兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間的距離公式

探究點(diǎn)一

相交直線的交點(diǎn)

例1(1)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程是

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15x+5y+16=0(2)經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點(diǎn)且與直線l3:3x-4y=0垂直的直線l的方程是

.

4x+3y-6=0變式

已知直線l1:2x-y-1=0與l2:x+3y-11=0,則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為

;過直線l1與l2的交點(diǎn)且與直線x-y-1=0平行的直線的方程為

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(2,3)x-y+1=0[素養(yǎng)小結(jié)](1)求兩相交直線交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵是解兩直線方程組成的二元一次方程組.(2)解含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題的方法:方法一,任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn),從而問題得解.

拓展(1)對任意m,n∈R,直線l:(m+n)x+(2m-n)y-m+2n=0恒過定點(diǎn)

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(-1,1)(2)過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn),且與直線5x+3y-6=0垂直的直線l的方程為

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3x-5y+10=0(3)已知直線(a-2)y=(3a-1)x-1,求證:無論a為何值,直線總經(jīng)過第一象限.

探究點(diǎn)二

求兩點(diǎn)間的距離

例2已知四邊形ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-7,0),B(2,-3),C(5,6),D(-4,9),判斷這個四邊形是哪種四邊形.變式

已知△ABC的三個頂點(diǎn)為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),(1)判斷△ABC的形狀;(2)求BC邊上的中線AM的長.

變式

已知△ABC的三個頂點(diǎn)為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),(1)判斷△ABC的形狀;(2)求BC邊上的中線AM的長.

[素養(yǎng)小結(jié)](1)判斷四邊形的形狀時,若兩組對邊均平行,則是平行四邊形,進(jìn)而再判斷是否是矩形、菱形或正方形;若一組對邊平行,進(jìn)而再判斷是否是等腰梯形或直角梯形;若兩組對邊均不平行,則為一般四邊形.(2)利用兩點(diǎn)間距離公式求出線段的長度,再根據(jù)各邊的長度判斷三角形或四邊形形狀是常見題型.解題時要注意方程思想和分類討論思想的應(yīng)用.探究點(diǎn)三

直線的交點(diǎn)、距離的綜合應(yīng)用

例3用坐標(biāo)法證明:若四邊形ABCD是長方形,則對直線AC上任意一點(diǎn)M,等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立.例4已知兩點(diǎn)A(2,3),B(4,1),直線l:x+2y-2=0,在直線l上求滿足下列條件的一點(diǎn)P:(1)使|PA|+|PB|最小,并求出最小值;(2)使|PA|-|PB|最大,并求出最大值.

C[素養(yǎng)小結(jié)]解決已知直線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和的最小值或差的最大值問題,常利用對稱關(guān)系求解.當(dāng)所求點(diǎn)與已知點(diǎn)三點(diǎn)共線時,取得最值.

例1是否存在m,使得三條直線3x-y+2=0,2x+y+3=0,mx+y=0能夠構(gòu)成三角形?若存在,請求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.解:易知直線3x-y+2=0與直線2x+y+3=0相交,且交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1).當(dāng)直線mx+y=0與直線3x-y+2=0平行時,m=-3;當(dāng)直線mx+y=0與直線2x+y+3=0平行時,m=2;當(dāng)直線mx+y=0過直線3x-y+2=0與直線2x+y+3=0的交點(diǎn)時,m=-1.故當(dāng)三條直線不能構(gòu)成三角形時,m=-3或m=2或m=-1.故滿足題意的m的取值范圍為{m|m∈R且m≠-3且m≠2且m≠-1}.2.求過交點(diǎn)的直線問題有兩種方法:一是利用解方程組來求交點(diǎn),然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定斜率,進(jìn)而求出直線方程;二是選用直線系方程,求出參數(shù),從而確定直線方程.例2已知直線l1:2x+y-6=0和點(diǎn)A(1,-1),過點(diǎn)A作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn),且使|AB|=5,求直線l的方程.

例2已知直線l1:2x+y-6=0和點(diǎn)A(1,-1),過點(diǎn)A作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn),且使|AB|=5,求直線l的方程.

C2.經(jīng)過直線2x-y+4=0與x-y+5=0的交點(diǎn),且垂直于直線x-2y=0的直線方程是 (

)A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0

A

D4.不論a為何值,直線(a+1)x+(2-a)y+3=0恒過 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

C5.已知直線l1:4x+By-C=0,直線l2:2x-