2025屆山西省臨汾市襄汾中學數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數據可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.2．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.3．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的兩個焦點分別為，若橢圓上不存在點，使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設，則的一個必要不充分條件為（）A. B.C. D.6．若函數的圖象如圖所示，則函數的導函數的圖象可能是（）A. B.C D.7．已知點是點在坐標平面內的射影，則點的坐標為（）A. B.C. D.8．已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．如圖是一個程序框圖，執行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.510．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.3011．下列命題錯誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件12．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點，且垂直于的直線方程為_______________.14．若向量，且夾角的余弦值為________15．若數列滿足，則稱為“追夢數列”.已知數列為“追夢數列”，且，則數列的通項公式__________.16．已知雙曲線的右焦點為，過點作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點.若，則雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值18．（12分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點.（1）證明：平面；（2）設，菱形的面積為，求二面角的余弦值.19．（12分）已知圓的圓心在第一象限內，圓關于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若點，求過點的圓的切線方程.20．（12分）已知P，Q的坐標分別為，，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是.設點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設為坐標原點，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點A，B.當，且滿足時，求面積的取值范圍.21．（12分）已知公差不為零的等差數列的前項和為，，，成等比數列且滿足________.請在①；②；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并回答以下問題.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.22．（10分）設P是拋物線上一個動點，F為拋物線的焦點.（1）若點P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數據可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.2、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A3、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C4、C【解析】點P取端軸的一個端點時，使得∠F1PF2是最大角．已知橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2是鈍角，可得b≥c，利用離心率計算公式即可得出【詳解】∵點P取端軸的一個端點時，使得∠F1PF2是最大角已知橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2是鈍角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故選C【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).5、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項：，，，所以是的充分不必要條件，A錯誤；B選項：，，所以是的非充分非必要條件，B錯誤；C選項：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯誤.故選：C.6、C【解析】由函數的圖象可知其單調性情況，再由導函數與原函數的關系即可得解.【詳解】由函數的圖象可知，當時，從左向右函數先增后減，故時，從左向右導函數先正后負，故排除AB；當時，從左向右函數先減后增，故時，從左向右導函數先負后正，故排除D.故選：C.7、D【解析】根據空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因為點是點在坐標平面內的射影，所以的豎坐標為0，橫、縱坐標與A點的橫、縱坐標相同，所以點的坐標為.故選：D8、D【解析】過點P引拋物線準線的垂線，交準線于D，根據拋物線的定義可知，記，根據題意，當最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進而解出此時P的坐標，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點在拋物線C的準線上，作PD垂直于準線，且與準線交于點D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.9、B【解析】程序框圖中的循環結構，一般需重復計算，根據判斷框中的條件，確定何時終止循環，輸出結果.【詳解】初始值：，當時，，進入循環；當時，，進入循環；當時，，終止循環，輸出的值為3.故選：B10、C【解析】模擬運行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C11、C【解析】根據逆否命題的定義可判斷A；根據否命題的定義可判斷B；求出、，根據充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.12、A【解析】根據對數函數的單調性，以及根式的運算，確定的大小關系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出，可得垂直于的直線的斜率為，再利用點斜式可得結果.【詳解】因為，所以，所以垂直于的直線的斜率為，垂直于的直線方程為，化為，故答案為.【點睛】對直線位置關系的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.14、【解析】根據求解即可.【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了求空間中兩個向量的夾角，屬于基礎題.15、##【解析】根據題意，由“追夢數列”的定義可得“追夢數列”是公比為的等比數列，進而可得若數列為“追夢數列”，則為公比為3的等比數列，進而由等比數列的通項公式可得答案【詳解】根據題意，“追夢數列”滿足，即，則數列是公比為的等比數列.若數列為“追夢數列”，則.故答案為：.16、【解析】按題意求得，兩點坐標，以代數式表達出條件，即可得到關于的關系式，進而解得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的右焦點為,其漸近線為，垂線方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】（1）根據橢圓離心率和橢圓經過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據相切求出直線的斜率，結合可得，進而應用弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式求△面積的范圍，再逐個求解，，然后可證結論.【小問1詳解】由題意，解得，故橢圓C的方程為.【小問2詳解】設直線為，聯立得：，因為直線與橢圓C相切，則判別式，即，整理得，∴，故直線為，又，可得，設直線為，聯立方程組，解得，故Q為，聯立方程組，化簡得設，由得：，且，①，到直線的距離為，∴，令，∴.②由上，故，于是為定值.【點睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯立方程，結合判別式為零求解；定值問題的求解一般結合目標式中的項，逐個求解，代入驗證即可.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據題意，求得菱形的邊長，取中點，可證，如圖建系，求得點坐標及坐標，即可求得平面的法向量，根據平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點，連接，則、E分別為、的中點，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長為，取中點，連接，因為，所以，以點為原點，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標系.則所以設平面的法向量，由得，令，則所以一個法向量，因為，，所以平面PAD，所以平面的一個法向量所以，又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為【點睛】解題的關鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線面平行時，常用中位線法和平行四邊形法來證明；利用空間向量求解二面角為常考題型，步驟為建系、求點坐標、求所需向量坐標、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎題.19、（1）（2）或【解析】（1）結合點到直線的距離公式、弦長公式求得，由此求得圓的方程.（2）根據過的圓的切線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式求得切線方程.【小問1詳解】由題意，設圓的標準方程為：，圓關于直線對稱，圓與軸相切：…①點到的距離為：，圓被直線截得的弦長為，，結合①有：，，又，，，圓的標準方程為：.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，滿足題意當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由，解得.所以直線方程為，即即直線的方程為或.20、（1）（2）【解析】【小問1詳解】設點，則，整理得曲線的方程：【小問2詳解】因為圓的半徑為1，直線：與圓相切，則，，設，將代入得，，，，，所以，，因為，令，在上單調減，，所以21、（1）答案見解析（2）【解析】（1）首先由，，成等比數列，求出，再由①或②或③求出數列的首項和公差，即可求得的通項公式；（2）求得的通項公式，結合裂項相消法求得.【小問1詳解】設等差數列的公差為，由，，成等比數列，可得，即，∵，故，選①:由，可得，解得，所以數列的通項公式為選②:由，可得，即，所以，解得，所以；選③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以.22、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線的定義