試題PAGE1試題2024北京北京中學高二（下）期中數學本試卷共5頁，滿分150分.考試時長120分鐘.考生務必，將條形碼貼在答題卡規定處，并將答案寫在答題卡對應題號框內，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則下列不等關系中正確的是（）A. B. C. D.3.經統計,某市高三學生期末數學成績,且,則從該市任選一名高三學生,其成績不低于90分的概率是A.0.35 B.0.65 C.0.7 D.0.854.兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（）A. B. C.1 D.25.東壩萬達廣場五一勞動節期間將舉行全場滿999元獲得一次抽獎的酬賓活動，已知各獎項中獎率分別是：一等獎為，二等獎為，三等獎為，四等獎為，其余為紀念獎．若某顧客獲得了2次抽獎機會，那么該顧客至少抽得一次三等獎的概率為（）A. B. C. D.6.北京地鐵12號線是一條主要沿北三環東西向敷設的軌道交通干線，全長約30公里，設21座車站，跨越海淀、西城、東城、朝陽四個行政區，預計2024年7月1日正式開通，它的開通將填補東壩地區軌道交通的空白.作為“地下北三環”，12號線開通后還能有效緩解英才高二年級許老師和鄭老師的上下班通勤壓力.若許老師和鄭老師同時從東壩西站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過18站，地鐵票價如下表，且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，乘坐站數票價/元3456則下列結論中不正確的是（）A.若許老師、鄭老師兩人共花費7元，則許老師、鄭老師下地鐵的不同方案共有24種B.若許老師、鄭老師兩人共花費10元，則許老師、鄭老師下地鐵的不同方案共有88種C.若許老師、鄭老師兩人共花費9元，則鄭老師比許老師先下地鐵的概率為D.若許老師、鄭老師兩人共花費9元，則鄭老師比許老師先下地鐵的概率為7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知隨機變量滿足，，且，．若，則（）．A.，且 B.，且C.，且 D.，且9.一次演出，原計劃要排個節目，因臨時有變化，擬再添加個小品節目，若保持原有個節目的相對順序不變，則這個節目不同的排列方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種10.甲醫院在某段時間內累計留院觀察的某病疑似患者有98人.經檢測后分為確診組和排除組，患者年齡分布如下表：年齡（歲）總計確診組人數0374014排除組人數7411519284為研究患病與年齡的關系，現采用兩種抽樣方式.第一種：從98人中隨機抽取7人.第二種：從排除組的84人中隨機抽取7人.用分別表示兩種抽樣方式下80歲及以上的人數與80歲以下的人數之比.給出下列四個結論：①在第一種抽樣方式下，抽取的7人中一定有1人在確診組；②在第二種抽樣方式下，抽取的7人都小于20歲的概率是0；③的取值范圍都是；④其中，正確結論的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.若展開式中的所有二項式系數和為512，則_____；該展開式中的系數為________（結果用數字表示）.12.已知春季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為與，且兩地同時下雨的概率為，則在春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為__________．13.已知不等式對任意正實數x恒成立，寫出一個a的可能值為______.14.英才高二年級男女生人數之比為11∶9，4月2日視力檢測統計結果為男生近視率為0.7，女生近視率為0.5，則英才高二年級學生的近視率為______.15.2024年3月17日，英才高二年級倪同學、唐同學、張同學和潘同學參加了2023-2024學年全國中學生地球科學奧林匹克競賽北京賽區預賽，競賽按照名次設置一等獎、二等獎、三等獎三個獎項，已知4位同學的分數都在獲獎達標分數線以上，則這4位同學恰有1人獲得一等獎、2人獲得二等獎、1人獲得三等獎的概率為______.16.已知函數，若，現有下列4個結論：①；②；③；④．則其中正確的有__________．（填上你認為所有正確結論的序號）三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知集合，.（1）求，；（2）記關于x的不等式的解集為M，若，求實數m的取值范圍.18.已知函數（1）求曲線在處的切線方程；（2）設函數，求的單調區間；（3）指出極值點的個數，并說明理由.19.甲、乙、丙三人進行飛碟射擊比賽，共比賽10場，規定每場比賽分數最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統計如下：場次12345678910甲9138121411791210乙8111071288101013丙121091111998911（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設X表示乙得分大于丙得分的場數，求X的分布列和數學期望；（3）假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數，為乙獲勝的場數，為丙獲勝的場數，寫出方差，，的大小關系（直接寫出結果）.20.已知函數（）．（1）當時，求函數的最大值；（2）當時，求的單調區間；（3）若對，恒成立，求的取值范圍．21.已知有窮數列A：，，…，，滿足（），若存在一個正整數k（），使得數列A中存在連續的k項與該數列中另一個連續的k項恰好按次序對應相等，則稱數列A是“k階可重復數列”.例如數列A：0,1,1,0,1,1,0.因為，，，，與，，，按次序對應相等，所以數列是“4階可重復數列”.（1）判斷數列A：1,1,0,1,0,1,0,1,1,1.是不是“5階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這5項；（2）若項數為m的數列A一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是多少？說明理由；（3）假設數列A不是“4階可重復數列”，若在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數列是“4階可重復數列”，且，求數列A的最后一項的值.

參考答案第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】D【分析】根據集合的交集運算即可求解.【詳解】解：，，故選：D.2.【答案】D【分析】利用指函數的單調性得出結論．【詳解】A.，顯然不成立；B.錯誤，因為函數在上為增函數，由，可得；同理C.，因為函數在上為增函數，由，可得；D.，正確，因為函數在上為減函數，由，可得；故選D.【點睛】本題考查函數單調性的應用，屬基礎題.3.【答案】A【分析】由已知直接利用正態分布曲線的對稱性求解．【詳解】∵學生成績X服從正態分布N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，∵P（X≥90）[1﹣P（80＜X＜90）]，∴從該市任選一名高三學生，其成績不低于90分的概率是0.35．故選A．【點睛】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態分布中兩個量μ和σ的應用，考查曲線的對稱性，屬于基礎題．4.【答案】B【分析】根據洛必達法則求解即可.【詳解】.故選：B5.【答案】B【分析】計算該顧客兩次均未抽中三等獎的概率，再根據對立事件概率和為1求解即可.【詳解】由題意，該顧客兩次均未抽中三等獎的概率為，故該顧客至少抽得一次三等獎的概率為.故選：B6.【答案】C【分析】根據票價和分別討論計算各個選項即可.【詳解】選項A：若許老師、鄭老師兩人共花費7元，則許老師、鄭老師票價分別為3，4或4，3；共有方案種，A選擇正確；選項B：若許老師、鄭老師兩人共花費10元，則許老師、鄭老師票價分別為5，5或4，6或6，4，共有方案種，B選項正確；選項C，D：若許老師、鄭老師兩人共花費9元，則許老師、鄭老師票價分別為5，4或4，5或3，6或6，3，則鄭老師比許老師先下地鐵的概率為，C選項錯誤，D選項正確.故選：C.7.【答案】A【分析】根據的單調性與定義域，結合充分與必要條件的定義判斷即可.【詳解】設，則，則在上，單調遞減；在上，單調遞增.故則，但不能推出.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.【答案】B【分析】根據已知寫出對應的兩點分布的分布列,根據公式求出期望,由可得,根據方差公式構造二次函數,借助函數的單調性即可得出結果.【詳解】由題知變量，的分布列均為兩點分布．變量，的分布列如下：0101則，，，，由，因為，，函數在上單調遞增，所以.故選:B．【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望及方差．本題的關鍵要識別出變量服從兩點分布，運用相應數學期望和方差公式計算，其次運用二次函數的性質來比較大小，屬于中檔題.9.【答案】C【分析】分兩個節目放在相鄰的位置，和兩個節目不相鄰兩種情況討論，結合插空法即可得解.【詳解】當兩個節目放在相鄰的位置，有種結果，當兩個節目不相鄰，從原來形成的五個空中選兩個空排列，共有種結果，根據分類計數原理知共有種結果，故選：C．10.【答案】B【分析】根據抽樣調查和概率的計算以及樣本的期望逐項分析即可得答案【詳解】解：對于①：人中確診的有人，若抽取的7人都是84個排除組的，則可能出現7人都不在確診組，①錯誤；對于②：排除組中小于20歲的人有7人，抽取7人小于20歲的概率為，故②錯誤；對于③：第一種有96人，有2人第二種有82人，有2人故設抽取80歲以上的人數為，則當時，當時，當時，故③正確；對于④：，，，，故④正確；故選：B第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.【答案】①.9②.-84【分析】由二項式系數和為，即可求解的值，利用通項公式即可求得展開式中的系數．【詳解】由已知可得，解得，則的展開式的通項為，令，解得，展開式中的系數為．故答案為：9，．12.【答案】【分析】根據條件概率公式即可求解.【詳解】記事件A為“甲地下雨”，B為“乙地下雨”，所以，，所以.故答案為：.13.【答案】4（答案不唯一）【分析】將問題轉化為對任意正實數x恒成立，結合二次函數的性質，列出不等式，即可求解.【詳解】不等式對任意正實數x恒成立，即對任意正實數x恒成立，當時，不等式，即，不符合對任意正實數x恒成立，當時，令，若對任意正實數x恒成立，則，無解，或，解得.所以的一個值可以是.故答案為：14.【答案】0.61【分析】根據全概率公式計算求解.【詳解】根據全概率公式可得英才高二年級學生的近視率為.故答案為：.15.【答案】【分析】計算4位同學所有可能獲獎的情況與恰有1人獲得一等獎、2人獲得二等獎、1人獲得三等獎的情況數求解即可.【詳解】由題意，這4位同學恰有1人獲得一等獎、2人獲得二等獎、1人獲得三等獎的概率為.故答案為：16.【答案】①③【分析】先證明是偶函數，且在上遞增，然后利用當且僅當，為條件變形，從而進一步分析.【詳解】顯然定義域為全體實數，又，所以是偶函數，當時，從而在上遞增，故當且僅當，因為，所以，顯然同號，所以，，，從而①③正確，②④錯誤.故答案為：①③.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得到當且僅當，由此即可順利得解.三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.【答案】（1），（2）【分析】（1）將集合化簡，結合集合的運算，帶入計算，即可求解；（2）由題意可得，再由，列出不等式，代入計算，即可求解.【小問1詳解】因為，解得，所以，又因為，解得或，所以，所以；又因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，若，則，解得，所以m的取值范圍是.18.【答案】（1）（2）在，單調遞增，在單調遞減（3）2個，理由見解析【分析】（1）根據題意，求得，得到且，結合導數的幾何意義，即可求解；（2）由（1），求得，結合和，即可求解；（3）由（2）中函數得到單調性，分，和，三種情況討論，結合零點的存在性定理，即可求解.【小問1詳解】解：由函數，可得其定義域為，且，可得直線的斜率，且，所以切線方程為，即.【小問2詳解】解：由（1）知，可得，令，即，解得或，當，；當，；當，，所以函數在，單調遞增，在單調遞減.【小問3詳解】解：函數有2個極值點，理由如下：由（2）知，①當時，函數在區間上單調遞增，且，，所以存在唯一，使；②當時，函數在區間上單調遞減，且，，所以存在唯一，使；③當時，在區間上單調遞增，且，恒有，故該區間內無零點，綜上可得：當，；當，；當，，所以當時取到極小值；當時取到極大值；故有2個極值點.19.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）根據三人投籃得分統計數據，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（2）根據題意，得到隨機變量所有可能取值為，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解；（3）根據題意，得到每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，結合甲、乙、丙獲勝的場數符合二項分布，求得相依的方程，即可求解.【小問1詳解】解：根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲共獲勝5場，設A表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則.【小問2詳解】解：根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，所以X的所有可能取值為，可得，，，所以變量的分布列為X012P所以，期望為.【小問3詳解】解：由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數符合二項分布，所以，，，則.20.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）求出，得到函數的單調區間，從而求得函數的最大值；（2）分，和以及四種情況討論函數的單調性；（3）將問題轉化為，令，結合導數求出的最小值即可.【小問1詳解】當時，，令，則，于是可列表如下：10單調遞增極大值單調遞減∴當時，取最大值為.【小問2詳解】（），當時，令或，①當時，由或，由，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減；②當時，由或，由，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減；③當時，由，由，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；④當時，由，則函數在上單調遞增.綜上：當時，函數的單調增區間為和，減區間為；當時，函數的單調增區間為和，減區間為；當時，函數的單調增區間為，減區間為；當時，函數的單調增區間為，無減區間.【小問3詳解】，則不等式轉化為，設，令（），則，由，由，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，，則函數在內存在唯一的零點，當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞增，所以，又，得，則，即，所以，即實數的取值范圍為.【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉化，根據題意轉化為兩個函數的最值之間的比較，列出不等式關系式求解；2、構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；3、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．4、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情