14.1勾股定理第14章勾股定理14.1.1直角三角形三邊的關系逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2勾股定理勾股定理的證明知識點正方形的定義知1－講11.

勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.知1－講2.

基本思想方法勾股定理把“形”與“數”有機地結合起來，即把直角三角形這個“形”與三邊關系這一“數”結合起來，它是數形結合思想的典范.知1－講特別提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形的三邊的平方關系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理，已知直角三角形的其中任意兩邊可以求出第三邊.3.運用勾股定理求解時，若分不清哪條邊是斜邊，則要分類討論，寫出所有可能的情況，以免漏解或錯解.知1－練例1在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝13，a＝12，求b；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(結果保留根號).解題秘方：緊扣“勾股定理的特征”解答.知1－練

知1－練1-1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b；解：設a＝3x(x>0)，則b＝4x.由勾股定理得a2＋b2＝c2，則(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15.∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.知1－練(2)若c－a＝4，b＝16，求a，c.知1－練已知直角三角形兩邊的長分別是6和8，則第三邊的長為_________.例2解題秘方：緊扣“所求第三邊可能是斜邊或直角邊”進行分類解答.

知1－練2-1.若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的值可能有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個B知2－講知識點勾股定理的證明21.

常用證法驗證勾股定理的方法有很多，如測量法、幾何證明法等，但最常用的是通過拼圖，構造特殊圖形，并根據拼圖中各部分面積之間的關系來驗證.知2－講特別提醒通過拼圖證明命題的思路：1.圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，面積就不會改變；2.根據同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；3.利用等式的性質驗證結論成立.即拼出圖形→寫出圖形面積的表達式→找出等量關系→恒等變形→證明命題結論.知2－講2.著名證法舉例方法圖形證明趙爽的“趙爽弦圖”知2－講續表：方法圖形證明劉徽的“青朱出入圖”設大正方形的面積為S，則S＝c2.根據“出入相補，以盈補虛”的原理，有S＝a2＋b2，∴a2＋b2＝c2知2－講方法圖形證明加菲爾德總統拼圖續表：知2－講方法圖形證明畢達哥拉斯拼圖續表：知2－練一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發人們發現了勾股定理的一種驗證方法.如圖14.1-1，火柴盒的一個側面ABCD倒下后到四邊形AB′C′D′的位置，連結AC，AC′，CC′，設AB＝a，BC＝b，AC＝c.請利用四邊形BCC′D′的面積驗證勾股定理：a2＋b2＝c2

.例3知2－練解題秘方：緊扣“總體面積等于各部分面積之和”進行驗證.知2－練

知2－練

整個圖形的面積等于不重疊、無空隙的各組成部分的面積的和.知2－練方法點撥：通過拼圖，利用求面積來驗證，這種方法以數形轉換為指導思想，以圖形拼補為手段，以各部分面積之間的關系為依據而達到目的.知2－練3-1.如圖，寫出字母所代表的正方形的面積：SA＝______，SB＝________.625144知2－練3-2.(1)觀察圖①、②并填寫下表(圖中每個小方格的邊長均為1).16A的面積B的面積C的面積圖①圖②9254913知2－練(2)三個正方形A，B，C的面積之間有什么關系？(3)三個正方形圍成的一個直角三角形的三邊長之間存在什么關系？解：三個正方形A，B，C的面積之間的關系為SA＋SB＝SC.三個正方形圍成的一個直角三角形的三邊長之間的關系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．直角三角形三邊的關系勾股定理驗證拼圖法面積法條件直角三角形結論三邊平方關系應用幾何應用實際應用14.1勾股定理第14章勾股定理14.1.2直角三角形的判定、反證法逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2勾股定理的逆定理勾股數反證法知識點勾股定理的逆定理知1－講11.

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關系a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形，且邊c所對的角為直角.知1－講特別提醒●勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個依據，在判定時不能說“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因為還沒有確定是直角三角形.●a2＋b2＝c2只是一種表現形式，滿足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是這時a或b為斜邊.知1－講2.利用邊的關系判定直角三角形的步驟(1)“找”：找出三角形三邊中的最長邊；(2)“算”：計算其他兩邊的平方和與最長邊的平方；(3)“判”：若兩者相等，則這個三角形是直角三角形，否則不是.知1－講3.拓展當兩短邊的平方和大于最長邊的平方時，該三角形為銳角三角形；當兩短邊的平方和小于最長邊的平方時，該三角形為鈍角三角形.知1－練例1判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一個三角形的三邊長a，b，c滿足a∶b∶c＝3∶4∶5.解題秘方：緊扣“直角三角形的定義”和“勾股定理的逆定理”進行判斷.知1－練解：(1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°.∴△ABC是直角三角形.(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，∴△ABC是直角三角形.(3)設a＝3x，則b＝4x，c＝5x.易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.遇比例用參數法.知1－練方法點撥：判定直角三角形的方法：1.如果已知條件與角度有關，可求出其中一個角是直角，或者證明其中一個角等于已知的直角，得到直角三角形.2.如果已知條件與邊有關，可通過計算推導出三角形三邊長的數量關系[即a2＋b2＝c2(c為最長邊)]，得到直角三角形.知1－練1-1.有五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現將它們擺成各選項所示的兩個直角三角形，其中正確的是()C知1－練

D知2－講知識點勾股數21.勾股數能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.勾股數必須同時滿足兩個條件：(1)三個數都是正整數；(2)兩個較小數的平方和等于最大數的平方.知2－講2.

判別一組數是不是勾股數的一般步驟(1)“看”：看是不是三個正整數；(2)“找”：找最大數；(3)“算”：計算最大數的平方與兩個較小數的平方和；(4)

“判”：若兩者相等，則這三個數是一組勾股數，否則不是一組勾股數.知2－講特別提醒1.勾股數有無數組.2.一組勾股數中的各數都乘相同的正整數可以得到一組新的勾股數：如3，4，5是勾股數，則6，8，10和9，12，15也是勾股數，即如果a，b，c是一組勾股數，那么na，nb，nc(n為正整數)也是一組勾股數.知2－練下面四組數中是勾股數的一組是()A.6，7，8 B.5，8，13C.1.5，2，2.5 D.21，28，35例2解題秘方：緊扣“勾股數定義中的兩個條件”進行判斷.解：根據勾股數的定義：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數a，b，c稱為勾股數，可知D選項成立.D知2－練2-1.下列各組數中，是勾股數的是()A.3，4，7B.0.5，1.2，1.3C.6，8，10D.32，42，52C知3－講知識點反證法31.

定義反證法是一種論證方式，首先假設命題的結論的反面是正確的，然后推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說假設不成立，原命題得證.知3－講2.反證法證明命題的一般步驟反設——歸謬——結論，即：(1)假設命題的結論的反面是正確的；(2)從這個假設出發，通過演繹推理，推出與基本事實、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；(3)由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題成立.知3－講特別提醒1.若結論的反面只有一種情況，則反設單一，只需駁倒這種情況，即可達到反證的目的.2.若結論的反面不止一種情況，那么要把各種情況一一駁倒，才能證明原結論正確.知3－練用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.例3解題秘方：緊扣反證法證明命題的一般步驟進行證明.知3－練解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內角.求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角.證明：假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角.不妨設∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＝∠A＋180°>180°.這與“三角形的內角和是180°”相矛盾.∴假設不成立，即一個三角形中不能有兩個角是直角.知3－練3-1.已知：在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B，∠C都是銳角.(用反