空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

一、填空題

r-——.1-.?―-

1.若等邊MBC的邊長(zhǎng)為26，平面內(nèi)一點(diǎn)“滿(mǎn)足CM=-CB+-CA,則

63

MA?MB=

2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2),B(l,-3,1),點(diǎn)M在y軸上，且M至ljA

與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是_______0

【解析】設(shè)M(O,y,O)由『+^+4=1+(一3-y)2+1可得＞=一1故M(0,_I,O)

【答案】(0,-1,0)

二、解答題

3.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A_L平面ABCD,AD//BC//FE,AB1AD,M為EC的中點(diǎn),

1

AF=AB=BC=FE=-AD

2

(I)求異面直線(xiàn)BF與DE所成的角的大小；

(II)證明平面AMD_L平面CDE；

(III)求二面角A-CD-E的余弦值。

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)A3=1,依題意得B(l,0,0)C(l,l,0),

D（0,2,0）,￡（04,1）,F（0,0,l）

M

（I）解:即=（—1,0,1）,DE=（O,-L1）,

子日/黃BF*DE0+0+11

于^cos（BF,DE）=_,_,=—j=--j=--.

''BFDEV2*V22

所以異面直線(xiàn)BF與DE所成的角的大小為60°.

（II）證明：由而=CE=（-1,0,1）,AD=（0,2,0）,可得國(guó)?啟=0,

CE?AD=0.因止匕，CE1AM,CE1AD.XAMAAD=A,故CE_L平面AMD.

而CEu平面CDE,所以平面AMD,平面CDE.

'---------

(III)解：設(shè)平面CDE的法向量為〃=(x,y,z)，=0)

M?DE=0.

于是+z=。'令X=1,可得“=(1,1,D.

-y+z=0.

又由題設(shè)，平面ACO的一個(gè)法向量為丫=(0,0,1).

u?v_0+0+1_V3

所以,COS(”,v)=

|M||V|V3?13

4.(本題滿(mǎn)分15分)如圖，平面PAC_L平面ABC,MBC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，瓦￡。分別為PA,

PB,AC的中點(diǎn)，AC=16,PA=PC=10.

(I)設(shè)G是。C的中點(diǎn)，證明：/G//平面80E；

(II)證明：在AABO內(nèi)存在一點(diǎn)M,使平面BOE,并求點(diǎn)M到OA,OB的

距離.

證明：(I)如圖，連結(jié)。P,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、0P所在直線(xiàn)為X軸，y軸,

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz，

則。(0,0,0),A(0,-8,018(8,0,010(0,8,0),P(0,0,6),￡(0,-4,3),b(4,0,3),由題意得,

G(0,4,0),因方=(8,0,0),而=(0,-4,3),因此平面BOE的法向量為3=(0,3,4),

而=(-4,4,—3得■?濟(jì)=0,又直線(xiàn)FG不在平面5OE內(nèi)，因此有RG//平面6OE

6.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，已知兩個(gè)正方行ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M,N分別為AB,DF的中點(diǎn)。

(I)若平面ABCD_L平面DCEF,求直線(xiàn)MN與平面DCEF所成角的正值弦；

(II)用反證法證明：直線(xiàn)ME與BN是兩條異面直線(xiàn)。

設(shè)正方形ABCD,DCEF的邊長(zhǎng)為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分另I」以射線(xiàn)DC,DF,DA為x,y,z軸

正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則M(1,0,2),N(0,1,0),可得加=(-1,1,2).

又茄=(0,0,2)為平面DCEF的法向量，

-r把1,77T—,'MNDA#

可得COS(MN,i)A)=一一=一~—?

IIMWIIDAI°

所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為

COS(MNQ卜手.

6分

(H)假設(shè)直線(xiàn)ME與BN共面，8分

則ABu平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN

由已知,兩正方形不共面,故AB?平面DCEF。

又AB//CD,所以AB〃平面DCEF?面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線(xiàn),

所以AB〃EN。

又AB//CD//EF,

所以EN〃EF,這與ENCIEF=E矛盾，故假設(shè)不成立。

所以ME與BN不共面，它們是異面直線(xiàn).......12分

7.(13分)

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD1nABCD,

NB1平面ABC。，且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn)

(1)求異面直線(xiàn)NE與AM所成角的余弦值

(2)在線(xiàn)段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES_L平面AMN?若存在，求線(xiàn)段AS

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

17.解析?：(1)在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)。-孫Z

依題意，得0(0,0,0)41,0,0必(0,0,1),C(0,1,015(1,1,0)。

2

b

i（r

所以異面直線(xiàn)NE與AM所成角的余弦值為業(yè)LA

10

（2）假設(shè)在線(xiàn)段AN上存在點(diǎn)S,使得ES，平面AMN.

v^V=（0,1,1）,

可設(shè)衣=%俞=（0,幾,/1）,

一1一一一1

又EA=（一,一1,0）,ES=￡4+AS=（―,丸一1,幾）.

22

,[ESAM=0,--+2=0,

由ESJ_平面AMN,得1_______即42

[ESAN=0,[（2-i）+A=0.

1―.11―.J2

故幾=一，此時(shí)AS=（0,—,一）,IASI=J.

2222

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS=Y2時(shí)，ES_L平面AMN.

2

故線(xiàn)段AN上存在點(diǎn)S,使得平面AMN,此時(shí)AS=Y2

2

8.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，直三棱柱ABC—AdG中，ABYAC,D.E分別為44r的中點(diǎn)，DEL

平面BCCl

（I）證明：AB=AC

（II）設(shè)二面角A—8。—C為60°,求瑪。與平面3c。所成的角的大小。

分析一：求耳C與平面所成的線(xiàn)面角，只需求點(diǎn)用到面8。。的距離即可。

19.（本小題滿(mǎn)分12分，（I）問(wèn)5分，（H）問(wèn)7分）

如題（19）圖，在四棱錐S—A6CO中，ADBC且月。_LCO；平

mCSDL^ABCD,CSA,DS,CS^2AD=2；￡為BS的中點(diǎn)，

CE=0,AS=6求：

（I）點(diǎn)A到平面8cs的距離；

題（19）圖

(II)二面角E—CO-A的大小.

(I)如答(19)圖2,以S(0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間

坐標(biāo)系，設(shè)A“個(gè)%,%4)，因平面C。。，平面擷即ifA。，CO,ADICOD

|UUVi

即點(diǎn)A在xoz平面上，因此以=0,ZA=\AD\=1

,一叫2r

4+1=\AS\=3,xA=V2

從而A(、歷,0D

因AD//BC,故BC_L平面CSD,即BCS與平面

yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為巧=及.

(H)易知C(0,2,0),D(,0,0).因E為BS的中點(diǎn).

ABCS為直角三角形，

知|BS|=2CE=2及

設(shè)B(0,2,ZB),ZB>0,則ZA=2,故B(0,2,2),

所以E(0,1,1).

在CD上取點(diǎn)G,設(shè)G(玉，M,0),使GE_LCD.

UCUILUUUUCUIuuu

由CD=(V2,-2,0),GE=(一石,-y,+l,l),CD?GE=0故

0■玉一2(y—1)=0①

ULUTUUJJuuyYV—2

又點(diǎn)G在直線(xiàn)CD上，即CG〃CO,由CG=(石，%一2,0),則有一二)—②

<2—2

4

聯(lián)立①、②，解得G=(￥，］,O),

故能=(一旁，一2LUMLUV

§,1).又由AD1CD,所以二面角E-CD-A的平面角為向量GE與向量ZM

所成的角，記此角為6

|ULW|?J3ULM1UUU1ULWULW

因?yàn)閨GE卜一首DA=(0,0,1),網(wǎng)=1,GE?OA=1,所以

UUMUUVL

GEDAV3

cos6T

TT

故所求的二面角的大小為

6

作AGL6O于G,連GC,則GCL8。，NAGC為二面角4—80—C的平面角,

ZAGC=60。.不妨設(shè)AC=26，則AG=2,GC=4.在RTMBD中,由

ADAB=BDAG,易得AO=庭.

設(shè)點(diǎn)片到面BDC的距離為力，8c與平面

BCD所成的角為a。利用

；53810七=；5兇8?/7,可求得力=26,又可

求得用。=46sina=——=—.??2=30。.

B?2

即80與平面BCD所成的角為30°.

分析二：作出用C與平面6co所成的角再行求解。如圖可證得8C上面4EED,所以

面AFEDd.面3OC。由分析一易知：四邊形AFED為正方形，連AE、DF,并設(shè)

交點(diǎn)為。，貝ijE0，面5OC,。。為EC在面BDC內(nèi)的射影。

.?.NEC。即為所求。以下略。

分析三：利用空間向量的方法求出面50c的法向量3,則gC與平面5c。所成的角

即為就與法向量］的夾角的余角。具體解法詳見(jiàn)高考試題參考答案。

總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各臼半壁江

山的狀況。命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益。

9.(本小題共14分)

如圖，四棱錐P—A6CO的底面是正方形，底面ABC。，點(diǎn)E在棱PB匕

(I)求證：平面AEC1平面PD8；

(II)當(dāng)PD=且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

【解法2］如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

設(shè)AB=a,PD=h,

則AB

A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0,a,0）,D（0,0,0）,/3（0,0,/i）,

（I）,??X?=（—a,a,O）,而=（0,0,/z）,方石=（a,a,O）,

：.ACDP^O,ACDB^O,

AAC±DP,AC1DB,，ACJ_平面PDB,

平面4ECJ_平面POB.

11

（II）當(dāng)尸0=且E為PB的中點(diǎn)時(shí),尸（0,0,缶）拒

7

設(shè)ACDBD=O,連接OE,

由（I）知AC±JPjt|PDB于0,

NAEO為AE與平面PDB所的角,

*/EA=-a,--a,-^-a,EO=0,0,

2222

IJI）

~EA-~EO_72

cosZ.AEO同同=下

，NAOE=45°,即AE與平面PDB所成的角的大小為45°.

10.（本小題滿(mǎn)分13分，（I）小問(wèn)7分，（II）小問(wèn)6分）

Jt

如題（18）圖，在五面體ABCDEF中，AB//DC,ZBAD=-,

2

CD=AD=2.,四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A_L平面ABCD,FC=3,ED=J7,

求：

（I）直線(xiàn)AB到平面EFCD的距離：

捌”3）圖

（II）二面角F-AD-E的平面角的正切值，

18.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖4,在正三棱柱A6C—中，AB=42AA

D是44的中點(diǎn)，點(diǎn)E在4cl上，且OEJ.4E。

（I）證明平面AOEJ_平面ACC14

（II）求直線(xiàn)AD和平面ABC所成角的正弦值。

解（I）如圖所示，由正三棱柱—的性質(zhì)知A4J.平面A4G

又DEU平面A|B|Ci,所以DE_LAA「

DE1AE?AA,QAE=A所以DE_L平面ACC?A廠又DEU平面ADE,故平面ADE_L平面

ACC?A??

解法2如圖所示，設(shè)。使AC的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

AA|=J2,則AB=2,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

n1

A(0,-l,0),B(V3,0,o),a(0,1,V2),D(-----，—，)o

22

而=(@,」，V2)

易知薪=(百，1,0),AC\=(0,2,V2),

22

設(shè)平面ABC1的法向量為n=(x,y,z)，則有

nAB=A/3X+y=0,

<>

n-AC1=2y+V2z=0,

解得X=T'Y'z=-J^y,

故可取n=(l,V6)o

bI—z*n*AD2V3V10

所以，cos(n?AD)-___-.—1--o

|n|-AZ)V10xV35

Vio

由此即知，直線(xiàn)AD和平面ABC1所成角的正弦值為O

5

11.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖3,在正三棱柱A8G461G中，陽(yáng)=4/4=近，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上,

且0￡_LA}E

(1)證明：平面4OE，平面ACCI4；

(II)求直線(xiàn)AD和平面4OE所成角的正弦值。

解法2如圖所示，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各

點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,),(2,0,V7),D(-l,Ji),E(-l,0.0)

易知還=(-3,百，-V7),DE=(0,-6，0),正=(-3,百，0)

設(shè)(1=(x,y,z)是平面A|DE的一個(gè)法向量，則

LL1V廠

rrfDE^=—y/3y=O

In*A|E>=—3x+V3y—V7z=0

解得x=_且z,y=0

3

故可取n=(V7z0,-3,)于是

UL1LI

n?AD

cos(?,AD)=

同?卜q

-377V21

4x26-8

JQA

由此即知，直線(xiàn)AD和平面4DE所成的角是正弦為—

'8

12.(本小題滿(mǎn)分12分)

在四棱錐尸一A8CO中，底面ABC。是矩形，PAL平面ABC。，PA=AO=4,

AB=2.以AC的中點(diǎn)。為球心、AC為直徑的球面交PO于點(diǎn)M,交PC于點(diǎn)N.

(1)求證：平面ABMJ_平面PCO；

(2)求直線(xiàn)C。與平面ACM所成的角的大小:

(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

方法二：

(1)同方法一；

(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),P(0,0,4),

5(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),"(0,2,2)；設(shè)平面。CM的一

---.----(2x+4v=0

個(gè)法向量”=(x,y,z)，由〃_LAC,”J_AM可得：<'，令

2y+2z=0

z=1,則

n=(2,-l,l)?設(shè)所求角為a,則sina==巫,

CD〃3

V6

所以所求角的大小為arcsin

3

Q

(3)由條件可得，ANLNC.在RtbPAC中，PA2=「7?PC,所以PN=-，則

3

—所以所求距離等于點(diǎn)P到平面4cM距離的2,設(shè)點(diǎn)P

NC=PC-PN=—

3PC99

~\Pn孚，所以所求距離為沁呼

到平面ACM距離為h則h

19(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，正方形45CO所在平面與平面四邊形A8EQ所在平面互

相垂直，△ABE是等腰直角三角形，

AB=AE,必=FE,ZAEF=45°

(I)求證：平面BCE；

(II)設(shè)線(xiàn)段C。的中點(diǎn)為P，在直線(xiàn)AE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM平面BCE?若

存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(III)求二面角尸一A的大小。

(I)因?yàn)锳ABE為等腰直角三角形,AB=AE,

所以AELAB.

又因?yàn)槠矫鍭BEF_L平面ABCD,AEu平面ABEF,

平面ABEFA平面ABCD=AB,

所以AE_L平面ABCD.

所以AE_LAD.

因此,AD,AB,AE兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

設(shè)AB=L貝AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),

E(0,0,1),C(1,1,0).

因?yàn)镕A=FE,ZAEF=45°,

所以所AFE=90°.

從而，F(xiàn)(0,

22

—■11―?—■

所以EF=(0,BE=(0,-1,1),BC=(1,0,0).

—-—■I1一一

EF?BE=0+-------=0,EF?BC=0.

22

所以EFJ_BE,EF±BC.

因?yàn)锽Eu平面BCE,BCHBE=B,

所以EFL平面BCE.

(II)存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí),PM〃平面BCE.

M(0,0,1),P(l,1,0).

22

—■11

從而PM=(—1,——

22

———1111

于是PM,EF=?(0,--)=0

2222

所以PM±FE,又EF_^F面BCE,直線(xiàn)PM不在平面BCE內(nèi)，

故PMM〃平面BCE........................8分

（HD設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為々,并設(shè)〃1=（x,y,z）.

UUMmt/Q1

BD=(L-,10,"=(Or±)L

取y=l,則x=l,z=3。從而叫=(113o

取平面ABD的一個(gè)法向量為%=（0,0,1）?

故二面角F—BD—A的大小為arccos-------。.............................12分

11

14.（本題滿(mǎn)分14分）

如圖，在直三棱柱ABC-A4a中，AA}=BC=AB=2,

AB_L6C,求二面角-4C—G的大小。

7F

簡(jiǎn)答：-

3

第一部分五年高考薈萃

2009年高考題

2005—2008年高考題

解答題

1.（2008全國(guó)1119）（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，正四棱柱ABC。-A4CQ中，A4,=2AB=4,點(diǎn)E在。孰上小

且GE=3EC.

(I)證明：AC_L平面8EO;

(II)求二面角4-0E-8的大小.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)OA為x軸的正半軸,

建立如圖所示直角坐標(biāo)系。-qZ.依題設(shè),

DE=(0,21)DB=,(220),

4。=(一2,2廠4)%=(204).

(I)證明因?yàn)锳Q08=0,A.CDE

故AQ80,A.C±DE.

又DBC[DE=D,

所以4C_L平面DBE.

(H)解設(shè)向量〃=(x,yz)是平面的法向量，則

n±DE,n±DA].

故2y+z=0，2x+4z=0.

令y=l,則z=—2,x=4,n=(4,1y-2).

(小布)等于二面角A}-DE-B的平面角,

n?ACV14

cos卜,二}

AQ~42~

nA}C

所以二面角A1一。￡一8的大小為arccos---.

142

2.(2008安徽)如圖，在四棱錐O—A8CO中，底面A8CO四邊長(zhǎng)

JT

為1的菱形，ZABC=~,底面ABC。，0A=2,〃為

4

04的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)

(I)證明：直線(xiàn)MN〃平面OCO；

(II)求異面直線(xiàn)A8與MD所成角的大小；

(III)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

作AP1CD于點(diǎn)P,如圖，分別以AB/P/。所在直線(xiàn)為

x,y,z軸建立坐標(biāo)系

A(0,0,0),8(1,0,0),P(0,",0),Q(-軍,^,0),0(0,0,2),M(0,0,1),N(1-￡，4,0),

22244

⑴證明-—,-l),OF=(0,—,-2,PD=(--,—,-2

44222

設(shè)平面OCD的法向量為〃=(x,y,z),則〃而=0,〃而=0

——y-29z=0n

即\2

66

-------xH------y-2z=0

22

取Z=JI,解得〃=(0,4,也)

__.gzy

'：MN〃=(1-JJ—l)(0,4,揚(yáng)=0

44

，MN〃平面OC￡>

(2)解設(shè)AB與MO所成的角為氏?.?麗=(1,0,0),而=(—Y2,也1)

22

ABMD\1兀4

?,?a8=二「I：_!i=_,0=-,A8與MO所成角的大小為一.

\AB\-\MD\233

⑶解設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d,

則d為歷在向量〃=(0,4,72)上的投影的絕對(duì)值,

__108?川22

由。B=(1,0,-2)，得d='=—.所以點(diǎn)8到平面OCD的距離為一

|n|33

(2008湖南17)如圖所示，四棱錐P-A8CD的底面

A8CD是邊長(zhǎng)為1的菱形，NBCD=60°,E是CD

的中點(diǎn)，以_L底面ABCD,PA=2.

(I)證明：平面PBE_L平面R4B;

(II)求平面以。和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.

如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的

坐標(biāo)分別是A(0,0,0),B(1,0,0),

,0),,0),P(0,0>2),￡(1,——-,0).

2

（I）證明因?yàn)椤?E=（0,<y3」,0）,

2

平面PAB的一個(gè)法向量是0=（0,1,0）,

所以施和鼠共線(xiàn).從而8E_L平面PAB.

又因?yàn)锽EU平面PBE,

故平面PBE,平面%8.

(II)解易知萬(wàn)5=(1,0,—2),第=(0,?,0)麗=(0,0,—2),而=(，?,0)

-n.PB=0,

設(shè)耳=(X”M，Z1)是平面如后的一個(gè)法向量，則由《_____.得

H,BE=0

X,+0xyx-2z,=0,

<J3所以X=0,々=2Z1.故可取"1=(2,0,1).

0xx,+—y+0xz=0.

,222

_〃PA=0

設(shè)/T=(x2,y2,z2)是平面處〃的一個(gè)法向量，則由__,'得

n2AD=0

0xx2+0x為一2馬=0,

16所以乙2=0,馬=一百%?故可取％=（6,-1,0.

不工2+〒為+0乂馬=0.

.乙乙

一一%%2V3J15

于是,cos<〃[,%>=|—|I—I=-j=—=「

同〃2&25

故平面均〃和平面儂1所成二面角（銳角）的大小是arccos

5

4.（2008福建18）如圖，在四棱錐P-A8CD中，則面PAD_L底面

ABCD,側(cè)棱%=PO=JL底面ABCD為直角梯形，

其中BC//AD,ABYAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).

（I）求證：P。！,平面ABCD；

（II）求異面直線(xiàn)P。與CD所成角的大小；

W?若存在，求出絲的

（III）線(xiàn)段AD上是否存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為

2QD

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（I）證明在△%口中P4=PD,。為A0中點(diǎn)，所以PO_LAD,

又側(cè)面外。_1_底面ABCD,平面PAOC平面ABCD=AD,POU平面PAD,

所以。。，平面488.

（II）解以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，反、礪而的方向分別為x軸、y軸、

z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,依題意，易得

4（0,-1,0）,5（1,-1,0）,C（l,0,0），次0,1,0），尸（0,0,1）,

所以麗=（寸1,10，福（,1,—Drl,

所以異面直線(xiàn)PB與繆所成的角是arccos

（HI）解假設(shè)存在點(diǎn)0,使得它到平面嚴(yán)切的距離為二，

2

由（n）知麗=（-1,0,1）,CD=（-i,i,o）.

設(shè)平面上?的法向量為77=（Xo,Jo,勿）.

fnCP=0,f-x0+z（）=0,

則一，所以\°即x°=y°=z。，

[nCD=0,Xo+y（）=。’

取X>=1,得平面心9的一個(gè)法向量為77=（1,1,1）.

、一-|CQn\61-1+y|也

設(shè)。（。,y,0）（-1<y<1）,。。-（一1,%。）,由一-=—，得?廠；

|〃|2網(wǎng)2

解尸-1或尸2（舍去），

*=|,所以存在點(diǎn)。滿(mǎn)足題意，此時(shí)卷=；

5.（2007福建理?18）如圖，正三棱柱ABC—4&G的所有

棱長(zhǎng)都為2,。為CCi中點(diǎn)。

（I）求證：48」面ABD；

（II）求二面角A-A^-B的大小；

（III）求點(diǎn)C到平面48。的距離；

（I）證明取BC中點(diǎn)。，連結(jié)4。.

?.?△ABC為正三角形，：.AO±BC.

???在正三棱柱ABC-A4cl中，平面ABC±平面BCC[B],

AOJ_平面BCC￡.

取gG中點(diǎn)。廠以。為原點(diǎn)，礪，西，礪的方向?yàn)閄,>-Z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，則8(1,00),D(-l,l0),4(0,2后)，4(0,0公)，g(l,20),

.?.涵=(1,2廠6),麗=(-2,10),可=(-1,2?

?.?麗麗=-2+2+0=0,AB,BA,=一1+4-3=0,

.?.福，而，ABt±BA].

：.AB〕_L平面A}BD.

(II)解設(shè)平面4A￡＞的法向量為n=(x,yz).

通=(-1,1寸⑻，福=(0,20).

,/n_LAD,n_LAA1,

〃AD=0,-x+y-y/3z=0,.['=0，

nAAi=0,2y=0,[x=-V3z.

令z=1得〃=(-73,01)為平面AiAD的一個(gè)法向量.

由(I)知A與J_平面A】BQ,

???福為平面的法向量.

~r^〃46]__G-6_瓜

cos<ii9AB,>=—]一[=-----產(chǎn)-=-----?

同|阿22V24

二二面角A-A。一8的大小為arccos—.

14

(HI)解由(II),彳瓦為平面AfO法向量，

???BC=(-2,00)而產(chǎn)(12-@.

回國(guó)_|-2|\及

.?.點(diǎn)C到平面48。的距離d-2V2-T

6.(2006廣東卷)如圖所示，AF、DE分別是。。、。。1的直

徑工。與兩圓所在的平面均垂直，AD=8,BC是。。的直徑,

A8=AC=6,OE//AD.

(I)求二面角B—AD—F的大小;

(II)求直線(xiàn)BD與EF所成的角.

解(I)：AD與兩圓所在的平面均垂直，

：.AD±AB,A。J_AF,故N8A。是二面角B—AD—F的平面角，

依題意可知，ABC。是正方形，所以/BAD=45°.

即二面角B—AD—F的大小為45°.

(H)以。為原點(diǎn)，8C、AF、。￡所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則。

(0,0,0),A(0,-342,0),B(3A/2,0,0),D(0,-3V2,8),E(0,0,8),F

(0,3V2,0)

所以，BD=(-3啦，-3啦,8),~FE=(0-372,8)

——~BD^~FE0+18+64廊

cos<BD,EF>=―,——==---.

IBDIIFEIV100xV8210

設(shè)異面直線(xiàn)BD與EF所成角為a,

/QQ

則cosa=1cos<BD,EF>1=----

10

直線(xiàn)BD與EF所成的角為arccos32

10

7.(2005江西)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—4B1GO1中，AD=AAr=l,

A8=2,點(diǎn)E在棱A8上移動(dòng).

(1)證明：DiE_L&D；

(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACDi的距離：

7T

(3)AE等于何值時(shí)，二面角Di—EC—。的大小為一.

4

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)DA,DC,DDi分別為X,y,z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=X,則4(1,0,1),5(0,0,1),

E(1,X,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

(1)證明因?yàn)槲鳎?(1,0,1),(1,X,—1)=0,所以?xún)桑?

(2)解因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E(l,1,0),

從而印==(-1,2,0),

擊=(-1,0,1)，

設(shè)平面ACDi的法向量為n-(a,b,c),

n-AC=0,

則______.

n-AD,=0,

I—a+2b=0。=2b—工、

也即《，得《，從而〃=(2,1,2),所以點(diǎn)E到平面AD]C的距離為

[-6/+c=0[a=c

,|KE-HI2+1-21

/?=——Jz-----=-------------=—.

(3)解設(shè)平面。1EC的法向量7=(〃,/?"),

CE=(1/-2,0),RC=(0,2-1),00,=(0,0,1),

=\2b-c=Q人

由<____=>5令b=l,.*.€=2,0=2—x,

|/z-C￡=0,1a+0(x-2)=0.

n=(2-x,l,2).

八…n\n~DD\品2&

依題意cos-=—~士y==——n/=一

2

4\n\-\DDx\27(X-2)+52

x,=2+V3(不合，舍去)，x2=2-V3.

，AE=2-百時(shí)，二面角Di—EC—D的大小為紇

第二部分三年聯(lián)考匯編

2009年聯(lián)考題

解答題

1.(湖南省衡陽(yáng)市八中2009屆高三第三次月考試題)如圖，尸一ABC。是正四棱

錐，A6CD—4月6。1是正方體，其中AB=2,PA=J不

(1)求證：FAIB.D,；

(2)求平面外。與平面8。￡)14所成的銳二面角6的余弦值；

(3)求用到平面期。的距離

以A名為x軸，4R為y軸，A|A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

(1)證明設(shè)￡是8。的中點(diǎn)，?.?P-ABCD是正四棱錐，PEJ_A8CO

又AB=2,PA=m,：.PE=2P(l,l,4)麗=(-2,2,0),淳=(1,1,2)

用O/AP=0,即PAL耳2。

(2)解設(shè)平面PAD的法向量是浣=(x,y,z)，

?.?麗=(0,2,0),而=(1,1,2)

**-y=0,x+2z=0取z=1得〃7=(—2,0,1),又平面BDDXBX的法向量是

mnV10

n=(1,1,0)二cos<m,/i〉=ITr=3=叵

rIH55

BjA-ml

(3)解-■B}A=(-2,0,2)與到平面PAD的距離d衿

同

2.(陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考)如圖，邊長(zhǎng)為2的等

邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2V2,

/W為8c的中點(diǎn)

(I)證明：AMLPM；

(II)求二面角P-AM-D的大小；

(III)求點(diǎn)D到平面AMP的距離。

(I)證明以。點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)DC為x軸、y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

依題意，可得

￡>(0,0,0),P(0,l,揚(yáng),C(0,2,0),A(2&,0,0),M(V2,2,0)

???PM=(V2,2,0)-(0,1，百)=(V2,1,-73)

AW=(V2,2,0)-(2V2,0,0)=(-V2,2,0)

X

/?兩?赤=(⑸,-伍(-&,2,0)=0

即麗,：.AM±PM.

(H)解設(shè)〃=(x,y,z),且〃_L平面％M,則

n-PM=0mf(x,y,z).(V2,l-V3)-0

___即<

n-AM