16.1分式及其基本性質

1.根據分式的基本性質,在括號里填上適當的整式:

a2()a-b()

(2bc2b2c2;⑵a+ba2+2ab+b2*

(x+y)2x+ym2—2mn+n2m-n

⑶.x2-y2），⑷n^—mn(r

粵I

2.如果把一中的X與y都擴大為原來的10倍，那么這個分式的值（）

'x+y

D.是原來的吉

A.不變B.是原來的50倍C.是原來的10倍

3.下列式子從左至右的變形一定正確的是（）

▲aa+m_aac八aka_aa2

A---------R——--(----I)—~~■—

bb+mbbe^bkb5bb2

a2b+ab?()

4.（4分）化簡:

2a2b22ab

5.約分:

5m2n2x2—4

，xy+2y=------

3a2b2m2-6m

2

^9ab+6abc—'m2—6m+9

—A

6.計算y的結果是（）

x—4x+2

A.x—2B.x+2C.~2-D.----

x

7.下列分式約分，正確的是（)

2222

x+y,2a—2b2-a-bDx/—=yx+y

A-x+y=x+yC-a-b1

8.下列分式是最簡分式的是（）

2axx2+2x+la2—b2a2+b2

A.z-B----n—C------Da+b

3ay.x+1Ja+b

9.下列確定幾個分式的最簡公分母錯誤的是（）

A.分式京？戰，右的最簡公分母得12x2y2

x+15

B.分式目的最簡公分母是X2一

x工

C.分式，的最簡公分母是ab（x—y）（y—x）

a(x—y)'b(y—x)

X—1y+i

D.分式:的最簡公分母是（x+y）2（x—y）2

N+2xy+y2'x2—2xy+y2>x2—y2

c3ci1ab

10.分式菽,益與赤的最簡公分母是;把「3a-3b'a?-b2'（a+b）押分’最簡公分母是

11.下列式子從左至右的變形一定正確的是（）

,AA-M一AA：M_bb+1_13

BBMDBB-MJ2a2a+lx+23x+6

12.把分式巖中x,y的值都擴大為原來的3倍，那么分式的值()

A.不變B.擴大為原來的3倍

C.縮小為原來的;D.擴大為原來的9倍

13.下列分式中最簡分式是()

a—ba3+aa?+b21-a

2

A，b-aB'4a2a+ba+2a-1

14.下列各式，約分正確的是()

x62b+cba+b1(a-b)2

x2a+caa2+b2a+b-a+b

15.下列各題，所求的最簡公分母，錯誤的是()

A.會與蔡的最簡公分母是6x2

x22V

B.西方與曷石的最簡公分母是3a2b3c

23

C.E與一—的最簡公分母是m2-n2

m十nm—n

D.m(x^y)與n(yLx)的最簡公分母是mn(x-y)(y-x)

參考答案

1.(1)a2bc；(2)a2—b2；(3)x—y；(4)m.

2.A

3.C

4.a+b

5(1)-1.匕⑵皿

31ry⑷3b+2c,m-3

6.B

7.D

8.D

9.C

10.24a3b2c3；3(a—b)(a+b)2

11.D

12.C

13.C

14.D

15.D

16.2.1分式的乘除

一、選擇題

2

1.計算x土彳工的結果是()

yy

21

A.2xB.2yC.—D.—x

y2

2.下列算式，你認為正確的是()

ba〔ba

A.-------------=-1B.1——,一=1t

a-bb-aab

…11a2-b21

C.3a=—D.-------y--------=------

3a(a+b)?a—ba+b

x—2x+1

3.計算R.GT可■的結果是()

1

A.-------Bc.yD.x

x—2-4

n抬m-\1-m口,

4.化簡一+「■是（)

mm

A.mB.-mc.1D.--

mm

5.化簡2上的1結果是（）

x+1x-1

D.2(x+1)

X+lXX-l

6.下列計算正確的是（）

二、填空題

化簡六白

7.

8.的結果是.

.,孫

9.計算:-2：2

xy-yx+x

%+3x2+3x

10.化簡:

/一43+4,(>2)2

化簡工十―1"方的結果是

11.

xx-x^

C

12.計算:

-3ab2)

三、解答題

—2x+1x—1

13.-r-r-'--

X-1X4-X

，+82rx-4

14.計算：(歲一4_夕一2)?「一4x+4.

15.化簡：三?土

a-2

16.計算：（一泰）2

m2nm

17.(―)

nmn2

2a3b（2）（加3〃『（2加-2〃-3）-2；

18.計算：(1)

5a~h\Oah2

81—d1]9a+3

(3)『+&J+92a+6a+9；

參考答案

1.D【解析】原式X一xV2=-1x.故選D.

y22

2.D【解析】A.—------,錯誤；B.14--.@=色.a=%，錯誤；C.3?-'=-,錯誤；D.―二

a-bb-aa-babbbba(〃+/?)**

1a2-b2_1(a-b)(a+b)=-L,正確.故選D.

(a+b)2a-b(a+b)2a-ba+b

3.D【解析】原式=山■?土2=x.故選D.

x-y砂

4.B【解析】原式匚=故選B.

m\-m

22

5.A【解析】原式=7—鐘一r-(x-l)=——.故選A.

(x+l)(x-l)\7X+1

3

bY卜、"-3b「9b2、38/

C【解析】A.=當，故B錯誤；C.

6.—5、故A錯誤；B.1,故C正確;

2。,4a2、2a4a2—3x)一27/

2

3x9x2

D.，故D錯誤.故選C.

x-ax-aY

(a+2)(a—2)11

7.-【解析】原式=

aQ(Q+2)a-2a

222

8.二【解析】原式=x(xT)

x+1(xT)(x+Dx+1

YXXMx+l)x

9.,,［解析］-22,

yx-yx~y_yx2+x)Kx+l)(x-1)xyyx-y

x+3(x—2)

10.-【解析】原式=

2

X(x-2)x(x+3)x

11.\-x【解析】原式二—xx(l-x)=1-x.

X

3

cC3

12.【解析】

27a3b6一3abi27a3b6.

x-1x(x+l)

13.解：原式二x

(x+l)(x-l)x(尤+1)(x+l)(x-l)x—1

劣+8-2(±+2)(x-2)2一(1一4)(x-2)2工一2

14.解：原式=3+2)3-2)?』-4=0+2)(夕一2).為一4=-。+2.

(a+2)(a-；

15.原式=而=a.

aa-；

16.原式嗡

93

m2nn2\m~n

17.原式二------——77

mm)mYT

4ab3ablab7

18.解：(1)原式二

10a2b2+10a2b2~Wa2b2-lOab；

iY；

(2)原式=(加，-2加2〃")=(2機〃-2)

(9—a)(9+a)2(a+3)Q+3

(3)原式=

。+3)-。-9。+9

4

目3Q'773C/

(4)原式二h.前.汨

16.2.2分式的加減

一、選擇題

a2b1

1.化簡■丁的結果是()

a-ba-b

a2-b2B.a+bC.a-bD.1

411

2.已知兩個分式：4=二一B=-----------1-----------，其中x丹2,則A與B的關系是（）

x-4x+22-x

A.相等B.互為倒數C.互為相反數D.A大于B

化簡，_」b一等于（

3.)

a-ba+h

a2+b2a2-b2

A.B.D.

計算丁9三Y2—的結果是

4.+)

2x-yy-2x

A.B.-1C.2x+yD.x+y

5.下列計算錯誤的是（)

0.2。+/?2a+bx3y2_xa-bD.雪、

A.-------=------B.C.----=-l

OJa-bla-b因.yb-accc

6.已知實數a、b滿足：ab=l且Af=—!—+」一N=—仁+―也，則M、N的關系為（

)

1+Q\+h1+。1+Z?

A.M>NB.M<NC.M=ND.M、N的大小不能確定

7.已知”>6>0,的結果為（）

bb+\

A.OB.正數C.負數D.不能確定

8.計算（-—）+—■的結果為（）

yxx

A.qB.也C—D.也

yyxx

9.化簡(1—一2)+1-—的結果是()

x+1x-1

A.(x+1)2B.(X-1)2

10.如果a2+2a-l=0,那么代數式

A.-3B.-1C.1D.3

二、填空題

3

11.計算:

a2-99-a2

x+32-x

12.化簡:----------1----0------

x+2x~—4

ABx+5

13.已知（其中4,B為常數）,求A2"48=

x+1x-3(x+l)(x-3)

422

14.計算:-7---7-1--------------------

u~-4Q+2CI-2

15.若J，+上,對于任意正整數”都成立，則a=_______，b=______；根據上面的式子，計算

+n〃+1

111

-----1-----H-----------F

1x22x33x49x10

2

X-9

16.當x=2017時，分式-----的值=.

x+3

三、解答題

a2-b2ab—h2

17.計算

ahah-a2

18.計算:

xx+2

(1)----------1-----------

x+lx+l

2x2x+6x+3

(2)：

x+1—1_____—2x+1

2

2”1a~-a

19.化簡與計算:(1)------7；(2)-x-3)

a-1(a—1)“2%-6x-3

20.化簡計算：（1）—￡—+」一>X?—1—2x+1

a2-9a+3x+1x-x

（a+4|a-4

21.先化簡，再求值：+卷一^,其中a=L

、aIa-F2a

22.先化簡，再求值：［x+2—--U^~3,其中尤滿足了2+3%-1=0.

Ix-2J3x2-6x

參考答案

a

?n~"?a”―/(a+b)(a-b…小小「

1.B［解析］---------------=----------=-----------------=a+b.故選B.

a-ba-ba-hci-b

1?1一1?1一(%-2)-(%+2)_一4又4

x+22-xx+2x-2(x+2)(x—2)-4x~-4

4-4八

，A+B=???A與B的關系是互為相反數.故選C.

x2-4+k°

3.A【解析】根據異分母的分式相加減先通分再求和差即

aba(a+〃)b(a-b)cT~+ctb—cib+b~

.故選A.

a-ba+b(a+Z?)(a-b)(〃+b)(Q-b)7^

■2xy2xy2x-y,小小

4.A【解析】-----+—工—=--------工—=---^=1.故選A.

2x-yy-2x2x-y2x-y2x-y

5.A【解析】選項A.。2"+”=2"10”,錯誤.B,C,D均正確.故選A.

O.la-b7a-10b

l+Z?+l+a2+Z7+。

6.C【解析】先通分，再利用作差法可由—+—

1+a\+b(1+〃)(1+Z?)

N_a+b_+++_a-^ab+b+ab_a+b+2abi_.2+8+。

因此可得M-N=-----er;—k

1+Q1+Z?(l+tz)(l+/?)(1+Q)(1+〃)(1+Q)(1+〃)

。+A+2ab_2+。+。一。一lab-b_2-lab

由ab=l,可得2-2ab=0,即M-N=0,即M=N.故選C.

(l+〃)(l+b)(l+〃)(l+b)(1+G)(1+A)

Q(/7+1)-〃(Q+1)_ab+a-ab-ba—hci—h

7.B【解析】原式二———，因為a>b>0,所以。一力>0,b+l>0,所以r——-

〃伍+1)A0+1)h(h+\)b(b+l)

>0,故結果為正數.故選B.

x2—y2x+y(x+y)(1—y)xx—y_

8.A【r解析】原式=———+—^-=-^~且~~U-----=—.故選A.

xyxxyx+yy

22

9.B【解析】原式(x+l)(x-l)^x(x+l)(x-l)=(x-l).

I光+17+T

故選B.

2j2

10.C【解析】原式----------=a(a+2]=a2+2a,當/+2a—1=0時，/+2。=1.故選C.

aa-21)

二、填空題

1a3+。1

11.【解析】原式二T---------------------------------------------二-----------

a—3a2-9a2-9(a+3)(a-3)a-3

x+32-xx+3x-2x+31x+3—1x+2

12.1【解析】---1---=-----------=--

x+2x2-4x+2(x+2)(x-2)x+2x+2x+2x+2

A____B_x+5

13.-2【解析】???/?A(x-3)-B(x+l)=x+5.整理，得(A-B)x-3A-B=x+5,

x+1x-3(x+l)(x-3)

A—B=lA=1

{-3A-6=5，解得{cc/.A2014B=-2.

8=—2

11H—4+2(a-2)-(a+2)a-21

14.——-【解析】原式=「----c------=7「------=

a+2(Q+2)(Q—2)(a+2)(q—2)a+2

15.1,-1,2.【解析】-+—-a(-九-+-1)1--b-n-=-(a-+-h]-n-+-a=---1-

10n〃+1+1)〃(幾+1)++

{解得，a=l,b=-l.

a+b=0.

1.1.I..1,1.11,.11.19

1x22x33x49x102239101010

16.2014【解析】當x=2017時，分式L^J'+3)(X-3)=X-3,則原式=2017-3=2014.

x+3x+3

-a2---b2---a-b--b~--a-2-b2-b-(-a-b-)=-a-2-b-2-f~b—=-a2---b2+b—2

abab-a1aba(b-a)abaabab

_a2-h2^b2_/_〃

ababb

18.解：(1)原式=在±2

JC+1

=2(^=2.

X+l

⑵原式工產里-x色型

x+l(x+l)(x-l)x+3

2x2x-22

x+lx+lx+l

2a—1aa—1

19.解：(1)原式=——-——=——=1

a-1a-1a-1

x-2,-5--9、1

(2)原式=-----r(----------)=--------

2X-6\-3X-372(%+2)

20.解：⑴原式=

616ci—36+。一31

(a—3),+3)〃+3(Q—3)(a+3)(a—3)(a+3)(a—3)(a+3)ci—3

(X-1)(X+1)(x-l)2(X-1)(X+1)X(X-1)

(2)原式=-----------------------------:------------------=----------------------------X-----------------

x+lx(x-l)x+l(x—1)2

/+4-4a.a2-4_(?-2)2a(a+2)

21.解:=a-2.

aa2+2aa(a+2)(a-2)

當a=-l時，原式=-1—2=—3.

22.原式第+2)(，-2)-5+廠3=X^^=(X+3)(「3)X^2)=3/+9X

x—23x(x-2)x-2x—3x—2x—3

Vx2+3x—1=0,

Ax2+3x=L

，原式=3/+9x=3(x2+3x)=3x1=3.

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16.3可化為一元一次方程的分式方程

一、選擇題

1,下列方程是分式方程的是（）

lx4-）

A.----=0B.—=-2C.獷―1=3D.2x+l=3x

23x

a-21

2.若43是分式方程-------=0的根，則a的值是（）

xx-2

A.5B.-5C.3D.-3

]n-Y

3.若分式方程--+3=--有增根，則a的值是（）

x-22-x

A.1B.OC.-2D,-1

1—〃72

4.已知關于x的分式方程-----1=——的解是正數，則加的取值范圍是（）

x-11-x

A.根<4且機。3B.m<4C.m<4且相。3D.根>5且機。6

5.若關于x的方程四匚——三=0無解，則m的值是（）

x-lX—1

A.3B.2C.1D.-1

1包（2x+7）>3

6.從-3,-1,1,3這五個數中，隨機抽取一個數，記為a,若數a使關于x的不等式組｛3無解,

x-a<0

且使關于x的分式方程」-色二=-1有整數解，那么這5個數中所有滿足條件的a的值之和是（）

x-33-x

A.-3B.-2C.--D.-

22

二、填空題

7.已若代數式-1--1的值為零則x=____.

X-1

8.關于x的分式方程—+——=1的解是xrl的非負數，則m的取值范圍是.

x-11-x

X—a3

9.當。為時，關于x的方程-7—2=1有增根.

10.若關于X的方程型龍=2的根為x=2,則。應取值________.

a-x4

11.關于X的方程生皿=1的解是負數，則a的取值范圍是_______.

X-1

三、解答題

x5X+1_4

口.解方程：⑴二+二川⑵

工一1X2-1

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丫k-1V

3若關于X的方程二—-=普的解是正數‘求卜值.

6x+7k5

14.當k為何值時，分式方程口=G工一；有增根？

15.已知x=3是方程合+；=1的一個根，求左的值和方程其余的根.

16.小明解方程12-r-上2上=1的過程如圖.請指出他解答過程中的錯誤，并寫出正確的解答過程.

xx

①

解：方程兩邊同乘n得1一（1-2）=1.

②

去括號?得l-x-2=l.③

合并同類項，得一工一1=1.④

移項.得一x=2.⑤

解得了=-2.⑥

二原方程的解為彳=-2.

17.閱讀下列材料：

關于X的分式方程X+—C+三的解是X尸C,X2二

CCC

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X-C-即X+工C+二的解是X產C,X2=—；

CCCCC

x+2=c+=的解是X|=c,X2=￡；

ccc

533

X+二=C+-的解是X1=C,X2=-.

ccc

請觀察上述方程與解的特征，比較關于X的方程x+%=c+3m#0）與它的關系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的

XC

概念進行驗證.

由上述的觀察、比較、猜想、驗證，可以得出結論；如果方程的左邊是未知數與其倒數的倍數的和，方程右邊形式與左

邊的完全相同，只是把其中未知數換成某個常數，那么這樣的方程可以直接得解.

請利用這個結論解關于X的方程:久+三=a+2

參考答案

1.B【解析】A選項是一元一次方程；B選項的方程的分母中含有未知數，所以為分式方程；C選項是一元二次方程；

D選項是一元一次方程.故選B.

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-21

2.A【解析】把x=3代入原分式方程得，-a----------=0,解得，a=5,經檢驗a=5適合原方程.故選A.

33-2

3.C【解析】分式方程去分母，得1+3(廠2尸-0由分式方程有增根，得到廠2=0,即戶2,

代入整式方程得：-4=1.解得a=T.故選C.

4.A【解析】方程兩邊同乘以x-l得，1一加一(工一1)+2=0.解得x=4-m.;x是正數，4-m>0,解得

根<4.;XH1,，4一加。1,即加。3,J.的取值范圍是加<4且相。3,故選A.

5.B【解析】去分母，得m-l-x=0.由分式方程無解，得至iJxT=0,即x=l,把x=l代入整式方程，得m-2=0,解得m=2.

故選B.

Cir1

(2x+7)>3f>1-(2x+7)>3

6.【解析】3一得X:；?不等式組3無解，.?.at,

x-a<0Ixax-a<0

解方程號-U二=-1得x=4；x=。為整數，aWl,，a=-3或1,???所有滿足條件的a的值之和是-2.故選

x-33-x22

B.

二、填空題

7.3【解析】由題意，得‘--1=0,解得x=3,經檢驗的x=3是原方程的根.

X-1

8.mN2且m#3【解析】去分母，得加-3=x-l,解得工=加一2.由題意，得〃-2K),解得相乞2,因為中1,所以相聲3,

所以的取值范圍是m>2且加#3.

JQ—d3

9.1【解析】--------=1,x{x-a)-3(x-1)=x(x-1),x1-ax-3工+3=/-x

x—1xt

3

伍+2)m3.因為分式方程有增根，所以〃+2卻，且下一^二1或0,解得。=1.

10.a=-2【解析】把戶2代入方程空出=*得%±1=3.在方程兩邊同乘4(a-2),得4(4〃+3)=5(a-2),

a-x4a-24

解得〃=-2,檢驗當。=-2時，a-.#0.

11.a>-l【解析】-----=1,2x+a=x-l,2x-x=a-l4解得a<-\.

x-1

——^-=1

三、12.(1)解：

2x-52x-5

兩邊同乘2%-5.x-5—2x—5,k0,

檢驗：當戶0,時，2x-5^0,x=0,是原方程的解.

x+14,

(2)---^-=1.

x—1x—1

方程兩邊同時乘(X-1)(x+1),

(x+l)2-4=x2-l,

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(爐+2%+1)-4=/-1,

解得戶1,

檢驗：代入(x-1)(x+l)=O,

原方程無解.

去分母，得x(x+l)—(4—l)=x(x-l)

x2+x-k+l=x2-x,

2x=k-l,

k-\

x=----

2.

???方程的解是正數,

當x#l時，即——W1,必3,

2

所以綜合可得，k>l且a3.

14.解：方程兩邊同乘以x(x-1)得：6x=x+2k-5(x-1).

又???分式方程有增根，，x(x-1)=0,解得：x=0或1.

當x=l時，代入整式方程得6xl=l+2k-5(1-I),解得k=25

當x=0時，代入整式方程得6x0=0+2k-5(0-1),

解得k=-2.5,

則當k=2.5或-2.5時，分式方程有增根.

15.解:由題意，得2+=1,二%=-3.

方程兩邊都乘*(x+2),約去分母，得

10%-3(x+2)-x(x+2).

整理，得(一Sx+GnO,

xi=2溫=3.

檢驗x=2時，x(x+2)=8/0

??.2是原方程的根，

x=3時，x(x+2)=15#),

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??.3是原方程的根.

，原方程的根為制=2,初=3

16.解：小明的解法有三處錯誤：

步驟①去分母錯誤；步驟②去括號錯誤；步驟⑥之前缺少“檢驗”步驟.

正確的解答過程如下：

去分母，得l-(x-2)=x,

去括號，得l-x+2=x,

移項，得—X—X——1—2,

合并同類項，得-2x=-3,

3

兩邊同除以一2,得》=一.

2

3

經檢驗，x是原方程的解，

3

，原方程的解是x==.

2

17.(1)匕=&必=/；驗證：(略)

丫*gX4----=CH-----I%-=C,X-=—

解：猜想：XC的解為12c.

K+壬=C+?

驗證：當x=c時，x-c=右邊，所以X產C是原方程的解.

同理可得物=裂1是原方程的解.

,m1mm

所以、+7=C+Z的根為％=C，'2=W.

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16.4零指數幕與負整數指數募同步練習

一、選擇題

1.下列各式運算正確的是（）

3b

2352362(=aD.Q0=]

A.a+a=aB.a-a=aC.a

=2-2/=(百_1)°,C=(_1)二則

2.已知。=a、b、c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

①(-3)°=1；?a2^-a2=a；③(-a5)+(-a)3=a2；?4m'2=—^―.其中做

3.李剛同學在黑板上做了四個簡單的分式題:

4m

對的題的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.計算（無-3）°的結果為（)

A.0.14B.1C.71D.0

5.計算(-3)°+(-2)的結果為()

A.-1B.-2C.-3D.-5

6.下列運算中，正確的是（）

64JO1（3/丫=6