空間兩條直線的位置關系第1章

1.2

點、線、面之間的位置關系學習目標1.了解兩條直線的三種位置關系.2.理解異面直線的定義及判定，能判斷兩條直線是不是異面直線.3.理解公理4和等角定理，并會用公理4證明線線平行.4.理解異面直線所成的角的概念.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考

知識點一空間兩條直線的位置關系在同一平面內，兩條直線有幾種位置關系？觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎？答案答案平行與相交.教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線；六角螺母中直線AB與CD.梳理位置關系共面情況公共點個數相交直線在

平面內有且只有

個平行直線在

平面內沒有異面直線不同在

平面內沒有同一一同一任何一個思考

知識點二異面直線的判斷分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？答案答案不一定，可能平行、相交或異面.梳理判斷異面直線的方法方法內容定義法不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線定理法

過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經

過該點的直線是異面直線反證法

判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是

異面直線思考

知識點三平行公理(公理4)在平面內有直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c，該結論在空間中是否成立？答案答案成立.梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.思考1

知識點四等角定理及異面直線所成的角觀察圖象，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？答案從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.答案思考2

在長方體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？答案相等.答案梳理(1)等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別

并且方向

，那么這兩個角

.(2)異面直線所成的角定義前提兩條異面直線a，b作法經過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b結論

我們把a′和b′所成的

叫做異面

直線a，b所成的角范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則______________特殊情況當θ＝

時，異面直線a，b互相垂直，記作____平行相同相等銳角(或直角)90°0°<θ≤90°a⊥b題型探究例1

如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點.求證：類型一公理4與等角定理的應用證明(1)四邊形MNA1C1是梯形；證明如圖

，連結AC，在△ACD中，∵M，N分別是CD，AD的中點，∴MN是△ACD的中位線，由正方體的性質，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明證明由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.(1)空間兩條直線平行的證明①定義法：即證明兩條直線在同一平面內且兩直線沒有公共點.②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.(2)等角定理的結論是相等，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷兩角的兩邊方向是否相同.反思與感悟跟蹤訓練1

如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點.求證：證明(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形；證明在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點，∴A1M1綊AM，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)∠BMC＝∠B1M1C1.證明證明由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角.∴∠BMC＝∠B1M1C1.例2

(1)在四棱錐P—ABCD中，各棱所在的直線互為異面的有______對.類型二異面直線的判斷8解析與AB異面的有側棱PD和PC，同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側棱，故共有異面直線4×2＝8(對).答案解析(2)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？解答解三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.還原的正方體如圖所示.判定異面直線的方法(1)定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相交，即不可能同在同一個平面內.(2)利用異面直線的判定定理.(3)反證法：假設兩條直線不是異面直線，根據空間兩條直線的位置關系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.反思與感悟跟蹤訓練2

如圖所示，在三棱錐A—BCD中，E，F是棱AD上異于A，D的不同兩點，G，H是棱BC上異于B，C的不同兩點，給出下列說法：①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC，DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線；④EG與AB互為異面直線.其中說法正確的是________.(填序號)答案解析①②③④解析因為直線DC?平面BCD，直線AB?平面BCD，點B?直線DC，所以由異面直線的判定定理可知，①正確；同理，②③④正確.當堂訓練1.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是____________________.答案2341相交、解析解析異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，異面直線a、b，直線c的位置可如圖所示.平行或異面52.下列四個結論中錯誤命題的個數是_____.(填序號)答案23412解析①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線.5解析①④均為錯誤命題.①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直.2341④如圖甲，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面；當點A在直線l1上運動(其余三點不動)時，會出現點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交.53.在三棱錐的所有棱中，互為異面直線的有____對.答案23413解析如圖，在三棱錐A—BCD中，AB與CD異面，BC與AD異面，AC與BD異面，所以有3對異面直線.解析54.如圖所示，在三棱錐A—BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則當AC，BD滿足________時，四邊形EFGH為菱形；當AC，BD滿足___________________時，四邊形EFGH是正方形.答案2341解析AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD52341∴四邊形EFGH為平行四邊形，故當EF＝FG，即AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形；當EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD時，四邊形EFGH為正方形.5234155.如圖所示，已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：E，F，G，H四點共面；證明23415證明如圖所示，連結EF，FG，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH綊FG，∴E，F，G，H四點共面.23415(2)若AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形.證明由(1)知EH綊FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.∵HG是△ADC的中位線，∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四邊形EFGH為矩形.證明規律與方法1.判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義.很多情況下，定義就是一種常用的判定方法.對于異面直線的判斷，常用判定定理和反證法.2.在研究異面直