Page19寧夏回族自治區石嘴山市2024-2025學年高三數學上學期其次次月考（理）試題第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數滿意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由求解復數【詳解】由，得，故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由得：，即，又，∴.故選：C.3.已知隨機變量聽從正態分布，若，則為A.0.7 B.0.5 C.0.4 D.0.35【答案】C【解析】【分析】由已知及正態分布的對稱性可得，再結合對稱性可得：，問題得解．【詳解】因為，所以所以故選C【點睛】本題主要考查了正態分布的對稱性，還考查了轉化思想，屬于中檔題．4.如圖是一邊長為8的正方形苗圃圖案，中間黑色大圓與正方形的內切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍.若在正方形圖案上隨機取一點，則該點取自黑色區域的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設黑色小圓的半徑為，則黑色大圓的半徑為，由題意求得，進一步求出黑色區域的面積，由測度比是面積比得答案．【詳解】解：設黑色小圓的半徑為，則黑色大圓的半徑為，由題意可知，，即．圖中黑色區域的面積為，又正方形的面積為64．在正方形圖案上隨機取一點，則該點取自黑色區域的概率為．故選：．【點睛】本題考查幾何概型的概率的求法，考查數形結合的解題思想方法，屬于中檔題．5.若二項式的綻開式中全部項的二項式系數和為128，則該二項式綻開式中含有項的系數為（）A.1344 B.672 C.336 D.168【答案】B【解析】【分析】先求出，再寫出二項式綻開式的通項，令的指數等于5即可求解.【詳解】因為二項式的綻開式中全部項的二項式系數和為128所以，解得，所以的綻開式通項為：，令可得，所以該二項式綻開式中含有項的系數為.故選：B.6.已知函數(且，)的一個極值點為2，則的最小值為（）A. B.C. D.7【答案】B【解析】【分析】求出函數的導數，由給定極值點可得a與b的關系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對求導得：，因函數的一個極值點為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側鄰近的區域值一正一負，2是函數的一個極值點，則有，又，，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B7.已知數列是公比為的等比數列，若，且是與的等差中項，則的值是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用是等比數列，將已知條件用基本量表示，化簡求值即可【詳解】解析：數列是公比為的等比數列，由可得：，即，代入，得，，，解得：或，故選：D．8.函數的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過函數的奇偶性，，，可分別解除D，C，B，即得解【詳解】因為，所以是奇函數，解除D；當時，，．由，可解除C；，解除B故選：A9.凸n多邊形有f(n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的條數f(n＋1)為A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋nC.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2【答案】C【解析】【詳解】試題分析：凸多邊形邊數增加1條，即增加一個頂點，自這一頂點向其它不相鄰的k-2個頂點可引k-2條對角線，原來一條邊變為對角線，所以共增加k-1條，故選C．考點：本題主要考查數學歸納法的概念及方法步驟，多邊形．點評：簡潔題，留意仔細分析圖形的改變．10.以原點為圓心的圓全部都在平面區域內，則圓的面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】已知原點為圓心的圓全部在區域內，畫出可行域，發覺只有圓與直線相切時，圓的半徑最大，從而求解．【詳解】解：據條件畫出線性可行域，結合圖形，要使得以原點為圓心的圓的半徑最大，依據點到直線的距離公式可知，原點到直線的距離為：，以原點為圓心的圓的半徑大于時，由所畫圖中的陰影部分的可行域可知此時圓有部分面積不在此可行域內，只有圓與直線相切時，圓的半徑最大，即，此時圓的最大面積為．故選：．11.已知，函數在上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得,，，，．故A正確．考點：三角函數單調性．12.已知函數（其中是自然對數的底數），若關于的方程恰有三個不等實根，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，則依據題意得必有兩個不相等的實根，不妨設，故，再結合的圖象可得，，，進而，再構造函數，探討函數的最值即可得答案.【詳解】由題意設，依據方程恰有三個不等實根，即必有兩個不相等的實根，不妨設，則，作出的圖象，函數與三個不等實根，且，那么，可得，，所以，構造新函數當時，在單調遞減；當時，在單調遞增；∴當時，取得最小值為，即的最小值為；故選：A【點睛】本題考查復合函數與分段函數的應用，同時考查導數的綜合應用及最值問題，應用了數形結合的思想及轉化構造的方法，是難題.本題解題的關鍵在于設，進而，，再結合的圖像可得，，，將問題轉化為求函數的最值問題.第II卷（選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則實數的值為______.【答案】##0.75【解析】【分析】先用向量的坐標運算法則求出，再依據向量平行所滿意的公式進行求解.【詳解】，由于，所以，解得：故答案為：14.若，則=_____．【答案】【解析】【分析】由已知等式，應用二倍角余弦公式、兩角差正弦公式并整理得，進而可得或，即可求，留意驗證是否符合題設.【詳解】，則有，，即，或，平方易得或，或，而有不合題意，故舍去.故答案為：.15.4名同學到3個小區參與垃圾分類宣揚活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少支配1名同學，則不同的支配方法共有__________種.【答案】【解析】【分析】依據題意，有且只有2名同學在同一個小區，利用先選后排的思想，結合排列組合和乘法計數原理得解.【詳解】4名同學到3個小區參與垃圾分類宣揚活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少支配1名同學先取2名同學看作一組，選法有：現在可看成是3組同學安排到3個小區，分法有：依據分步乘法原理，可得不同的支配方法種故答案為：.【點睛】本題主要考查了計數原理的綜合應用，解題關鍵是駕馭分步乘法原理和捆綁法的運用，考查了分析實力和計算實力，屬于中檔題.16.在中，角??的對邊分別為??，點是的重心，且，若，，則______.【答案】或##或【解析】【分析】依據，利用二倍角公式解得，得到或，再由點是的重心，得到，利用平方解得邊c，再利用余弦定理求解.【詳解】因為，所以，即，解得，因為，所以或，因為點是的重心，所以，則，因為，，所以，當時，，此時，解得；當時，，此時，解得；故答案為：或三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知向量.（1）求函數的最小正周期；（2）在中，，若，求的周長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平面對量的數量積公式得到關于三角函數的表達式，然后利用三角恒等變換化簡為一個正弦型函數，最終利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的結論求出A，然后利用余弦定理得到關于b，c的一個等式，再依據條件求解b，c，從而可得三角形的周長.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）由題意可得，又，則，所以，故.設角的對邊分別為，則.所以，又，所以，故，解得，則，所以的周長為.【點睛】本題主要考查三角函數的計算化簡和性質，也考查了余弦定理的應用，留意熟記公式，仔細計算，屬中檔題.18.正項數列的前和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）、依據可知是等差數列，求出數列的通項公式，進而求出的表達式；依據時，計算的表達式，驗證當時是否符合，寫出數列的通項公式；（2）、將數列的通項公式代入中，得到數列的通項公式，再利用分組求和求數列的前和.【小問1詳解】，數列是以1為公差的等差數列，，，當時，，經檢驗時符合上式，數列的通項公式.【小問2詳解】由（1）可知19.某一般中學為了解本校高三年級學生數學學習狀況，對一模考試數學成果進行分析，從中抽取了名學生的成果作為樣本進行統計（該校全體學生的成果均在），按下列分組，，，，，，，，作出頻率分布直方圖，如圖；樣本中分數在內的全部數據的莖葉圖如圖：依據往年錄用數據劃出預錄分數線，分數區間與可能被錄用院校層次如表．（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）依據樣本估計總體的思想，以事務發生的頻率作為概率，若在該校高三年級學生中任取人，求此人都不能錄用為專科的概率；（3）在選取的樣本中，從可能錄用為自招和專科兩個層次的學生中隨機抽取名學生進行調研，用表示所抽取的名學生中為自招的人數，求隨機變量的分布列和數學期望．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）由圖知分數在的學生出名，由圖知，頻率為，由此能求出的值及頻率分布直方圖中的值；（2）能被專科院校錄用的人數為人，抽取的人中，成果能被專科院校錄用的頻率是，從而從該校高三年級學生中任取人能被專科院校錄用的概率為，記該校高三年級學生中任取人，都不能被專科院校錄用的事務為，由此可求出此人都不能錄用為專科的概率；（3）選取的樣本中能被專科院校錄用的人數為人，成果能過自招線人數為人，隨機變量的全部可能取值為，分別求出隨機變量的分布列和數學期望．【詳解】（1）由圖知分數在的學生出名，又由圖知，頻率為：，則：，（2）能被專科院校錄用的人數為：人抽取的人中，成果能被專科院校錄用的頻率是：從該校高三年級學生中任取人能被專科院校錄用的概率為記該校高三年級學生中任取人，都不能被專科院校錄用的事務為則此人都不能錄用為專科的概率：（3）選取的樣本中能被專科院校錄用的人數為人成果能過自招線人數為：人，又隨機變量的全部可能取值為∴；；；隨機變量的分布列為：【點睛】本題考查頻率、頻數、離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查頻率分布直方圖、對立事務概率計算、排列組合等基礎學問，考查運算求解實力，屬于中檔題．20.某地開發一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周．已有兩條相互垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A，B．現規劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點P，Q，所對的圓心角為．記∠PCA＝（道路寬度均忽視不計）．（1）若，求QN的長度；（2）求新路總長度的最小值．【答案】（1）1千米；（2）．【解析】【分析】（1）連接CB，CN，CM，可得，OM，ON，PM，QN均與圓C相切，通過圓心角為可求出∠QCB＝，從而得到四邊形BCQN是正方形，進而可得QN＝CQ＝1，（2）因為∠PCA＝，所以∠MCP＝，∠NCQ＝，利用弧長公式可求得MP＝，，NQ＝，由于，所以（，），設新路長為，則，然后結合基本不等式進行計算即可得解【詳解】（1）連接CB，CN，CM，因為OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均與圓C相切所以CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，所以CB⊥CA因為∠PCA＝，∠PCQ＝，所以∠QCB＝，此時四邊形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1，答：QN的長度為1千米；（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，則MP＝，，NQ＝設新路長為，其中（，），即∴，，當時取“＝”，答：新路總長度的最小值為．【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查三角函數在實際生活中的應用，考查基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題．21.已知函數．（1）推斷的單調性，并比較與的大小；（2）若函數，其中，推斷的零點的個數，并說明理由．參考數據：．【答案】（1）函數在上單調遞增；在上單調遞減；；（2）有且僅有1個零點；答案見解析．【解析】【分析】（1）求出，由，求出其單調區間，由函數在上單調遞減，可得，即可得答案.

（2）由題意可得，當時可得出的單調性，依據零點存在原理可推斷得出結論；當，先得出的單調性，得出函數的極值，分析其極值的符號，再依據零點存在原理可推斷得出結論；【詳解】（1）已知的定義域為，當時，，所以函數在上單調遞增；當時，，所以函數在上單調遞減．因為函數在上單調遞減，所以：，即，所以，即，所以．（2），所以：．當時，，所以在上單調遞增，由，知當時，存在，即函數有且僅有1個零點．當時，，留意到，所以：時，在上單調遞增；時，在上單調遞減：時，上單調遞增．所以在上有微小值，有極大值．一方面，留意到，所以存在唯一的．另一方面，設，則：，故在上單調遞增，所以：，所以在上恒小于0，在上恒小于0，即在上不存在零點．綜上所述：當時，有且僅有1個零點．【點睛】關鍵點睛：本題考查求函數的單調區間和利用單調性比較大小以探討函數零點的個數問題，解