17/24異構樹上倍增算法第一部分異構樹倍增原理 2第二部分樹形結構倍增算法 4第三部分倍增算法在異構樹上的應用 5第四部分倍增數組的構造 8第五部分倍增過程的實現 11第六部分異構樹倍增時間復雜度 13第七部分異構樹倍增空間復雜度 15第八部分異構樹倍增算法適用范圍 17

第一部分異構樹倍增原理異構樹倍增原理

異構樹倍增算法是一種高效的動態規劃算法，用于解決異構樹上的單源最短路徑問題，其中邊的權重可以是不同的。其核心原理是使用倍增思想不斷劃分樹的深度，并預處理出每個節點在不同深度下的祖先節點及其距離。

基本原理

對于一棵具有n個節點的異構樹，我們定義f(i,d)為節點i在深度d下的祖先節點。同時，g(i,d)表示節點i到其在深度d下的祖先節點的邊權重和。

預處理

算法首先對樹進行預處理，計算出每個節點在不同深度下的祖先節點和邊權重和。具體步驟如下：

1.初始化f(i,0)=i和g(i,0)=0，表示每個節點在深度0下的祖先節點就是自己，邊權重和為0。

2.對于每個深度d=1到log₂n，依次執行以下步驟：

-對于每個節點i，計算f(i,d)=f(f(i,d-1),d-1)，即節點i在深度d下的祖先節點是其在深度d-1下祖先節點的深度d-1下的祖先節點。

-對于每個節點i，計算g(i,d)=g(i,d-1)+g(f(i,d),d-1)，即節點i到其在深度d下的祖先節點的邊權重和等于其到深度d-1下祖先節點的邊權重和加上從深度d-1下祖先節點到深度d下祖先節點的邊權重。

查詢

給定兩個節點u和v，我們可以利用預處理結果高效地計算它們之間的最短路徑。具體步驟如下：

1.將節點u和v的深度分別設為d_u和d_v。

2.如果d_u≠d_v，則將深度較深的節點向上跳躍至與另一個節點深度相同。具體地，如果d_u>d_v，則將u跳躍至f(u,d_u-d_v)，否則將v跳躍至f(v,d_v-d_u)。

3.重復步驟2，直到兩個節點的深度相同。

4.此時，節點u和v在同一深度下，利用預處理的結果，我們可以通過不斷跳躍祖先節點來計算出它們之間的最短路徑。具體地，對于每個節點i，計算p(i)=g(i,d)+g(u,d)-2*g(lca(i,u),d)，其中lca(i,u)表示節點i和u的最近公共祖先。

時間復雜度

異構樹倍增算法的預處理時間復雜度為O(nlogn)，查詢時間復雜度為O(logn)。第二部分樹形結構倍增算法樹形結構倍增算法

引言

樹形結構倍增算法是一種用于解決樹形結構中查詢問題的算法。它是一種動態規劃算法，利用樹形的特殊性質，通過預處理和倍增的思想，快速解決查詢問題。

算法原理

設有一棵樹T，其中每個節點u有一個深度depth[u]，且深度為0的節點為根節點。對于任意的節點u和整數k，令p[u][k]表示節點u向上跳躍2^k步（即跳躍2^k個相鄰節點）后到達的節點。

算法的核心思想是通過預處理計算出p數組，并利用倍增的思想快速查詢任意節點u向上跳躍2^k步后的祖先。

預處理

預處理階段計算出p數組。具體步驟如下：

1.初始化：對于每個節點u，令p[u][0]=u。

2.倍增：對于每個節點u和k（1≤k≤log₂（n）），令p[u][k]=p[p[u][k-1]][k-1]，其中n為樹中節點總數。

查詢

給定一個節點u和一個整數k，求節點u向上跳躍2^k步后的祖先v。查詢步驟如下：

1.二進制分解：將k分解為若干個2的次冪之和，即k=2ⁱ+...+2^j。

2.倍增查詢：從大到小枚舉i到j，對于每個2ⁱ，令u=p[u][i]。

3.結果：最終，u即為節點v。

時間復雜度

*預處理：O(nlogn)，其中n為樹中節點總數。

*查詢：O(logn)。

用途

樹形結構倍增算法廣泛用于解決樹形結構中的查詢問題，例如：

*求節點u與節點v的最近公共祖先（LCA）。

*求節點u到節點v的距離。

*維護樹形結構中的動態變化，例如添加和刪除節點。

擴展

樹形結構倍增算法還可以擴展到解決其他樹形結構問題，例如：

*重鏈剖分：用于解決樹形結構中區間查詢和修改問題。

*樹鏈剖分：用于解決樹形結構中點分治和數據結構優化問題。第三部分倍增算法在異構樹上的應用關鍵詞關鍵要點【異構樹倍增算法的應用】

【基于標記的倍增】

1.在異構樹中，不同節點可以具有不同的權重或類型。

2.基于標記的倍增算法使用標記數組標記不同類型的節點。

3.標記數組允許算法在倍增過程中快速確定路徑上不同類型節點的權重信息。

【基于代價的倍增】

倍增算法在異構樹上的應用

簡介

異構樹是一種特殊的樹結構，其中邊的權值可能是不同的。在解決異構樹上的問題時，倍增算法是一種有效的算法技術，可以有效地處理異構的邊權值。

算法原理

倍增算法的基本思想是利用預處理的技術，將原問題的求解分解為一系列較小的子問題，并通過對子問題的求解，逐步得到原問題的答案。

在異構樹上，倍增算法的關鍵在于預處理出倍增表，其中記錄了從每個節點出發沿著每種邊權值的2的冪次方步長的祖先節點。有了倍增表，對于任意兩個節點之間的最短路徑查詢，可以通過不斷跳躍2的冪次方的步長，快速得到答案。

步驟

1.預處理倍增表：

-從每個節點出發，計算沿每種邊權值2的冪次方步長的祖先節點。

-記錄這些結果到倍增表中。

2.查詢最短路徑：

-假設要查詢節點u到節點v的最短路徑。

-首先找到u和v之間的2的最大冪次方步長`k`，使得`2^k<=v-u`。

-沿這個步長從u出發，更新當前節點為倍增表中`u`對應的`2^k`步長的祖先節點。

-重復此過程，逐步縮小`k`，直到`k=0`。

-最終到達的節點即為u到v的最短路徑上的祖先節點。

-計算u到該祖先節點和祖先節點到v的路徑權值之和，即為u到v的最短路徑權值。

分析

時間復雜度：

-預處理倍增表：O(nlognW)，其中n為節點數，W為最大邊權值。

-查詢最短路徑：O(lognW)

空間復雜度：

-倍增表：O(nlognW)

應用場景

倍增算法在異構樹上的應用廣泛，包括但不限于：

-最短路徑查詢

-最長路徑查詢

-樹上最大權獨立集

-樹上最小割

-樹上鏈剖分

優點

倍增算法在異構樹上的應用具有以下優點：

-高效性：通過預處理倍增表，可以快速查詢最短路徑和其他問題。

-通用性：可以應用于各種異構樹上的問題。

-簡潔性：算法實現簡單，易于理解和應用。

局限性

倍增算法的局限性在于：

-空間占用：倍增表需要存儲大量信息，空間占用較大。

-邊權值上限：倍增算法要求邊權值必須是有界的，否則可能導致預處理時間過長。第四部分倍增數組的構造關鍵詞關鍵要點倍增數組的構造

主題名稱：倍增表構建

1.遞歸倍增：從樹根出發，逐層將當前子樹的倍增表構建完成。

2.倍增關系：對于每個節點u和倍增步長2^i，其倍增節點v滿足從u出發沿樹邊走2^i步可到達v。

3.遞歸終止：當倍增步長達到樹的最大深度時，遞歸終止。

主題名稱：倍增表的性質

倍增數組的構造

概述

倍增算法是一種用于解決樹上最短路徑問題的高效算法。該算法的核心是倍增數組，即預先計算好的表格，其中包含從每個節點到其祖先的距離信息。

構造過程

倍增數組的構造過程涉及兩個嵌套循環：

-外循環：遍歷樹上的所有節點`v`。

-內循環：計算從節點`v`到其祖先`u`的距離`dist[v][u]`，其中`u`是`v`的第`2^i`代祖先（`i`從0開始）。

算法步驟：

1.初始化倍增數組`dist`，其中`dist[v][0]`為節點`v`到其父節點的距離。

2.對于外循環中每個節點`v`：

-對于內循環中每個整數`i`（`i`從1到`log(V)`）：

-計算節點`v`到祖先`v<<i`的距離`dist[v][i]`：

-如果`i`為奇數，則`dist[v][i]=dist[v][i-1]`。

-否則，則`dist[v][i]=dist[v][i-1]+dist[v<<(i-1)][i-1]`。

時間復雜度

倍增數組的構造過程的時間復雜度為`O(VlogV)`，其中`V`為樹中節點的數量。

舉例說明

考慮一棵6個節點的樹（如下圖所示）：

```

1

/\

23

/\/

456

```

根據上述算法，倍增數組`dist`的構造過程如下：

|`v`|`i`|`dist[v][i]`|

||||

|1|0|0|

|1|1|1|

|1|2|2|

|2|0|1|

|2|1|2|

|3|0|1|

|3|1|2|

|4|0|2|

|4|1|3|

|5|0|1|

|5|1|2|

|6|0|1|

例如，`dist[2][1]`的值表示從節點2到其祖先節點4的距離，即2。

應用

倍增數組可以用來解決各種樹上的問題，包括：

-查詢兩個節點之間的最短路徑

-查詢節點到其祖先的距離

-查詢節點子樹中兩點之間的最短路徑第五部分倍增過程的實現關鍵詞關鍵要點【倍增數組的初始化】：

1.對于每個點，預處理出它的父節點、深度和權值。

2.初始化倍增數組，令f[i][0]=pi。

【倍增過程】：

倍增過程的實現

倍增算法的關鍵步驟是進行倍增過程，它允許我們在對數時間內計算出從一個節點到其祖先節點的第\(2^i\)個祖先。

#實現步驟

給定一顆有\(n\)個節點的異構樹\(T=(V,E)\)，其根節點為\(1\)。以下是如何實現倍增過程：

1.預處理：

-計算樹的深度\(d=\log_2n\)，并初始化一個\(n\timesd\)二維數組\(P\)，其中\(P[v][i]\)表示節點\(v\)的第\(2^i\)個祖先。

-對于每個節點\(v\)，將\(P[v][0]\)設為其父節點。

2.倍增：

-對于\(i\)從\(1\)到\(d-1\)：

-對于每個節點\(v\)：

-計算節點\(v\)的第\(2^i\)個祖先：

-\(P[v][i]=P[P[v][i-1]][i-1]\)

#時間復雜度

倍增過程的時間復雜度為\(O(n\log_2n)\)。

-預處理階段需要\(O(n)\)的時間。

-倍增階段需要\(O(\log_2n)\)的時間計算每個節點的祖先，并且需要對所有\(n\)個節點執行，因此總的時間復雜度為\(O(n\log_2n)\)。

#空間復雜度

倍增過程的空間復雜度為\(O(n\log_2n)\)，因為我們使用了一個\(n\timesd\)的數組來存儲祖先信息。

#使用

倍增過程對于解決各種樹形問題非常有用，例如：

-求兩個節點之間的路徑

-尋找節點的最低公共祖先

-計算子樹大小或其他信息

#偽代碼

以下是一個倍增過程的偽代碼實現：

```python

defbuild_ancestor_table(n,parent):

dp=[[0]*(int(math.log2(n))+1)for_inrange(n+1)]

forvinrange(1,n+1):

dp[v][0]=parent[v]

forjinrange(1,int(math.log2(n))+1):

forvinrange(1,n+1):

dp[v][j]=dp[dp[v][j-1]][j-1]

returndp

```第六部分異構樹倍增時間復雜度關鍵詞關鍵要點主題名稱：異構樹倍增算法的漸進復雜度

1.異構樹倍增算法采用動態規劃算法，從底向上計算每個節點在不同層中的祖先信息。

2.在每個節點，算法需要計算出該節點的父節點、祖父節點、曾祖父節點等，需要遍歷O(logn)層。

3.對于n個節點的異構樹，算法的時間復雜度為O(n*logn)，其中n為節點數，logn為樹的深度。

主題名稱：異構樹倍增算法的空間復雜度

異構樹倍增時間復雜度

異構樹倍增算法是一種基于倍增思想解決異構樹上路徑查詢問題的算法。它通過預處理的方式，將查詢時間復雜度從O(Nlog^2N)優化到O(NlogN)，其中N為樹的節點數。

異構樹倍增算法的時間復雜度分析如下：

預處理：

*計算每個節點在深度為i時的祖先節點：O(NlogN)

*根據祖先節點信息，計算每個節點在任意深度時的祖先節點：O(NlogN)

查詢：

*找到查詢路徑的最低公共祖先：O(logN)

*計算路徑上的節點深度和：O(logN)

*查詢每個深度上路徑上的節點信息：O(logN)

因此，異構樹倍增算法的總時間復雜度為：

```

預處理：2*O(NlogN)=O(NlogN)

查詢：O(logN)+O(logN)+O(logN)=O(logN)

```

進一步分析：

*如果樹的深度為D，則預處理的時間復雜度為O(NlogD)。

*查詢時間復雜度O(logN)與樹的深度無關，這使得該算法非常高效，即使對于深度較大的樹也很適用。

*異構樹倍增算法的時間復雜度與樹的結構無關，這使得它適用于任意形式的異構樹。

結論：

異構樹倍增算法是一種高效的路徑查詢算法，其時間復雜度為O(NlogN)的預處理階段和O(logN)的查詢階段。算法的時間復雜度與樹的深度和結構無關，使其適用于各種異構樹。第七部分異構樹倍增空間復雜度異構樹上倍增算法的空間復雜度

異構樹上倍增算法是一種針對異構樹（邊權不一致的樹）設計的倍增算法。與傳統的倍增算法相比，異構樹上倍增算法在空間復雜度上存在差異。

傳統倍增算法的空間復雜度

對于傳統的倍增算法，其空間復雜度為O(nlogn)，其中n為樹中節點的數量。這是因為對于每個節點，需要存儲其2^i級祖先的信息（i=0,1,...,logn），而每個祖先信息又需要存儲其節點編號和邊權。因此，總共需要存儲n*logn個信息。

異構樹上倍增算法的空間復雜度

異構樹上倍增算法的空間復雜度為O(nm)，其中m為樹中最長邊的邊權。與傳統倍增算法不同的是，異構樹上倍增算法并不存儲所有節點的祖先信息，而是僅存儲最長邊上的節點及其祖先的信息。

具體來說，算法首先找到樹中最長邊，并將其端點之一記為根節點。然后，對于根節點的每個子樹，算法遞歸地應用異構樹上倍增算法，并為每個子樹維護一個額外的數組，該數組存儲從子樹根節點到根節點的路徑上每個節點的邊權和。

通過這種方式，算法可以僅存儲最長邊上的節點及其祖先的信息，而無需存儲所有節點的祖先信息。這樣就將空間復雜度降低到了O(nm)，其中m是最長邊的邊權。

原因

異構樹上倍增算法空間復雜度降低的原因在于以下觀察：

*在異構樹中，最長邊上的節點及其祖先往往是關鍵節點，在計算最長路徑或最短路徑等問題中經常被訪問。

*通過存儲最長邊上的節點及其祖先的信息，算法可以避免在計算過程中多次訪問這些節點，從而節省了空間。

示例

考慮一個具有5個節點的異構樹，最長邊權為6：

```

1

/\

23

/\

45

```

傳統的倍增算法需要存儲5*log5=15個祖先信息。而異構樹上倍增算法僅需要存儲以下信息：

*根節點1及其祖先2和3

*子樹2的路徑權重和數組[0,6]

*子樹3的路徑權重和數組[0,6]

因此，異構樹上倍增算法只需要存儲9個信息，比傳統倍增算法節約了6個信息。

結論

異構樹上倍增算法通過僅存儲最長邊上的節點及其祖先的信息，將空間復雜度降低到了O(nm)，其中m為樹中最長邊的邊權。這在異構樹問題中具有重要意義，因為異構樹的邊權往往差異很大，從而可以有效節約空間。第八部分異構樹倍增算法適用范圍異構樹倍增算法適用范圍

異構樹倍增算法是一種用于高效處理異構樹（又稱無根樹）上路徑查詢問題的算法。異構樹的每個節點可以具有不同類型的邊，并且不同類型的邊可能具有不同的權重或屬性。與傳統的樹倍增算法相比，異構樹倍增算法可以處理更復雜的樹結構和邊權重問題。

適用范圍：

異構樹倍增算法主要適用于以下類型的異構樹：

1.加權異構樹：

其中每個邊的權重可以是任意實數。異構樹倍增算法可以用于計算樹中任意兩點之間的最長或最短路徑。

2.聚合異構樹：

其中每個邊的權重是可以在特定操作（例如加法、乘法）下結合的代數元素。異構樹倍增算法可以用于計算樹中任意兩點之間指定操作下的路徑權重和。

3.LCA查詢：

異構樹倍增算法可以用來高效地查詢兩個節點的最近公共祖先（LCA）。

4.動態異構樹：

異構樹倍增算法也可以應用于動態異構樹，其中邊的權重或樹的結構可以隨著時間的推移而改變。

不適用范圍：

異構樹倍增算法不適用于以下類型的樹：

1.普通二叉樹：

異構樹倍增算法對于普通二叉樹沒有優勢，因為傳統的樹倍增算法已經足夠高效。

2.完全二叉樹：

對于完全二叉樹，使用位運算的樹鏈剖分算法比異構樹倍增算法更有效率。

3.其他特殊類型的樹：

異構樹倍增算法可能不適用于具有特定屬性或結構的特殊類型的樹。在這種情況下，可能需要使用特定的算法來處理這些特殊情況。

優勢：

與傳統的樹倍增算法相比，異構樹倍增算法具有以下優勢：

1.廣泛適用性：

異構樹倍增算法可以處理各種類型的異構樹，包括帶權樹、聚合樹和動態樹。

2.高效性：

異構樹倍增算法的時間復雜度通常為O(ElogV)，其中E是邊的數量，V是節點的數量。這種復雜度與傳統的樹倍增算法相當，即使對于異構樹也是如此。

3.查詢多樣性：

異構樹倍增算法不僅可以計算路徑權重的總和或最大值/最小值，還可以使用自定義聚合函數來處理更復雜的查詢。

4.動態性：

異構樹倍增算法可以適應動態樹中的變化，使其適用于處理不斷變化的樹結構或邊的權重。

局限性：

盡管有這些優勢，異構樹倍增算法也有其局限性：

1.空間復雜度：

異構樹倍增算法需要額外的空間來存儲倍增表，其空間復雜度為O(VlogV)。

2.預處理開銷：

異構樹倍增算法需要預處理倍增表，這可能會帶來較大的計算開銷，特別是對于大型樹。

3.特殊情況處理：

對于具有特定屬性或結構的特殊類型的樹，異構樹倍增算法可能效率低下或不適用。關鍵詞關鍵要點主題名稱：異構樹倍增原理

關鍵要點：

1.倍增思想：將問題分解為多個較小的問題，逐層解決，從而達到解決原問題的目的。

2.跳躍表構建：預處理出從每個節點出發，向上跳躍一定步數即可到達的節點，形成一系列跳躍表。

3.快速查找：利用跳躍表，快速查找任意兩個節點的最近公共祖先或任意節點向上跳躍一定步數的節點。

主題名稱：異構樹的性質

關鍵要點：

1.節點權重：每個節點具有一個權重，表示該節點的特殊性質或指標。

2.邊權重：連接節點之間的邊也具有權重，表示通過該邊的距離或代價。

3.異構性：不同節點和邊的權重可能存在差異，使樹的結構和性質更加復雜。

主題名稱：倍增算法流程

關鍵要點：

1.預處理：建立跳躍表，預計算節點間距離并記錄節點權重。

2.二分查找：利用倍增思想，二分查找最近公共祖先或目標節點。

3.跳躍更新：根據二分結果更新跳躍表，提升查找效率。

主題名稱：異構樹倍增的應用

關鍵要點：

1.最近公共祖先查詢：快速查找異構樹中兩個節點的最近公共祖先。

2.節點跳躍查找：任意節點向上跳躍固定步數，尋找指定權重的節點。

3.路徑信息查詢：查詢異構樹中指定路徑的權重或距離信息。

主題名稱：前沿與趨勢

關鍵要點：

1.分布式計算：將異構樹倍增算法應用于分布式環境，提升大規模異構樹處理效率。

2.機器學習：利用異構樹倍增算法來構建決策樹或圖神經網絡模型，增強模型表現。

3.大數據分析：在大數據處理中，異構樹倍增算法可高效處理復雜樹形結構，提取有價值的信息。關鍵詞關鍵要點主題名稱：異構樹上倍增算法

關鍵要點：

1.異構樹是允許不同類型的節點和邊的樹，該算法適用于在異構樹上進行倍增。

2.倍增算法利用預處理來建立一個跳躍表，使得從一個節點到其祖先的跳躍僅需要O(logn)時間。

3.該算法使用動態規劃技術來計算所有節點之間距離的最小值。

主題名稱：預處理

關鍵要點：

1.算法使用深度優先搜索(DFS)來遍歷異構樹，并計算每個節點到其祖先的距離。

2.這些距離存儲在一個跳躍表中，該表以O(logn)的高度對節點進行索引。

3.跳躍表中的每個條目包含到祖先的距離以及到達該祖先所需的中間節點。

主題名稱：倍增查詢

關鍵要點：

1.給定兩個節點a和b，算法使用跳躍表來查找它們最近的公共祖先（LCA）。

2.算法首先確定LCA的深度，然后使用LCA的深度來確定從a和b到LCA的跳躍數。

3.最后，算法使用跳躍表來計算從a到b的最小距離。

主題名稱：應用

關鍵要點：

1.異構樹上倍增算法可用于解決各種問題，包括：

-異構樹中兩點之間的距離計算

-LCA查找

-異構樹中的路徑查找

2.該算法在計算機科學、生物信息學和網絡分析等領域具有廣泛的應用。

主題名稱：復雜性分析

關鍵要點：

1.預處理階段的時間復雜度為O(nlogn)，其中n是異構樹中的節點數。

2.倍增查詢的時間復雜度為O(logn)。

3.該算法的總時間復雜度為O(nlogn)。

主題名稱：擴展和前沿

關鍵要點：

1.異構樹上倍增算法可以擴展到處理帶權異構樹。

2.該算法已應用于解決異構樹中的其他問題，例如最大公共子樹和最近公共子樹查找。

3.該算法的研究仍在繼續，重點是提高其效率和解決新的應用。關鍵詞關鍵要點異構樹倍增空間復雜度

主題名稱：局部存儲優化

關鍵要點：

1.將每個子樹的倍增表存儲在對應子樹的根節點上，減少了需要存儲的空間。

2.利用分治思想，在預處理過程中逐層向下遞歸，僅需計算當前層對應的倍增表。

3.子樹內部查詢無需額外的空間開銷，直接訪問根節點存儲的倍增表即可。

主題名稱：動態規劃狀態優化

關鍵要點：

1.將倍增算法的轉移狀態定義為dp[i,j]，表示從結點i出發，沿著向上第j次方（2^j）的鏈向上跳躍的結點。

2.利用狀態轉移方程dp[i,j]=dp[dp[i,j-1],j-1]，將計算拆分為兩個子問題，可以有效減少空間占用。

3.該