百分率；(2)若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3120元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件?【答案】(1)該種商品每次降價的百分率為(2)第一次降價后至少要售出該種商品20件【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，根據數量關系列出方程或不等式是解決問題得關鍵．（1）設該種商品每次降價的百分率為，根據“兩次降價后的售價原價”，列出方程，解方程即可得出結論；（2）設第一次降價后售出該種商品件，則第二次降價后售出該種商品件，根據“總利潤第一次降價后的單件利潤銷售數量第二次降價后的單件利潤銷售數量”表示出總利潤，再根據總利潤不少于3210元，即可得出關于的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．【詳解】（1）解：設該種商品每次降價的百分率為，依題意得：，解得：，或（舍去）．答：該種商品每次降價的百分率為．（2）設第一次降價后售出該種商品件，則第二次降價后售出該種商品件，第一次降價后的單件利潤為：（元/件）；第二次降價后的單件利潤為：（元/件）．依題意得：，解得：，即：為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元，第一次降價后至少要售出該種商品20件．22．（2023下·浙江湖州·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，，點P從點O開始沿x軸正方向以每秒1個單位的速度移動，點Q從點A開始沿y軸負方向以每秒2個單位的速度移動，點P，Q分別從點O，A同時出發，且當點P到達點C處時，點Q也停止運動，設P、Q兩點的運動時間為t秒．(1)若點Q在y軸的正半軸上．①試用含t的代數式表示：__________，__________；②t為何值時，的面積是面積的？(2)是否存在這樣的t的值，使是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①，；②t為1秒或2秒時，的面積是面積的；(2)當秒或秒或6秒時，是等腰三角形．【分析】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，坐標與圖形的性質．（1）①根據題意列出代數式即可；②利用三角形的面積公式列式計算即可求解；（2）分情況討論，利用勾股定理列式計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，①∵點P從點O開始沿x軸正方向以每秒1個單位的速度移動，點Q從點A開始沿y軸負方向以每秒2個單位的速度移動，∴，，則；故答案為：，；②由題意得，解得或；∴t為1秒或2秒時，的面積是面積的；（2）解：由題意得，，，當點Q在y軸的正半軸上時，此時，，，若，則，整理得，解得（舍去），；若，則，整理得，解得（舍去）；若，，整理得，解得（舍去），（舍去）；當點Q在y軸的負半軸上時，此時，，，若，則，整理得，解得（舍去），（舍去）；若，則，整理得，解得（舍去），；若，，整理得，解得（舍去），；綜上，當秒或秒或6秒時，是等腰三角形．23．（2023下·浙江溫州·八年級?？计谥校┤绾卫瞄e置紙板箱制作儲物盒如何利用閑置紙板箱制作儲物盒素材如圖，圖中是小琴家需要設置儲物盒的區域，該區域可以近似看成一個長方體，底面尺寸如圖所示．

素材如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．長方形紙板①長方形紙板②

小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．長方形紙板①的制作方式長方形紙板②制作方式裁去角上個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒．

將紙片四個角裁去個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．

目標熟悉材料熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫障的放入儲物區域，且恰好沒有延伸到過道，則長方形紙板寬為______．目標利用目標計算所得的數據，進行進一步探究．初步應用（1）按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．儲物收納（2）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個玩具機械狗的實物圖和尺寸大小，請通過計算判斷玩具機械狗能否完全放入該儲物盒．

【答案】目標1：，目標2：（1）儲物盒的容積為立方厘米（2）玩具機械狗不能完全放入該儲物【分析】（1）由制作過程知小正方形的邊長為，，再利用面積公式即可得出收納盒的高為，進而即