學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計))教學分析本節教材先展示大量幾何體的實物、模型、圖片等，讓學生感受棱柱、棱錐和棱臺的結構特征，從整體上認識,再深入細節認識，更符合學生的認知規律．值得注意的是：由于沒有點、直線、平面的有關知識，所以本節的學習不能建立在嚴格的邏輯推理的基礎上，這與以往的教材有較大的區別，教師在教學中要充分注意到這一點．本節教學盡量使用信息技術等手段，向學生展示更多具有典型棱柱、棱錐和棱臺特征的空間物體，增強學生的感受．三維目標1．掌握棱柱、棱錐和棱臺的結構特征，學會觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力．2．能夠描述現實生活中簡單物體的結構,學會建立幾何模型研究空間圖形，培養數學建模的思想．重點難點教學重點：理解棱柱、棱錐和棱臺的結構特征．教學難點:歸納棱柱、棱錐和棱臺的結構特征．課時安排1課時eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教學過程)）導入新課設計1.從古至今，各個國家的建筑物都有各自的特色,古有埃及的金字塔,今有各城市大廈的旋轉酒吧、旋轉餐廳,還有上海東方明珠塔上的兩個球形建筑等．它們都是獨具匠心、整體協調的建筑物，是建筑師們集體智慧的結晶．今天我們如何從數學的角度來看待這些建筑物呢？引出課題．設計2。在我們的生活中會經常發現一些具有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑物的幾何結構特征如何？引導學生回憶、舉例和相互交流，教師對學生的活動及時給予評價,引出課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)（1）觀察下圖所示的幾何體，這些幾何體都是多面體．多面體集合具有什么性質？多面體的結構特征是什么？(2)閱讀教材，給出多面體的面、棱、頂點、對角線的定義．(3）閱讀教材，多面體如何分類？(4)什么叫幾何體的截面?討論結果：(1)多面體的每個面都是多邊形(圍成多面體的多邊形都包含它內部的平面部分），而圓柱、圓錐、球等其他幾何體就不具有這種性質．由此得出多面體的結構特征：多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體．(2)如下圖所示，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如面ABCD、面BCC′B′;相鄰的兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如棱AB、棱AA′；棱和棱的公共點叫做多面體的頂點，如頂點A、頂點A′；連結不在同一個面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線，如對角線BD′。（3)把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側，則這樣的多面體就叫做凸多面體．如上圖中的（1）（2）(3）都是凸多面體，而(4）不是．本書中說到多面體,如果沒有特別說明，指的都是凸多面體．多面體至少有4個面．多面體按照圍成它的面的個數分別叫做四面體、五面體、六面體……多面體的分類:多面體eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（非凸多面體，凸多面體\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(四面體，五面體，六面體，……)）))（4)一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形(包含它的內部），叫做這個幾何體的截面，在上圖中畫出了多面體的一個截面EAC.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題)）(1）觀察如下圖所示的多面體，根據小學和初中學過的幾何知識,這些多面體是棱柱，棱柱集合具有什么性質,其特征性質是什么?（1）（2）（3)（2)閱讀教材，給出棱柱的底面、側面、側棱、高的定義．(3）閱讀教材,棱柱如何分類？（4)閱讀教材,說一說特殊的四棱柱．討論結果:（1)如果我們以運動的觀點來觀察，棱柱可以看成一個多邊形(包括圖形圍成的平面部分）上各點都沿著同一個方向移動相同的距離所形成的幾何體．觀察這個移動過程，我們可以得到棱柱的主要特征性質:棱柱有兩個相互平行的面,而且夾在這兩個平行平面間的每相鄰兩個面的交線都互相平行(如上圖）．（2)棱柱的這兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面,兩側面的公共邊叫做棱柱的側棱．棱柱兩底面之間的距離，叫做棱柱的高．（3）棱柱按底面是三角形、四邊形、五邊形……分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱用表示兩底面的對應頂點的字母或者用一條對角線端點的兩個字母來表示．例如,上圖(3)中的五棱柱可表示為棱柱ABCDEA′B′C′D′E′或棱柱AC′.棱柱又分為斜棱柱和直棱柱．側棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱（上圖（1）)．側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱（上圖(2）（3)）．底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱（上圖（3）)．(4）下面研究一些特殊的四棱柱．底面是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體(下圖)．側棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體（下圖(2）(3）(4）)．底面是矩形的直平行六面體是長方體（下圖(3)（4）．棱長都相等的長方體是正方體（下圖(4)）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))1觀察如下圖所示的多面體,可能會判定是一些棱錐,棱錐集合具有什么性質？棱錐有什么特征性質?(2)閱讀教材,給出棱錐的側面、頂點、側棱、底面、高的定義，如何表示棱錐？（3)閱讀教材，棱錐如何分類？討論結果：（1）棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形．（2)棱錐中有公共頂點的各三角形，叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰兩側面的公共邊叫做棱錐的側棱;多邊形叫做棱錐的底面；頂點到底面的距離，叫做棱錐的高．(3)棱錐用表示頂點和底面各頂點的字母或者用表示頂點和底面的一條對角線端點的字母來表示．例如,下圖中棱錐可表示為棱錐S—ABCDE或者棱錐S—AC。棱錐按底面是三角形、四邊形、五邊形……分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……如果棱錐的底面是正多邊形,且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上,則這個棱錐叫做正棱錐（下圖)．容易驗證：正棱錐各側面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高(下圖)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（閱讀教材，給出棱臺的有關概念。）討論結果：如左下圖所示，棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺的側面；相鄰兩側面的公共邊叫做棱臺的側棱；兩底面間的距離叫做棱臺的高.由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．正棱臺各側面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高．棱臺可用表示上下底面的字母來命名．如右上圖中的棱臺，記作棱臺ABCD—A′B′C′D′，或記作棱臺AC′。棱臺的下底面為ABCD、上底面為A′B′C′D′、高為OO′。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例))思路1例1設計一個平面圖形，使它能夠折成一個側面與底面都是等邊三角形的正三棱錐．解：因為要制作的正三棱錐的側面與底面都是等邊三角形，所以它的棱長都相等（下圖)．于是作一個等邊三角形及其三條中位線，如下圖所示，沿圖中的實線剪下這個三角形，再以虛線（中位線）為折痕就可折成符合題意的幾何體．點評：本題揭示了平面圖形與立體圖形的關系，即可以相互轉化，因此將空間問題轉化為平面問題．變式訓練1．一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，如左下圖所示,A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中∠ABC＝__________.解析：如右上圖所示，折成正方體，很明顯點A、B、C是上底面正方形的三個頂點,則∠ABC＝90°。答案:90°例2已知正四棱錐V—ABCD（下圖),底面面積為16,一條側棱長為2eq\r(11），計算它的高和斜高．解：設VO為正四棱錐V—ABCD的高,作OM⊥BC于點M，則M為BC中點．連結OM、OB，則VO⊥OM，VO⊥OB。因為底面正方形ABCD的面積為16，所以BC＝4，BM＝OM＝2,OB＝eq\r（BM2＋OM2）＝eq\r(22＋22）＝2eq\r(2)。又因為VB＝2eq\r（11)，在Rt△VOB中，由勾股定理，得VO＝eq\r(VB2－OB2）＝eq\r（2\r（11)2－2\r（2)2）＝6。在Rt△VOM(或Rt△VBM中，由勾股定理，得VM＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)(或VM＝eq\r(2\r（11)2－22）＝2eq\r(10))．即正四棱錐的高為6，斜高為2eq\r(10）.點評：解決本題的關鍵是構造直角三角形．正棱錐中,高、斜高和底面正多邊形的邊心距構成直角三角形;高、側棱和底面正多邊形的半徑構成直角三角形．變式訓練如下圖,在正四棱錐S—ABCD中，SO是這個四棱錐的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝11；(1）求側棱長；（2)求一個側面的面積；（3）求底面的面積．答案：略思路2例3下列幾何體是棱柱的有()A．5個B．4個C．3個D．2個解析:判斷一個幾何體是哪種幾何體,一定要緊扣柱、錐、臺、球的結構特征,注意定義中的特殊字眼，切不可馬虎大意．棱柱的結構特征有三方面：有兩個面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個面的公共邊都互相平行．當一個幾何體同時滿足這三方面的結構特征時，這個幾何體才是棱柱．很明顯，幾何體②④⑤⑥均不符合，僅有①③符合．答案：D點評：本題主要考查棱柱的結構特征．本題容易錯認為幾何體②也是棱柱，其原因是忽視了棱柱必須有兩個面平行這個結構特征,避免出現此類錯誤的方法是將教材中的各種幾何體的結構特征放在一起對比，并且和圖形對應起來記憶,要做到看到文字敘述就想到圖,看到圖形就想到文字敘述．變式訓練1．下列幾個命題中，①兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；③各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．其中正確的個數是()A．1B．2C．3D．0解析：①中兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側棱會交于一點,所以①是錯誤的；②中兩個底面互相平行，其余四個面都是等腰梯形，也有可能兩底面根本就不相似，所以②不正確；③中底面不一定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的．答案：A2．下列命題中正確的是()A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．棱臺各側棱的延長線交于一點答案:D例4長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為(）A．1＋eq\r(3）B．2＋eq\r(10）C．3eq\r（2)D．2eq\r(3)活動：解決空間幾何體表面上兩點間最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面展開,轉化為求平面內兩點間線段長，這體現了數學中的轉化思想．解析:如左下圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3,BC＝2，BB1＝1。如右上圖所示，將側面ABB1A1和側面BCC1B1展開，則有AC1＝eq\r（52＋12）＝eq\r（26）,即經過側面ABB1A1和側面BCC1B1時的最短距離是eq\r(26）；如左下圖所示,將側面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1＝eq\r（32＋32)＝3eq\r（2），即經過側面ABB1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是3eq\r(2)；如右上圖所示，將側面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開，則有AC1＝eq\r（42＋22)＝2eq\r(5)，即經過側面ADD1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是2eq\r（5).由于3eq\r(2)<2eq\r(5)，3eq\r（2)〈eq\r(26）,所以由A到C1在正方體表面上的最短距離為3eq\r（2).答案：C點評：本題主要考查空間幾何體的簡單運算及轉化思想．求表面上最短距離可把立體圖形展成平面圖形．變式訓練1．左下圖是邊長為1m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網粘住,請制作出實物模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線．分析:制作實物模型（略）．通過正方體的展開右上圖可以發現，AB間的最短距離為A、B兩點間的線段的長eq\r(22＋12）＝eq\r（5）.由展開圖可以發現，C點為其中一條棱的中點．具體爬行路線如下圖中的粗線所示,我們要注意的是爬行路線并不唯一．解：爬行路線如下圖（1)～(6)所示：2．如下圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質點自A點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為__________．解析：將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側棱AA1展開，其側面展開圖如左下圖所示，則沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長就是左下圖中AD＋DA1。延長A1F至M，使得A1F＝FM，連結DM，則A1D＝DM，如右下圖所示．則沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長就是如右上圖中線段AM的長．在右上圖中，△AA1M是直角三角形，則AM＝eq\r(AA\o\al（2,1）＋A1M2）＝eq\r(82＋1＋1＋1＋1＋1＋12)＝10。答案：10eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓練）)1．如下圖，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是(）A．（1)是棱臺B．（2)是棱臺C．(3）是棱錐D．(4)不是棱柱解析：圖(1)不是由棱錐截來的,所以（1)不是棱臺；圖(2)上下兩個面不平行，所以(2)不是棱臺;圖（4）前后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以（4)是棱柱;很明顯（3）是棱錐．答案：C2．正方體的截平面不可能是：①鈍角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五邊形；⑤正六邊形．下述選項正確的是（）A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤解析：正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形（證明略）；對四邊形來講，可以是梯形(等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形(證明略)；對五邊形來講，不可能是正五邊形(證明略)；對六邊形來講，可以是六邊形（正六邊形）．答案:Beq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升)）1．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?剖析:如下圖所示，此幾何體有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形,很明顯這個幾何體不是棱柱,因此說有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱．由此看，判斷一個幾何體是否是棱柱,關鍵是緊扣棱柱的3個本質特征：①有兩個面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行．這3個特征缺一不可，下圖所示的幾何體不具備特征③.2．有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？剖析：如左下圖所示，將正方體ABCD—A1B1C1D1截去兩個三棱錐A—A1B1D1和C-B1C1D1，得如右下圖所示的幾何體．右上圖所示的幾何體有一個面ABCD是四邊形，其余各面都是三角形的幾何體，很明顯這個幾何體不是棱錐，因此說有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐．由此看，判斷一個幾何體是否是棱錐，關鍵是緊扣棱錐的3個本質特征：①有一個面是多邊形；②其余各面都是三角形；③這些三角形面有一個公共頂點．這3個特征缺一不可，右上圖所示的幾何體不具備特征③.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結)）本節課學習了棱柱、棱錐和棱臺的結構特征．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業)）1．如下圖，甲所示為一幾何體的展開圖．(1）沿圖中虛線將它們折疊起來,是哪一種幾何體？試用文字描述并畫出示意圖．(2）需要多少個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6cm的正方體？請在圖乙棱長為6cm的正方體ABCD—A1B1C1D1中指出這幾個幾何體的名稱．答案:（1)有一條側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，如下圖甲所示．(2）需要3個這樣的幾何體，如上圖乙所示．分別為四棱錐：A1-CDD1C1，A1-ABCD，A1-BCC1B1。2．如下圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB＝3，AA1＝4.M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC1到M的最短路線長為eq\r（29)，設這條最短路線與CC1的交點為N，求P點的位置．分析:把三棱錐展開后放在平面上,通過列方程解應用題來求出P到C點的距離，即確定了P點的位置．解：如下圖所示，把正三棱錐展開后，設CP＝x,根據已知可得方程22＋（3＋x)2＝29.解得x＝2（x>0）．所以P點的位置在離C點距離為2的地方．3．正四棱錐的側棱長為2eq\r（3),側棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為（)A．3B．6C．9