專題03空間向量基本定理4種常見考法歸類

解題策略

1.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p

=xa+yb-\~zc.

其中｛a,b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成

空間的一個基底.

思考：(1)零向量能不能作為一個基向量？

(2)當基底確定后，空間向量基本定理中實數組(x,y,z)是否唯一？

［提示］(1)不能.因為0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面.

(2)唯一確定.

2.空間向量基本定理的推論

設。，A,B,C是不共面的四點，則對空間內任意一點P都存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得萬萬

=xOA+yOB+zOC.

推論表明：可以根據空間向量基本定理確定空間任一點的位置.

3.正交分解

(1)單位正交基底

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1,那么這個基底叫做單位正交基底.常用

｛i,j,幻表示.

(2)正交分解

把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

4.對基底和基向量的理解

(1)空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底.

(2)基底中的三個向量a,b,c都不是0.這是因為。與任意向量共線，與任意兩個向量共面.

(3)一個基底是由不共面的三個向量構成，是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二

者是相關聯的不同概念.

5.基底判斷的基本思路及方法

(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，

則不能構成基底.②假設運用空間向量基本定理，建立兒〃的方程組，若有解，則共面，不

能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底.

6.基向量的選擇和使用方法

(1)盡可能選擇具有垂直關系的，從同一起點出發的三個向量作為基底.

(2)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發的，一般考慮加法，否則考慮

減法；如果此向量與一個易求的向量共線，可用數乘.

7.用基底表示向量的三個步驟

(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底.

(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相

等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果.

(3)下結論：利用空間向量的一個基底｛a,b,c｝可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結果中只能含

有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

8.用向量法證明線線平行與垂直

(1)要證兩直線垂直，由數量積的性質a_Lbua?b=O可知，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明

這兩個向量的數量積為0即可.

(2)要證兩直線平行，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量滿足a=2b即可.

9.基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟

(1)設出基向量.

(2)用基向量表示出直線的方向向量.

(3)用⑷=＜荔求長度，用。2=。2_1_分，用cos求夾角.

(4)轉化為線段長度，兩直線垂直及夾角問題.

10.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這

些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？

(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？

善高頻考點

考點一基底的判斷(-)利用空間向量基本定理證明位置關系

考點二用基底表示向量(二)用基底法求空間向量的數量積

考點三利用空間向量基本定理求參數(三)利用空間向量基本定理求距離、夾角

考點四空間向量基本定理的應用

考點一基底的判斷

1.【多選】(2023?江蘇?高二專題練習)設,,仇。｝構成空間的一個基底，下列說法正確的是()

A.a，b，c兩兩不共線，但兩兩共面

B.對空間任一向量P,總存在有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

C.a，a-c<a+c能構成空間另一個基底

D.若xa+yb+zc=0,則實數彳，九z全為零

【答案】ABD

【分析】根據空間向量基本定理一一判斷即可.

【詳解】因為｛。，仇c｝構成空間的一個基底，所以°,b,c兩兩不共線，但兩兩共面，故A正確;

對空間任一向量p,總存在有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,故B正確；

因為(a-c)+(a+c)=2a,所以°,°共面，故不能構成空間的一個基底，故C錯誤；

根據空間向量基本定理可知，若xa+yb+zc=0,則實數工，z全為零，故D正確；

故選：ABD

2.【多選】(2023?高二課時練習)關于空間向量，以下說法正確的是()

A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面

B.已知則0,〃與任何向量都不構成空間的一組基

C.若區4，BM，不構成空間的一組基，那么空間四點共面；

D.設伍,4c｝是空間的一組基，則｛a+b,b+Gc+。｝也是空間的一組基

【答案】ACD

【分析】根據空間向量的共面定理以及空間基底的定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，根據共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一

定共面，所以A正確；

對于B中，當時，若c與a、b不共面，則〃、b、c可構成空間的一個基底，所以B錯誤；

對于C中，若區4、BM、不構成空間的一個基底，則54、BM、BN3個向量在同一平面內，所以

共面，所以C正確；

對于D中，由｛a,b,c｝是空間中的一組基底，則向量a,伉c不共面，

可得向量。+。，人+c,c+a也不共面，所以｛a+"b+c,c+a｝也是空間中的一組基底，所以D正確.

故選：ACD.

3.【多選】(2023?高二課時練習)若｛小b,c｝構成空間的一個基底，則下列向量共面的是()

A.Z?+c,b,b-cB.a9a+b,a—b

C.a+b,a—bcD.a+b>a+b+c?c

【答案】ABD

【分析】利用共面向量定理逐項分析判斷作答.

【詳解】"構成空間的一個基底，

對于A,(6+e)+(6-c)=26,因此b+c,b，b-c共面，A正確；

對于B,｛a+b)+｛a-b)=2a,因此a,a+b,日一力共面，B正確；

對于C,假定a+Z?,a-b?C共面，則存在九川^R使得

fZ+//=0

c=X(a+6)+—/?)=(/1+〃)〃+(/!—〃屹，而不共面，則〈。八，解得彳=〃=0，

［丸_4=0

于是2=0，共面，與占，瓦c不共面矛盾，因此a+匕，a-b?2不能共面，C錯誤;

對于D,(a+b)+c=a+b+c,因止匕a+h,a+b+c2共面，D正確.

故選：ABD

4.(2023春?河南開封?高二統考期末)若c｝構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間基底的是

()

A.a+b,a-b,aB.a+b,a-b,bC.a+b,a-b,b+cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【分析】根據空間基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A,a=g[(a+6)+(a-b)],因此向量a+共面，故不能構成基底，故A錯誤；

對于B,6=；[(a+b)-(a-b)],因此向量a+共面，故不能構成基底，故B錯誤；

對于C,假設向量a+b,a-b,b+c共面，則b+c=/l(a+b)+〃(。一6),

即c=(4+〃)a+(4-〃-1)人，這與題設矛盾，假設不成立，可以構成基底，故C正確；

對于D,(a+Z?)+C=a+3+c,因此向量a+b,a+b+C,C共面，故不能構成基底，故D錯誤；

故選：C.

5.【多選】(2023秋?山西晉中?高二統考期末)｛。,dc｝是空間的一個基底，與〃+%、a+c構成基底的一個

向量可以是()

A.b-\-cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【分析】根據空間向量基本定理判斷即可.

【詳解】由于6-c=a+6-(a+c),故b-c與a+6、a+c共面，無法構成空間的一個基底，故B錯誤；

因為｛a,6,<;｝是空間的一個基底，由于不存在實數對無、使得8+C=x(a+%)+y(a+c),

x+y=0

若成立則，x=l,顯然方程組無解，故a+b、a+e與b+c可以作為空間的一個基底，故A正確，同理

可得C、D正確;

故選：ACD

6.(2023秋?高二課時練習)已知｛a,6,c｝是空間向量的一組基底，p=6q=一定可以與向量p,q

構成空間向量的另一組基底的是()

A.aB.bC.cD.—p-2q

【答案】C

【分析】利用空間共面向量定理即可解決問題.

【詳解】對于A,因為。=+所以p,q,a共面，故A錯誤；

對于B,因為B=所以p,g,b共面，故B錯誤；

對于C,因為4,瓦。不共面，所以不共面.

若存在羽ycR,使c==(x+y)〃+(x-y)Z?成立，則。力,c共面，這與已知｛〃,b,c｝是空間一組基底矛

盾，故p,/c不共面，故C正確；

對于D,顯然2q共面，故D錯誤.

故選：C.

7.(2023秋?云南大理?高二統考期末)若｛《,e?,4｝是空間的一個基底，且向量

｛OA=q+e2+03,05=q—Ze2+2?3，℃=〃]+3e?+2ej｝不能構成空間的一?個基底，則后=()

A.?B.3C.-1D.2

3244

【答案】D

【分析】由題意可知，向量04、OB、0C共面，則存在實數尤、y使得OC=xOA+yOB,根據空間向量

的基本定理可得出關于X、y、上的方程組，即可解得女的值.

【詳解】因為向量。4=6+62+63,OB=e1-2e2+2e3,OC=左q+3e?+263不能構成空間的一個基底，

所以OA、OB、0C共面，故存在實數X、，使得0c=xOA+yOB,

即kel+34+2q=+弓+q)+—2e2+2e3j=^x+ex+(x—2y)g+(x+2y)%,

因為｛4,49｝是空間的一個基底，貝小了-2y=3,解得＜y=-;.

x+2y=2

故選：D.

8.（2023秋?河北邯鄲?高二統考期末）已知&4_1_平面ABC,ABJ.AC,SA=AB=1,BC=后,則空間的一

個單位正交基底可以為（）

AB,-AC,ASB.{ABACAS}

2

AS,AB,^-BC

AB,-AC,-AS

22

【答案】A

【分析】根據正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為L

【詳解】因為SAL平面ABC,AB.AC都在面ABC內，

所以S4_LAB,SA±AC.

因為AB1AC,AB=l,BC=5所以AC=2,又&4=1,

所以空間的一個單位正交基底可以為1A民AS，.

故選：A

考點二用基底表示向量

9.（2023春?福建龍巖?高二校聯考期中）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，E為棱AG的中點.設8A

BB『b，BC=c，則BE=（）

1/

明一

—Q+Z7-I----CB.—a—b+c

22

ClH----bH-----CD.—〃+Z?+c

222

【答案】A

【分析】由空間向量線性運算即可求解.

【詳解】由題意可得BE=BB[+4A+4月=BBi+BA+|

^BB,+BA+-AC^BB.+BA+-（BC-BA\=-BA+-BC+BB.^-a+-c+b.

22、'2222

故選：A.

10.（2023秋?高一單元測試）在正四面體A-P3C中，過點A作平面尸3c的垂線，垂足為。點，點M滿足

3

AM=~AQ,則丹/=()

4

131

A.-PA——PB+-PCB.-PA+-PB+-PC

444444

131113

C.-PA+-PB+-PCD.-PA——PB+-PC

444444

【答案】B

【分析】根據已知條件，結合空間向量的線性運算，即可求解.

【詳解】由題知，在正四面體A-PBC中，

因為平面P3C,

所以。是,PBC的中心，

連接PQ,貝UPQ=gx；(M+PC),

-3

所以尸M=PA+AM=PA+-AQ

4

=PA+1x(AP+P2)=PA-1PA+|P2

1QO11-|1

=-PA+-x-x-(PB+PC)=-PA+-PB+-PC.

4432、7444

故選：B

11.（2023?福建福州?福建省福州第一中學校考三模）在三棱錐尸-ABC中，點。為△ABC的重心，點O,E,

尸分別為側棱以，PB,PC的中點，若〃=A尸，b=CE,c=BD,則。P=（）

A.UB.1C.343222

——a——b—cD.—4—b~\—c

333333333333

【答案】D

【分析】根據空間向量的線性運算，結合重心的性質即可求解.

【詳解】取BC中點為M,

a=AF=PF-PA=-PC-PA,

2

b=CE=PE-PC」PB-PC,

2

c=BD=PD-PB=-PA-PB

2

三個式子相加可得a+b+c=-g(PA+PB+PC)nPA+P2+PC=-2(a+〃+c),

AP-AO=-PA--AM=-PA--x-(AB+AC^=-PA--(PB-PA+PC-PA^

=-PA--(PB-PA+PC-PA\=--PA--PB--PC=--(PA+PB+PC]=-(a+b+c

3、,3333、,3、

12.（2023秋?浙江麗水?高二統考期末）在平行六面體ABC。-中，AC,8。相交于。，M為。C的

中點，設AB=a,AD=b，A4j=(S則CM=()

A.L+4-LB—+L

442442

-11,1c31]1

C.——a——b+—cD.——a+—b——c

442442

【答案】C

【分析】由空間向量的線性運算結合圖形計算即可.

DiG

13.（2023秋?廣西百色?高二統考期末）在正四面體Q4BC中，OA=a>OB=b<OC=c，。為中點，E

為AD靠近。的三等分點，用向量〃，b，c表示OE=()

12

A.OE=-a+—b+-cB.OE——ciH—b+c

33323

C.OE=-QH—b-\—cD.OE=—a+—b+—c

242244

【答案】A

【分析】利用向量加法和減法和數乘的運算，用a,b,c表示出OE.

【詳解】因為。為8c中點，

所以42）=42+2。=42+與0=AB+U衣-AB）」AB+』AC,

22、'22

因為E為AD靠近。的三等分點，

2

所以=

21

所以。E=Q4+AE=OA+§AD=OA+§（A8+AC）

=OA+1（OB-OA+OC-OA）,

OE=-ciH—h—c.

333

故選：A.

14.（2023春?高二單元測試）在平行六面體ABC。-AAG。中，M為Ag與3Q的交點，若A"Z,AD=b，

AA=c,則下列向量中與3M相等的向量是（

1.171.1c1-17

A.—ciH—b+cB.—aH—b7cC.D.—ci—b+c

22222222

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用空間向量基本定理結合空間向量運算求解作答.

【詳解】在平行六面體ABCD-ABCR中，M為AG與8a的交點，

BM=5A+/L4j+4A/=—A3+/L41H—（44+4。］）=—a+cH—a—b=—ci—b+c

故選：B

15.（2023?江蘇?高二專題練習）在正四面體ABC。中，。為△BCD的重心，記ABF,AC=b^AD=c-若

2一

AP=-AO,CM=2MD,則PM=.（用a，b，c表示）

214

［答案］--^+―^+―

【分析】根據空間向量的線性運算求得正確答案.

【詳解】依題意，O為△3CD的重心，貝++

2

所以尸M=AM—AP=AC+CM——AO

3

=AC+-CD——（AB+BO\

33、）

222

=AC+-CD——AB——BO

333

（）22

AC+|AD-AC——AB——婀+而）］

33

2.2-2-2-2-

AC+-AD——AC——AB——BC——BD

33399

2222/\2/

=AC+-AD——AC——AB——AC-AB——（AD-AB

3339、）9、）

2222222

=AC+-AD——AC——AB——AC+-AB——AD+-AB

3339999

214214

=——AB+-AC+-AD=——Q+—匕z+―C.

999999

214

故答案為：-+

A

16.（2023?全國?高二專題練習）如圖，在平行六面體ABCD-4耳GA中，尸是CA的中點，點。在CA上,

且設ABF,AO=Z?,A4j=C.則()

777

B.QP=—a-\--b----c

101010

333

C.QP=—a+—b——cD.QP=-a+—b+—c

101010101010

【答案】C

【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.

【詳解】因為P是CA的中點,

所以ApTM+AojAVAB+AroWm+b+c),

又因為點。在CA上，且CQ:OA=4:1,

1114

所以AQ=AVAQMAVgAC：朋+不水:-血外/女+二照

14114

=-(AB+AD)+-AA=-a+-b+-c

55月5559

1-114333

所以QP=AP—AQ=5(Q+Z?+C)—yQ—1人一二0=而。+而萬一而c,

故選：C.

17.（2023春?江西南昌?高二校聯考階段練習）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數不全相同的

正多邊形圍成的多面體，體現了數學的對稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，

得到一個有八個面的半正多面體，如圖，點尸，A,B,C,。為該半正多面體的頂點，若PA=〃，PB=b，

PC=c，貝!)PD=)

A.——a+b+—cB.兒--

2222

-171

C.a—bH—cD.

2222

【答案】A

【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.

【詳解】如下圖所示PC=PA+AC=PA+23O=PA+2PO-2PB，

所以9=-工尸4+尸2+!尸。=一工。+6+工。.

2222

故選：A.

18.（2023秋?高二課時練習）如圖，空間四邊形0ABe中，G、”分別是；ABC、△O3C的重心，D為BC

的中點，設。4=q,OB=b，OC=c，試用試用基底｛a，。，。｝表示向量OG和GH.

［答案］OG=^a+b+c),GH=-^a

【分析】由已知得AO=g（A2+AC）,AG=^AD,可得O&=Q4+AG;

2

由。8=§。￡>可得G"=G4+AO+OH可得答案.

【詳解】由已知得08-04=6-a，OC-OA=c-a，

因為G是ABC的重心，。為BC的中點,

所以AD=g(AB+AC)=；(6+c-2a),

所以OG=OA+AG=a+-2a+6+c)=§(a+6+c

又因為H是△QBC的重心，

r\r\-i[

所以OH=—O力=—x—(0C+05)=—仿+c),

332、)3、)

GH=GA+AO+OH=-g僅+c-2a)—a+g(b+c)=-ga.

考點三利用空間向量基本定理求參數

19.（2023春?甘肅臨夏?高二統考期末）我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于

底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐尸-ABCD為陽馬，B4JL平面ABCD,且EC=2PE,若

DE=xAB+yAC+zAP,貝！|x+y+z=（）

A.1B.2

C.-

3

【答案】A

【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.

【詳解】因為EC=2PE,所以PE=gpC,

所以￡>￡=AE-AD=AP+尸￡一AD

1

=AP+-PC-AD

3

=AP+^AC-AP^-AD

=-AP+-AC-AD

33

=tAP4AC-(AC+CD)

22

=-AP——AC-CD

33

22

=-AP——AC+AB,

33

x=l

2e?

^DE=xAB+yAC+zAP,所以＜y=一§,貝ij%+y+z=l

2

z=—

3

故選：A

20.(2023春?甘肅蘭州?高二蘭州一中校考期末)已知矩形ABC。,P為平面ABC。外一點，PA,平面ABC。,

19

點",N滿足?”二52。，PN=-PD.=xAB+yAD+zAP,貝！Jx+y+z=()

A.—1B.1C.——D.—

【答案】C

【分析】根據題意，由平面向量基本定理結合平面向量的線性運算，即可得到結果.

1?

因為—PC,PN=—PD,

23

°[01、

所以MN=PN—PM=—PD――PC=-(AD-AP]——(AC-AP

323、72V

=-(AD-AP]--(AB+AD-AP}=--AB+-AD--AP,

3、)2、'266

--1I11

因為A77V=xAB+yAD+zAP,所以％=——，V=—，z=一一,

266

所以x+y+z=-/.

故選：c

21.（2023秋?廣東陽江?高二陽江市陽東區第一中學校考期中）已知三棱錐O-ABC,點尸為平面A5C上的

一點，OP=^OA+mOB+nOC（m,〃￡R）則相，〃的值可能為（）

1111

A.m=l,n=——B.m=-,n=1C.m=——=—1D.m=—,n=-1

2222

【答案】A

【分析】根據給定條件，利用點位于平面內的充要條件，建立關系即可判斷作答.

【詳解】因為點P為平面ABC上的一點，0。=（。4+機05+〃。。，則=+m+幾］++

于是:+根+〃=1,即用+篦=；,顯然選項BCD都不滿足，A選項滿足.

故選：A

22.（2023?全國?高三對口高考）已知正方體ABCD-A耳CQ中，側面CGA。的中心是尸，若

AP=AD+mAB+nAA^,貝ij機=,幾=.

【答案】—/0.5—/0.5

22

【分析】用表示出QP，從而得出加，〃的值.

【詳解】由于AP=AZ>+DP=AD+g⑷C+DAhAD+;AB+gAA,,

所以"=［,

22

故答案為：y;y.

23.（2023?高二課時練習）如圖所示，在平行六面體48。-4與6。］中，〃是底面ABCD的中心，N是側

3

面BCC.B,對角線8G上的3分點.

4

12

(1)化簡5A^+^^+^人臺，并在圖中標出其結果.

(2)設間/=工46+｝；>1￡)+2441,試求x,>,z的值.

【答案】(1)答案見解析，FE

113

⑵元=5,y=~,z=~.

【分析】(1)根據向量的線性運算即可求解，’

(2)根據基底法表示空間向量，即可由空間向量基本定理求解.

2

【詳解】(1)取CG的中點￡，取A5取一點尸，^FB=-AB,連接EF.

171

^mA^+BC+gABumCCi+BC+FBuCE+BC+FBuBE+FBuFE.

0D\0

AFB

1313

(2)因為MN=MB+BN=~^DB+1BC、=-(AB-AD)+-ADi

13113

=-(AB-AD)+-(AP+A41)=-AB+-AD+-A41,

所以％=；，y=J，z=l-

244

24.(2023?江蘇?高二專題練習)已知尸是乙抽。所在平面外一點,〃是8。的中點,若41/=e4+丁尸3+2尸。,

貝IJ()

A.x+y+z=0B.x+y+z=\

C.x-y-z=lD.x-y-z=-l

【答案】A

uuuriuunuum

【分析】推導出AM=］（zAB+AC）x,利用空間向量的減法結合空間向量的基本定理可得出無、>、z的值,

即可得出合適的選項.

【詳解】如下圖所示：

因為M為8C的中點，貝i|AM=A8+&W=A3+；BC=AB+g（AC—AB）=g（A8+AC）,

所以，AM=-（PB-PA+PC-PA\^-PA+-PB+-PC,

2、>22

又因為AM=xPA+yP3+zPC,且PA、PB、PC不共面，則x=-l,y=z=J,

x+y+z=O,x—y—z=—2,

故選：A.

25.（2023秋?山東聊城?高二統考期末）己知四棱錐尸-ABC。的底面A8CD是平行四邊形，若

PD=xPA+yPB+zPC,貝1|型=.

【答案】-I

【分析】根據空間向量的運算及空間向量基本定理得答案.

【詳解】因為四棱錐P-ABCD的底面ABC。是平行四邊形，所以「￡>=尸4+4。=巳4+"=24+2。_28,

y.PD=xPA+yPB+zPC,由空間向量基本定理可得，x=l,y=-l,z=l,故盯z=-l.

故答案為：-1.

26.（浙江省七彩陽光聯盟2023-2023學年高二上學期期中數學試題）在空間四邊形Q45c中，M為。4中

IXX

點，N為8c的中點，^OG=-OA+-OB+-OC,則使G、M,N三點共線的x的值是.

【答案】1/0.5

【分析】根據空間向量的運算，結合向量共線定理即可求得使G、M、N三點共線的x的值.

【詳解】由題意可知,

OA=2OM，ON=^OB+^OC,則2ON=O2+OC，

1丫^丫-2x/.\22丫

:.OG=-OA+-OB+-OC=-OM+-(OB+OC]=-OM+—ON,

33333、>33

22x1

G,N,〃三點共線，.—+e=l,「=_1.

332

故答案為：

考點四空間向量基本定理的應用

（一）利用空間向量基本定理證明位置關系

27.（2023?江蘇?高二專題練習）已知空間四邊形。48c中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且。4=O8=OC,M,

N分別是。4,BC的中點，G是的中點，求證：OGJ_BC.

【答案】證明見解析

【分析】取定基底向量OA,OB,OC,并分別記為a,b,c,再用基底表示出OG和BC,然后借助數量積即可計

算作答.

【詳解】在空間四邊形0ABe中，令0A=aQR=bQC=c,則|；|=|訪=|），

令NAOB=NBOC=NAOC=。,G是MN的中點，如圖，

則0G=L(0M+QN)=，dQA+L(O8+0C)]=gm+6+c),BC=OC—OB=c—b，

22224

11-2-2--

于是得0G?5C=—(〃+b+c)?(c-。)=—(々?c-q?A+b?c-匕+c-b-c)

44

=—（|<?|2cos0-\a|2cos0-1a『+1a/）=0,

4

因此，0G_L8C，

所以0G_L2C.

28.（2023?全國?校聯考一模）如圖所示，已知空間四邊形A8C￡>的每條邊和對角線長都等于1,點、E,F,

G分別是AB,AD,的中點.設=AC=b，AD=c

⑴求證EG±AB,

（2）求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【答案】（1）證明過程見解析；

*

【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出從而得到線面垂直，進而證明線線垂直;

（2）用c表達AG與EC，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【詳解】（1）證明：連接。E,

因為空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,且E,G分別是48,C。的中點，

所以AC=3C,8D=AO,

i^CE±AB,DE±AB,

又因為=CE,DEu平面CDE,

所以AB人平面CDE,

因為EGu平面CDE,

所以AB_LEG.

(2)由題意得：！ABC：.ACD,\ABD均為等邊二角形且邊長為1,

所以AG=E。=立

2

AG=：僅+c),EC=1(BC+AC)=|(AC-AB+AC)=Z?-1^,

所以AG-EC=-(b+c^\b--a\=-b^-—a-b+—cb-—ac

2y2J24-24"

二；一；忖.Wcos60°+；kHWcos60°—Jq.卜1cos60°

-2-84-8-2?

設異面直線AG和CE所成角為巴

I,\|\AG-EC\I2

川I\/I\AG[\EC\3

~TX^2

29.【多選】(2023秋?遼寧葫蘆島?高二興城市高級中學校考期末)如圖，在三棱柱ABC-A4a中，M,N

分別是A#,3G上的點，且5M=24",C、N=2B、N.設即二。，AC=b^AA.=c,若NB4C=90。,

o

ZBA41=ZCA41=60,AB=AC=AAl=l1則下列說法中正確的是(

A.MN=-a+-b+-cB.阿邛

333

C.AB]_LBC]D.COS〈AB1,BQ=￡

【答案】BD

【分析】利用向量的線性運算的幾何表示，向量數量積的定義及運算律逐項分析即得.

【詳解】因為,C,N=2B\N,

所以4"=:43=；(42-朋)，AlN=AlBl+BlN=AB+^BiCl=AB+^AC-AB^^AB+^AC,

所以MN=AN-AMngAB+gAC-'AB—AAjWAB+gAC+gAA=1a+|z?+|c,

故A錯誤；

因為卜|=W=H=1，a-b=O，a-c=b-c=^,

所以MN2=g(d+6+c『=1(<z2+Z?2+c2+2a-Z7+2a-c+2fe-c)=1(3+2)=|,

所以，雙卜1,故B正確；

因為AS]=AB+=a+c,BC1=BC+BB1-AC—AB+—h-\-c—a,

所以AB]=(Q+C)?僅+c-〃)=〃?/?+/??(?—〃2+02=3，故C錯誤；

因為AB]2=(a+c)2=〃2+。2+2〃.o=3,所以,瓦卜^3,

因5G=(-a+b+c)=Q?+/?2+/_2。.—2〃.c+2/??c=3,

所以I南卜技

1

所以cos破,g=F,BQ=J■尸=L故D正確?

網gxg6

故選：BD.

30.(2023?高二單元測試)如圖所示，三棱柱ABC-A4C|中，C4=a，CB=b，CQ=c,CA=CB=CC1=1,

(a,b)=(“,c)=:，S?吟,N是AB中點.

(1)用a,b,e表示向量A”；

(2)在線段上是否存在點“，使AM,AN?若存在，求出M的位置，若不存在，說明理由.

[答案]⑴-;4+gb-C

2

(2)當§G4時，AM1A.N

【分析】(1)根據空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可；

(2)設C]M=/IC[3],(2e[0,1]),用a,b，C表示向量AM，依題意可得AM-AN=0,根據空間向量數

量積的運算律求出入，即可得解.

【詳解】(1)解：因為N是A5中點，所以=

所以4N=4A+A2V=C；C+gAB

=-CC1+1(CB-C4)=-1t7+|z>-c；

(2)解：假設存在點使設C陽=幾6耳，(彳可。」]),

顯AA/=+AG+=c—ci+Ab,

因為AM_L4N,所以AM.AN=0,

即(c—a+Ab)'(——d+^b—c)=0,

—c,tzH—c,b_g2~i—〃2—a?b+c?a—A-ci,b—Ab_Xb,c=0

222222

CA=CB=CCX—1,(a,b)=(〃,<:)=g,卜,c)=1,

:.—c-a—c2+—a2—(—+—2)?-Z7+—2Z?2=0

22222

gpixlxlx(—!-)-l2+lxl2-(l+12)xlxlx(--)+12-l2=0,

2222222

22

解得彳=§，所以當GM=§C再時，AMl^N.

31.(2023春?浙江杭州?高二統考期末)如圖，在四面體A3CD中，AE=XAB，AH=AAD，CF=(1-X)CB,

CG=(l-/l)CD,2e(0,l).

⑴求證：E、F、G、H四點共面.

(2)若彳=§,設M是EG和FH的交點，。是空間任意一點，用Q4、OB、OC、。￡>表示OM.

【答案】(1)證明見解析

4212

(2,)OM=-OA+-OB+-OC+-OD

9999

【分析】(1)證明出EH//FG，即可證得結論成立；

-1FMFH11

(2)由(1)可得出可得出EH//FG,^-=—=-,由此可得出=再結合空

2MGFG22

間向量的線性運算可得出加關于。4、OB、OC、