課時作業13基本不等式的實際應用基礎強化1.在歐幾里得之后，獲得與均值不等式等價結果的數學家是芝諾多魯斯，他寫了一本名為《論等周圖形》的書，專門研究等周問題，在書中他給了這樣一個命題：“在邊數相同、周長相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大．”由此可知，若一個矩形的長為a，寬為b，則與這個矩形周長相等的所有四邊形中，面積最大值為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)B．a2C．b2D．ab2．某商場春節前t天年糕銷售總量f(t)＝t2＋12t＋16(0<t≤30)，則該商場前t天的年糕平均銷售量最少為()A．18B．27C．20D．163．某公司計劃建造一間體積為600m3的長方體實驗室，該實驗室高為3m，地面每平方米的造價為120元，天花板每平方米的造價為240元，四面墻壁每平方米的造價為160元，則該實驗室造價的最小值約為(參考數據：eq\r(2)≈1.414)()A.9.91萬元B．9.95萬元C．10.1萬元D．10.5萬元4.校慶當天，學校需要用圍欄圍起一個面積為225平方米的矩形(小矩形)場地用來展示校友的書畫作品．它的左、右兩側都留有寬為2米的自由活動區域，頂部和底部都留有寬為2米的自由活動區域，則整個書畫展區域(大矩形)面積的最小值是()A．360平方米B．384平方米C．361平方米D．400平方米5．(多選)某公司一年購買某種貨物800噸，現分次購買，設每次購買x噸，運費為8萬元/次．已知一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和y最小，則下列說法正確的是()A．當x＝40時，y取得最小值B．當x＝45時，y取得最小值C．ymin＝320D．ymin＝3606．(多選)十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若a>0，b>0，a＋b＝2，則()A．0<a≤1B．0<ab≤1C．a2＋b2≥2D．0<b<27．已知某產品總成本C(單位：元)與年產量Q(單位：件)之間的關系為C＝40Q2＋16000.設年產量為Q時的平均成本為f(Q)(單位：元/件)，那么f(Q)的最小值是________．8．已知直角三角形的面積等于50cm2，則該三角形的周長的最小值為________cm.9.如圖，欲在山林一側建一矩形苗圃，苗圃左側為林地，三面通道與苗圃之間由柵欄隔開．(1)若苗圃面積為1250m2，求柵欄總長的最小值；(2)若柵欄總長為200m，如何設計可使苗圃面積最大？10.如圖，長為6米，寬為4米的長方形(ABCD)草坪，截去一個三角形(DEF)區域，得到一個五邊形(ABCFE)區域．設DE＝a米，DF＝b米．(1)用a，b表示△DEF的周長L，并寫出a，b的取值范圍；(2)當△DEF的周長L＝4＋2eq\r(2)米時，求五邊形ABCFE的面積S的最小值，并求此時a，b的值．能力提升11.今有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確，有人要用它稱物體的質量，他將物體放在左右托盤各稱一次，記兩次稱量結果分別為a，b，設物體的真實質量為G，則()A．eq\f(a＋b,2)＝GB．eq\f(a＋b,2)<GC．eq\f(a＋b,2)>GD．eq\r(ab)<G12．為凈化水質，向一個游泳池加入某種化學藥品，加藥后水池中該藥品的濃度C(單位：mg/L)隨時間t(單位：h)的變化關系為C＝eq\f(30t,t2＋9)，則當水池中藥品的濃度達到最大時，t＝()A.1hB．3hC．5hD．6h13．白菜價格不穩定，假設第一周、第二周的白菜價格分別為a元/斤、b元/斤(a≠b)，甲和乙購買白菜的方式不同，甲每周購買20元錢的白菜，乙每周購買6斤白菜，甲、乙兩次平均單價分別記為m1，m2，則下列結論正確的是()A．m1＝m2B．m1>m2C．m2>m1D．m1，m2的大小無法確定14．(多選)《九章算術》是中國傳統數學重要的著作之一，其中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門一十五里有木，問出南門幾何步而見木？”．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步恰能見到此樹(注：1里≈300步)，則該小城的周長可能為()A．4eq\r(10)里B．6eq\r(10)里C．9eq\r(10)里D．10eq\r(10)里15.一批貨物隨17列貨車從A市以vkm/h勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400km，為了安全，兩列貨車間距離不得小于(eq\f(v,20))2km，那么這批物資全部運到B市，最快需要________小時，(不計貨車的車身長)，此時貨車的速度是________km/h.16.為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD，如圖)上設計四個等高的宣傳欄(欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為36000cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設EF＝xcm.(1)當x＝100cm時，求海報紙的面積；(2)為節約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)?課時作業131．解析：由題知矩形周長為定值2(a＋b)，所以面積S＝a·b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，當且僅當a＝b時取“＝”．故選A.答案：A2．解析：因為某商場春節前t天年糕銷售總量f(t)＝t2＋12t＋16(0<t≤30)，所以該商場前t天的年糕平均銷售量為eq\f(f（t）,t)＝t＋eq\f(16,t)＋12≥2eq\r(t·\f(16,t))＋12＝20，當且僅當t＝eq\f(16,t)，即t＝4時取等號，所以該商場前t天的年糕平均銷售量最少為20.故選C.答案：C3．解析：由題意得，地面面積和天花板面積均為200m2，設實驗室造價為y元，地面的長為xm，則寬為eq\f(200,x)m，墻壁面積為(6x＋eq\f(1200,x))m2，所以y＝(120＋240)×200＋160×(6x＋eq\f(1200,x))≥72000＋320eq\r(6x·\f(1200,x))＝72000＋19200eq\r(2)≈9.91(萬元)，當且僅當6x＝eq\f(1200,x)，即x＝10eq\r(2)時，等號成立．故選A.答案：A4．解析：設小矩形的長為x米，寬為y米，整個書畫展區域的面積為S平方米．由xy＝225，得S＝(x＋4)(y＋4)＝xy＋4y＋4x＋16＝241＋4x＋4y≥241＋2eq\r(4x×4y)＝241＋2×60＝361，當且僅當4x＝4y，即x＝15，y＝15時，等號成立．故整個書畫展區域面積的最小值是361平方米．故選C.答案：C5．解析：一年購買某種貨物800噸，每次購買x噸，則需要購買eq\f(800,x)次，又運費是8萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，所以一年的總運費與總存儲費用之和y＝eq\f(800,x)×8＋4x萬元．因為y＝eq\f(800,x)×8＋4x≥2eq\r(\f(6400,x)×4x)＝320，當且僅當eq\f(6400,x)＝4x，即x＝40時，等號成立，所以當x＝40時，y取得最小值，ymin＝320.故選AC.答案：AC6．解析：∵a>0，b>0，b＝2－a.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,2－a>0))，解得0<a<2，同理0<b<2，則A不正確，D正確；∵ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))eq\s\up12(2)＝1，當且僅當a＝b時，等號成立，∴0<ab≤1，則B正確；∵a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(22,2)＝2，當且僅當a＝b時，等號成立，∴a2＋b2≥2，則C正確．故選BCD.答案：BCD7．解析：因為某產品總成本C(單位：元)與年產量Q(單位：件)之間的關系為C＝40Q2＋16000.所以年產量為Q時的平均成本為f(Q)＝eq\f(C,Q)＝40Q＋eq\f(16000,Q)≥2eq\r(40Q·\f(16000,Q))＝1600，當且僅當40Q＝eq\f(16000,Q)，即Q＝20時，f(Q)取得最小值，最小值為1600.答案：16008．解析：由直角三角形的面積等于50cm2可設兩條直角邊長分別為xcm、eq\f(100,x)cm，則該直角三角形的周長為x＋eq\f(100,x)＋eq\r(x2＋\f(10000,x2))≥2eq\r(x·\f(100,x))＋eq\r(2\r(x2·\f(10000,x2)))＝10eq\r(2)＋20(cm)，當且僅當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(100,x),x2＝\f(10000,x2),x>0))時，即當x＝10時，等號成立．故該三角形的周長的最小值為20＋10eq\r(2)cm.答案：20＋10eq\r(2)9．解析：(1)設苗圃的長，寬分別為a，b，則ab＝1250，所以2a＋b≥2eq\r(2ab)＝100，當且僅當2a＝b，即a＝25，b＝50時取等號，故柵欄總長的最小值為100米．(2)由題可得2a＋b＝200，所以ab＝eq\f(1,2)×2ab≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝5000，當且僅當2a＝b，即a＝50，b＝100時取等號，故當長為50米寬為100米時苗圃面積最大，最大值為5000平方米．10．解析：(1)由題意得L＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)，0<a<6，0<b<4.(2)a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝4＋2eq\r(2)，由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)，eq\r(a2＋b2)≥eq\r(2ab)，當且僅當a＝b時等號成立，故4＋2eq\r(2)≥(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，得ab≤4，S＝24－eq\f(1,2)ab，故S的最小值為22，此時a＝b＝2.11．解析：設天平的左右臂分別為l1，l2，物體放在左右托盤稱得的重量分別為a，b，真實重量為G，所以，由杠桿平衡原理知：l1·G＝l2·a，l2·G＝l1·b，所以，由上式得G2＝ab，即G＝eq\r(ab)，因為l1≠l2，a≠b，所以，由均值不等式eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)＝G，故選C.答案：C12．解析：由題意可知，t>0，所以eq\f(9,t)>0，所以C＝eq\f(30t,t2＋9)＝eq\f(30,t＋\f(9,t))≤eq\f(30,2\r(t·\f(9,t)))＝5，當且僅當t＝eq\f(9,t)，即t＝3時取等號．所以當t＝3時，水池中藥品的濃度達到最大．故選B.答案：B13．解析：根據題意可得m1＝eq\f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b))＝eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).當且僅當a＝b時等號成立；m2＝eq\f(6a＋6b,12)＝eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時等號成立，由題意可得a≠b，所以m1<eq\r(ab)，m2>eq\r(ab)，則m2>m1.故選C.答案：C14．解析：設GF＝x步，EF＝y步，由△BEF∽△FGA得eq\f(BE,GF)＝eq\f(EF,GA)，所以eq\f(1200,x)＝eq\f(y,750)，y＝eq\f(900000,x)，所以小城周長為z＝2(2x＋2y)＝4(x＋eq\f(900000,x))≥4×2eq\r(x·\f(900000,x))＝2400eq\r(10)(步)＝8eq\r(10)(里)，當且僅當x＝eq\f(900000,x)，即x＝300eq\r(10)