PAGE19-江蘇省蘇州市第一中學2024-2025學年高二數學下學期期中試題（含解析）一、單項選擇題（本大題共有8小題，每題5分，共40分）1.復數(2?i)i（i是虛數單位）的虛部是（）A.2i B.2 C.1+2i D.?2【答案】B【解析】【分析】化簡復數即得復數的虛部.【詳解】由題得，所以復數的虛部為2.故選：B【點睛】本題主要考查復數的乘法運算和復數的虛部，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平，屬于基礎題.2.有三對師徒共6個人，站成一排照相，每對師徒相鄰的站法共有（）A.72種 B.48種 C.54種 D.8種【答案】B【解析】【分析】因為每對師徒必需相鄰，所以，三對師徒進行捆綁，則有，捆綁后再次進行排列，則有種組合拍列，所以，每對師徒相鄰的站法共有種【詳解】由題意得每對師徒相鄰的站法共有故選：B【點睛】本題考查排列組合中的相鄰問題，屬于簡潔題3.已知隨機變量聽從正態分布，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據正態密度曲線的對稱性得出，由此可計算出結果.【詳解】由于隨機變量聽從正態分布，則，故選C.【點睛】本題考查正態分布在指定區間上的概率，解題時要充分利用正態密度曲線的對稱性來求解，考查分析問題和解決問題的實力，屬于基礎題.4.從4臺甲型和5臺乙型電視機中隨意取出3臺，其中甲型與乙型電視機都要取到，則不同的取法種數為（）A.40 B.50 C.60 D.70【答案】D【解析】【分析】依據題意，可分為2種狀況，①取出的3臺電視機為：甲型1臺與乙型2臺，②取出的3臺電視機為：甲型2臺與乙型1臺，結合組合數的公式，即可求解.【詳解】依據題意，可分為2種狀況，①取出的3臺電視機為：甲型1臺與乙型2臺，共有種不同的取法；②取出的3臺電視機為：甲型2臺與乙型1臺，共有種不同的取法，由分類計數原理，可得不同的取法共有種.故選：D.【點睛】本題主要考查了分類計數原理，以及組合數公式的應用，其中解答中合理分類，結合組合數的公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力.5.函數的單調遞減區間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數的定義域，解導數小于0的不等式，即可得答案.【詳解】∵函數的定義域為，且，令，解得，∴函數的單調遞減區間為.故選C.【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區間，考查運算求解實力，求解時留意定義域優先法則的運用.6.通過隨機詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項運動，得到如下的22列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結論是（）A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”；B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”；C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”；D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”．【答案】C【解析】【分析】依據給定的的值，結合附表，即可得到結論.【詳解】由，所以有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關.故選：C.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，其中解答中正確理解附表中數據的意義是解答本題的關鍵，屬于基礎題.7.設隨機變量ξ聽從二項分布ξ～B(6，)，則P(ξ≤3)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由及二項分布的概率公式即可求解.【詳解】.故選：A【點睛】本題考查二項分布及其概率求解，屬于基礎題.8.已知，若，則（）A.－32 B.1 C.32 D.1或－32【答案】B【解析】【分析】由求出a，再利用賦值法令代入等式即可得解.【詳解】由題意知，，令得.故選：B【點睛】本題考查二項綻開式中特定項的系數、賦值法求二項式系數和，屬于基礎題.二、多項選擇題（本大題共有4小題，每題5分，共20分）9.在5件產品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么概率為的事務是（）A.至多一件一等品 B.至少一件一等品C.至多一件二等品 D.至少一件二等品【答案】AD【解析】【分析】從5件產品中任取2件，有種結果，至多一件一等品有種狀況，至少一件一等品有種狀況，至多一件二等品有種狀況，至少一件二等品有種狀況，結合古典概型概率計算公式可得結果【詳解】從5件產品中任取2件，共有種結果，∵“任取的2件產品至多一件一等品”有種狀況，其概率是，故A正確；“任取的2件產品中至少一件一等品”有種狀況，其概率是，故B錯誤；“任取的2件產品中至多一件二等品”有種狀況，其概率是，故C錯誤；“任取的2件產品在至少一件二等品”有種狀況，其概率是，故D正確；故選：AD.【點睛】本題考查古典概型，是一個由概率來對應事務的問題，須要把選項中的全部事務都作出概率，解題過程比較麻煩，屬于中檔題.10.定義在區間上的函數的導函數圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.函數在區間單調遞增B.函數在區間單調遞減C.函數在處取得極大值D.函數在處取得微小值【答案】ABD【解析】【分析】依據導函數圖像推斷出函數的單調性和極值，由此推斷出正確選項.【詳解】依據導函數圖像可知，在區間上，，單調遞減，在區間上，，單調遞增.所以在處取得微小值，沒有極大值.所以A,B,D選項正確，C選項錯誤.故選：ABD【點睛】本小題主要考查利用導函數圖像推斷函數單調區間、極值，屬于基礎題11.下列對各事務發生的概率推斷正確的是（）A.某學生在上學的路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B.三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，，，假設他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為C.甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為D.設兩個獨立事務A和B都不發生的概率為，A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同，則事務A發生的概率是【答案】AC【解析】【分析】依據每個選項由題意進行計算，從而進行推斷即可【詳解】對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的狀況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為,故A正確；對于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則,,,“三個人都不能破譯出密碼”發生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為,故B不正確；對于C,設“從甲袋中取到白球”為事務A,則,設“從乙袋中取到白球”為事務B,則,故取到同色球的概率為,故C正確；對于D,易得,即,即∴,又,∴,∴,故D錯誤故選AC【點睛】本題考查古典概型,考查事務的積,考查獨立事務,嫻熟駕馭概率的求解公式是解題關鍵12.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數存在兩個不同的零點B.函數既存在極大值又存在微小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】首先求函數的導數，利用導數分析函數的單調性和極值以及函數的圖像，最終干脆推斷選項.【詳解】A.,解得，所以A正確；B.，當時，，當時，或是函數的單調遞減區間，是函數的單調遞增區間，所以是函數的微小值，是函數的極大值，所以B正確.C.當時，，依據B可知，函數的最小值是，再依據單調性可知，當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；

D.由圖像可知，的最大值是2，所以不正確.故選A,B,C【點睛】本題考查了導數分析函數的單調性，極值點，以及函數的圖像，首先求函數的導數，令導數為0，推斷零點兩側的正負，得到函數的單調性，本題易錯的地方是是函數的單調遞減區間，但當時，，所以圖像是無限接近軸，假如這里推斷錯了，那選項簡潔推斷錯了.三、填空題（本大題共有4小題，每題5分，共20分）13.已知復數滿意，其中是虛數單位，則_____________．【答案】【解析】復數z滿意z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案為.14.的綻開式中僅有第4項的二項式系數最大，則該綻開式的常數項是__________．【答案】15【解析】∵二項式的綻開式中僅有第4項的二項式系數最大，，

則綻開式中的通項公式為．

令，求得，故綻開式中的常數項為，

故答案為15.15.將A，B，C，D四個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A，B不能放入同一個盒子中，則不同的放法有______種．【答案】30【解析】【分析】先假設可放入一個盒里，那么方法有種，減去在一個盒子的狀況，就有5種，把2個球的組合考慮成一個元素，就變成了把三個不同的球放入三個不同的盒子，從而可得到結果．【詳解】解：由題意知有一個盒子至少要放入2球，先假設可放入一個盒里，那么方法有.再減去在一起的狀況，就是種．把2個球的組合考慮成一個元素，就變成了把三個不同的球放入三個不同的盒子，那么共有種．∴依據分步計數原理知共有種．故選：C．【點睛】本題考查分步計數原理，考查帶有限制條件的元素的排列問題.兩個元素不能同時放在一起，或兩個元素不能相鄰，這都是常見的問題，須要駕馭方法．16.設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】采納構造函數法，設，，則原問題轉化為存在唯一的整數，使得在直線的下方，對求導可推斷函數在處取到最小值，再結合兩函數位置關系，建立不等式且，即可求解【詳解】設，，由題設可知存在唯一的整數，使得在直線的下方，因為，故當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；故，而當時，，，故當且，解之得故答案為：．【點睛】本題考查由導數探討函數的極值點，構造函數法求解參數取值范圍，數形結合思想，屬于難題四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知函數，在曲線的全部切線中，有且僅有一條切線與直線垂直．求實數的值和切線的方程．【答案】，.【解析】【分析】求得，依據題意可知方程只有一個實數解，可知二次函數的最小值為，求得實數的值及對應的的值，可得出切點的坐標，利用點斜式可得出切線的方程.【詳解】因為，所以.由題意可知，方程有兩個相等的實根．則，又，，解得，則，所以切點坐標為，因此，切線的方程為，即.【點睛】本題考查利用導數求解函數的切線方程，考查計算實力，屬于基礎題.18.設.已知.（1）求n的值；（2）設，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二項式綻開式的通項公式確定的值，然后求解關于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值確定有理項和無理項從而可得a,b的值，然后計算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由題意得到的綻開式，最終結合平方差公式即可確定的值.【詳解】（1）因為，所以，．因為，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因為，所以，從而．解法二：．因為，所以．因此．【點睛】本題主要考查二項式定理、組合數等基礎學問，考查分析問題實力與運算求解實力.19.某設備的運用時間x（單位：年）和所支出的修理費用y（單位：萬元）有如下統計數據：運用時間x/年23456修理費用y/萬元2.23.85.56.57.0若由數據知x與y具有線性相關關系.（1）試求線性回來方程；（2）試估計運用年限為10年時的修理費用是多少？參考公式：線性回來方程中，【答案】（1）；（2）運用年限為10年時的修理費用是12.38萬元.【解析】【分析】（1）依據所給數據，求出的平均數，再由公式計算出即得；（2）將代入（1）中的線性回來方程，即得修理費用的估計值.【詳解】（1）由題得，，，則，，故線性回來方程為.（2）由（1）知線性回來方程為，當時，（萬元），即運用年限為10年時，估計修理費用是萬元.【點睛】本題考查求線性回來方程，以及它的應用，解題關鍵是駕馭線性回來方程的求法，難度不大.20.已知函數f(x)＝(a≠0)．（1）當a＝－1，b＝0時，求函數f(x)的極值；（2）當b＝1時，若函數f(x)沒有零點，求實數a的取值范圍．【答案】（1）微小值為，無極大值；（2）.【解析】【分析】（1）當時，求得函數的導數，利用導數求得函數的單調性，結合函數極值的定義，即可求解；（2）把函數沒有零點，轉化為方程ax－a＋ex＝0無實根，令，利用導數求得函數的單調性與最值，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）當時，函數，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以的微小值為，無極大值．（2）當時，函數，因為函數沒有零點，即方程無實根，即ax－a＋ex＝0無實根，令，則，若時，則在R上單調遞增，此時存在，使得，不合題意；若時，令，即，得；令，得，所以當，函數取得最小值，最小值為，要使得函數沒有零點，則滿意，即，解得，綜上所述，實數的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了利用導數求解函數的極值，以及利用導數探討函數的零點問題，其中解答中把函數的零點問題轉化為方程根的個數，應用導數求得函數的單調性與最值，列出不等式是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與計算實力.21.經調查統計，網民在網上光顧某淘寶小店，經過一番閱讀后，對該店鋪中的三種商品有購買意向．該淘寶小店推出買一種送5元實惠券的活動．已知某網民購買商品的概率分別為，，，至少購買一種的概率為，最多購買兩種的概率為．假設該網民是否購買這三種商品相互獨立．（1）求該網民分別購買兩種商品的概率；（2）用隨機變量表示該網民購買商品所享受的實惠券錢數，求的分布列．【答案】(1);(2)見解析.【解析】【分析】(1)由題意和概率的乘法公式可得進而可求購買兩種商品的概率.(2)由題意知列出的可能取值,再求出每種取值下的概率.【詳解】解:(1)由題意知,至少購買一件的概率為,所以一件都不買的概率為.①.因為最多購買兩件商品的概率為所以三件都買的概率為.即②.聯立①②解得或.因為,所以.(2).由題意知.則,,則的分布列為051015【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列,考查了相互獨立事務的概率.對于列分布列的問題,在寫出分布列后,可將得到的概率加起來,推斷是否為1,從而可以