廣東大埔華僑二中2025屆高二上數學期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立2．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.3．已知圓柱的表面積為定值，當圓柱的容積最大時，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.24．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.5．若復數的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.6．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.27．已知等差數列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.8．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.49．已知函數，則（）A.3 B.C. D.10．設集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.12．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內部的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________14．已知直線，拋物線上一動點到直線l的距離為d，則的最小值是______15．已知直線，，為拋物線上一點，則到這兩條直線距離之和的最小值為___________.16．點在以，為焦點的橢圓上運動，則的重心的軌跡方程是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和18．（12分）已知函數，（1）求的單調區間；（2）當時，求證：在上恒成立19．（12分）設數列滿足（1）求的通項公式；（2）記數列的前項和為，是否存在實數，使得對任意恒成立.20．（12分）已知等差數列滿足，前7項和為（Ⅰ）求的通項公式（Ⅱ）設數列滿足，求的前項和.21．（12分）已知圓C：（1）若點，求過點的圓的切線方程；（2）若點為圓的弦的中點，求直線的方程22．（10分）排一張有6個歌唱節目和5個舞蹈節目的演出節目單.（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發生，但能同時不發生，所以它們的關系是互斥但不對立.故選：C.2、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面3、B【解析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，則可得，則圓柱的體積為，利用導數求出最大值，確定值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當時，取極大值，也是最大值，即故選：B【點睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計算，考查了導數的實際應用，考查了學生的應用意識.4、B【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為1，∴若與關于x軸對稱，則，即，當三點不共線時，當三點共線時，所以同理(當且僅當時取得等號)所以當三點共線時，當三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.5、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因為復數的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，設切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A6、B【解析】配方求出圓心坐標，再由點到直線距離公式計算【詳解】圓的標準方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點睛】本題考查圓的標準方程，考查點到直線距離公式，屬于基礎題7、C【解析】首先求出等差數列的首先和公差，然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量的求解，屬于基礎題.8、B【解析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.9、B【解析】由導數運算法則求出導發函數，然后可得導數值【詳解】由題意，所以故選：B10、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個集合的關系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A11、D【解析】求出函數的導數，問題轉化為在有解，進而求函數的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區間內存在單調遞增區間，則有解，故，令，則在單調遞增，，故.故選：D.12、D【解析】設圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內部的概率;故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當三點共線時，最小，.故答案為：.14、##【解析】作直線l，拋物線準線且交y軸于A點，根據拋物線定義有，進而判斷目標式最小時的位置關系，結合點線距離公式求最小值.【詳解】如下圖示：若直線l，拋物線準線且交y軸于A點，則，，由拋物線定義知：，則，所以，要使目標式最小，即最小，當共線時，又，此時.故答案為：.15、【解析】過作，垂足分別為，由直線為拋物線的準線，轉化，當三點共線時，取得最小值【詳解】過作，垂足分別為拋物線的焦點為直線為拋物線的準線由拋物線的定義，故，當三點共線時，取得最小值故最小值為點到直線的距離：故答案為：16、【解析】設出點和三角形的重心，利用重心坐標公式得到點和三角形的重心坐標的關系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點不共線得到.【詳解】設，，由，得，即，，因為為的重心，所以，，即，，代入，得，即，因為，，三點不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設等差數列公差為，，【小問2詳解】解：，.18、（1）單調減區間為，單調增區間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據其正負，即可判斷函數單調性從而求得函數單調區間；（2）根據題意，轉化目標不等式為，分別構造函數，，利用導數研究其單調性，即可證明.【小問1詳解】因為，故可得，又為單調增函數，令，解得，故當時，；當時，，故的單調減區間為，單調增區間為.【小問2詳解】當時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得最大值；令，，又為單調增函數，且時，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故當時，取得最小值.則，且當時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點睛】本題考察利用導數求函數的單調區間，以及利用導數研究恒成立問題；處理本題的關鍵是合理轉化目標式，屬中檔題.19、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項公式.（2）利用裂項求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當時，.當時，②，①-②得，，時，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實數，使得對任意恒成立.20、(1)(2).【解析】（1）根據等差數列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，進而求出通項；（2）先明確=，為等差乘等比型通項故只需用錯位相減法即可求得結論.解析：（Ⅰ）由，得因為所以（Ⅱ）21、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心與半徑，分過點的直線的斜率不存和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；（2）根據圓心與弦中點的連線垂直線，可求出直線的斜率，進而求出結果.【小問1詳解】解：由題意知圓心的坐標為，半徑，當過點的直線的斜率不存在時，方程為由圓心到直線的距離知，此時，直線與圓相切當過點的直線的斜率存在時，設方程為，即．由題意知，解得，∴方程為故過點的圓的切線方程為