中考復習之培優綜合壓軸大題練習卷：《圓》

1.如圖，BE是。。的直徑，半徑。人_|_弦8(2,點D為垂足，連AE、EC.

(1)若NAEC=28。，求NAOB的度數；

(2)若/BEA=/B,EC=3,求。。的半徑.

2.如圖，AB是。。的直徑，C為AB延長線上一點，過點C作。O的切線CD,D為切點,

點F是茄的中點，連接OF并延長交CD于點E,連接BD,BF.

(1)求證：BD1/OE;

(2)若。E=30而，tanC=卷，求。。的半徑.

3.如圖，AB是。。的直徑，過點B作。O的切線BM,點A,C,D分別為。。的三等分

點，連接AC,AD,DC,延長AD交BM于點E,CD交AB于點F.

(1)求證：CD//BM;

(2)連接OE,若DE=m,求△OBE的周長.

C

4.如圖，△ABC內接于G)O,過點C作BC的垂線交。O于D,點E在BC的延長線上,

且/DEC=/_BAC.

(1)求證：DE是的切線；

(2)若AC//DE,當AB=8,CE=2時，求。C)直徑的長.

5.如圖，OO是aABC的外接圓，PA是OO切線，PC交。。于點D.

(1)求證：ZPAC=ZABC;

(2)若/BAC=2/ACB,/BCD=90°,AB=2，^,CD=2,求O。的半徑.

6.已知OA,OB是。。的半徑，JLOA1OB,垂足為O,P是射線OA上的一點(點A除

外)，直線BP交。。于點Q,過Q作。O的切線交射線OA于點E.

圖①圖②

(I)如圖①，點P在線段OA上，若/OBQ=15°,求/AQE的大小；

(n)如圖②，點P在OA的延長線上，若/OBQ=65°,求/AQE的大小.

7.如圖，點。是AABC的邊AB上一點，以OB為半徑的。。交BC于點D,過點D的切

線交AC于點E,JLDE1AC.

(1)證明：AB=AC;

(2)設AB=y5cm,BC=2cm,當點。在AB上移動到使。。與邊AC所在直線相切時,

求。。的半徑.

8.如圖，口ABCD的對角線AC、BD相交于點M,點M在以AB為直徑的。O上，AD與。0

相交于點E,連接ME.

(1)求證：ME=MD;

(2)當NDAB=30°時，判斷直線CD與。O的位置關系，并說明理由.

9.如圖，四邊形ABCD內接于。0,/BAD=90°,AD、BC的延長線交于點F,點E在

CF上，且/DEC=/BAC,

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)當AB=AC時，若CE=2,EF=3,求。。的半徑.

10.如圖，Rt^OAB中，ZOAB=RtZ,以OA為半徑的。。交BO于點C,交BO延長線

于點D.在。。上取一點E,且皿=AC，延長DE與BA交于點F.

(1)求證：ARDF是直角三角形；

(2)連接AC,AC=2\JIQ,OC=2BC,求AF的長.

11.在△ABC中，/ABC=45°,ZC=60°,。。經過點A,B,與BC交于點D,連接

AD.

(I)如圖①.若AB是OO的直徑，交AC于點E,連接DE,求/ADE的大小■.

(H)如圖②，若。。與AC相切，求/ADC的大小.

圖①

12.如圖，PA切G)O于點A,射線PC交OO于C、B兩點，半徑OD_LBC于E,連接BD、

DC和OA,DA交BP于點F;

(1)求證：NADC+/CBD=L/AOD；

(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中相等的線段.

13.如圖，AD是AABC外角NEAC的平分線，AD與^ABC的外接圓OO交于點D.

(1)求證：DB=DC;

(2)若/CAB=30°,BC=4,求劣“弧而的長度.

14.如圖，AB是。。的直徑，BD是。。的弦，延長BD到點C,使DC=BD,連結AC交

。。于點F.

(1)AB與AC的大小有什么關系？請說明理由；

(2)若AB=8,NBAC=45°,求：圖中陰影部分的面積.

15.如圖，在RtZkABC中，ZB=90°，點。在邊AB上，以點。為圓心，OA為半徑的圓

經過點C,過點C作直線MN,使/BCM=2/A.

Cl)判斷直線MN與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若OA=6,ZBCM=60°,求圖中陰影部分的面積.

16.如圖，AB是。。的直徑，點C是處的中點，連接AC并延長至點D,使CD=AC,點

E是OB上一點，且叟1=2,CE的延長線交,DB的延長線于點F,AF交。。于點H,

EB3

連接BH.

(1)求證：BD是。。的切線；

(2)當OB=2時，求BH的長.

17.如圖，以AABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與BC邊交于點E,

D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F,若AC=FC.

(1)求證：AC是。。的切線：

(2)若BF=8,DF=J函，求。。的半徑；

(3)若/ADB=60°,BD=1,求陰影部分的面積.(結果保留根號)

D

18.如圖，已知AB是OO的直徑，點C是。。上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為

點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分/ACB,交AB于點F,連接BE.

(1)求證：AC平分/DAB；

(2)求證：4PCF是等腰三角形；

(3)若AF=6,EF=2^,-求。O的半徑長.

19.已知△ABC中，/BCA=90°,BC=AC,D是BA邊上一點(點D不與A,B重合)，

M是CA中點，當以CD為直徑的。。與BA邊交于點N,。。與射線NM交于點E,連

接CE,DE.

(1)求證：BN=AN;

(2)猜想線段CD與DE的數量關系，并說明理由.

5DNA

參考答案

1.解：（1）連接oc.

???半徑OA_L弦BC,

"標=菽,

/AOC=ZAOB,

/AOC=2/AEC=56°,

「./AOB=56°.

(2);BE是。。的直徑，

/.ZECB=90°,

.\EC±BC,\OA1BC,

.-.EC//OA,

/A=/AEC,

?.OA=OE,

/A=/OEA,

「/BEA=/B,

/B=/AEB=/AEC=30°,

'/EC=3,

/.EB=2EC=6,

：.QO的半徑為3.

2.(1)證明：:OBnOF,

.-.Z1=Z3,

???點F是茄的中點，

Z1=Z2.

「?/2=Z3,

BDIIOE;

(2)解：連接OD,如圖，

...直線CD是的切線，

/.ODXCD,

在Rt/XOCD中，?：tanC=Q^=二，

CD4

.,.設OD=3k,CD=4k.

..OC=5k,BO=3k,

/.BC=2k.

/BDIIOE,

.BCCD即2k4k

BODE3kDE

..DE=6k,

在RtAODE中，/OE2=OD2+DE2,

..(%10)2=(3k)2+(6k)2,解得k=d^

.,.OB=3^2，

即QO的半徑的長

?AD二DC二AC，

,-.AD=DC=AC.

.1△ACD為等邊三角形，

而點O為Z\ACD的外心,

/.ABXCD.

/BM為。O的切線,

.\BE_LAB.

.-.CD//BM;

(2)解：連接DB,如圖，

■「△ACD為等邊三角形，

ZC=60°,

ZABD=ZC=60°,

.\ZDBE=30°,

在RtZ\DBE中，BE=2DE=2m,DB=.

在RtAADB中，AB=2BD=,則OB=^y^m,

在RtTXOBE中，°E=J。B2+BE2=“/^，

「.△OBE周長為2m+^^111+曠斤111=(2+^^+^yy)m.

4.證明：(1)連接BD,交AC于F,

「DC_LBE,

.?./BCD=/DCE=90°,

：BD是OO的直徑，

/DEC+/CDE=90°,

■//DEC=/BAC,

/BAC+/CDE=90°,

-BC=BC>

ZBAC=/BDC,

/BDC+/CDE=90°,

/.BDXDE,

?.DE是。O切線；

解：（2）/AC//DE,BDXDE,

/.BD1AC.

?.BD是。O直徑，

:AF=CF,

AB=BC=8,

\BD_LDE,DCXBE,

/.ZBCD=ZBDE=90°,/DBC=/EBD,

/.ABDCcoABED,

.BD.BC

"BE"BD，

「.BD2=BC?BE=8X10=80,

??BD=4S/5-

即。。直徑的長是4、后.

5.(1)證明：連接AO并延長交。。于點E,連接EC.

'.-AE是直徑，

.-.ZACE=90",

ZEAC+ZE=90°,

/ZB=ZE,

/.ZB+/EAC=90°,

/PA是切線，

.-，ZPAO=90°,

ZPAC+ZEAC=90°,

/PAC=/ABC.

(2)解：連接BD,作OM_LBC于M交OO于F,連接OC,CF.設O。的半徑為x.

.../BCD=90°,

/.BD是OO的直徑，

\OM±BC,

:BM=MC,際=存/OB=OD,

/.OM=A.CD=I

2

//BAC=ZBDC=2/ACB,前=百,

/.ZBDF=ZCDF,

/ACB=/CDF,

,?AB=CF，

.?.AB=CF=2/3，

\CM2=OC2-OM2=CF2-FM2,

.'.X2-12=（4/5）2-（X-1）2,

；.x=3或-2（舍棄）,

.-.OO的半徑為3.

6.解：（I）如圖①中，連接OQ.

圖①

■,EQ是切線，

.?,OQ1EQ,

ZOQE=90°,

'.'OA1OB,

/.ZAOB=90",

.-.ZAQB=XZAOB=45°,

2

-,OB=OQ,

.?，ZOB.Q=ZOQB=15",

.-.ZAQE=90°-15°-45°=30°

（D）如圖②中，連接OQ.

圖②

?;OB=OQ,

ZB=ZOQB=65°,

.?./BOQ=50°,

?//AOB=90°,

/AOQ=40°,

?,OQ=OA,

/.ZOQA=/OAQ=70°,

「EQ是切線，

.\ZOQE=90°,

.-，ZAQE=90°-70°=20°

■「DE是OO的切線，

/DEXOD,/ACXDE,

.,.dDIIAC,

Z_ODB=/C,

\OB=OD,

/B=/ODB,

ZB=ZC,

：AB=AC.

(2)設AC與OO相切于點F,連接OF,作AH_LBC于H.設半徑為r.

\AB=AC,AH±BC,

：BH=CH=1,

■■-AH=VAB2-BH2=2>

tanZC=-L^i.=2,

HC

'.■/OFE=/ODE=/DEF=90",

二四邊形ODEF是矩形，

■,OD=OF,

四邊形ODEF是正方形，

；.EF=DE=r,

■."tanC=-5^,=2,

CE

，EC=J

2

--AF=V5-r-'^r=V5-yr>

在RtAAOF中，-/OA2=AF2+OFZ,

（Vg-r）2=12+（近一_|r）2,

解得r=g匹.

g

8.證明：（1）；AB是。。直徑，

r./AMB=90°,

.?RABCD是菱形，

,-.AD=AB,

/ADB=/ABD,

,/四邊形AEMB是圓內接四邊形，

/DEM=/ABD,

ZADB=ZDEM,

/.ME=MD.

（2）直線CD與。O相切

理由如下：

過O作OH^CD于H,過D作DF^AB于F,

HDC

\DF±AB,ABHCD,

/.DFXCD,且OH_LCD,

..OH//DF,且AB//CD,

四邊形OFDH是平行四邊形，

：OH=DF,

?.在RtZkADF中，/DAF=30°,

,'.DF=1-AD,

2

又...四邊形ABCD是菱形，

,-.AD=AB,

二OH=DF=1_AD=A-AB,

22

又.OH^CD,

二直線CD與。O相切.

9.解：（1）如圖，

連接BD,-.-ZBAD=90°,

二點。必在BD上，即：BD是直徑,

/BCD=90°,

/DEC+/CDE=90°,

■//DEC=/BAC,

/BAC+/CDE=90°,

/BAC=/BDC,

/BDC+/CD?E=90°,

/.ZBDE=90°,即：BDXDE,

???點D在。O上，

?.DE是。。的切線；

(2)?.?/BAF=/BDE=90°,

ZF+ZABC=ZFDE+/ADB=90°,

\AB=AC,

/./ABC=/ACB,

/ZADB=ZACB,

/F=/EDF,

,-.DE=EF=3,

/CE=2,ZBCD=90°,

,\ZDCE=90°,

?■-CD=VDE2-CE2=VB>

?/ZBDE=90°,CD1BE,

△CDEto△CBD,

.CD=BD

"CEDEJ

X

-BD=V533>/5-

22

.-.?o的半徑=色/5.

4

10.(1)證明：如圖連接EC交OA于H.

.-.OA1EC,

「CD是。O的直徑,

/DEC=90°,

/.DF±EC,

/.OA//DF,

.「BF是。。的切線，

/.OAIBF,

.-.DF±BF,

「./F=90°,

「.△DFB是直角三角形.

（2）解：,//DEC=/F=90°,

ECIIFB,

.OC=OH=2

"BCAH'

：OH=2AH,設AH=m,則OH=2m,OC=3m,

?「CH2=OC2-OH2=AC2-AH2,

/.9m2-4m2=40-m2,

Am=2>/15（負根已經舍棄），

3

.CH=10-/3；

3

-.-OA±EC,

?FH=HC=10愿,

3

/F=ZFAH=/AHE=90°,

二.四邊形AFEH是矩形，

...AF=EH=」°質.

3

11.解：（I）如圖，連接BE

圖①

?."ABC=45°,ZC=60°,

ZBAC=75°,

「AB是直徑，

.-.ZAEB=90°,

/ABE=/AEB-/BAC=15°,

,「/ABE=/ADE,

/.ZADE=15°,

(n)連接OA,OD,

圖②

?.AC是OO的切線，

ZOAC=90°,

■「/ABC=45°

/AOD=90°,且OA=OD

「./OAD=45°

/DAC=/OAC-/DAO=45°,且/C=60°

/ADC=75°

12.(1)證明：.「OD^BC,

--BD=CD>

/CBD=/DCB,

?//DFE+/EDF=90°,

/.ZEDF=90°-ZDFE,

■「OD=OA,

.-./ODA=i(180°-ZAOD)=90-J-/AOD,

22

.-.90°-ZDFE=90°-J-ZAOD,

2-

/DEF=1*/AOD,

2

??,NDFE=zADC+ZDCB=ZADC+ZCBD,

ADC+ZCBD=L/AOD；

2

(2)解：?.?OD-BC,

二.BE=CE，而=而，

BD=CD,

?「OA=OD,

/./_ADO=/OAD,

「PA切OO于點A,

.-.ZPAO=90°,

/.ZOAI>ZDAP=90o,

/PFA=/DFE,

ZPFA+ZADO=90°,

/PAF=ZPFA,

,-.PA=PF.

13.(1)證明：:AD平分/EAC,

/EAD=/CAD,

■「A,D,C,B四點共圓，

/EAD=/DCB,

由圓周角定理得，ZCAD=/CBD,

/_DCB=/DBC,

/.DB=DC;

(2)解：由圓周角定理得，/COB=2/CAB=60°,/GDB=/CAB=30°,

.1△COB為等邊三角形,

OC=BC=4,

??DC=DB,/CDB=30°,

.-.ZDCB=75°,

/DCO=15°,

ZCOD=150°,

則劣弧面的長='5°7Tx4=12■:

31803

理由是：連接AD.

,；AB是0O的直徑，

ZADB=90",即AD_LBC,

又「DC=BD,

：AB=AC;

(2)連接OD、過D作DHJ_AB.

??.AB=8,/BAC=45°,

/.ZBOD=45°,OB=OD=4,

DH=2,,J7

..△OBD的面積=,x4X20二歷

2

扇形OBD的面積4=2兀，陰影部分面積=2兀

15.解：（1）MN是OO切線.

理由：連接OC.

B

/OA=OC,

:.乙OAC=/OCA,

,一/BOC=/A+/OCA=2/A,/BCM=2/A,

/.ZBCM=/BOC,

,/ZB=90°,

ZBOC+ZBCO-=90°,

ZBCM+ZBCO.=90°,

/.OCXMN,

：MN是。O切線.

（2）由（1）可知/BOC=/BCM=60°,

ZAOC=120°,

在RT^BCO中，OC=OA=6,/BCO=30°,

.-.BO=AOC=3,BC=3A/3，

2

.-.s=S-S=120-7l.6,1.6,3^3=12^-9^.

陰扇形OACAOAC3602VJ丫丁

16.證明：（1）連接OC,

■「AB是。。的直徑，點C是菽的中點，

ZAOC=90°,

?「OA=OB,CD=AC,

/.OC是4ABD是中位線，

,\OC//BD,

.?./ABD=/AOC=90°,

/.ABXBD,

.?點B在。。上，

，BD是。O的切線;

解：(2)由(1)知，OC//BD,

AOCEC^ABFE,

.PC0E

"BF=EB，

■,OB=2,

.-.OC=OB=2,AB=4,還?上，

EB~3

.22

BF-3

；.BF=3,

在RtZXABF中，ZABF=90°,根據勾股定理得，AF=5,

■.-s=XAB?BF=XAF*BH,

△ABFg2

:AB?BF=AF?BH,

4X3=5BH,

.-.BH=1￡.

5

17.(1)證明：連接OA、OD,如圖，

???D為BE的下半圓弧的中點，

/.ODXBE,

.\ZODF+ZOFD=90°,

\CA=CF,

/CAF=/CFA,

而ZCFA=/OFD,

ZODF+ZCAF=90°,

\OA=OD,

/ODA=/OAD,

.\ZOAD+ZCAF=90°,即/OAC=90°,

/.OA1AC,

：AC是。。的切線；

(2)解：設OO的半徑為r,則OF=8-r,

在RtzXODF中，(8-r)2+r2=(J^)2,解得\=6,：=2(舍去),

即。O的半徑為6;

(3)解：?.?/BOD=90°,OB=OD,

ABOD為等腰直角三角形，

,-.OB=2Z1BD=^1.,

22

二.OA=亞，

2

/AOB=2/ADB=120°,

/AOE=60°,

在Rt^OAC中，AC=、/^OA=返,

-冗

..?陰影部分的面積=JL.返.4⑥-