一、知識點

1、等差數列

(1)a,-a=d-,a=a.+(n-l)J；S=n0l+a,'=a,+―—J=An*2+Bn；

Hn++iHn"ni'/〃n2ni2

(2)ap+aq=ap+k+aq_k,p,q,keN

2、等比數列

,n

⑴a”+i=a,xq(qH0,q為常數)；a^+i=anxan+2；an=alxq-'；an=amxq"-'；

(2)—=—b2=acb=+4ac

ab

na\q=1),。禽=1)

⑶s"(")”])變形S-

\-q[\-q

(4)公比為4的等比數列，從中取出等距離的項組成一個新數列，仍是等比數列，其公比為""(加為等距離

的項數之差)；

r

(5)apxaq=ap+kxa(1_k,p,q,kEN

二、經典題型

(一)通項公式主要類型

標準定義法：

1>遞推式為%+]=*+d及%+]=<7*(d,夕為常數)。

(1)已知｛%｝滿足。計|+2,而且q=1,求/。【解析】等差數列定義，an=2n-l

n+2

(2)已知｛4｝滿足%+I=ga“，而且為=2,求【解析】等比數列定義，an=2-

疊加、疊乘法：

2、遞推式為%+|=an+/(”)或見用=anx/(〃)。

(1)已知｛%｝中，4==*+〃，求a“。

n~一幾+1

【解析】相鄰兩項系數相同且作差，使用“遞推”和“累加”求解。*=---------O

2

(2)已知｛a“｝是首項為1的正項數列，且(〃+1)4什]一〃。“=0,求明。

【解析】相鄰兩項系數相同且作商，使用“遞推”和“累乘”求解。a?=-o

n

待定系數法、構造法：

3、遞推式為%+]=pan+cj(p,q為常數)

數歹|J｛%｝中，%+i=3%—2,卬=2,求明。

[解析]an+l+x=3(a”_]+x)=>x=-1=>an+1-1=3(a“-1)=a”-1=(%-1)3”“，得解an=3"~'+1?

4、遞推式為=pan+an+b(p,a力為常數)(廣東考題以證明組合形式考查)

數列｛a“｝中，怎+]=2%=1,求明。

a=2a?+3n-l

【解析】<0々4=>a“+i一凡=2(%-%T)+3,令a-%,所以

值=2%+3〃-4

bn=2bn_x+3,用公式法，可得到么=3x2"—3na”+[—a.=3x2"—3,遞推累加,=3x2”-3〃一2。

5、遞推公式為%+|=pa?+p"(p為常數)

數歹|J｛七｝中，a“+i=2a*+2",ai=1,求。

【解析】3=4+1=>4=3+(〃—==〃X2"T

2〃2"一[2"一]20〃

6、遞推式為%+2=pan+]+q*(p+4=l)(廣東考題以證明組合形式考查)

數列｛4｝中，見“1=一3%+4a“_i，/=1,g=2，求明。

【解析】根據得到a.-a。整體等比、累加，從而得出a='】。

>p=1-4/,/lIl++In=-4(、%ri—%n-1/?)itn5

通項與求和的關系：

S],〃=1

7、已知S求a，即〃=<

憂-九,〃22,

(1)在數列｛a,J中，已知5“=3+2%,求a,：

【解析】“三步曲"：“”=1,”22,檢驗〃=1"。a“=—3X2"T(〃21)。

(二)主要求和類型

1、等差數列求和公式

設｛%｝是公比大于1的等比數列，S“為數列｛對｝的前“項和。已知S3=7,且％+3,3。2，%+4構成等

差數列。⑴求數列｛%｝的通項；⑵令a=也內向,〃=1,2,...,求數列物,｝的前〃項和小

4+%+%=722?

【解析】\'=>2=2=>%=—,?=2g=>—>b2+2q=7,所以

%+3+%+4=6%qq

q=2或g=g(舍)。a=ln的“+i=ln23"=3〃ln2(等差數列)，所以，=即勺』1112。

2、等比數列求和公式

已知實數列｛斯｝是等比數列，其中的=1，且%，。5+1，。6成等差數列。（1）求數列｛樂｝的通項公式；（2）

數列｛%｝的前n項和記為S?,證明5?<128（/1=1,2,3...）

【解析】q==64（g）xnS=128[1—（：）"]<128。

3、裂項法：常見的裂項：一!—=-一————=-（-一——）

n（n+1）nn+1幾（幾十k）knn+k

—―---/-+1-y/~n——---/=—(J12+k.—

i_i__________!______］規律：首尾項數相等、符號相反

〃(〃+1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

(1)求數歹U」一,」一,一一“..,一*1—的前〃項和。

1x32x43x5n(n+2)

°二11、3/+5〃

【解析】----)，S〃=—(1------------)=------------

〃n(n+2)2n〃+222〃+1〃+24(〃+1)(〃+2)

（2）求數列明=/1的和。【解析】a?=14〃+174上色=1（74/7+1-1）

V4^3+V4^+l44

4、錯位相減法求和（等差數列與等比數列相乘）

錯位相減經典題型的練習：

綜合題型分析:

⑴、在數列中，已知％=—1,且%川=2%+3〃-4。⑴求證：數列｛a,M—%+3｝是等比數列；（2）

求數列｛a,,｝的通項公式.

【解析】（1）4=2（2）%+]-*+3=2”|,遞推累加,a?=2"-'-3?+1?

552

⑵設數列｛%｝滿足：%=1,%=全。"+2=不明+1-鏟"，（〃=L2…）。⑴令a=a“+i-%,（〃=1,2...）,

求數列例｝的通項公式；（2）求｛%｝的前〃項和S“。

)0M+l

n

【解析】⑴b?=(-r；(2)an=3-2(-)-'^S?=3n-6+-

（3）設數列｛a“｝的前〃項和為S.=2a,2"。①求外,如；②證明：｛??+1-2%｝是等比數列；③求｛怎｝的

通項公式。

1

【解析】（1）。1=2,。2=6,%=16,%=40；（2）q=2；（3）an+]—2a“=2"=>an=（〃+1）2"o

（4）已知數列｛%｝中，/=5且a“=2a,i+2"—l（〃Z2,〃eN"）。（1）求出,%的值；（2）是否存在實數

4,使得數列為等差數列？若存在，求出見的值；若不存在，請說明理由。

I2"

【解析】（1）々=13,%=33；（2）2=-1

1、（S“求知,裂項法求和）已知正數數列｛%｝的前〃項和為S“，且對任意的正整數〃滿足2向=*+1。

（1）求數列｛*｝的通項公式；（2）設a,數列也,｝的前〃項和為紇，求證：<-o

%%+12

4S,,=（見+1）2

【解析】2后=%+ln{=%+i-%=2,q=ln%=2〃-1。

11

2〃+1）<——O

（2〃一1）（2〃+1）22〃一12n+12

2、（等差中項、S“求明的經典陷阱，錯位相減法求和）已知數列｛對｝中，

32

?1=1,。2=3,2%+|=%+2+%（〃€*）,嬲IJ也,｝的前”項和為S"，期1仇=一2也+1=-]S"（〃eN*）。

（1）求數列｛%｝與也“｝的通項公式。（2）若T“=幺+”+...+M,求T”的表達式。

仇b2bn

---3-,n-\,

（）時A=（2〃_1）3"2=T,=_2+（〃_I）3'T.

【解析】⑴an=2n-l,bn="；2“N2

（|r2,?>2b.3

3、已知數列｛a,,｝是公比q>1的等比數列，且％+%=40,%%=256,又bn=log2an.

（1）求數列｛〃｝的通項公式；

（2）若7；*一7；="且4=0.求證：對V〃EN*,〃之2有一〈乞―<二?

3i=2Tt4

4=8

解（1）解法1：?.?4+。2=40,a。=256,且q>l解得《---------2分

氏=32

2,,+|

二q=歿=4二an=a?』=8x"=2------------------------------4分

%

2n+1

bn=log2%=log22=2n+l-----------------------6分

【解法2：由6+〃2=40,a14=256,且q>1

a.=8aa,

；.q===4一-2分2+]-=log2a“+1-log2a“=108^^=1。824=2,—3分

a2=32aa?

{{

又A=log24=logz8=3,——4分.??｛2｝是以3為首項，2為公差的等差數列,5分

??bn=34-(?-1)x2=271+1：-------------------------6分]

(2)當〃22時，=么_|=2〃-1,

???力,=(，一)+((--(—2)+?一(73—乙)+(乙一工)+4

=伽7)+(2〃_3)+一.+5+3=("D(；T+3)=(“—1)6+])；---------8分

:當〃22時,1=__1__=if_L_n10分

Tn(H-1)(H+1)2(〃一1H+1J

13,115

+|.—12分??—l----

n+14H+1Jn〃+l446

.3Ifl1^315_1又上+1

>0

471+1J4263n〃+142\n1y4

i〃[3

即對V〃eN*,2,-<￥—<-.-----------------------------------14分

34

4、已知/（%）=—4+與，數列｛%｝的前〃項和為S“，點P”（a”,——匚）在曲線y=/（x）上（〃wN*）,且

Vx%+i

q=1,%>0。（1）求數列｛*｝的通項公式；（2）數列也J的前〃項和為7；,且7；滿足

"蓑=烏+16〃2_8〃—3,設定仇的值使得數列也｝是等差數列；（3）求證：S.>-（74/2+1

%見用2

【解析】(1)%=/J.；(2)7；=(4〃—3)((+〃-l)n仇=1=a=8〃—7；

一3

/、V4/?+1—J4.-31r.~八

(3)a>------------------------S>―(V4〃+1—1)

“22

且滿足%+（〃）為=工。（）求證：>是等差數列;

5、已知數列｛%｝的前n項和為S“2s“S.T=022,1

2S.,

(2)求明的表達式；(3)若/?〃=2(1-〃)%,(〃22)時，求證：/?；+/?；+...+

’1?

—,n=1

【解析】(1)-!........-=2,—=2；(2)an^r,；(3)勿=,，所以

S“S,iS,..T”2〃

2n(n-1)

111111

Z?2+bg+...+b：=-H—彳+…4<---------1----------F...4----------------1--<1

2232n21x22x3(n-l)nn

6、己知數列｛%｝是各項不為0的等差數列，公差為d,S“為其前”項和，且滿足4=S2,,_?neN",麴J物,｝

滿足么=―7；為數列物,｝的前〃項和。（1）求和T”；（2）若對任意的〃eN*,不等式

川

27；<“+8x（—1）"恒成立，求實數X的取值范圍；（3）是否存在正整數〃?,“（1<機<〃），使得成等

比數列？若存在，求出所有用，〃的值；若不存在,請說明理由。

解:(I)解法一:在a\=中,令n==2,

是隨n的增大而增大.

得｛『,,叱匕X33a(2分)n

Iaj=03.I(a>+a)=3a)+3a,???nul時2〃一費取得最小值一6.

解得ai=l,d=2,(3分)

.,?此時久需滿足久<-21.（9分）

:.an=2n-1.

綜合①，②可得人的取值范圍是4<-21.（10分）

又‘°ia.4.?一(2n-l)(2n?1)-2(2n-1-2n+1)'

（2.4兀=焉,北=舟，

M+d+…去rUn)若成等比數現劇（品）:+（舟），

即嬴缶7r品.⑴分）

解法二：；I%I是等差數列.=a*,

?L解法,由鬲2r舟用吟=三吟3>。.

.；.S2n.i■S+『T（2n-1）=（2n-l）a.（2分）

n即-2m?+4m+I>0,（12分）

31

由Sja?i，得=l）aM,；?1-整<刑<1+4.（13分）

又Ya.0O,/.a,?2n-l.Ma（s1,</s2.（3分）

（以求法同解法一）又mWN,且m>l,所以m=2,此時n=12.

（D）①當n為偶數時，要使不等式AF.<。+8?（-I尸恒成立.因此，當且僅當m=2,。=12時,數列17；｝中的力，兀，7；成等比

即需不等式人<9^3羽上?=2“+&+17恒成立.（6分）數列.（14分）

nn解法二:因為￡。a=—與*<4?

ora+J,Jo

6+—.

：2n+等號在n=2時取得.n

.;此時久需滿足2<25.（7分）故5~~i，f~A----14，即2m2-4m-1<0,

4m+4m+1o

②當n為奇數時,要使不等式AT,<n+8?（-1）"恒成立，即需不

等式2<心空加土。=2-&-15恒成立.（8分）???1-彖m<l+年（以下同上）,（13分）

nn

7、已知數列｛4｝、｛￡｝滿足q=2,%—l=a”（a“M—1）,bn=an-l,數列｛%｝的前〃項和為S“。（1）求數

H1

列也』的通項公式；（2）設7；=S2“—S“，求證：Tn+i>Tn;（3）求證：對任意的〃eN*有l+^WS*<]+〃

成立。

【解析】解⑴由么=氏一1得4=2+1代入%-1=。.（八一1）得么=（包+1）%

整理得"一"+1=〃也用，—1分：w0否則a“=1,與4=2矛盾

從而得」——-=1,-------3分?.?仿=%-1=1二數列｛-!-｝是首項為1,公差為1的等差數列

%b“b”

=n,即々=一4分

bnn

11

—T—S2n—S=1H------1------1-------b+----

=1+1+1+...+n2nn...±.11...1)

23n23n〃+1++2〃(1+2+3++n

111

---------1----------+??.--------6分

〃+1〃+22n

11+羨一（11

證法1：...，+「7；----------1-------------------1----------

〃+2〃+3〃+1幾+22〃

-----1------------------------------------->0

2〃+12〃+2幾+12〃+12〃+2(2〃+1)(2〃+2)

8分

11/.7；,-7；>—!—+—-----—=0

證法2：2〃+1<2〃+2---->-----+,

2〃+12〃+22〃+22“+2n+1

--------------------------------------------8分

--Tll+1>Tn.

(3)用數學歸納法證明:

①當〃=1時1+2=1+_L,S”=l+-,-+n=-+l,不等式成立;------9分

222222

②假設當〃=k(Zr>l,AeN*)時，不等式成立，即

k1

1+—WS,,〈一+k,那么當〃=火+1時.

222

,111,11,女11

sc戶=1+/…+/+…+而力5+3有+…+而>1+5+而+…+河

k1

—+-=1+----------------------------------------12分

22

c.1111,111,11

=1--F???d--V'+…d--r-r?--F女H--:---F…-I--<----\-k-\..-+…d--:

2kA+I

22”2川22+12222^

=■!■+(左+i).?.當〃=女+1時，不等式成立

2

由①②知對任意的“wN*,不等式成立.14分

8、已知數列｛a",。1=%=2,。/]+2?_](〃/2)。(1)求數列｛〃〃｝的通項公式a”；(2)當〃N2時,求

ffi:—+—+—<3；(3)若函數/(x)滿足：/(I)=a,,f(n+1)=/2(n)+/(?).(neTV*),

qa2an

1

求證:s1

tr/w+i2

蜂?.?%+]=an+解=,兩邊加%得:an+i+an=2(%+(n>2),

｛an+l+an｝是以2為公比,q+q=4為首項的等比數列.

4川+。“=42"7=22"——-①——2分

a

由％=?+2%-1兩邊減2ali得：an+i-1an=一(%-2a0T)(〃22)

/.{an+l-2an}是以—1為公比，4-2%=-2為首項的等比數列.

...an+i-2an=-2(―1產=2(-1)"------②——4分

2

①-②得：3%=2[2"-(-1)"]所以,所求通項為o?=-[2H-(-ir]------6分

J-+_L=3[_L_+_L_]=3___

aa22,,-|+12"-122n-12"+2"-2,,_|-1

⑵當〃為偶數時,n+]n

32n-1+2"32-'+2"=,(擊+f(〃22)

22"-12"+2"~'-1<22"''2"

—+—+—<-(1+-+-4+-+—)=--^-=3-3—<3

8分

2

qa2a?2222"2」2"

2

2I

當〃為奇數時，???。“=一[2"—(―1)”]>0,.?.6+]>0,」—>0,又〃+1為偶數

3?,口

由(])矢口，---1----F...H------<------1----F...H--------1--------<3-----10分

aaaa

%。2?%2??+l

⑶硼：???/(〃+1)-/(n)=/2(n)>0/(〃+1)>/(?),.-./(?+1)>/(?)>/(n-l)>-->/(l)=2>0

又_______=_____________=______________=_______________?_________=_______________

f(n+l)f\n)+f(n)/(n)[/(n)+l]f(n)/(n)+l"f(n)+lf(n)f(n+l)

■,tr/w+i=l7(i)-7(2_+w-W+"+7w-/(?+D

1111

=7(i)-/(?+i)<7a)=2'

9、已知函數"x)的定義域為(T,1),且"L=l,對任意x,yw(—LD，f(x)-f(y)=

21-xy

數列｛6｝滿足4=L,a“+i=』r"eN*).⑴證明函數/(x)是奇函數；(2)求數列｛打a,J｝的通項公

21+"

式(3)令.=&+%+…+"y〃N"),證明：當〃N2時，~?

〃i=li=l2

（口解；由于對任意M）W（一|/）?拈有/（x）-/（y）=/

0-0

令x=p=O.得/(0)-/(0)=/;=〃0)?

1-0x0

髀用/(O)=o.I分

令X=0.電〃0)_〃的=/jT^21]=f(_y).

7/(0)=0.

???0-/(力=〃->，)?即〃-)，)=-/&).2分

???#數/■（*）是奇居數3分

（2）M：先用數學歸納法證4

①當〃=1時.??!=—.得0<。<1.結論成立.

②霰設〃=?時,結論成立,即0<q<1,

當〃=A+|時.由于0<a.<1,a..=>0.

2a

又J3=1

[+aj27fx.2a.

0<%.]<1.

即〃=4+1時，結論也成立

由①②知對任意〃€、，0<O,<I.4分

求數列｛/（a.）：的通小公式奧供下面丙種方法.

法”（5《言:

=〃%)-〃-q)?5分

???居數/"（X）是奇曲數.

???/(r.)=-/(4“)?

??'-?.\'■-I6分

數列｛/（a.）｝是首厘為/（%）=/（；）=1,公比為2的等比數列.

數列｛/（凡）｝的遞項公式為/（見）=2-7分

5分

—

???/(j)=2/m).6分

???依列｛/（凡）｝是苜項為〃aj=公比為2的等比數列.

???數列｛/（凡）｝的通項公式為/（凡）=2"".7分

(3)證法L由(2)?]0<on<l.

>0.

??“.川人」8分

,q=；!<凡.且"22)

0<0,-ow<€N*.\n>in).9分

當k"kwN?時.

,q+a,+…+a*

(日一生)+(。?-%)+…―

10分

11分

?；0<%-4<J..................12分

??當〃時區一

?22,0<￡￡4<0.13分

!■!I2

;當〃N2時,14分

忙q-力卜*

IlaiX|?

證法2：由（2）知

???a.7>a...................8分

工q=：，!<。“<1(〃wN，?1L〃N2)

e

..|oBeN*)..................9分

卜面用數學歸納法二受不等式E。,-上乂卜?戌立.

①當〃=2M?左邊=a?%-；q+。；":j=^-|a,-o,|<-^x之右功.

???〃=2時.不等式成立..........10分

②假設〃=上"N2/wN?)lH.不等式成立.即-￡??<?,

副〃=上+1時.

左邊二11分

■停一切.3號產國

忸,-&卜告|(。.“-4)+(。”,-%?”+(%.-o.)|

12分

=也等1=右邊.

13分

”=*+1時,不等式也成立.

②知，當”22時.￡a,-￡.4,成立.

14分

1=12

證法丸由(2)知0<q<1(A=],2,3,…,n).故對有

O<Va<Ar,0<￡q<”-h

8分

由于對任意x>O,y>0.有|x-y|<max｛x,y｝?耳中max｛x,y：表示x與y的^大值.

于是對14A4”-1?書

心小小謔”去9分

川

<max1《展-泊,｝10分

4max

=I—(上=1,23…，”-1)......11分

n

故|￡0-￡“二卜'|=|(a-/：)?(,?-省)?…?(4-/..J

12分

引4-4|+|4-4|+”?+|4-4一,|

13分

...1+2+3?…?(”一1)

=(/!—!)—■■

n

n(n-l)

n-

=(n-l)-----=—2H分

77])

10、已知數列｛q｝和也｝滿足為=伉，且對任意“CN*都有4+"=1,」±L=y『⑴求數列｛%｝和

也｝的通項公式；

(2)證明:生+，旦+…+4±L<ln(l+〃)</%■+&+…+%。

bb

24"bn+l伉b2久?

(1)解：?.?對任意〃eN*都有凡+"=1,也=-^,.?.—=_^=工4=」_

41—41—1—。；1+4

」+即」—-=

Li,i.,?,2分

4+1%氏+1%

.??數列—I是首項為-,公差為1的等差數歹U.

???q=A，且q+4=1,

IAJ4

a.=b,=—.?*?—=2+(〃—1)=〃+1.,?,4分

112

1,n八八

,b=l-an=-----.…6分

M+1----""n+1

(2)證明：：bn=—^―,-

n+1n+1bnn

，所證不等式"+&+幺+???+?<ln(l+〃)<—生+??.+”

瓦與"%瓦b2%%

Hn1111?八一111

234n+1v723n

①先證右邊不等式：ln(l+〃)<l+'+J■+…+L

23n

1y

令/(x)=ln(l+x)-x,則/(%)=------1=——:—.

1+X1+X

當x〉0時，f(X)<0,所以函數“X)在[0,+8)上單調遞減.

.??當x〉0時,/(x)</(0)=0,即ln(l+x)<x.-8分

分別取x=l,L,‘\_

23n

得

ln(l+l)+ln[l+g)+ln[l<1+1+1+-+

23n

<iii-1

即In(1+1)11+11+-I??.I1+—+++?d----.

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tf34n+1

也即In2x—x—x…x<l+l+l+...+l.

I23n23n

11

即ln(l+〃)<l+5H-----1-…-I----.??,10分