福建省漳州市龍海程溪中學2025屆數學高一上期末質量跟蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知函數，若正實數、、、互不相等，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．函數在上的圖象為A. B.C. D.4．已知，則（）A.－ B.C.－ D.5．下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的函數是A. B.C. D.6．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A.30° B.45°C.60° D.90°7．用函數表示函數和中的較大者，記為：，若，，則的大致圖像為（）A. B.C. D.8．函數的最小值為（）A. B.C.0 D.9．直線的傾斜角為（）A. B.30°C.60° D.120°10．若函數是定義域為的奇函數，且當時，，則當時，（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．___________.12．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=（弦矢+）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為，弦長等于9m的弧田.按照上述經驗公式計算所得弧田的面積是________.13．已知空間中兩個點A（1，3，1），B（5，7，5），則|AB|＝_____14．已知是定義在上的偶函數，并滿足：，當，，則___________.15．若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為___________.16．《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算方法.如圖所示，弧田是由圓弧和其對弦圍成的圖形，若弧田所在圓的半徑為6，弦的長是，則弧田的弧長為________；弧田的面積是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，當時，求函數在上的最大值；對任意的，，都有成立，求實數a的取值范圍18．已知函數，.（1）求函數圖形的對稱軸；（2）若，不等式的解集為，，求實數的取值范圍.19．對于兩個函數：和，的最大值為M，若存在最小的正整數k，使得恒成立，則稱是的“k階上界函數”.（1）若，是的“k階上界函數”.求k的值；（2）已知，設，，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求證：是的“2階上界函數”.20．一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示（單位：）.（1）試畫出它的直觀圖（不寫作圖過程）；（2）求它的表面積和體積.21．在中，角所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面積

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】先判斷“”成立時，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.【詳解】“”成立時，，故“”成立，即“”是“”的充分條件；“”成立時，或，此時推不出“”成立，故“”不是“”的必要條件，故選：A.2、A【解析】利用分段函數的定義作出函數的圖象，不妨設，根據圖象可得出，，，的范圍同時，還滿足，即可得答案【詳解】解析：如圖所示：正實數、、、互不相等，不妨設∵則，∴，∴且，，∴故選：A3、B【解析】直接利用函數的性質奇偶性求出結果【詳解】函數的解析式滿足，則函數為奇函數，排除CD選項，由可知：，排除A選項.故選B.【點睛】本題考查的知識要點：函數的性質的應用．屬中檔題.4、D【解析】根據誘導公式可得，結合二倍角的余弦公式即可直接得出結果.【詳解】由題意得，，即，所以.故選：D.5、D【解析】選項A為偶函數，但在區間（0，+∞）上單調遞減；選項B，y＝x3為奇函數；選項C，y＝cosx為偶函數，但在區間（0，+∞）上沒有單調性；選項D滿足題意【詳解】選項A，y＝ln為偶函數，但在區間（0，+∞）上單調遞減，故錯誤；選項B，y＝x3為奇函數，故錯誤；選項C，y＝cosx為偶函數，但在區間（0，+∞）上沒有單調性，故錯誤；選項D，y＝2|x|為偶函數，當x＞0時，解析式可化為y＝2x，顯然滿足在區間（0，+∞）上單調遞增，故正確故選D【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題6、C【解析】首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接因為為正方體，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構造三角形或平行四邊形是關鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.7、A【解析】利用特殊值確定正確選項.【詳解】依題意，，排除CD選項.，排除B選項.所以A選項正確.故選：A8、C【解析】利用對數函數單調性得出函數在時取得最小值【詳解】，因為是增函數，因此當時，，，當時，，，而時，，所以時，故選：C9、C【解析】根據直線的斜率即可得傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為滿足，即故選：C.10、D【解析】設，由奇函數的定義可得出，即可得解.【詳解】當時，，由奇函數的定義可得.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】利用換底公式及對數的性質計算可得；【詳解】解：.故答案為：12、.【解析】如下圖所示，在中，求出半徑，即可求出結論.【詳解】設弧田的圓心為，弦為，為中點，連交弧為，則，所以矢長為，在中，，，所以，，所以弧田的面積為.故答案為：.【點睛】本題以數學文化為背景，考查直角三角形的邊角關系，認真審題是解題的關鍵，屬于基礎題.13、【解析】直接代入空間中兩點間的距離公式即可得解.【詳解】∵空間中兩個點A（1，3，1），B（5，7，5），∴|AB|4故答案為:4【點睛】本題考查空間中兩點間的距離公式,屬于基礎題.14、5【解析】根據可得周期，再結合偶函數，可將中的轉化到內，可得的值.【詳解】因為，所以，所以，即函數的一個周期為4，所以，又因為是定義在上的偶函數，所以，因當，，所以，所以.故答案為：2.5.15、##【解析】由題意，根據必要不充分條件可得?，從而建立不等關系即可求解.【詳解】解：不等式的解集為，不等式的解集為，因為“”是“”的必要不充分條件，所以?，所以，解得，所以實數的取值范圍為，故答案為：.16、①.②.【解析】在等腰三角形中求得，由扇形弧長公式可得弧長，求出扇形面積減去三角形面積可得弧田面積【詳解】∵弧田所在圓的半徑為6，弦的長是，∴弧田所在圓的圓心角，∴弧田的弧長為；扇形的面積為，三角形的面積為，∴弧田的面積為.故答案為：；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）.【解析】（1）由，得出函數的解析式，根據函數圖象，得函數的單調性，即可得到函數在上的最大值；（2）對任意的，都有成立，等價于對任意的，成立，再對進行討論，即可求出實數的取值范圍.試題解析：（1）當時，，結合圖像可知，函數在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，又，，所以函數在上的最大值為3.（2），由題意得：成立.①時，，函數在上是增函數，所以，，從而，解得，故.②因為，由，得：，解得：或（舍去）當時，，此時，，從而成立，故當時，，此時，，從而成立，故，綜上所述：.點睛：（1）對于形如，對任意的，恒成立的問題，可轉化為恒成立的問題，然后根據函數的單調性將函數不等式轉化為一般不等式處理；（2）解決不等式的恒成立問題時，要轉化成函數的最值問題求解，解題時可選用分離參數的方法，若參數無法分離，則可利用方程根的分布的方法解決，解題時注意區間端點值能否取等號18、（1）；（2）.【解析】（1）利用余弦的降冪擴角公式化簡為標準正弦型函數，進而求解對稱軸即可；（2）求得函數在區間上的值域，以及絕對值不等式的解集，根據集合之間的包含關系，即可求得參數的取值范圍.【詳解】（1），解得：；（2），，，又解得而，得.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式以及輔助角公式化簡三角函數，以及三角函數對稱軸和值域的求解，涉及根據集合之間的關系求參數的取值范圍，屬綜合中檔題.19、（1）；（2）（i）時，，；時，，；時，，；（ii）證明部分見解析.【解析】（1）先求，的范圍，再求的最大值，利用恒成立問題的方式處理；（2）分類討論對稱軸是否落在上即可；先求的最大值，需觀察發現最值在取得，不要嘗試用三倍角公式，另外的最大值必定在端點或者在頂點處取得，通過討論的范圍，證明即可【小問1詳解】時，單調遞增，于是，于是，則最大值為，又恒成立，故，注意到是正整數，于是符合要求的為.【小問2詳解】（i）依題意得，為開口向上，對稱軸為的二次函數，于是在上遞減，在上遞增，由于，，下分類討論：當，即時，，；當，即時，，；當，即當，在上遞減，，.（ii），則，當，即取等號，，，則，下令，只需說明時，即可，分類如下：當時，，且注意到，此時，顯然時，單調遞減，于是；當，由基本不等式，，且，，即，此時，而，時，由基本不等式，，故有：綜上，時，，即當時，最小正整數【點睛】本題綜合的考查了分類討論思想，函數值域的求法等問題，特別是觀察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒會變得更加復雜.20、（1）直觀圖見解析；（2），.【解析】（1）由三視圖直接畫出它的直觀圖即可；（2）由三視圖可知該幾何體是長方體被截取一個角，分別計算其表面積和體積可得答案.【詳解】解：（1）直觀圖如圖所示.（2）由三視圖可知該幾何體是長方體被截取一個角，且該幾何體的體積是以，，為棱的長方體的體積的.在直角梯形中，作，則是正方形，∴.在中，，，∴.∴.∴幾何體的體積.∴該幾何體的表面積為