章末復習課第五章一元函數的導數及其應用內容索引知識網絡考點突破真題體驗1知識網絡PARTONE2考點突破PARTTWO一、導數幾何意義的應用1.導數的幾何意義，作為數形結合的橋梁，成為最近幾年高考的高頻考點，主要考查切線方程及切點，與切線平行垂直問題，常結合函數的切線問題轉化為點到直線的距離，平行線間的距離問題，進而研究距離最值，難度中低檔.2.通過求切線方程的有關問題，培養數學運算，數學抽象等核心素養.例1

設函數f(x)＝

x3＋ax2－9x－1(a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10x＋y＝6平行.(1)求a的值；解f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由題意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去).故a＝1.(2)求f(x)在x＝3處的切線方程.解由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.反思感悟利用導數求切線方程時關鍵是找到切點，若切點未知需設出.常見的類型有兩種：一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點(x0，y0)的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，若不是切點可先設切點為Q(x1，y1)，由

＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，轉化為第一種類型.反思感悟利用導數求切線方程時關鍵是找到切點，若切點未知需設出.常見的類型有兩種：一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點(x0，y0)的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，若不是切點可先設切點為Q(x1，y1)，由

＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，轉化為第一種類型.解析設f(x)＝x3＋ax＋1，由題意知f(2)＝3，則a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又點(2,3)在直線y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.跟蹤訓練1

已知直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b＝______.－15二、函數的單調性、極值、最值問題1.利用導數研究函數的性質，以含指數函數、對數函數、三次有理函數為載體，研究函數的單調性、極值、最值，并能解決有關的問題.是最近幾年高考的重點內容，難度中高檔.2.通過求函數的單調性、極值、最值問題，培養邏輯推理、直觀想象及數學運算等核心素養.(1)當m＝－2時，求函數f(x)的單調區間和極值；當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以f(x)的單調遞增區間為(2，＋∞)，單調遞減區間為(0,2)，極小值為f(2)＝ln2＋1，無極大值.(2)若函數f(x)在區間[1，e]上取得最小值4，求m的值.①當m≥－1時，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調遞增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不滿足m≥－1，故舍去.②當－e<m<－1時，x∈(1，－m)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，x∈(－m，e)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不滿足－e<m<－1，故舍去.③當m≤－e時，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調遞減，①當m≥－1時，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調遞增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不滿足m≥－1，故舍去.②當－e<m<－1時，x∈(1，－m)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，x∈(－m，e)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不滿足－e<m<－1，故舍去.③當m≤－e時，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調遞減，解得m＝－3e，滿足m≤－e.綜上m＝－3e.反思感悟(1)極值和最值是兩個迥然不同的概念，前者是函數的“局部”性質，而后者是函數的“整體”性質.另外，函數有極值未必有最值，反之亦然.(2)判斷函數“極值”是否存在時，務必把握以下原則：①確定函數f(x)的定義域；②解方程f′(x)＝0的根；③檢驗f′(x)＝0的根的兩側f′(x)的符號：若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值.(1)若f(x)在(0，＋∞)上存在單調遞減區間，求m的取值范圍；解f′(x)＝x2－2x－m，由題意可知，f′(x)＝x2－2x－m<0在(0，＋∞)上有解，所以m>x2－2x，則m>－1，即m的取值范圍為(－1，＋∞).(2)若x＝－1是函數的極值點，求函數f(x)在[0,5]上的最小值.解因為f′(－1)＝1＋2－m＝0，所以m＝3.所以f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.所以當x∈(0,3)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x∈(3,5)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增.所以函數f(x)在[0,5]上的最小值為f(3)＝9－9－9＝－9.三、導數在實際問題中的應用1.以函數為背景的實際問題給高考數學提供了廣闊的空間.導數是研究函數性質以及解決實際問題中的最大、最小值的強有力的工具，

多以選擇題和填空題的形式出現，難度中低檔.2.通過利用導數解決實際問題，培養數學建模，提升邏輯推理及數學運算等核心素養.例3某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；解因為蓄水池側面的建造成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本為160πr2元，所以蓄水池的總建造成本為(200πrh＋160πr2)元，(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去).當r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上單調遞增；由此可知，V(r)在r＝5處取得極大值也為最大值，此時h＝8，即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大.反思感悟(1)應用導數解決實際問題的關鍵是認真分析題意，建立函數模型.由于是實際問題，要注意根據問題的實際情況，確定函數的定義域.(2)根據所建立的函數模型，用導數求最大、最小值.跟蹤訓練3不期而至的新冠肺炎疫情，牽動了億萬國人的心，全國各地紛紛捐贈物資馳援某市.有一批捐贈物資需要通過輪船沿長江運送至該市，已知該運送物資的輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知當速度為10海里/小時時，燃料費是6元/小時，而其他與速度無關的費用是96元/小時，問當輪船的速度是多少時，航行1海里所需的費用總和最小？解設速度為v海里/小時的燃料費是p元/小時，由題設的比例關系得p＝k·v3，其中k為比例系數.設船的速度為v海里/小時時航行1海里所需的總費用為y元，而每小時所需的總費用是(0.006v3＋96)元，令y′＝0，解得v＝20.因為當0<v<20時，y′<0；當v>20時，y′>0，所以當v＝20時，y取得最小值.故當輪船的速度為20海里/小時時，航行1海里所需費用總和最小.四、函數方程問題1.從近幾年高考題看，利用導數研究方程的根、函數的零點、證明不等式這些知識點常考到，一般出現在解答題中.其實質就是利用求導數的方法研究函數的性質及圖象，解決該類問題通常是構造一個函數，然后考查這個函數的單調性，結合給定的區間和函數在該區間端點的函數值使問題得以求解.一般出現在高考題解答題中，難度中高檔.2.通過解決函數方程問題，培養邏輯推理、直觀想象及數學運算等核心素養.例4

設函數f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的極值點；解f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，(2)若關于x的方程f(x)＝a有3個不同的實根，求實數a的取值范圍；解由(1)可知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示.要使直線y＝a與y＝f(x)的圖象有3個不同的交點，則方程f(x)＝a有3個不同的實根時，(3)已知當x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數k的取值范圍.解方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因為x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函數的性質得g(x)在(1，＋∞)上是單調遞增，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范圍為(－∞，－3].方法二直線y＝k(x－1)過定點(1,0)且f(1)＝0，曲線f(x)在點(1,0)處的切線斜率f′(1)＝－3，由(2)中草圖知，要使x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故實數k的取值范圍為(－∞，－3].反思感悟討論方程根的個數、研究函數圖象與x軸或某直線的交點個數、不等式恒成立問題的實質就是函數的單調性與函數極(最)值的應用.問題破解的方法是根據題目的要求，借助導數將函數的單調性與極(最)值列出，然后再借助單調性和極(最)值情況，畫出函數圖象的草圖，數形結合求解.解函數f(x)的定義域為{x|x≠a}.(1)當x＞a時，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上無零點.令g(x)＝ex(x－a)＋1，則g′(x)＝ex(x－a＋1).由g′(x)＝0得x＝a－1.當x＜a－1時，g′(x)＜0；當x＞a－1時，g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，a－1)上單調遞減，在(a－1，a)上單調遞增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.∴當a＝1時，g(a－1)＝0，則x＝a－1是f(x)的唯一零點；當a＜1時，g(a－1)＝1－ea－1＞0，則f(x)沒有零點；當a＞1時，g(a－1)＝1－ea－1＜0，則f(x)有兩個零點.3真題體驗PARTTHREE解析因為y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，1.(2019·全國Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xlnx在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1√123452.(2020·全國Ⅰ)函數f(x)＝x4－2x3的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1√12345解析f(1)＝1－2＝－1，切點坐標為(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切線的斜率為k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.112345123454.(2019·全國Ⅰ)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0,0)處的切線方程為________.y＝3x解析因為y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲線在點(0,0)處的切線的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切線方程為y＝3x.123455.(2019·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)討論f(x)的單調性；12345解f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).若a＝0，則f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增；12345(2)是否存在a，b，使得f(x)在區間[0,1]上的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.12345解滿足題設條件的a，b存在.理由如下①當a≤0時，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調遞增，所以f(x)在區間[0,1]上的最小值為f(0)＝b＝－1，最大值為f(1)＝2－a＋b＝1.解得a＝0，b＝－1，此時a，b滿足條件.②當a≥3