2.3對數函數2．3.1對數1．下列指數式與對數式的互化中，正確的個數是__________．①100＝1與lg1＝0；②27－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)與log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)；③log39＝2與9eq\f(1,2)＝3；④log55＝1與51＝5；⑤lnx＝2與x2＝e.2．(1)已知logxeq\f(1,16)＝－4，則x＝__________；(2)若5lgx＝25，則x＝__________.3．式子logaeq\r(n,a)＋logaeq\f(1,an)＋logaeq\f(1,\r(n,a))(a＞0且a≠1)的化簡結果是__________．4．方程9x－6·3x－7＝0的解是__________．5．(1)4log23＝__________；(2)log3264＝__________.6．求下列各式的值：(1)log26－log23；(2)lg5＋lg2；(3)log23·log27125·log58.課堂鞏固1．有下列說法：①零和負數沒有對數；②任何一個指數式都可以化成對數式；③以10為底的對數叫做常用對數；④3log3(－5)＝－5成立．其中正確的個數為__________．2．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,3x，x≤0，))則f(f(eq\f(1,9)))的值是__________．3．下列結論中，正確的序號是__________．①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③5log5eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；④若logaM＋N＝b，則M＋N＝ab(a>0且a≠1)；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，則M＝N.4．(1)已知log23＝a，log25＝b，則log2eq\f(9,5)＝__________(用a，b表示)．(2)已知log23＝a，log37＝b，則log1456＝__________(用a，b表示)．5．(2008重慶高考，理13)若a＞0，aeq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，則logeq\f(2,3)a＝__________.6．(易錯題)對于a>0且a≠1，下列說法中，正確的序號為__________．①若M＝N，則logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，則M＝N；③若logaM2＝logaN2，則M＝N；④若M＝N，則logaM2＝logaN2.7．求下列各式的值：(1)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；(2)8eq\f(1,3)－log23；(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2×lg5.8．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lgeq\r(45)的值．1．有以下四個結論：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，則x＝100；④若e＝lnx，則x＝e2.其中正確的序號是__________．2．已知a>0且a≠1，則下列等式中正確的個數是__________．①loga(M＋N)＝logaM＋logaN(M>0，N>0)；②loga(M－N)＝logaM－logaN(M>0，N>0)；③eq\f(logaM,logaN)＝logaeq\f(M,N)(M>0，N>0)；④logaM－logaN＝logaeq\f(M,N)(M>0，N>0)．3．(1)若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，則x＝__________.(2)設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x∈(－∞，1]，,log81x,x∈(1，＋∞)，))則滿足f(x)＝\f(1,4)的x值為__________．4.已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，那么eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝__________.5．已知logeq\f(1,2)(log2x)＝logeq\f(1,3)(log3y)＝1，則x，y的大小關系是__________．6．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，則a2m－n＝__________.(2)已知f(x6)＝log2x，那么f(8)的值為__________．7．已知eq\f(logm7,logm56)＝a，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，則a＋b＝__________，7eq\f(1,a)＝__________.8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2444)的值等于__________．9．(1)式子2(1＋eq\f(1,2)log25)的值為__________．(2)lg5·lg8000＋(lg2eq\r(3))2＋lg0.06－lg6＝________.(3)若2a＝5b＝10，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝__________.(4)lg4＋lg9＋2eq\r((lg6)2－2lg6＋1)＝________.(5)2lg5＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋lg22＝__________.(6)log2eq\f(1,25)·log38·logeq\f(1,5)27＝__________.10．已知二次函數f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．11．(易錯題)(1)已知log89＝a，log25＝b，試用a，b表示lg3；(2)已知log32＝a,3b＝5，用a、b表示log3eq\r(30)；(3)已知log189＝a,18b＝5，則用a、b表示log3645.12．2008年我國國民生產總值為a億元，如果年平均增長8%，那么經過多少年后國民生產總值是2008年的2倍？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精確到1年)答案2．3對數函數2．3.1對數課前預習1．3∵log39＝2?32＝9,9eq\f(1,2)＝3?log93＝eq\f(1,2)，∴③不正確；∵lnx＝2?e2＝x，x2＝e?logxe＝2，∴⑤不正確；①②④都正確．2．(1)2(2)100(1)將已知化為指數式得x－4＝eq\f(1,16)，∴x4＝16＝24.又x＞0且x≠1，∴x＝2.(2)∵5lgx＝25＝52，∴lgx＝2.∴x＝102＝100.3．－n原式＝logaaeq\f(1,n)＋logaa－n＋logaa－eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)logaa－nlogaa－eq\f(1,n)logaa＝eq\f(1,n)－n－eq\f(1,n)＝－n.4．log379x－6·3x－7＝0?(3x)2－6·3x－7＝0，令t＝3x＞0，則有t2－6t－7＝0，解得t＝7(t＝－1＜0舍去)，∴3x＝7.∴x＝log37為原方程的解．5．(1)9(2)eq\f(6,5)(1)4log23＝22log23＝2log232＝32＝9.(或4log23＝4log2232＝4log49＝9)(2)log3264＝eq\f(log264,log232)＝eq\f(6,5)(或log3264＝eq\f(lg64,lg32)＝eq\f(6lg2,5lg2)＝eq\f(6,5))．6．解：(1)log26－log23＝log2eq\f(6,3)＝log22＝1；(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1；(3)log23·log27125·log58＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg125,lg27)×eq\f(lg8,lg5)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(3lg5,3lg3)×eq\f(3lg2,lg5)＝3.課堂鞏固1．2①③正確；②錯誤，如(－1)2＝1，不能寫成對數式；④錯誤，因為log3(－5)無意義．2.eq\f(1,9)∵eq\f(1,9)＞0，∴f(eq\f(1,9))＝log3eq\f(1,9)＝log33－2＝－2，∵－2＜0，∴f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).∴f(f(eq\f(1,9)))＝f(－2)＝eq\f(1,9).3．③⑤由對數的運算性質知①②錯；由對數恒等式知③正確；當loga(M＋N)＝b時，有M＋N＝ab，∴④錯；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即log2eq\f(M,N)＝log3eq\f(M,N)，上式只有當eq\f(M,N)＝1，即M＝N時成立，∴⑤正確．4．(1)2a－b(2)eq\f(3＋ab,1＋ab)(1)log2eq\f(9,5)＝log29－log25＝log232－log25＝2a－b.(2)法一：由log23＝a，log37＝b，得log23·log37＝ab，∴eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg7,lg3)＝eq\f(lg7,lg2)＝log27＝ab.∴log1456＝eq\f(log256,log214)＝eq\f(log2(7×8),log2(2×7))＝eq\f(log27＋log28,log27＋log22)＝eq\f(ab＋3,ab＋1).法二：∵log23＝a，∴log32＝eq\f(1,log23)＝eq\f(1,a).又log37＝b，∴log1456＝eq\f(log356,log314)＝eq\f(log37＋log38,log37＋log32)＝eq\f(b＋3\f(1,a),b＋\f(1,a))＝eq\f(ab＋3,ab＋1).5．3法一：∵a＞0，aeq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，∴logaeq\f(4,9)＝eq\f(2,3).∵logaeq\f(4,9)＝loga(eq\f(2,3))2＝2logaeq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，∴logaeq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∴logeq\f(2,3)a＝eq\f(1,loga\f(2,3))＝3.法二：∵aeq\f(2,3)＝eq\f(4,9)＝(eq\f(2,3))2，∴logeq\f(2,3)aeq\f(2,3)＝logeq\f(2,3)(eq\f(2,3))2＝2.∴eq\f(2,3)logeq\f(2,3)a＝2.∴logeq\f(2,3)a＝3.6．②在①中，當M＝N≤0時，logaM與logaN均無意義，因此logaM＝logaN不成立；在②中，當logaM＝logaN時，必有M>0，N>0，且M＝N，∴M＝N成立；在③中，當logaM2＝logaN2時，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2時，也有logaM2＝logaN2，但M≠N；在④中，若M＝N＝0，則logaM2與logaN2均無意義，因此logaM2＝logaN2不成立．∴只有②正確．點評：應用對數的定義及性質，都要注意只有當式子中所有的對數符號都有意義時，等式才成立，所以在用公式前要特別注意它成立的前提條件，如lgMN＝lgM＋lgN，只有當M>0，N>0時成立，若M<0，N<0，則MN>0，此時lgMN有意義，但lgM與lgN均無意義，∴lgMN＝lgM＋lgN就不成立．此類題看起來簡單，其實做好不易，因為只有每小題都判斷準確，才能做對答案，若稍微馬虎就會出錯，因此要切實打牢基礎，把知識學透學好．7.解：(1)法一：原式＝eq\f(1,2)(log27－log248)＋log24＋log23－eq\f(1,2)log26－eq\f(1,2)log27＝－eq\f(1,2)log2(16×3)＋2＋log23－eq\f(1,2)log2(2×3)＝－eq\f(1,2)log216－eq\f(1,2)log23＋2＋log23－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)log23＝－eq\f(1,2)×4＋2－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).法二：原式＝log2(eq\r(\f(7,48))×12×eq\f(1,\r(42)))＝log2eq\f(\r(7)×12×1,4\r(3)×\r(7)×\r(6))＝log2eq\f(1,\r(2))＝log22－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).(2)原式＝(23)(eq\f(1,3)－log23)＝21－3log23＝21－log227＝eq\f(2,2log227)＝eq\f(2,27).(3)法一：(運用立方和公式)原式＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2×lg5＋lg25)＋3lg2×lg5＝lg22－lg2×lg5＋lg25＋3lg2×lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.法二：(由lg2＋lg5＝1，得lg2＝1－lg5，再用兩數差的立方公式)原式＝(1－lg5)3＋(lg5)3＋3(1－lg5)lg5＝1－3lg5＋3lg25－lg35＋lg35＋3lg5－3lg25＝1.8．解：法一：lgeq\r(45)＝eq\f(1,2)lg45＝eq\f(1,2)lgeq\f(90,2)＝eq\f(1,2)(lg9＋lg10－lg2)＝eq\f(1,2)(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)lg2＝0.4771＋0.5－eq\f(1,2)×0.3010＝0.8266.法二：lgeq\r(45)＝eq\f(1,2)lg45＝eq\f(1,2)(lg5＋lg9)＝eq\f(1,2)(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)lg2＝0.8266.法三：設lgeq\r(45)＝x，即eq\f(1,2)lg45＝x，∴lg45＝2x.∴102x＝45.∵lg2＝1－lg5＝0.3010，∴lg5＝0.6990.∴100.6990＝5.①又lg3＝0.4771，∴100.4771＝3.∴(100.4771)2＝32＝9.②由①×②得100.6990×102×0.4771＝5×9＝45＝102x，∴0.6990＋2×0.4771＝2x.∴x＝0.8266.課后檢測1．①②①lg(lg10)＝lg1＝0，②ln(lne)＝ln1＝0，∴①②正確；∵10＝lgx，∴x＝1010，∴③不正確；∵lnx＝e，∴x＝ee.∴④不正確．2．1對比對數的運算性質知①②③錯，④正確．3．(1)eq\f(1,25)(2)3(1)∵log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝eq\f(lg\f(1,3),lg5)×eq\f(lg6,lg3)×eq\f(lgx,lg6)＝2，即－eq\f(lgx,lg5)＝2，∴lgx＝－2lg5＝lg5－2＝lgeq\f(1,25).∴x＝eq\f(1,25).(或由－eq\f(lgx,lg5)＝2，得－log5x＝2，即log5x＝－2，∴x＝5－2＝eq\f(1,25))．(2)當x≤1時，f(x)＝2－x＝eq\f(1,4)＝2－2，∴x＝2與x≤1矛盾(舍去)；當x＞1時，f(x)＝log81x＝eq\f(1,4)，∴x＝81eq\f(1,4)＝(34)eq\f(1,4)＝3，符合x＞1，∴x＝3.4．1方法一：用指數解．由題意11.2＝1000eq\f(1,a)，0.0112＝1000eq\f(1,b)，∴兩式相除得1000eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(11.2,0.0112)＝1000.∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝1.方法二：用對數解．由題意，得a×lg11.2＝3，b×lg0.0112＝3，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)(lg11.2－lg0.0112)＝1.方法三：綜合法解．∵11.2a＝1000,0.0112b＝1000，∴a＝log11.21000，b＝log0.01121000.∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(1,log11.21000)－eq\f(1,log0.01121000)＝log100011.2－log10000.0112＝log1000eq\f(11.2,0.0112)＝log10001000＝1.5．x<y∵logeq\f(1,2)(log2x)＝1，∴log2x＝eq\f(1,2)，x＝eq\r(2).又logeq\f(1,3)(log3y)＝1，∴log3y＝eq\f(1,3).∴y＝eq\r(3,3).∵eq\r(2)＝eq\r(6,23)＝eq\r(6,8)<eq\r(6,9)＝eq\r(6,32)＝eq\r(3,3)，∴x<y.6．(1)eq\f(4,3)(2)eq\f(1,2)(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.∴a2m－n＝eq\f(a2m,an)＝eq\f((am)2,an)＝eq\f(22,3)＝eq\f(4,3).(2)法一：設t＝x6，則x＝teq\f(1,6)，∴f(t)＝log2teq\f(1,6).∴f(8)＝log28eq\f(1,6)＝log22eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).法二：∵8＝23＝(eq\r(2))6，∴f(8)＝f((eq\r(2))6)＝log2eq\r(2)＝eq\f(1,2)(即令已知中的x＝eq\r(2))．7．156由換底公式得eq\f(logm7,logm56)＝log567＝a，b＝eq\f(logn8,logn56)＝log568，∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.∵log567＝a，∴eq\f(1,a)＝log756.∴7eq\f(1,a)＝7log756＝56.8．2009∵f(3x)＝4xlog23＋233.∴f(3x)＝4log23x＋233，∴f(x)＝4log2x＋233.∴f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，令n＝444，則f(2444)＝4×444＋233＝2009.9．(1)2eq\r(5)(2)1(3)1(4)2(5)3(6)18(1)法一：原式＝21＋log2eq\r(5)＝2log22＋log2eq\r(5)＝2log22eq\r(5)＝2eq\r(5).法二：原式＝21·2eq\f(1,2)log25＝2·2log2eq\r(5)＝2eq\r(5).(2)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.(3)法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log210)＋eq\f(1,log510)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.法二：對已知條件的各邊取常用對數，得alg2＝blg5＝1，∴eq\f(1,a)＝lg2，eq\f(1,b)＝lg5.∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(4)原式＝2lg2＋2lg3＋2eq\r((lg6－1)2)＝2(lg2＋lg3)＋2(1－lg6)＝2lg6＋2－2lg6＝2.(5)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg22＝lg25＋2lg5·lg2＋lg22＋2(lg5＋lg2)＝(lg5＋lg2)2＋2lg10＝lg210＋2×1＝1＋2＝3.(6)原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg8,lg3)·eq\f(lg27,lg\f(1,5))＝eq\f(2lg\f(1,5),lg2)·eq\f(3lg2,lg3)·eq\f(3lg3,lg\f(1,5))＝18.10．解：∵二次函數f(x)有最大值，∴lga<0.又當x＝－eq\f(1,lga)時，f(x)有最大值，且f(x)max＝eq\f(16lg2a－4,4lga)＝4lga－eq\f(1,lga)＝3，∴4lg2a－3lga－1＝0.令t＝lga，則方程為4t2－3t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,4)，即lga＝1或lga＝－eq\f(1,4).∵lga<0，∴lga＝－eq\f(1,4).∴a＝10－eq\f(1,4).11．解：(1)方法一：∵log89＝log2332＝eq\f(2,3)log23＝a，∴log23＝eq\f(3,2)a.∴lg3＝eq\f(log23,log210)＝eq\f(log23,1＋log25)＝eq\f(\f(3,2)a,1＋