2025屆黑龍江省哈爾濱六中高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或152．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.5．我國古代數學名著《算法統宗》是明代數學家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.16．已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點為P(2，4)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，8．已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（）A.2 B.C.1 D.9．函數f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.10．如果，，…，是拋物線C：上的點，它們的橫坐標依次為，，…，，點F是拋物線C的焦點.若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.411．已知數列滿足，，令，若對于任意不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，為坐標原點，為橢圓上一點．與軸交于一點，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．無窮數列滿足：只要必有，則稱為“和諧遞進數列”，已知為“和諧遞進數列”，且前四項成等比數列，，，則__________，若數列前項和為，則__________.14．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________.15．函數，若，則的值等于_______16．我國民間剪紙藝術在剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規格相同的圖形，將其中之一進行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規格相同，取規格相同的兩個之一進行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規格相同.如果把次對折后得到的不同規格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若，求函數的單調區間；（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：.18．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.（1）求拋物線的標準方程；（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.19．（12分）【2018年新課標I卷文】已知函數（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；（2）證明：當時，20．（12分）已知橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于長軸的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）點為橢圓的長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，證明為定值.21．（12分）某企業2021年年初有資金5千萬元，由于引進了先進生產設備，資金年平均增長率可達到．每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產．設從2021年的年底起，每年年底企業扣除消費基金后的剩余資金依次為，，，…（1）寫出，，，并證明數列是等比數列；（2）至少到哪一年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬元？（lg22．（10分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數；（3）根據交通法規定，小車超速在規定時速10%以內（含10%）不罰款，超過時速規定10%以上，需要罰款.試根據頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.2、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.【詳解】圓可變為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關系，考查了學生合理轉化的能力，屬于基礎題.3、C【解析】根據雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C4、B【解析】根據邏輯聯結詞“且”，一假則假，對四個選項一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯結詞“且”，一假則假.因為命題p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯誤；為真，故B正確；為假，故C錯誤；為假，故D錯誤.故選：B5、A【解析】根據題意，轉化為等比數列，利用通項公式和求和公式進行求解.【詳解】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈.故選：A.6、C【解析】設，代入雙曲線方程相減后可求得，從而得漸近線方程【詳解】設，則，相減得，∴，又線段的中點為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線方程為故選：C【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點（或涉及到中點），可設弦兩端點的坐標，代入雙曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點坐標，有．這種方法叫點差法7、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.8、B【解析】根據空間四點共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，可得，解之得故選：B9、B【解析】利用函數的奇偶性排除選項A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數的定義域為，關于原點對稱.所以函數是奇函數，排除選項A,C.當時，，排除選項D，故選：B10、A【解析】根據拋物線定義得個等式，相加后，利用已知條件可得結果.【詳解】拋物線C：的準線為，根據拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用拋物線的定義解題是解題關鍵，屬于基礎題.11、D【解析】根據遞推關系，利用裂項相消法，累加法求出，可得，原不等式轉化為恒成立求解即可.【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D12、C【解析】由橢圓的性質可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.2②.7578【解析】根據前四項成等比數列及定義可求得，根據新定義得數列是周期數列，從而易求得【詳解】∵成等比數列，，，又，為“和諧遞進數列”，，，，，…，數列是周期數列，周期為4，故答案為：2，757814、【解析】利用正弦定理將已知條件轉化為邊之間的關系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結合兩角差的正弦函數公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數的值域計算得結論.【詳解】因為所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以當時，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了兩角和與差的三角函數公式，二倍角公式及應用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數的圖象與性質，屬于中檔題.15、【解析】對函數進行求導，把代入導函數中，化簡即可求出的值.【詳解】函數.故答案為：.16、①.②.【解析】首先根據題意得到，再計算即可；根據題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，所以..故答案為：；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數的導函數，再令、，分別求出函數的單調區間；（2）先求出，構造函數，求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最小值，從而證明結論【小問1詳解】解：當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調遞減，，而，即，18、(1);(2)見解析.【解析】(1)涉及中點弦,用點差法處理即可求得,進而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數,且不等于零,設,直線,則直線分別和拋物線方程聯立,解得利用,結合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【詳解】(1)設,則,兩式相減,得:由弦中點縱坐標為2,得,故.所以拋物線的標準方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數,且不等于零,設直線由得由點在拋物線上,可知上述方程的一個根為.即,同理.直線的斜率為定值.【點睛】本題考查應用點差法處理中點弦問題,直線與拋物線中,斜率為定值問題,考查分析問題的能力,考查學生的計算能力,難度較難.19、(1)a=；f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．(2)證明見解析.【解析】分析：(1)先確定函數的定義域，對函數求導，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數的解析式，之后觀察導函數的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數的增區間和減區間；(2)結合指數函數的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數g（x）=，利用導數研究函數的單調性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–由題設知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增（2）當a≥時，f（x）≥設g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點故當x>0時，g（x）≥g（1）=0因此，當時，點睛：該題考查的是有關導數的應用問題，涉及到的知識點有導數與極值、導數與最值、導數與函數的單調性的關系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數的生存權，先確定函數的定義域，之后根據導數與極值的關系求得參數值，之后利用極值的特點，確定出函數的單調區間，第二問在求解的時候構造新函數，應用不等式的傳遞性證得結果.20、(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)借助題設條件建立方程組求解；(2)依據題設運用直線與橢圓的位置關系探求.試題解析：（1）由，可得橢圓方程.（2）設的方程為，代入并整理得：.設，，則，同理則.所以，是定值.考點：橢圓的標準方程幾何性質及直線與橢圓的位置關系等有關知識的綜合運用【易錯點晴】本題考查的是橢圓的標準方程等基礎知識及直線與橢圓的位置關系等知識的綜合性問題.解答本題的第一問時,直接依據題設條件運用橢圓的幾何性質和橢圓的有關概念建立方程組,進而求得橢圓的標準方程為；第二問的求解過程中,先設直線的方程為,再借助二次方程中根與系數之間的關系，依據坐標之間的關系進行計算探求，從而使得問題獲解.21、（1），，，證明見解析（2）至少到2026年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬元【解析】（1）由題意可知，，，，再結合等比數列的性質，即可求解（2）由（1）知，，則，令，再結合對數函數運算，即可求解【小問1詳解】依題意知，，，,,所以,又，所以是首項為3，公比為1.5的等比數列.【小問2詳解】由（1）知，，所以令，解得，所以，所以至少到2026年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬