導數壓軸大題歸類目錄題型一：不等式證明1：無參基礎思維型 1題型二：不等式證明2：有參數型基礎證明 2題型三：極值點偏移：和型 2題型四：極值點偏移：積型 3題型五：極值點偏移：含參型 3題型六：極值點偏移：平方型 4題型七：極值點偏移：非對稱型 5題型八：比值代換型證明 5題型九：三零點型不等式證明 6題型十：三角函數型不等式證明 7題型十一：零點與求參 7題型十二：三個零點型求參 8題型十三：恒成立求參：三角函數型 8題型十四：恒成立求參：整數解型 9題型十五：能成立求參：雙變量型 10題型一：不等式證明1：無參基礎思維型證明不等式基礎思維：證明不等式基礎思維：1.移項到一側，證明函數的最值大于0（小于0）證明法2.恒等變形，再證明新恒等式法。1.（四川省金太陽普通高中高三第三次聯考數學）已知函數.（1）討論的單調性.（2）當時，證明：.2.已知函數．（1）討論函數在上的單調性；（2）若，求證：在上恒成立.3.（2022·河南南陽·南陽中學校考模擬預測）已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）當時，求證：．題型二：不等式證明2：有參數型基礎證明有參數型不等式證明：有參數型不等式證明：通過參數范圍，確定函數的單調性，然后利用最值放縮證明不等式1.（2024高三·全國·專題練習）設函數．(1)當，求在點處的切線方程；(2)證明：當時，；2.（2024·全國·高考真題）已知函數．(1)求的單調區間；(2)當時，證明：當時，恒成立．3.（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，證明：．題型三：極值點偏移：和型處理極值點偏移問題中的類似于處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.1.（22-23高三·廣東深圳·階段練習）已知函數(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；(2)設是兩個不相等的實數，且．求證：2.（22-23高三·陜西安康）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明.3.（2023·河南平頂山·模擬預測）已知函數有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設是的兩個零點，證明：．題型四：極值點偏移：積型處理極值點偏移問題中的類似于處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數，求導可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據與的范圍，結合的單調性，可得與的大小關系，由此證得結論.1.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函數(1)求函數單調區間；(2)設函數，若是函數的兩個零點，①求的取值范圍；②求證：．2.（2024·廣東湛江·一模）已知函數．(1)討論的單調性；(2)若方程有兩個根，，求實數a的取值范圍，并證明：．3.（23-24高三·河南·階段練習）已知函數.(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當時，若，，求證：.題型五：極值點偏移：含參型含參型極值點偏移：含參型極值點偏移：1.消去參數，從而轉化成不含參數的問題去解決；2.以參數為媒介，構造出一個變元的新的函數.1.（23-24高三上·江蘇鎮江·階段練習）已知函數．若函數有兩個不相等的零點．(1)求a的取值范圍；(2)證明：．2.（22-23高按·四川瀘州）已知函數，e為自然對數的底數.(1)若函數在上有零點，求的取值范圍；(2)當，，且，求證：.3.（21-22高三·河南鄭州·）已知函數.(1)當時，求的單調區間和極值；(2)若，且，證明：題型六：極值點偏移：平方型對于平方型，可以對于平方型，可以應用對數平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產生對數；②將所得含對數的等式進行變形得到；③利用對數平均不等式來證明相應的問題.1.（2024·吉林·二模）在平面直角坐標系中，的直角頂點在軸上，另一個頂點在函數圖象上(1)當頂點在軸上方時，求以軸為旋轉軸，邊和邊旋轉一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數，關于的方程有兩個不等實根.（i）求實數的取值范圍;（ii）證明：.2.（22-23高三·遼寧·模擬）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若（e是自然對數的底數），且，，，證明：.3.（2023·廣東廣州·模擬預測）已知函數.(1)討論函數的單調性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；題型七：極值點偏移：非對稱型1.（2024·全國·模擬預測）已知函數．(1)求的單調區間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．2.（22-23高三·福建福州）已知函數（）．(1)試討論函數的單調性；(2)若函數有兩個零點，（），求證：．3.（21-22高三·浙江·模擬）已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)若函數的圖象與的圖象交于，兩點，證明：.題型八：比值代換型證明應用對數平均不等式應用對數平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產生對數；②將所得含對數的等式進行變形得到；③利用對數平均不等式來證明相應的問題.構造對數不等式時，比值代換是常見經驗思維：1.一般當有對數差時，可以運算得到對數真數商，這是常見的比值代換形式2.兩個極值點（或者零點），可代入得到兩個“對稱”方程3.適當的恒等變形，可構造出“比值”型整體變量。1.（2023·山西運城·山西省運城中學校校考二模）已知函數為函數的導函數．(1)討論函數的單調性；(2)已知函數，存在，證明：．2.（2024高三·全國·專題練習）已知函數.(1)當時，判斷函數的單調性；(2)若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍，并證明.3.（21-22高三·重慶·模擬）已知函數有兩個不同的零點.(1)求的最值；(2)證明：.題型九：三零點型不等式證明三個零點型不等式證明常見思維，三個零點型不等式證明常見思維，關鍵是問題的轉化．證明不等式問題第一步轉化是消元，把三個根用一個變量表示，第二步構造新函數，證明的最小值，第三步由導數求得極小值點的范圍，并對變形，第四步換元，最終轉化為關于的多項式不等式，問題易于解決．（廣東省華附、省實、廣雅、深中2021屆高三上學期四校聯考數學試題）已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）若且，證明：，；（3）記方程的三個實根為，，，若，證明：.2.（浙江省舟山中學2021-2022學年高三上學期12月月考數學試題）已知函數．（1）求函數的最小值；（2）若有三個零點，①求的取值范圍；②求證：．3.已知，關于x的方程的不同實數解個數為k.（1）求k分別為1，2，3時，m的相應取值范圍；（2）若方程的三個不同的根從小到大依次為，求證：.題型十：三角函數型不等式證明對于含有三角函數型不等式證明：對于含有三角函數型不等式證明：1.證明思路和普通不等式一樣。2.充分利用正余弦的有界性1.（河南省開封市杞縣高中2023屆高三文科數學第一次摸底試題）已知函數．(1)求函數在內的單調遞減區間；(2)當時，求證：．2.（云南民族大學附屬中學2022屆高三高考押題卷二數學（理）試題）已知函數，，其中.(1)試討論函數的單調性；(2)若，證明：.3.已知函數的圖象在原點處的切線方程為.(1)求函數的解析式；(2)證明：.題型十一：零點與求參函數零點的求解與判斷方法：函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．1.（23-24高三·廣東清遠·模擬）已知定義在正實數集上的函數，．(1)設兩曲線，有公共點為，且在點處的切線相同，若，求點的橫坐標；(2)在（1）的條件下，求證：；(3)若，，函數在定義域內有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．2.（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍；(3)若函數在定義域內有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．3.（22-23高三上·福建福州·階段練習）已知函數.(1)當時，求在點處的切線方程；(2)若在上有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍.題型十二：三個零點型求參1.（23-24高三·湖北省直轄縣級單位·模擬）若函數，當時，函數有極值.(1)求函數的極值；(2)若關于的方程有三個零點，求實數的取值范圍.2.（23-24高三·云南玉溪·模擬）設，曲線在點處的切線與軸相交于點.(1)求實數的值；(2)若函數有三個零點，求實數的取值范圍.3.（2022高三·河南南陽·專題練習）若函數，當時，函數有極值．(1)求函數的解析式；(2)若關于的方程有三個零點，求實數的取值范圍．題型十三：恒成立求參：三角函數型不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)若函數在區間上單調遞增，求實數a的取值范圍．(2)當時，恒成立，求實數a的取值范圍．2.（2023·河南洛陽·校聯考模擬預測）已知函數．(1)求的最值；(2)當時，，求實數的取值范圍．3.（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學校考期中）已知函數.(1)若曲線在點處的切線方程為，判斷當時函數的單調性；(2)當時，在恒成立，求的最大值.題型十四：恒成立求參：整數解型解決不等式恒成立問題，常用方法有：解決不等式恒成立問題，常用方法有：將原不等式變形整理，分離參數，繼而構造函數，轉化為求解函數的最值問題解決；（2）直接構造函數，求導數，求解函數的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.1.（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）已知函數，其導函數為.(1)若在不是單調函數，求實數的取值范圍；(2)若在恒成立，求實數的最小整數值.2.（2023下·天津濱海新·高二統考期末）已知函數，.(1)若，求m的值及函數的極值；(2)討論函數的單調性：(3)若對定義域內的任意x，都有恒成立，求整數m的最小值.3.（2023下·遼寧朝陽·高二校聯考期末）已知函數，(1)若，求的圖象在處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求整數a的最小值；(3)求證，4.（2023下·江蘇蘇州·高二統考期中）已知函數．(1)若，求的極值；(2)討論的單調性；(3)若對任意，有恒成立，求整數m的最小值．題型十五：能成立求參：雙變量型恒（能）成立問題的解法：恒（能）成立問題的解法：若在區間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數，即將問