兩角差的余弦公式第三章

§3.1

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習目標1.了解兩角差的余弦公式的推導過程.2.理解用向量法導出公式的主要步驟.3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進行求值、計算.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考1

知識點一兩角差的余弦公式的探究如何用角α，β的正弦、余弦值來表示cos(α－β)呢？有人認為cos(α－β)＝cosα－cosβ，你認為正確嗎，試舉出兩例加以說明.答案答案不正確.故cos(α－β)≠cosα－cosβ；故cos(α－β)≠cosα－cosβ.思考2

計算下列式子的值，并根據這些式子的共同特征，寫出一個猜想.①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝___；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝____；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝___；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝___.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝_________，即______________________________.答案10cos(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考1

知識點二兩角差的余弦公式單位圓中(如圖)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐標是什么？

的夾角是多少？答案答案

A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ).思考2

請根據上述條件推導兩角差的余弦公式.答案∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.梳理C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式結構：公式右端的兩部分為同名三角函數的積，連接符號與左邊角的連接符號相反.題型探究解答類型一利用兩角差的余弦公式化簡求值例1計算：(1)cos(－15°)；解方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°解答(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思與感悟利用兩角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角轉化為特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值.跟蹤訓練1求下列各式的值：(1)cos105°；解答解原式＝cos(150°－45°)＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°(2)cos46°cos16°＋sin46°sin16°.類型二給值求值解答所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)反思與感悟三角恒等變換是三角運算的靈魂與核心，它包括角的變換、函數名稱的變換、三角函數式結構的變換.其中角的變換是最基本的變換.常見的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，解答又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα類型三給值求角解答由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)，反思與感悟求解給值求角問題的一般步驟：(1)求角的某一個三角函數值；(2)確定角的范圍；(3)根據角的范圍寫出所求的角.解答∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)當堂訓練答案23451解析√2.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，則a·b等于答案23451解析√答案23451解析√解答23451以上兩式展開兩邊分別相加，得2＋2cos(α－β)＝1，解答所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ23451規律與方法1.“給式求值”或“給值求值”問題，即由給出的某些函數關系式或某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變式”或“變角”，使“目標角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時需運用拆角、拼角等技巧.