摘要隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)文化的教育教學(xué)價值日益凸顯。以特色版塊“你知道嗎”為載體，聚焦數(shù)學(xué)文化資源，依據(jù)其在課堂教學(xué)中的不同功能定位，形成數(shù)學(xué)文化資源融合模式：包含結(jié)構(gòu)融合模式、互補結(jié)構(gòu)融合模式、延展結(jié)構(gòu)融合模式和提升結(jié)構(gòu)融合模式。基于這些融合模式，設(shè)計“萌發(fā)—生長—豐盈”“一維—兩維—多維”“起步—延展—融合”“追問—思辨—提升”四條教學(xué)路徑，以期更好發(fā)揮數(shù)學(xué)文化“以文化人”的育人作用。關(guān)鍵詞小學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)文化資源；“你知道嗎”數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動[1]。數(shù)學(xué)文化是人類的物質(zhì)與精神財富，也是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要組成部分。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下稱《2022版課標(biāo)》）在“課程理念”部分強調(diào)，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇“要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[2]。數(shù)學(xué)文化并非自生自滅的封閉系統(tǒng)，而是一個開放的系統(tǒng)[3]，包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用等內(nèi)容。研讀現(xiàn)行的人教版、蘇教版及北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材后發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)文化滲透在教材中的每道例題、習(xí)題里，除此以外，教材還設(shè)置了特色版塊“你知道嗎”，并以此為載體將數(shù)學(xué)文化加以集中呈現(xiàn)，這為在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化提供了很多寶貴的、權(quán)威的教學(xué)資源。然而，在日常教學(xué)活動中，對待數(shù)學(xué)文化資源時，有些教師常常止步于簡單處理，學(xué)生淺嘗輒止，一讀了之；有些教師甚至認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化資源屬于拓展內(nèi)容，不在考試范圍內(nèi)，為“節(jié)約”課堂教學(xué)時間，他們甚至選擇視而不見，一“跳”而過。那么，教材中的數(shù)學(xué)文化資源如何與例題、習(xí)題的教學(xué)相融合，才能發(fā)揮其教育教學(xué)價值呢？本文以教材中特色版塊“你知道嗎”為載體，探討數(shù)學(xué)文化的融合開發(fā)。一、數(shù)學(xué)文化資源的教材分析當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材，到達(dá)課堂，融入教學(xué)時，數(shù)學(xué)就會平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會通過文化層面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)[4]。因此，數(shù)學(xué)文化資源與例題、習(xí)題教學(xué)的融合開發(fā)應(yīng)從研讀教材開始，唯有在深度理解教材的基礎(chǔ)上，我們才能創(chuàng)造性地運用教材，才能更有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價值。基于這樣的認(rèn)識，筆者將人教版、蘇教版以及北師大版教材中“你知道嗎”的內(nèi)容進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)其中涉及的數(shù)學(xué)文化資源具有以下三個編排特點。1.教學(xué)內(nèi)容具有主次性上述三個版本的數(shù)學(xué)教材中，“你知道嗎”作為例題、習(xí)題的知識背景，常常被編排在某個知識節(jié)點的結(jié)尾處，起著延展例題、習(xí)題內(nèi)容的作用。如果把教材中例題、習(xí)題內(nèi)容看作數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“主食”，那么教材中的數(shù)學(xué)文化資源就好比是“輔食”，兩者在編排的數(shù)量、篇幅方面存在較大差異。這種主次分明的編排特點是由課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置的課程內(nèi)容所決定的，但需要注意的是，雖然與“主食”相比，數(shù)學(xué)文化所占比例不高，但其作為“輔食”的營養(yǎng)價值卻不可忽視。2.編排分布具有不均衡性數(shù)學(xué)文化滲透在教材的每一個細(xì)節(jié)中，但以“你知道嗎”為載體的數(shù)學(xué)文化資源，在編排時卻存在分布不均衡的特點。以蘇教版教材中涉及到的數(shù)學(xué)史為例（見表1），從學(xué)段來看，第三學(xué)段有10處，第一學(xué)段只有5處；從知識領(lǐng)域來看，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域高達(dá)16處，而“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域只有1處。即便在同一知識領(lǐng)域，不同學(xué)段里的數(shù)學(xué)文化資源也存在著數(shù)量上的差異。3.內(nèi)在關(guān)聯(lián)具有不穩(wěn)定性“你知道嗎”中涉及的數(shù)學(xué)文化是例題、習(xí)題的延伸，它與教材知識點之間有著很強的關(guān)聯(lián)性。如在學(xué)習(xí)方程時，三種版本的教材中都不約而同地引入了人類利用方程解決問題的歷史，介紹了我國《九章算術(shù)》中的方程思想。因此，知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)也就決定了數(shù)學(xué)文化之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，但教材中并非每個知識點之后都編排有“你知道嗎”，這就造成了數(shù)學(xué)文化資源之間的關(guān)聯(lián)程度時強時弱，具有不穩(wěn)定性。二、數(shù)學(xué)文化資源的融合模式從教材編排特點可以看出，立足數(shù)學(xué)文化資源與例題、習(xí)題的關(guān)聯(lián)，對它們實施融合開發(fā)，既順應(yīng)教材的編排特點，也符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，是一條切實可行的思考路徑。為此，筆者基于為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)服務(wù)的理念，根據(jù)數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中的不同功能定位，對數(shù)學(xué)文化資源與相應(yīng)的例題和習(xí)題之間的關(guān)系進(jìn)行分類，由此形成了四種融合開發(fā)模式：包含結(jié)構(gòu)融合模式、互補結(jié)構(gòu)融合模式、延展結(jié)構(gòu)融合模式和提升結(jié)構(gòu)融合模式（如圖1）。其中A部分表示的是教材中的例題和習(xí)題，B部分表示的是教材中“你知道嗎”板塊中涉及的數(shù)學(xué)文化資源。1.包含結(jié)構(gòu)融合模式顧沛教授認(rèn)為，從狹義上說，數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、思維和觀點，以及它們的形成和發(fā)展。從廣義上說，除了上述內(nèi)涵外，數(shù)學(xué)文化還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。其實，不管從哪個層面來看，教材中的例題、習(xí)題都屬于數(shù)學(xué)文化資源的一部分，數(shù)學(xué)文化包含且潤澤著例題、習(xí)題的教學(xué)，伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整個過程。2.互補結(jié)構(gòu)融合模式《2022版課標(biāo)》指出，要讓學(xué)生“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情景所蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)的過程”[5]，但受到文字篇幅、教學(xué)時長等因素的影響，教材中的例題和習(xí)題有時無法完整展現(xiàn)知識的萌發(fā)、發(fā)展以及豐盈的全過程。此時，“你知道嗎”中的數(shù)學(xué)文化資源就可以發(fā)揮補充功能，通過完善知識體系、豐富探究方法、講述數(shù)學(xué)故事、介紹數(shù)學(xué)歷史等方式，實施對例題、習(xí)題教學(xué)的必要補充。3.延展結(jié)構(gòu)融合模式例題和習(xí)題是落實課程內(nèi)容的主要載體，承擔(dān)著實施課程教學(xué)的重要任務(wù)，因此在不同的年級階段，教材都有著明確而又具體的知識教學(xué)要求。與例題和習(xí)題不同的是，數(shù)學(xué)文化資源無需承載著上述教學(xué)要求，但作為教材編排的延展內(nèi)容，它們理應(yīng)發(fā)揮前延和后展的教育功能。這里的前延與后展，既可以表現(xiàn)為對知識領(lǐng)域的拓展，也可以表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)思想的貫通，還可以表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)視野的開闊，等等。4.提升結(jié)構(gòu)融合模式王梓坤指出，“向數(shù)學(xué)精英學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他們先進(jìn)的思想、方法和技巧，尤其是熱愛數(shù)學(xué)、追求真理的精神。”[6]也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)帶給學(xué)生的不僅僅是知識的習(xí)得，還有關(guān)鍵能力的提升，更有必備品格的塑造。發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的提升融合功能，可在例題、習(xí)題教學(xué)中更好地實現(xiàn)育人的價值。因為與教材中例題、習(xí)題的內(nèi)容相比，“你知道嗎”中提及的數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的過程更鮮活、更具體，數(shù)學(xué)發(fā)展演變的歷程更生動、更直觀，對激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識，培養(yǎng)理性精神也更為直接。三、數(shù)學(xué)文化資源的教學(xué)路徑1.基于包含結(jié)構(gòu)融合模式，以“萌發(fā)—生長—豐盈”為教學(xué)路徑，建構(gòu)知識體系數(shù)學(xué)具有簡潔性，古今中外的數(shù)學(xué)家都追求數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的簡潔表達(dá)。然而，在這些凝練的數(shù)學(xué)文字和符號背后，承載著數(shù)學(xué)知識慢慢孕育、不斷生長的過程，也記錄著人類勇于探索、敢于創(chuàng)造的數(shù)學(xué)歷史。數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，借力數(shù)學(xué)史的教學(xué)，能夠引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的來源與發(fā)展，體驗和感悟數(shù)學(xué)發(fā)展變化的特點，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深入地理解數(shù)學(xué)知識、認(rèn)識數(shù)學(xué)特征[7]。基于這樣的認(rèn)識，我們以數(shù)學(xué)歷史為教學(xué)主線，在數(shù)學(xué)文化的滋養(yǎng)下帶領(lǐng)學(xué)生開展學(xué)科實踐，讓他們像科學(xué)家一樣去思考，在提出猜想、實踐操作、驗證猜想、形成結(jié)論的過程中，逼近數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)文化的脈搏。以“圓的認(rèn)識”教學(xué)為例，北師大版數(shù)學(xué)教材六年級上冊“圓的認(rèn)識（一）”中編排了如圖2的數(shù)學(xué)文化資源：“圓，一中同長也”，這是古人在對圓的特征有了充分認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)行的一種精準(zhǔn)而又凝練的表達(dá)，在很多經(jīng)典的教學(xué)課例中都有著精彩的演繹。其實，古今中外關(guān)于圓的數(shù)學(xué)文化還有很多，如何將這些零散的數(shù)學(xué)文化資源進(jìn)行整體建構(gòu)，使之伴隨認(rèn)識圓的整個過程呢？為此，教師采用包含結(jié)構(gòu)融合模式，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化資源的包含功能，以“萌發(fā)—生長—豐盈”為教學(xué)路徑，設(shè)計教學(xué)活動（見表2）。上述教學(xué)活動中，教師引入數(shù)學(xué)文化“圓，一中同長也”“不以規(guī)矩，不能成方圓”“一切平面圖形中最美的是圓形”，并以教學(xué)板塊的形式將它們串點成線，貫穿于整個學(xué)習(xí)過程，從而保證課堂教學(xué)的整體性與層次性。此外，從三句數(shù)學(xué)名言衍生出三大學(xué)習(xí)任務(wù)、進(jìn)而聚焦三大核心問題，使得例題、習(xí)題的教學(xué)得以浸潤在數(shù)學(xué)文化之下，從探究圓的特征到掌握圓的畫法，再到感受圓的魅力，數(shù)學(xué)知識在學(xué)生的心中悄然萌發(fā)、生長、豐盈。此外，在課的結(jié)尾部分，教師還引導(dǎo)學(xué)生在三句名人名言的基礎(chǔ)上說出屬于自己的“經(jīng)典名言”，以此鼓勵他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、思考、創(chuàng)造，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的傳承與創(chuàng)新。2.基于互補結(jié)構(gòu)融合模式，以“一維—兩維—多維”為教學(xué)路徑，豐富探究方法數(shù)學(xué)文化是人類哲學(xué)思想與實踐智慧的結(jié)晶，不同的時代、不同的地域、不同的環(huán)境，使人們對數(shù)學(xué)有著不一樣的理解，也有著更為豐富的表達(dá)。然而，學(xué)科數(shù)學(xué)不等同于科學(xué)數(shù)學(xué)，為了遵循學(xué)生的認(rèn)知特點和教育規(guī)律，也為了節(jié)約教學(xué)時間、提高教學(xué)效率，例題和習(xí)題中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識往往更純粹、探究方法更優(yōu)化、數(shù)學(xué)思想更清晰。但我們不能因此而一葉障目不見泰山，誤以為這些就是數(shù)學(xué)的全部。為此，教材通過特色板塊“你知道嗎”對例題、習(xí)題進(jìn)行了必要補充，其中不乏經(jīng)典的數(shù)學(xué)文化資源。在課堂教學(xué)時，教師要發(fā)揮這些數(shù)學(xué)文化資源的補充功能，將它們和例題、習(xí)題的教學(xué)有機融合。例如，哥德巴赫猜想是“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在此領(lǐng)域取得了舉世矚目的研究成果。在學(xué)生學(xué)習(xí)完倍數(shù)與因數(shù)之后，人教版、蘇教版五年級數(shù)學(xué)教材均拓展了相關(guān)內(nèi)容。面對這一數(shù)學(xué)文化資源，教師們通常會讓學(xué)生通過閱讀了解哥德巴赫猜想，見證陳景潤的巨大貢獻(xiàn)，以此激發(fā)民族自豪感。這樣的教學(xué)固然需要，但我們的教學(xué)不能止步于此。仔細(xì)研讀教材后不難發(fā)現(xiàn)：分解質(zhì)因數(shù)是將合數(shù)分解成質(zhì)數(shù)相乘的形式，哥德巴赫猜想是將數(shù)的分解形式從質(zhì)數(shù)相乘擴(kuò)充到質(zhì)數(shù)相加，而數(shù)學(xué)家陳景潤“1+2”式的證明，更是將數(shù)的分解形式拓展至加乘混合。毫無疑問，教材中的數(shù)學(xué)文化資源極大地豐富了數(shù)的探究方式，形成了對教材例題與習(xí)題的有效補充。為此，筆者基于互補結(jié)構(gòu)融合模式，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化資源的補充功能，以“一維—兩維—多維”為教學(xué)路徑，將數(shù)學(xué)文化資源進(jìn)行深度開發(fā)：從質(zhì)數(shù)相乘的形式到質(zhì)數(shù)相加的形式，再到加乘混合的形式。在學(xué)習(xí)活動中，探究的路徑從單一到多元，思維的方向從定向到發(fā)散。更為可喜的是，不少學(xué)生受此啟發(fā)還聯(lián)想到新的猜想：數(shù)的分解還有其他形式嗎？由此，他們的創(chuàng)新意識得以喚醒、探索興趣得以激發(fā)。3.基于延展結(jié)構(gòu)融合模式，以“起步—延展—融合”為教學(xué)路徑，貫通數(shù)學(xué)思想經(jīng)驗就是從已經(jīng)發(fā)生的事件中獲取的信息，它是認(rèn)識的初級階段，在學(xué)習(xí)活動中有著無法替代的作用。杜威就曾提出：“教育就是經(jīng)驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經(jīng)驗的意義，又能提高指導(dǎo)后來經(jīng)驗進(jìn)程的能力。”兒童的認(rèn)知過程離不開經(jīng)驗的積累，在數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)融合的過程中，教師以例題或習(xí)題中習(xí)得的經(jīng)驗為起步，借助教材中數(shù)學(xué)文化資源的延展功能，通過遷移與變式對學(xué)生已有的經(jīng)驗加以豐富，進(jìn)而在內(nèi)化與重構(gòu)中實現(xiàn)新舊經(jīng)驗的有效融合。比如，關(guān)于平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)方法，在現(xiàn)行人教版、蘇教版教材中，例題采用的都是“割補法”，即把平行四邊形沿著高剪開后，補成一個面積相等的長方形，但在推導(dǎo)三角形、梯形的面積計算公式時，采用的卻是“倍拼法”，即把兩個完全相同三角形（或梯形）拼成一個平行四邊形。雖然都是把新知轉(zhuǎn)化為已知，但轉(zhuǎn)化路徑卻完全不同。平行四邊形、三角形和梯形編排在同一個單元，為什么采用的教學(xué)方法卻不一樣呢？究其原因，如果三種圖形轉(zhuǎn)化時都采用“倍拼法”，則兩個完全相同的平行四邊形拼起來后仍然是平行四邊形，無法將新知轉(zhuǎn)化為舊知；如果都采用“割補法”，則把三角形、梯形沿著高剪開后，很難拼成一個等積的長方形。如何才能讓學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化思想的一致性呢？教材編排的數(shù)學(xué)文化資源“半廣以乘正從”為解決這一問題帶來了啟發(fā)（如圖3）。為此，教師基于延展結(jié)構(gòu)融合模式，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化資源的延展功能，以“起步—延展—融合”為教學(xué)路徑，開展這樣的教學(xué)活動：起步階段，在學(xué)生學(xué)習(xí)完例題的基礎(chǔ)上，通過提問“這樣的方法正確嗎？”引導(dǎo)學(xué)生展開推理活動，認(rèn)識到“半廣以乘正從”方法的正確性與合理性。延展階段，再次追問“教材中呈現(xiàn)的是等腰三角形，對于其他類型的三角形是否也可行呢？”由此引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，探究“半廣以乘正從”方法的普適性。融合階段，通過反問“這樣的方法可以推導(dǎo)出平行四邊形、梯形的面積計算方法嗎？”進(jìn)而實現(xiàn)“以盈補虛”思想的貫通（如圖4）。4.基于提升結(jié)構(gòu)融合模式，以“追問—思辨—提升”為教學(xué)路徑，培養(yǎng)理性精神理性精神是數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，也是數(shù)學(xué)文化的精髓所在。《2022版課標(biāo)》指出，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中“發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神”[8]。在學(xué)習(xí)用方程解決問題時，教材編排了關(guān)于方程的數(shù)學(xué)發(fā)展史，我國古代數(shù)學(xué)家在這方面的貢獻(xiàn)也不容小覷（如圖5）。為了彰顯數(shù)學(xué)文化的力量，教師采用提升結(jié)構(gòu)融合模式，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化資源的提升功能，以“追問—思辨—提升”的教學(xué)路徑實施教學(xué)。當(dāng)學(xué)生讀完材料之后，教師追問：表示未知數(shù)時，我國古代數(shù)學(xué)家用的是