2025屆四川省雙流藝體中學數學高三第一學期期末經典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為計算，設計了如圖所示的程序框圖，則空白框中應填入（）A． B． C． D．2．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．3．已知符號函數sgnxf（x）是定義在R上的減函數，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），則（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]4．定義在上函數滿足，且對任意的不相等的實數有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若復數滿足（是虛數單位），則（）A． B． C． D．6．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．7．設為非零實數，且，則（）A． B． C． D．8．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機到達小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關系不能確定10．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．11．拋物線的準線與軸的交點為點，過點作直線與拋物線交于、兩點，使得是的中點，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．12．我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，用現代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2，體積是_____14．已知曲線，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．15．等差數列（公差不為0），其中，，成等比數列，則這個等比數列的公比為_____.16．已知函數則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知的內角的對邊分別為.設（1）求的值；（2）若，且，求的值.18．（12分）已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.19．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線.（1）求B；（2）若，，且，求BD的長度.20．（12分）在數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）若存在，使得成立，求實數的最小值21．（12分）已知函數.（1）證明：當時，；（2）若函數只有一個零點，求正實數的值.22．（10分）已知非零實數滿足．（1）求證：；（2）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應填入的內容．【詳解】由程序框圖的運行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內的條件，執行循環體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內的條件，執行循環體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內的條件，執行循環體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規律可知：滿足判斷框內的條件，執行循環體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時，應該不滿足判斷框內的條件，退出循環，輸出S的值，所以判斷框中的條件應是i＜1．故選：A．【點睛】本題考查了當型循環結構，當型循環是先判斷后執行，滿足條件執行循環，不滿足條件時算法結束，屬于基礎題．2、B【解析】

根據程序框圖知當時，循環終止，此時，即可得答案.【詳解】，.運行第一次，，不成立，運行第二次，，不成立，運行第三次，，不成立，運行第四次，，不成立，運行第五次，，成立，輸出i的值為11，結束.故選：B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意模擬程序一步一步執行的求解策略.3、A【解析】

根據符號函數的解析式，結合f（x）的單調性分析即可得解.【詳解】根據題意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的減函數，當x＞0時，x＜ax，則有f（x）＞f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此時sgn[g（x）]＝1，當x＝0時，x＝ax，則有f（x）＝f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此時sgn[g（x）]＝0，當x＜0時，x＞ax，則有f（x）＜f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此時sgn[g（x）]＝﹣1，綜合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故選：A．【點睛】此題考查函數新定義問題，涉及函數單調性辨析，關鍵在于讀懂定義，根據自變量的取值范圍分類討論.4、B【解析】

結合題意可知是偶函數,且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數與原函數的單調性關系,構造新函數,計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數,且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數的基本性質和導函數與原函數單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數,結合導函數,計算最值,即可得出答案.5、B【解析】

利用復數乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復數的乘法運算，考查復數模的計算，屬于基礎題.6、B【解析】

根據三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當且僅當，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【點睛】（1）解決關于外接球的問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．7、C【解析】

取，計算知錯誤，根據不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.8、C【解析】

設出兩人到達小王的時間，根據題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為，以12：00點為開始算起，則有，在平面直角坐標系內，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區域，考查了數學運算能力.9、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點睛】本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題．10、D【解析】

根據空間向量的線性運算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎題.11、B【解析】

設點、，設直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，結合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點，設點、，設直線的方程為，由于點是的中點，則，將直線的方程與拋物線的方程聯立得，整理得，由韋達定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達定理設而不求法的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.12、A【解析】

根據，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20+45，8【解析】試題分析：由題意得，該幾何體為三棱柱，故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8，故填：20+4考點：1.三視圖；2.空間幾何體的表面積與體積.14、【解析】

設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯立直線與的方程，由，利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因為是的中點)，即聯立直線與的方程：又，即，即又因為，則有即∴.故答案為：【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.15、4【解析】

根據等差數列關系，用首項和公差表示出，解出首項和公差的關系，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點睛】此題考查等差數列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.16、【解析】

先由解析式求得（2），再求（2）．【詳解】（2），，所以（2），故答案為：【點睛】本題考查對數、指數的運算性質，分段函數求值關鍵是“對號入座”,屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理將，轉化，即，由余弦定理求得，再由平方關系得再求解.（2）由，得，結合再求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，則，而，又，解得，故.（2）因為，則，因為，故，故，解得，故，則.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.18、（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結合離心率，可得a,b,c的關系，可得橢圓的方程；（2）設出直線的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點的坐標，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點．【詳解】（1）由題可得∴，所以橢圓的方程（2）由題知，設，直線的斜率存在設為，則與橢圓聯立得，，∴，，∴若以為直徑的圓經過點，則，∴，化簡得，∴，解得或因為與不重合，所以舍.所以直線的方程為.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查了向量的數量積的運用，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據共線得到，利用正弦定理化簡得到答案.（2）根據余弦定理得到，，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）∵與共線，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.則或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【點睛】本題考查了向量共線，正弦定理，余弦定理，意在考查學生的綜合應用能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項開始的等比數列，由此即可求出答案；（2），分類討論，當時，，作商法可得數列為遞增數列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因為，，兩式相減得：，即，是從第二項開始的等比數列，∵∴，則，；（2），當時，；當時，設遞增，，所以實數的最小值．【點睛】本題主要考查地推數列的應用，屬于中檔題．21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導數求證即可（2）直接求導可得，，令，得或，故根據0與的大小關系來進行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數的增區間為，減區間為.所以當時，.所以，即，所以.所以當時，.解：（2）因為，所以.討論：①當時，，此時函數在區間上單調遞減.又，故此時函數僅有一個零點為0；②當時，令，得，故函數的增區間為，減區間為，.又極大值，所以極小值.當時，有.又，此時，故當時，函數還有一個零點，不符合題意；③當時，令得