返回高等數學GAODENGSHUXUE典型例題分析第十二章無窮級數習題課課堂練習內容概括第八章無窮級數習題課1.了解無窮級數斂散概念及性質,會利用比較法、比值法判別正項級數斂散性,會用萊布尼茲判別法判別交錯級數的收斂性,了解絕對收斂與條件收斂概念.2.理解冪級數及收斂半經的概念,掌握簡單的冪級數收斂半徑及收斂區間的求法.3.會用公式及性質將函數展開成冪級數,了解冪級數的展開應用.一、要求與重點

重點：無窮級數斂散概念,正項級數審斂法,冪級數概念與收斂半徑求法，將函數展開成冪級數.第十二章無窮級數習題課

函數項級數數項級數定義與性質無窮級數二、內容結構冪級數正項級數交錯級數任意級數冪級數展開冪級數應用收斂域與運算第十二章無窮級數習題課

數項級數必要條件正項級數比值判別法比較判別法斂散性質定義級數發散交錯級數任意項級數萊氏判別法判別級數類型絕對收斂判別數項級數斂散性的過程第十二章無窮級數習題課

三、內容概括1.數項級數

定義

若數列u1,u2,···,un,···，按其給定次序用加號將其連接起來所得和式簡記為.稱其為無窮級數，簡稱級數，稱其第n項un為通項或一般項.稱為級數的部分和.若存在，則稱級數的收斂，否則發散.第十二章無窮級數習題課

性質1:級數的每一項同乘一個不為零的常數,斂散性不變.性質2:收斂級數可以逐項相加與逐項相減.

性質3:在級數中加上、減去、更改有限項不影響級數的斂散性.

性質4:收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂于原來的和.定理級數收斂的必要條件:收斂級數的基本性質第十二章無窮級數習題課

數項級數審斂法正項級數任意項級數5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;一般項級數4.絕對收斂第十二章無窮級數習題課

4.充要條件

定義

若級數的一般項，則稱為正項級數.2.正項級數及其審斂法定理第十二章無窮級數習題課

第十二章無窮級數習題課

正項級數比較審斂法

定理

設兩個正項級數與如果滿足條件則(1)若收斂，則收斂.(2)若發散，則發散.

定理

設兩個正項級數與，若極限則與同斂散.常用的比較級數級數斂散性表達式p-級數發散調和級數等比級數級數名稱第十二章無窮級數習題課

收斂發散發散收斂第十二章無窮級數習題課

比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)定理設正項級數，如果則時級數收斂;時級數發散;時失效.根值審斂法(柯西判別法)定理

設正項級數，如果則時級數收斂;時級數發散;時失效.定義

正負項相間的級數稱為交錯級數.即3.交錯級數及其審斂法第十二章無窮級數習題課

萊布尼茨定理

如果交錯級數滿足條件:則級數收斂，且其和，其余項的絕對值

定義正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.4.任意項級數及其審斂法第十二章無窮級數習題課

定理

若收斂，則收斂.定義

若收斂，則稱為絕對收斂;若發散,而收斂,則稱為條件收斂.5.函數項級數

定義

設是定義在上的函數,則稱為定義在區間上的(函數項)無窮級數.第十二章無窮級數習題課

定義

如果，數項級數收斂，則稱為級數的收斂點，否則稱為發散點.函數項級數的所有收斂點的全體稱為收斂域.

收斂域上級數的和是x的函數稱為和函數.

定義形如或的級數稱為冪級數.其中為冪級數系數.6.冪級數第十二章無窮級數習題課

冪級數的收斂性

定理(Abel定理)如果級數在處收斂,則它在滿足不等式的一切x處絕對收斂;如果級數在處發散,則它在滿足不等式的一切x處發散.

定理如果冪級數不是僅在一點收斂,也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數R存在,它具有下列性質:第十二章無窮級數習題課

當時,冪級數絕對收斂;當時,冪級數發散;

當時,冪級數可能收斂也可能發散.

定義

正數R稱為冪級數的收斂半徑.冪級數的收斂域稱為冪級數的收斂區間.第十二章無窮級數習題課

定理

如果冪級數的所有系數且極限則（1）當時（2）當時（3）當時

收斂區間的求法：先求收斂半徑，再判別時級數的斂散性，得出收斂區間.a.代數運算性質:（其中

）6.冪級數的運算第十二章無窮級數習題課

（1）（2）b.和函數的分析運算性質第十二章無窮級數習題課

（1）冪級數的和函數在收斂區間內連續,在端點收斂,則在端點單側連續.

（2）冪級數的和函數在收斂區間內可積,且對可逐項積分.

（2）冪級數的和函數在收斂區間內可導,且對可逐項求導.7.冪級數展開式

定義如果在點處任意階可導，則冪級數稱為在點的泰勒級數.

第十二章無窮級數習題課

稱為在點的麥克勞林級數.

定理函數在點的泰勒級數，收斂于的充要條件為第十二章無窮級數習題課

定理如果函數在能展開成的冪級數則其系數且展開式是唯一的.